专题02二次函数的图象与性质重难点题型专训（15大题型+20道拓展培优）（学生版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_重难点专题提升-V7_2025版

专题02 二次函数的图象与性质重难点题型专训（15大题型+20道拓展培优） 题型一 y=ax2的图象与性质 题型二 y=a(x-h)2+k的图象与性质 题型三 y=ax2+bx+c的图象与性质 题型四 利用二次函数的性质比较函数值的大小 题型五 二次函数图象与各系数符号 题型六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断 题型七 利用二次函数的增减性求参数范围 题型八 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型九 根据二次函数的对称性求函数值 题型十 待定系数法求二次函数解析式 题型十一 二次函数图象的平移 题型十二 y=ax2+bx+c的最值 题型十三 利用二次函数对称性求最短路径 题型十四 二次函数与一次函数的综合 题型十五 二次函数图象与性质的综合 知识点01 二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 时， 随 的增大而增大； 时， 随 向上 (0,0) 轴 的增大而减小； 时， 有最小值0． 时， 随 的增大而减小； 时， 随 向下 (0,0) 轴 的增大而增大； 时， 有最大值0． 的性质： 上加下减的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增 向上 轴 大而减小； 时， 有最小值 ． 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的 向下 轴 增大而增大； 时， 有最大值 ． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增 向上 x=h 大而减小； 时， 有最小值 ． 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增 向下 x=h 大而增大； 时， 有最大值 ． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的 向上 x=h 增 大 而 减 小 ； 时 ， 有 最 小 值 ． 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的 向下 x=h 增大而增大； 时， 有最大值 ． 一般式：yax2 bxc（a，b，c为常数，a0）； 函数 二次函数y ax2 bxc（a、b、c为常数，a≠0） a0 a0 图象 开口方向 向上 向下b b 对称轴 直线x 直线x 2a 2a  b 4acb2   b 4acb2  顶点坐标  ,   ,   2a 4a   2a 4a  b b 在对称轴的左侧，即当x 时，y随x的 在对称轴的左侧，即当 x 时，y 2a 2a b 随x的增大而增大；在对称轴的右侧， 增减性 增大而减小；在对称轴的右侧，即当x b 2a 即当 x 时，y 随 x 的增大而减 时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 2a 小．简记：左增右减 b b 抛物线有最低点，当 x 时，y 有最小 抛物线有最高点，当x 时，y有 2a 2a 最大(小)值 4acb2 4acb2 值，y  最大值，y  最小值 4a 最大值 4a 知识点02 二次函数的图象与a，b，c的关系 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同 学们解惑． 1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二 次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可 以在此基础上进行一些简单的组合应用． 2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋ c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数 代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我 们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为 我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是 字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可． 3．取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围）， 取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标 轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出 与0的大小关系及含有 的代数式的值的大小关系. (1) 决定开口方向:当 时抛物线开口向上;当 时抛物线开口向下.(2) 共同决定抛物线的对称轴位置:当 同号时，对称轴在 轴左侧;当 异号时，对称轴在 轴右侧(可以简称为“左同右异”);当 时，对称轴为 轴. (3) 决定与 轴交点的纵坐标:当 时，图象与 轴交于正半轴;当 时，图象过原点;当 时，图象与 轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与 轴交点的个数:当 时，抛物线与 轴有两个交点;当 时，抛物线与 轴有一个交点;当 时，抛物线与 轴没有交点. (5) 的符号由 时， 的值确定:若 ，则 ;若 ，则 . (6) 的符号由 时， 的值确定:若 ，则 ;若 ，则 . 知识点03 二次函数图象的平移 由二次函数的性质可知，抛物线 ( )的图象是由抛物线 ( )的图象 平移得到的.在平移时， 不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的 或 发生变化(图象的位置 发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿 轴平移，上、下沿 轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标， 再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由 ， 的图象与性质及上下平移与左右平移的规 律：将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；保持抛物线 的形状不 变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下： 向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位 y=ax2 y=ax2+k 向右(h>0)【或左(h<0)】 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k|个单位 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 知识点04 二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时， ，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时， ，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时， ，方程没有实根。 二次函数 的图象与 轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③ 有两个公共点，这对应着一元二次方程 的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母 的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利 用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的 转换. 知识点05 二次函数与不等式 判别式 抛物线 与 不等式 的解 不等式 的解集 x轴的交点 集 △＞0 或 △＝0 （或 ） 无解 △＜0 全体实数 无解知识点06 待定系数求解析式 用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式: (1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式 ; (2)已知顶点 (或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式 ; (3)已知抛物线与 轴的两个交点坐标为 ，常设抛物线的解析式为交点式 . 二次函数解析式的形式 一般式： 顶点式： 交点式 顶点在原点： 过原点： 顶点在y轴： 求二次函数 （a≠0）的最值的方法 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成 的形式 若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且 ②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 公式法：因为抛物线的顶点坐标为（- ），则 若a＞0，当x= 时，函数有最小值，且 若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且y = 最大值【经典例题一 y=ax2的图象与性质】 【例1】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）抛物线 的开口向上，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 1．如图，正方形 与抛物线 相交于点 ，则正方形 面积为（ ） A．1 B． C． D．3 2．如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的顶点A在第一象限，顶点C在第二象限，顶点B在 抛物线 的图象上．若正方形 的边长为 ， 与 轴的正半轴的夹角为 ，则a的 值为 ． 3．如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线的解析式是 ，直线 的解析式是 ，点 ，点 是在该抛物线上的动点，连接 ，过 作 ．(1)求证： ； (2)设点 ，求 的最小值及此时点 的坐标． 【经典例题二 y=a(x-h)2+k的图象与性质】 【例2】（2024·浙江台州·一模）抛物线 经过点 和 ，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 1．已知二次函数 ，当 时， 的最小值为 ，则 的值为（ ）． A． 或4 B． 或 C． 或4 D． 或4 2．如图，在平面直角坐标系中，点 在第二象限，以 为顶点的抛物线 经过原点，与 轴 负半轴交于点 ，点 在抛物线上，且位于点 、 之间（ 不与 、 重合）.若四边形 的周长为 14， 的周长大于8，则 的取值范围为 ．3．在平面直角坐标系xOy中，点C是二次函数 的图象的顶点，一次函数 的图象 与x轴、y轴分别交于点A、B． (1)请你求出点A、B、C的坐标； (2)若二次函数 与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围． 【经典例题三 y=ax2+bx+c的图象与性质】 【例3】（2024·陕西西安·模拟预测）关于x的二次函数 的图象下列说法不正 确的是（ ） A．对称轴为直线 B．当 时，图象上的最低点为 C．当 时，y的值随x值的增大而增大D．顶点一定在函数 的图象上1．二次函数 （ ， 为常数）的图像的顶点在第二象限，且经过点 ，则 的值的变化范围是（ ） A． B． C． D． 2．如图，已知开口向下的抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为直线 ．则下列结论： ① ；② ；③ ；④抛物线上有两点 和 ，若 且 ，则 ．其中正确的是 3．在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ． (1)若 ，则 _________，通过配方可以将其化成顶点式为_________； (2)已知点 在抛物线上，其中 ．若 且 ，比较 与 的大小关系，并 说明理由； (3)若 ，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线 交于A，B两点，直线与y轴交于 点C，点E为 中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接 ， ．求证： ． 【经典例题四 利用二次函数的性质比较函数值的大小】【例4】（2023·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系 中，点 和点 在抛物线 上， 若 ，点． ， ， 在该抛物线上．若 ，比较 ， ， ， 的大小，则下列判断 正确的是（ ） A． B． C． D． 1．已知二次函数 （ ）， 、 是其图象上的两点，且 ， ，则下列式子正确的是（ ） A． B． C． D． 2．若点 ， ， 在抛物线 的图象上，则 ， 的大小关系为 ， （用“ ”或“ ”进行连接） 3．在平面直角坐标系中，二次函数的解析式为 ． (1)求证：对任意实数 ，都有 与 对应的函数值相等； (2)若 对应的 的整数值有4个，求 的取值范围； (3)若抛物线与 轴交于不同的点 ， ，且 ，求 的取值范围． 【经典例题五 二次函数图象与各系数符号】【例5】（2024年湖北省中考数学试题）如图，二次函数 （ ）的图象关于直线 对 称，则下列结论正确的是（ ） A． B．若抛物线与x轴交于 ， 两点，则 C． D．对任意实数t，总有 1．已知实数a，b，c满足 ， ， ，则（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 2．二次函数 的图象如图所示，其对称轴为直线 ，与x轴的交点为 ， ，其中 ，有下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中，正确的结论有 ．3．已知关于 的二次函数 ，经过点 ． (1)若此函数图象过点 ，求这个二次函数的表达式； (2)若 时， 时，求 的值； (3)若 ，当 ，且 时，求证： ． 【经典例题六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例6】（2024·安徽亳州·一模）反比例函数 与二次函数 在同一平面直角坐标 系中的大致图像可能是（ ） A． B． C． D． 1．一次函数 和二次函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A． B． C． D． 2．“ ”是一款数学应用软件，用“ ”绘制的函数 和 的图象如图所示． 若 分别为方程 和 的解，则根据图象可知a b．（填“ ”“ ”或“ ”） 3．如图，顶点 的抛物线与直线 相交于A，B两点，且点A在x轴上，连接 ， ． (1)求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式； (2)求点B的坐标． 【经典例题七 利用二次函数的增减性求参数范围】 【例7】．（2024·山东临沂·三模）若二次函数 的图象经过点 ，当 时， 有最大值 ，最小值 ，则 的取值范围应是( ) A． B． C． D． 1．（22-23九年级下·浙江杭州·期中）已知点 、 是二次函数 图象上的两个 点，若当 时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）在平面直角坐标系中， ， 是抛物线 上任意两点，设抛物线的对称轴为 ，（1）若对于 ， ，有 ，则 ；（2）若对于 ， ，都有 ，则 的取值范围是 ． 3．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线 上任意两点，设抛物线的对称轴为 ． (1)若对于 ，有 ，求t的值； (2)若对于 ，都有 ，求t的取值范围． 【经典例题八 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例8】（2024·山东济南·二模）已知二次函数 的图象经过点 ， ，且满足 ．当 时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（ ） A． B． C． D． 1．如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，下列说法正确的是（ ）A． B．抛物线的对称轴是直线 C．当 时， 的值随 值的增大而减小 D． 2．已知抛物线 经过点 和点 ，则 的最小值是 ． 3．已知：二次函数 （m是常数） (1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）． (2)若该二次函数图象与直线 交于A，B两点（点A在点B的右侧），这两点的横坐标分别为 ， ，求证： 是个定值． (3)已知点 ， ，若该二次函数图象与线段 只有一个交点，求 的取值范围． 【经典例题九 根据二次函数的对称性求函数值】 【例9】（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若抛物线 与x轴只有一个公共点． 且过点 ， ．则n的值为（ ） A．48 B．36 C．24 D．12 1．设函数 （ ，m，n是实数），当 时， ， 时， ．则（ ）A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 2．已知 ， 是二次函数 的图象上的两点，则当 时，二 次函数的值是 ． 3．在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线 上的两点． (1)直接写出一个a的值，使得 成立； (2) 是抛物线 上不同于M，N的点，若对于 ，都有 ，求a的取值范 围． 【经典例题十 待定系数法求二次函数解析式】 【例10】（2024·四川南充·三模）已知抛物线 ： 与抛物线 ： 关于点 成中心对称，若当 时， 有最大值为4，则m的 值为（ ） A． B． C． D． 或 1．如图，根据坐标系中所绘制的图象及相关数据可知该抛物线的解析式为（ ）A． B． C． D． 2．设抛物线 过 ， ， 三点，其中点 在直线 上，且点 到抛物 线的对称轴的距离等于 ，则该抛物线对应的函数表达式为 ． 3．已知抛物线 与直线 相交于 两点，且抛物线经过点 ， 求抛物线的解析式． 【经典例题十一 二次函数图象的平移】 【例11】（2024·江西九江·二模）在平面直角坐标系中，若把对称轴为直线 的抛物线 向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正 确的是（ ） A．向上平移 个单位长度 B．向上平移 个单位长度 C．向上平移 个单位长度 D．向上平移 个单位长度 1．已知抛物线 与 轴相交于点 ， （点 在点 左侧），顶点为 ，平移该抛物线，使 点 平移后的对应点 落在 轴上，点 平移后的对应点 落在 轴上，则平移后的抛物线解析式为 （ ） A． B． C． D． 2．如图，抛物线 与 轴相交于点 ，与过点 平行于 轴的直线相交于点 点 在第一象限 抛物线的顶点 在直线 上，对称轴与 轴相交于点 平移抛物线，使其经过点 ， ，则平移后 的抛物线的解析式为 ． 3．在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，抛物线 经过点 ． (1)求抛物线的对称轴． (2)若抛物线 是由抛物线 经过平移得到的，求抛物线 的解析式． (3)在（2）的条件下，已知点 ， ， 在抛物线 上，比较 ， ， 的大 小，并说明理由． 【经典例题十二 y=ax2+bx+c的最值】 【例12】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线 (n为常数)，当 时，其对应的函 数值最大为 ，则n的值为（ ） A． 或7 B．1 或7 C．4 D． 或4 1．已知函数 ，当 时，函数值随x增大而增大，且对任意的 和相应的函数值 总满足 ，则实数a不可能的值是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 2．当 时，二次函数 的最小值是 ，则 ． 3．已知关于x的二次函数 的图象过点 ， ． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求当 时，y的最大值与最小值的差． 【经典例题十三 利用二次函数对称性求最短路径】 【例13】（2023·山东泰安·二模）已知二次函数 的图象 如图所示，点 是坐标系 的原点，图象 与 轴交于点 ，则下面结论： ① ； ②关于 的方程 的解是 ， ； ③当 时， ； ④当 时， ； ⑤ 周长的最小值是 ； 正确的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个1．已知抛物线 具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等， 点M的坐标为（3，6），P是抛物线 上一动点，则△PMF周长的最小值是（ ） A．5 B．9 C．11 D．13 2．如图，抛物线y＝﹣ x2+ x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），交y轴于点C，点P为抛物 线对称轴上一点．则△APC的周长最小值是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在y轴的正半轴上， 在x轴的正半轴上， 的平分线交 于点D，E为 的中点．已知 ，二次函数 的图象经过A，C 两点． (1)求该二次函数的解析式； (2)F，G分别为x轴、y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形 ，求四边形 周长的最 小值．【经典例题十四 二次函数与一次函数的综合】 【例14】（2024·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数 与二次函数 的大致图像可能是（ ） A． B． C． D． 1．（2024·河南南阳·二模）如图，一次函数 与二次函数 的图象相交于 两点，则 函数 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线 （ 是常数，且 ）经过点 ． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）若一次函数 的图象与二次函数 的图象的交点坐标分别是 ，，且 ，则 的最大值为 ． 3．（23-24九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知二次函数 (1)当二次函数经过点 时． ①求该二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标； ②一次函数 的图象经过点A，点 在一次函数． 的图象上，点 在二 次函数 的图象上． 若 ，求n的取值范围． (2)设二次函数 的图象上有不重合的两点 其中 且满足 ，直接写出m的取值范围． 【经典例题十五 二次函数图象与性质的综合】 【例15】（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线 过点 ， 两点，若 ， 时，y的最大值为 ，则t的值是（ ） A． B．0 C．1 D．4 1．（2024·福建三明·三模）已知点 ， ， ， 都在二次函数 （ ， ， 为常数，且 ）的图象上，若 ，则 的取值范围是（ ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 2．（2024·福建厦门·二模）抛物线 经过 ， 两点，若 ，当时，都有 ，则b的取值范围是 ． 3．（2024·湖北荆州·二模）已知抛物线 ： 的图像与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，点 为y轴上一点． (1)求抛物线 的解析式； (2)如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且 ， 与x轴交于点D，求点E的横坐标； (3)点P是 上的一个动点，连接 ，取 的中点 ，设点 构成的曲线是 ，直线 与 ， 的 交点从左至右依次为 ， ， ， ，则 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是， 请说明理由． 1．将抛物线 向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得到的抛物线的函数解析式 为（ ） A． B． C． D． 2．已知二次函数 ，当 时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是 ( ) A． B． C． D． 3．二次函数 与一次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A． B． C． D． 4．已知抛物线 上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 0 3 … ①物线 的开口向下；②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线 ；③方程 的根为0和2；④当 时，x的取值范围是 或 以上结论中其中的是（ ） A．①④ B．②④ C．②③ D．③④ 5．在平面直角坐标系中，已知抛物线 ．若 ， ， 为 抛物线上三点，且总有 ，则 的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 6．已知四点 ， ， ， ，若一个二次函数的图象经过这四点中的三点，则这个二 次函数图象的对称轴为（ ） A．x B．x C．x D．x 7．已知二次函数 ，当 时，y的最小值为 ，则a的值为（ ）A． 或4 B．4或 C． 或4 D． 或 8．如图，抛物线 交x轴于 ， 两点，交y轴的负半轴于点C，顶点为D．下列 五个结论：① ；② ；③ 若 且 ，则 ；④ 当 是 等腰直角三角形时，则 ；⑤ 若 ， 是一元二次方程 的两个根，且 ，则 ．其中正确的有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 9．抛物线的对称轴为直线 ， 的最大值为 ，且与 的图象开口大小相同．则这条抛物线解 析式为 ． 10．已知二次函数 的图象如图，其对称轴 ，给出下列结果：① ；② ； ③ ；④ ；⑤ ．其中正确结论的序号是 11．若关于x的一元二次方程 的一根 ，另一根 ，则抛物线的顶点到x轴距离的最小值是 ． 12．抛物线，与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为 ．若点P为抛物线上一动点，其横坐标为 t，作 轴，且点Q位于一次函数 的图像上．当 时， 的长度随t的增大而增大，则t 的取值范围是 ． 13．已知抛物线 与直线l交于点 ， （ ）．若点P 在抛物线上且在 直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标b的取值范围为 ． 14．如图，抛物线 交 轴正半轴于点 ，过点 作 轴交抛物线于另一点 ，点 在 轴上，点 在抛物线上．当四边形 是菱形时，则 的值为 ． 15．画出函数 的图象，根据图象，解决下列问题： （1）当 时，x的取值范围是 ． （2）当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是 ．16．已知抛物线 经过点 ． (1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标． (2)直线 交抛物线于点 ， ， 为正数．若点 在抛物线上且在直线 下方（不与点 重 合），分别求出点 横坐标与纵坐标的取值范围． 17．已知关于x的二次函数 ，其图象交y轴于点 ． (1)若它的图象过点 ，求t的值； (2)如果 ， ， 都在这个二次函数的图象上，且 ，求m的取值范围． 18．平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A， ，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明 理由； (3)如图，点M是直线 上的一个动点，连接 ，是否存在点M使 最小，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由． 19．若二次函数 与 的图像关于点P（0，1）成中心对称，我们称 、 与 互为“中心对称”函数． (1)二次函数 的“中心对称”函数的解析式为______； (2)已知二次函数 ，将其顶点向上平移两个单位后在它的“中心对称”函数图像上，用含 的式子表示 ； (3)在（2）的条件下，当 时，二次函数 最小值为2，求 的值． 20．综合与探究 如图所示，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C， 且 ，C(0,−3)；直线l与抛物线交于点A，D，其中点D的横坐标为2． (1)求二次函数及直线 的表达式；(2)点S是线段 上的一个动点，过S点作y轴的平行线交抛物线于T点，求线段 长度的最大值； (3)在直线AD下方的抛物线上的是否存在一动点P（P与A，D不重合），使 的面积有最大值，若存 在，求出最大面积及点P的坐标；若不存在，请说明理由．