文档内容
专题05 切线的判定与性质、三角形的内切圆重难点题型专训（14大题型+15道
拓展培优）
题型一 有关切线的说法辨析
题型二 切线的判定定理
题型三 切线的性质定理
题型四 应用切线长定理求证
题型五 由三角形的内切圆求长度
题型六 由三角形的内切圆求角度
题型七 由三角形的内切圆求面积
题型八 由三角形的内切圆求最值
题型九 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
题型十 圆外切四边形模型
题型十一 三角形内心有关应用
题型十二 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
题型十三 三角形内切圆与外接圆综合
题型十四 圆的综合问题
知识点一 切线的判定与性质
（1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。
（2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。
拓展
推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。
圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；
（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理
解为“二推一”。
知识点二 三角形的内切圆
（1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的
交点，叫作三角形的内心。
（2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。
点拨：（1）设直角三角形的两条直角边长为 斜边长为c，则它的内切圆半径 ；
（2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等；
（3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即 其中 为
的内切圆半径， 分别为 的三边长。
（3）切线长
（1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条
切线的夹角。
点拨：切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。
（4）多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形．
总结：
【经典例题一 有关切线的说法辨析】
【例1】（23-24九年级上·全国·课后作业）下列直线中可以判定为圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线
【答案】D
【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可．
【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；
B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；
C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；
D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，
这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等
D．同弧或等弧所对的圆周角相等
【答案】D
【分析】根据切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及弧、弦、圆心角之间的关系判断即可．
【详解】解：A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故不符合题意；
C、在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，故不符合题意；
D、同弧或等弧所对的圆周角相等，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及到的知识点有切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及
弧、弦、圆心角之间的关系．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）下列说法：
①弧长相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的
切线；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．其中不正确的有___________个．（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D【分析】根据圆、弧、三角形外心的定义和性质以及切线的判定条件即可获得答案．
【详解】解：①弧长相等的弧是等弧，故该说法不正确；
②不在同一直线的三点可以确定一个圆，故该说法不正确；
③在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该说法不正确；
④经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该说法不正确；
⑤三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等，故该说法正确．
故选：D．
【点睛】根据圆、弧、三角形外心的定义和性质以及切线的判定条件等知识，熟练掌握相关知识是解题关
键．
3．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）下列说法：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心；②与半径垂直的
直线是圆的切线；③相等的圆心角所对的弦也相等；④圆内接四边形有且只有一个．其中不正确的个数是
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据圆的相关概念和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心，说法正确，不符合题意；
②过半径的末端，且与半径垂直的直线是圆的切线，原说法错误，符合题意；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等，原说法错误，符合题意；
④圆内接四边形有无数个，原说法错误，符合题意；
综上，②③④说法不正确．
故选C．
【点睛】本题考查垂径定理，切线的定义，等角对等弦，圆内接四边形．熟练掌握相关知识点是解题的关
键．
【经典例题二 切线的判定定理】
【例2】（2024·河北沧州·二模）已知P是 上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与 相切
于点 P．以下是甲、乙二人的作法．下列判断正确的是（ ）
甲：如图1，①连接 ，以点P 为圆心， 长 乙：如图2，①作射线 ；
为半径画弧交 于点A，连接 并延长；②在
②在直线 外任取一点A，以点A为圆心， 长为
上截取 ，直线 即为所求．
半径作 ，与射线 交于另一点B；③连接 并延长与 交于点C，直线 即为所求．
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确
C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确
【答案】A
【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的判定等知识，根据切线的判定定理，分别证明，即可解答，解题
的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【详解】解：甲正确，
理由：如图1中，连接 ，
根据题意可得 ，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
是 的切线；
乙正确，
理由： 为直径，
，
，是 的切线，
故选：A．
1．如图，在 中， ， ，点D为 的中点，以2为半径作 ，则下列
说法不正确的是（ ）
A．点A在圆外 B．点C在圆上
C． 与直线 相切 D． 与直线 相交
【答案】B
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，三角形的中位线定理，正确地作出辅助线是解题的
关键．连接 ，由直角三角形的斜边上的中线定理得 ，进而得 ， ，根据
三角形中位线定理即可解决问题．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵D是 的中点，
∴ ． ，故点A在圆外，点C在圆外，
故选项A正确，不符合题意；选项B不正确，符合题意，
连接 ，作 于点E，
∴ ，D为 的中点，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ， ，故 与直线 相切；
故选项C正确，不符合题意，
过D作 于F，
∴ ，
∴ ；
∴ ，
故 与直线 相交；故选项D正确，不符合题意，
故选：B．
2．如图，在矩形 中， ， ， 是以 为直径的圆，则直线 与 的位置关系是
．
【答案】相切
【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键．
作 于E，则 ，由题意得出半径 ，由 ，即可得出结论．
【详解】解：如图所示：作 于E．
则 ，
，
，
，即圆心到直线的距离等于半径，
直线 与 相切．
故答案为：相切．3．如图，以线段 为直径作 ，交射线 于点C， 平分 交 于点D，过点D作直线
于点E，交 的延长线于点F．连接 并延长交 于点M．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）连接 ，由 证明 ，得 ，即可证明直
线 是 的切线；
（2）根据圆周角定理和等边三角形的判定和性质，证出 是等边三角形，进一步即可得到结论；
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
则 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，且 ，
∴直线 是 的切线；
（2）解：
∵线段 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性
质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半
等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．【经典例题三 切线的性质定理】
【例3】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图， 为 的切线，切点为 ，连接 、 ， 与
交于点 ，延长 与 交于点 ，连接 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由切线的性质得出 ，由直角三角形的性质得出 ，由等腰三角
形的性质得出 ，再由三角形的外角性质即可得出答案．
【详解】解： 为 的切线，
，
，
，
，
，
，
；
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质；熟练掌
握切线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
1．如图，在 中， ， ， ，则 的内切圆的半径为（ ）A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质、三角形面积公式，由勾股定理求出 ，设内切圆与
边的切点为 ，与 边的切点为 ，与 边的切点为 ，连接 ， ， ， ， ， ，圆
的半径为 ，则 ， ， ， ，再由等面积法得出 ，即可得
解．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
设内切圆与 边的切点为 ，与 边的切点为 ，与 边的切点为 ，连接 ， ， ， ，
， ，圆的半径为 ，
，
则 ， ， ， ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
2．如图， 、 分别切 于点 ， ，点 是 上一点，且 ，则 的度数为 ．【答案】 /80度
【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质和四边形内角和定理，先由圆周角定理得到
，再由切线的性质得到 ，据此根据四边形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 、 分别切 于点 ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．在 中， 为直径， 为 上一点．
(1)如图①，过点 作 的切线，与 的延长线相交于点 ，若 ，求 的大小；
(2)如图②， 为 上一点，且 经过 的中点 ，连接 并延长，与 的延长线相交于点 ，若
，求 的大小．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）连接 ，首先根据切线的性质得到 ，根据同圆中，等弧所对的圆周角是圆心
角的一半得出 ，然后根据直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）根据垂径定理可得 ，根据直角三角形两锐角互余求得 ，根据同圆中，等弧所
对的圆周角是圆心角的一半得出 ，根据三角形的外角的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
∵ 与 相切于点 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
（2）解：∵ 为 的中点，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，垂径定理，三角形的外角性质等．解
题的关键是能够利用圆的切线垂直于经过切点的半径得到直角三角形．【经典例题四 应用切线长定理求证】
【例4】（2024·湖北武汉·二模）如图，圆O的圆心在梯形 的底边 上，并与其它三边均相切，若
， ， ，且 ，则 长为（ ）
A．b B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质等知识，利用切线的性质得出
，证明 ，进而得出 ，即可得到
，同理可证 ，由 得到 ，即可得到答案．
【详解】解：连接 ，圆O的圆心在梯形 的底边 上，并与其它三边均相切，切点分别为
，如图，连接 ，
则 ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可证， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
1．如图， 是 的切线，D、E为切点， 与 相切于点F，分别交 于点B、C．若
的周长为16，则切线长 为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题
的关键．利用切线长定理，可以得到： ，再根据 的周长为16，即可求
解．
【详解】解：∵ 是 的切线，．
∴ ，
同理， ，
三角形 的周长 ．
，
故选：C．
2．已知 、 为圆 的两条切线，连接 交圆于点 ，若 ， ， ，则
．【答案】
【分析】连接 ， ， ，作 ，设 ，证 是等边三角形，得出 ，证
， ，得出 ，得出 是直径，再利用勾股定理列方程求出 ，即可．
【详解】解：连接 ， ， ，过点A作作 于F，设 ，
同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍， ，
，
，
是等边三角形，
， ，
， 是 的切线，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
同理可证： ，
得出： ，
，
， ，
，
是直径，
，， ， ，
， ，
，
，
，
，
(负值已舍去），
．
【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，切线长定理，相似三角形的判定和性质，圆
周角定理，勾股定理，解一元二次方程等知识．作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
3．已知点 是 外一点， 分别与 相切于点 ．
(1)如图①，若 ，则 ______；
(2)如图②，连接 ，若 ，则 ______°；
(3)如图③，点 是优弧 上一点，连接 ，若 ，则 ______°．
【答案】(1)1
(2)56(3)60
【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，
正确作出辅助线．
（1）根据切线长定理即可解答；
（2）根据切线的性质得出 ，进而得出 ，即可解答；
（3）连接 ，根据切线的性质得出 ，进而得出 为等边三角形，
推出 ，根据三角形的内角和定理和圆周角定理即可解答．
【详解】（1）解：∵ 分别与 相切于点 ， ，
∴ ，
故答案为：1．
（2）解： 是 的切线，
，
，
，
，
．
故答案为：56．
（3）解：连接 ，如图，
是 的切线，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
．
故答案为：60．【经典例题五 由三角形的内切圆求长度】
【例5】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图， 中， ， ， ，点 是
的内心，则 的长度为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，勾股定理，三角形的外接圆与外心，根据点 是 的内
心，画出 的内切圆 ，如图，过点 作 ， ， ，垂足为 ， ， ，
连接 ，根据内切圆的性质可知垂足 ， ， 也是 三边与 的切点， ，
， ， ，利用勾股定理可得 ，设 ，则 ，根据
切线长定理可求得 ，设 ，根据 ，可得 ，即 ，问题随
之得解．
【详解】根据点 是 的内心，画出 的内切圆 ，如图，过点 作 ， ，
，垂足为 ， ， ，连接 ，根据内切圆的性质可知垂足 ， ， 也是 三边与 的切点，
， ， ， ，
， ， ，
，
设 ，则 ，
， ， ，
，
，
，
设 ，
，
，
，
，
．
故选：C．
1．如图， 中， ， ， ，点 是 的内心，则 的长度为（ ）A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，勾股定理，三角形的外接圆与外心，根据点 是 的内
心，画出 的内切圆 ，如图，过点 作 ， ， ，垂足为 ， ， ，
连接 ，根据内切圆的性质可知垂足 ， ， 也是 三边与 的切点， ，
， ， ，利用勾股定理可得 ，设 ，则 ，根据
切线长定理可求得 ，设 ，根据 ，可得 ，即 ，问题随
之得解．
【详解】根据点 是 的内心，画出 的内切圆 ，如图，过点 作 ， ，
，垂足为 ， ， ，连接 ，
根据内切圆的性质可知垂足 ， ， 也是 三边与 的切点，
， ， ， ，
， ， ，
，
设 ，则 ，
， ， ，
，
，
，
设 ，
，，
，
，
．
故选：C．
2．如图，在 中， ， ， ，且 的三边都与 相切，则 的半径为
．
【答案】
【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心， 与 的三边的切点分别为D、E、F，连接 、
、 ， ， ，根据勾股定理求出 ，根据三角形的面积公式求出 ，掌握内切圆与内心和勾
股定理是解题的关键．
【详解】解：设 与 的三边的切点分别为D、E、F，连接 、 、 ， ， ，
∴ ， ， ， ，
由勾股定理得， ，
∴ ，
即 ，
解得 ，即 的半径为 ，
故答案为： ．3．如图， 的内切圆 与 分别相切于点D，E，F，且 ，
求 的长．
【答案】
【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出关于
的方程是解题的关键．
由切线长定理可知： ，设 ，则 ，
然后根据 ，列方程求解即可．
【详解】解：∵ 的内切圆 与 分别相切于点 、 、 ，
，
设 ，则 ．
根据题意得 ．
解得； ．
∴ ，
∴ ．
【经典例题六 由三角形的内切圆求角度】
【例6】（2023春·江苏盐城·九年级统考期中）如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心．若
∠A=84°，则∠D的度数（ ）A．42° B．66° C．76° D．82°
【答案】B
【分析】利用三角形内心的性质得OB，OC分别是角平分线，进而求出∠BOC的大小，再利用三角形外
心的性质得出∠BDC等于∠BOC的一半，即可得出答案．
【详解】解：连接OB，OC，如图，
∵点O是△ABC的内心，∠A=84°，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
1 1
∴∠OBC+∠OCB= ∠ABC+ ∠ACB
2 2
1
= (∠ABC+∠ACB)
2
1
= (180°−∠A)=48°，
2
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=132°，
∵点O是△DBC的外心，
1
∴∠D= ∠BOC=66°，
2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的内心和三角形外心的性质，牢记以上知识点得出各角之间的关系是做出
本题的关键．
1．如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，若 ，则 的度
数是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 、 ，先根据圆周角定理得到 ，再根据切线的性质得
，然后根据四边形内角和计算 的度数．
【详解】解：连接 、 ，如图：
，
，
是 的内切圆，与 、 分别相切于点 、 ，
， ，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，
三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
2．如图，点 是 的内心．
（1）若 ，则 的度数为 ；
（2）连接 ，则 （填“ ”“ ”或“ ”）．【答案】 /135度 <
【分析】本题考查三角形的内切圆，三角形内角和定理，根据三角形的内切圆的圆心是三条角平分线的交
点，结合角平分线的性质，进行求解即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∵点 是 的内心
∴ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）如图所示，
∵点 是 的内心
∴点 是 的三条角平分线的交点，
∴点 到 三边的距离相等，
设点 到 三边的距离为 ，
则： ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
3．如图，在 中，已知 是直径， 是 的切线，点D是切点，点C是 上一点， ，连接 ， ， ．
(1)求 的度数；
(2)已知 ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接 ，根据切线性质，平行线的性质，圆周角定理计算即可．
（2）过点B作 于点E，连接 ， ．利用勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解答即
可．
【详解】（1）解：如图，连接 ．
是 的切线， 为 的半径，
．
，
，
，
．
（2）解：如图，过点B作 于点E，连接 ， ．
，
，和 都是等腰直角三角形．
， ，
，
，
．
在 中，由勾股定理得 ，
．
【点睛】本题考查了切线性质，平行线的性质，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌
握性质和定理是解题的关键．
【经典例题七 由三角形的内切圆求面积】
【例7】（23-24九年级上·四川泸州·期中）设一个直角三角形的两直边的长分别是 的两个实
数根，则这个直角三角形的内切圆的面积为（ ）
A．π B． C． D．
【答案】A
【分析】设直角三角形的斜边长为c，两直角边长分别为a，b，由题意可得 ，由勾股定
理得， ，如图，则 ，即 ，可求 ，
进而可求这个直角三角形的内切圆的面积．
【详解】解：设直角三角形的斜边长为c，两直角边长分别为a，b，∵直角三角形的两直角边长是方程 的两个实数根，
∴ ，
由勾股定理得， ，
如图，
∴ ，即 ，
解得， ，
∴这个直角三角形的内切圆的面积为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，勾股定理，三角形内切圆的
半径等知识．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，勾股定理，三角形内切圆
的半径是解题的关键．
1．如图，在 中，点 为 的内心， ， ， ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点 作 的延长线于点 ，由点 为 的内心， ，得 ，则
，由 ，求得 ，根据三角形的面积公式可得到结论．
【详解】解：过点 作 的延长线于点 ，点 为 的内心， ，
，
，
则 ，
，
，
，
，
的面积 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含 角的直角三角形的性质是解题的关键．
2．如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，F，且 ， ， ，
则涂色部分(即四边形 )的面积是 ．
【答案】4
【分析】利用勾股定理的逆定理得到 为直角三角形， ，再利用切线的性质得到 ，
，所以四边形 为正方形，设 ，利用切线长定理得到 ，
，所以 ，然后求出r后可计算出阴影部分（即四边形 ）的面积．
【详解】解：∵ ， ， ，，
为直角三角形， ，
∵ ， 分别相切于点E，F，
∴ ， ， ，
∴四边形 为正方形，
设 ，则 ，
的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，F，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴阴影部分（即四边形 ）的面积是 ．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三
角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理的逆定理和切线的性质．
3．如图，在 中， 是 的内切圆，三个切点分别为点 ， ．若
．求 的面积．
【答案】
【分析】本题考查切线长定理、三角形的内切圆及勾股定理，根据切线长定理得到 ，
， ，代入求解即可得到答案，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内切圆的性
质．
【详解】解：设 半径为
在四边形 中， ，
四边形 为矩形．又因为 ，
四边形 为正方形．
则 ，
由切线长定理易知： ， ，
，
在 中， ，
．
整理，得： ，
解得 ，
．
．
【经典例题八 由三角形的内切圆求最值】
【例8】（2023春•扬州月考）如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余
料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是 4 π cm 2 ． ．
1
【分析】当该圆为三角形内切圆时面积最大，设内切圆半径为r，则该三角形面积可表示为： r
21
（AB+AC+BC）＝21r，利用三角形的面积公式可表示为 •BC•AD，利用勾股定理可得AD，易得三角形
2
ABC的面积，可得r，求得圆的面积．
【解答】解：如图1所示，
1 1
S△ABC= •r•（AB+BC+AC）= r×42＝21r，
2 2
过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图2，
设CD＝x，
由勾股定理得：在Rt△ABD中，
AD2＝AB2﹣BD2＝400﹣（7+x）2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣x2＝225﹣x2，
∴400﹣（7+x）2＝225﹣x2，
解得：x＝9，
∴AD＝12，
1 1
∴S△ABC= BC×AD= ×7×12＝42，
2 2
∴21r＝42，
∴r＝2，
该圆的最大面积为：S＝πr2＝π•22＝4π（cm2），
故答案为：4πcm2．
1．如图， ， ， ，点 在 上运动，当 最大时，则 的长度是（ ）
A．15 B．20 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三点共圆，切线的判定，含 的直角三角形，勾股定理，解题的关键是正确的作图，
理解当P运动到圆上时， 最大；过 的中点Q作 于P，由含 的直角三角形的性质，
可推出 三点共圆，可证 与圆Q相切于P，进而推出此时 最大，再由勾股定理求解即可；
【详解】过 的中点Q作 于P，则 ，
Q是 的中点， ，
，
，
， ，
，
，
三点在以Q为圆心的圆上，
，
与圆Q相切与P，
此时 最大，在 中， ，
故选： ．
2．如图，在正方形 中， 是对角线 点 与点 ， 不重合 上的一个动点，过点 作
于点 ， 于点 ，连接 ．
当 ， 时， ；
若 ，则当矩形 的面积最大时， 的内心到边 的距离是 ．
【答案】
【分析】（1）根据正方形的性质得到 ， 根据全等三角形的性质得到
，根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据正方形的性质得到 ，推出 是等腰直角三角形，求得 ，设 ，则
，根据二次函数的性质得到当 ， 时，矩形 的面积最大，求得 ，
推出 是等腰直角三角形，设 的内心到边 的距离为 ，根据切线的性质即可得到结论．
【详解】解：（1） 四边形 为正方形，
， ．
在 和 中，
，
．
≌
，
， ．
，四边形 是矩形，
，
，
故答案为： ；
（2） 四边形 是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
设 ，则 ，
，
当 ， 时，矩形 的面积最大，
即 ，
，点 为 的中点，
，
是等腰直角三角形，
设 的内心到边 的距离为 ，
，
故 的内心到边 的距离是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的内接圆与内心，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形
的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
3．如图，AB是半圆形量角器的直径，点O为半圆的圆心，DA与半圆O相切于点A，点P在半圆上，且点P对应的示数为120°（60°），点C是 上一点（不与点P重合）．连接DO交半圆O于点E，点E对
应的示数为60°（120°）．
(1)连接PC，AC，求∠PCA的度数；
(2)连接AP，PB，求证：△DAO≌△APB；
(3)若直径AB上存在一点M，使得EM＋PM的值最小，已知半圆O的半径是2，直接写出EM＋PM的最小
值．
【答案】(1)60°；
(2)见解析；
(3)4
【分析】（1）连接AP，OP，根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半进行解答；
（2）连接AP，OP，先证ΔBOP是等边三角形，再根据圆周角定理及切线的性质得到∠OAD =∠APB，最
后证 DAO≌△APB；
（3）△作点E关于直线AB对称的对称点E'，连接E'O，PO，先证ΔΑΕΟ是等边三角形，再得到E'、O、P
在同一条直线上，最后求得EM＋PM的最小值．
【详解】（1）连接AP，OP，
根据题意可知，∠AOP = 120°
所对的圆心角为∠AOP，
∴ ∠PCA= ∠AOP = 60°；（2）连接PO，
根据题意可知，∠AOE= ∠BOP = 60°，
∵BO = PO，
∴ΔBOP是等边三角形，
∴PB = OB，∠ABP = ∠AOD = 60°，
∵AO = OB，
∴AO = BP ，
∵AB是直径，
∴∠APB = 90°，
∵AD是OO的切线，
∴∠OAD = 90°，
∴∠OAD =∠APB，
在ΔDAO和ΔAPB中
∴ ；
（3）作点E关于直线AB对称的对称点E'，连接E'O，PO，根据对称性可知EO =E'O =2，
根据题意可知∠AOE= 60°，
∵AO = EO，
∴ΔΑΕΟ是等边三角形，
∴∠AEO = 60°，
∵ΕΕ'⊥AO，
∴∠ΟEE'= ∠AEO = 30°，
∴∠EE'O =∠OEE'= 30°，
∴∠EΟE'= 120°，
∵∠AOE =∠BOP = 60°，
∴∠EOP = 180°-∠AOE-∠BOP=60°，
∴∠EOP + ∠EOE'=180°，
∴E'、O、P在同一条直线上，
∴当点M与点O重合时，EM+PM为最小值，此时EM+PM = E'P = 2+ 2 = 4．
【点睛】本题属于几何综合题，主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的
性质与判定，等腰三角形的性质，以及对称线段之和最短问题，关键是熟练掌握切线的性并能灵活应用．
【经典例题九 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
【例9】（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，已知 中， ， 为 的内切圆，
若 ，且 的面积为24，则 的周长为（ ）A．48 B． C．24 D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质及正方形的判定和性质．
设 的半径为r， 与 的三边 、 、 的切点分别为D、E、F，连接 、 、 ．
先证四边形 是正方形，则 ，根据勾股定理求出r．又由 的周长 内切圆
半径，即可求出 的周长．
熟练掌握“三角形内切圆的圆心是三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离相等”这一性质，并且
能求出内切圆的半径是解题的关键．
【详解】解：如图，设 的半径为 ， 与 的三边 、 、 的切点分别为 ，连
接 、 、 ，则 ， ， ，且 ，
又 ，
∴四边形 是正方形，
，
，
，
解得 ，
，
，
，即 的周长为 ，
故选：C．1．如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，连接 ， ， ，
， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、三角形内切圆、面积法求内切圆半径、扇形面积等知识点，求出内切圆半
径是解题的关键．
连结 、 、 ， ，设 半径为 ，利用面积公式求出内切圆半径， ，再说明
四边形 是正方形，再根据 求解即可．
【详解】解：如图：连接 、 、 ， ，设 半径为 ，
， ， ，
，
的内切圆 与AB， ， 分别相切于点 ， ， ，
， ， ，且 ，
，
四边形 是正方形，
，，
， ．
故选：C．
2．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了
一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾
（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少
步？”根据题意，该内切圆的直径为 步．
【答案】6
【分析】本题主要考查了三角形内切圆、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握三角形内切圆的性
质是解题关键．首先根据勾股定理解得 ，设内切圆的半径为 ，根据三角形面积公式求得 的值，
即可获得答案．
【详解】解：根据题意， ， ， ，
∴ ，
设内切圆的半径为 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴内切圆的直径是6步．故答案为：6．
3．已知，如图，在 中， ，请根据下列要求解决问题：
(1)利用尺规作出 的内切圆 ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若 ，内切圆 的半径为1，求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形内切圆，作角平分线，作垂线等知识．熟练掌握三角形角平分线的交点为三角
形的内切圆的圆心是解题的关键．
（1）根据三角形角平分线的交点为三角形的内切圆的圆心，确定圆心，然后作垂线确定半径，最后作圆
即可；
（2）如图1，连接 ，则 ，即 ，计算求解即可．
【详解】（1）解：如图1，作 的平分线，交点即为圆心 ，过 作 于 ，以 为
圆心， 为半径画圆， 即为 的内切圆；
（2）解：如图1，连接 ，
∴ ，即 ，
解得， ，
∴ 的周长为 ．【经典例题十 圆外切四边形模型】
【例10】（2011·陕西·中考真题）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，
点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．
若DE=2，则正方形ABCD的边长是（ ）
A．3 B．4
C． D．
【答案】C
【分析】延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD交
EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方
形的边长．
【详解】解：如图：延长FO交AB于点G，则点G是切点，OD交EF于点H，则点H是切点，
∵ABCD是正方形，点O在对角线BD上，
∴DF=DE，OF⊥DC，
∴GF⊥DC，
∴OG⊥AB，
∴OG=OH=HD=HE=AE，且都等于圆的半径．在等腰直角三角形DEH中，DE=2，
∴EH=DH= =AE．
∴AD=AE+DE= +2．
故选C．
【点睛】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长．
1．已知四边形ABCD，下列命题：①若 ，则四边形ABCD一定存在外接圆；②若四边形
ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，则 ；③若四边形ABCD内存在一点到四条
边的距离相等，则 ，其中，真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】①由 和四边内角和，可得∠B+∠D=180º，可证四边形ABCD一定存在外接圆，用
反证法过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，设BC或延长线交圆O于C'，连结DC'，根据圆内接四边
形性质可得∠A+∠DC'B=180° 由∠A+∠C=180° 可得∠DC'B=∠C这与三角形外角定理矛盾，故C在圆上即
可；
②由四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，可知A、B、C、D四点在同一圆上，由圆内接四边
形性的性质∠A+∠C=∠B+∠D=180°即可；
③由四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等， 可证AB、BC、CD、DA是圆的切线，由切线的性
质知AD=AF；BF=BG；CG=CH，DH=DE，可证AB+CD= =AD+BC．
【详解】①在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360º，
∵ ，
∴∠B+∠D=180º，
则四边形ABCD一定存在外接圆，
过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内，若点C在圆外，设BC交圆O于C'，连结
DC'，
根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC'B=180°，
∵∠A+∠C=180°，
∴∠DC'B=∠C，
这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外，类似地可证C不可能在圆内，
∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆，
若 ，则四边形ABCD一定存在外接圆是真命题，
②若四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，
∴A、B、C、D四点在同一圆上，
由圆内接四边形的性质得∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，
∴ ；
若四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，则 是真命题；
③若四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，设点O到向四边作垂线，OE⊥AD于E，OF⊥AB于
F，OG⊥BC于G，OH⊥CD于H，
由题意知：OE=OF=OG=OH，
∴E、F、G、H四点在同一圆上，
由切线的判定定理知，
AB、BC、CD、DA是圆的切线，
由切线的性质知AD=AF；BF=BG；CG=CH，DH=DE，
AB+CD=AF+BF+CH+DH=AE+BG+CG+DE=（AE+DE）+（BG+CG）=AD+BC，
则 ，
若四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，则 是真命题．
故选择：D．
【点睛】本题考查命题真假问题，涉及圆内接四边形与圆外切四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质，并会推导证明，以及圆外切四边形的性质是解题关键．
2．如图，正方形 ，正方形 和正方形 都在正方形 内，且 ． 分别与
， ， ， 相切，点 恰好落在 上，若 ，则 的直径为 ．
【答案】
【分析】连接 ，由题意可知 过点 ， ，且 ，列出方程求解即可．
【详解】解：如图所示，连接 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，
∵正方形 ，正方形 和正方形 都在正方形 内，
∴ ，
∵ 分别与 ， ， ， 相切，
∴四边形 是正方形，
∴ 过点 ， ，
四边形 为正方形，
， ， ．
．
．设 的直径为 ，则
．
，
． ，
，
（ ）
解得： ．
即 的直径为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质及正方形的内切圆，掌握相关知识是解题的关键．
3．如图①，甲，乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面 是正方形，容器乙的底面 是
矩形．如图②，已知正方形 与矩形 满足如下条件：正方形 外切于一个半径为5米的圆
，矩形 内接于这个圆 ， ．
（1）求容器甲，乙的容积分别为多少立方米？
（2）现在我们分别向容器甲，乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方
米/小时，4小时后．把容器甲的注水流量增加 立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水
2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变．直到两
个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为 时，我们把容器甲的水位高度记
为 ，容器乙的水位高度记为 ，设 ，已知 （米）关于注水时间 （小时）的函数图像如图
③所示，其中 平行于横轴．根据图中所给信息，解决下列问题：
①求 的值；
②求图③中线段 所在直线的解析式．【答案】（1）甲600立方米，乙240立方米；（2）① ；② ．
【分析】（1）根据题意画出图形即可直接得出正方形 的边长 ，即可求出容器甲的容积；连
接 ，由圆周角定理的推论可知 为直径，即 ，再在 中，根据勾股定理即可求出EF和
EH的长，即可求出容器乙的容积．
（2）根据题意可求出容器甲的底面积为 平方米，容器乙的底面积为 平方米．
①当 时，根据题意即可求出此时 的值，即得出M点坐标．由 平行于横轴，即得出N点坐标，即
6小时后高度差仍为 米，由此即可列出关于a的等式，解出a即可．
②设注水b小时后， ，根据题意可列出关于b的等式，解出b即得到P点坐标．设线段 所在
直线的解析式为 ，利用待定系数法即可求出其解析式．
【详解】（1）由图知，正方形 的边长 ，
∴容器甲的容积为 立方米．
如图，连接 ，
∵ ，
∴ 为直径．
在 中， ， ，根据勾股定理，得 ， ，
∴容器乙的容积为 立方米．
（2）根据题意可求出容器甲的底面积为 平方米，容器乙的底面积为 平方米．
①当 时， ．
∵ 平行于横轴，
∴ ， ．
由上述结果，知6小时后高度差仍为1.5米，
∴ ．
解得 ．
②设注水b小时后， ，则有 ．
解得 ，即 ．
设线段 所在直线的解析式为 ，
∵ 、 在直线 上，
∴ ，
解得： ．∴线段 所在直线的解析式为 ．
【点睛】本题考查圆的内接和外切四边形的性质，圆周角定理，勾股定理以及一次函数的实际应用．根据
题意画出图形求出两个容器的各边长和理解题意找出等量关系是解答本题的关键．
【经典例题十一 三角形内心有关应用】
【例11】（2023·安徽安庆·模拟预测）如图，点 为 的内心， ， ， ，则
的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的定义，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义．
过点 作 的延长线于点 ，根据点 为 的内心， ，可得 ，所以
，利用含 度角的直角三角形可得 的长，进而可得 的面积．
【详解】解：如图，过点 作 的延长线于点 ，
点 为 的内心， ，
，
，
，
， ，，
的面积 ．
故选：B．
1．如图，在 中， ，点 在 边上，过 的内心 作 于点 ．若 ，
，则 的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的内心，切线长定理．过点I作 ， ，垂足分别为G，F，
可得 ， ， ，设 ， ， ，再由 ，
即可求解．
【详解】解：如图，过点I作 ， ，垂足分别为G，F，
∵点I为 的内心，
∴以 为半径的圆I是 的内切圆，
∴ ， ， ，
设 ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故选：C．
2．如图，点 在 上，直径 ， ，垂足为 ，点 是 的内心， ，点 在
其上， ，则 ．
【答案】
【分析】连接 、 、 、 ，作 于 ， 于 ， 于 ， 于 ，
由圆周角定理得出 ，由勾股定理得出 ，由等面积法得出 ，由勾股定理得出
，由角平分线的性质定理得出 ，结合 ，求出
，由题意得出 ，证明四边形 为矩形，得出 ，推出 ，
再由 得出 ，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：如图，连接 、 、 、 ，作 于 ， 于 ， 于 ，
于 ，，
∵ 为直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的内心，
∴ 平分 ， 平分 ， 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ， ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、角平分线的性质定理、三角形内心、矩形的判定与性质、等
面积法等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
3．如图，等腰三角形 内接于 ， ，点 是 的内心，连接 并延长交 于点 ，
点 在 的延长线上，满足 ．试证明：
(1) 所在的直线经过点I；
(2)点D是 的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题重点考查圆周角定理、圆的内接三角形的定义、三角形的内心的定义、全等三角形的判定与
性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，
正确地作出辅助线是解题的关键．（1）连接 、 、 、 ，可证明 ，得 ，则 平分 ，再由
点 是 的内心，证明 平分 ，所以 与 在同一条直线上，即可证明 所在的直线经过
点 ；
（2）连接 ，推导出 ，则 ，再证明 ，则
，再推导出 ，则 ，由 ， ，
证明 ，则 ，所以 ，即可证明点 是 的中点．
【详解】（1）证明：连接 、 、 、 ，
， ， ，
，
，
平分 ，
点 是 的内心，
平分 ，
与 在同一条直线上，
所在的直线经过点 ．
（2）证明：连接 ，则 ，
，
，
，
，
，
， ，，
，
，
，
， ，
，
，
，
点 是 的中点．
【经典例题十二 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
【例12】（2024·湖北武汉·二模）如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，
且 ， ， ，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据切线的性质可得 ，由三角形的内角和定理可得 ，等量代
换即可判断选项B；根据切线长定理可设设 ， ， ，由
， ， ，可列出方程组，求解即可判断选项C；过
点C作 于点H，根据勾股定理得到 ，构造方程可求出 ，
得到 ，设 的半径为r，即 ，根据即可求出 的半径，从而判断选项D；由
，得到 ，用反证法即可证得 不成立，从而判断选项A．
【详解】解：∵ ， 是 的切线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故B选项正确；
∵ 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ， ， ，
设 ， ， ，
∴ ，解得 ，
∴ ， ， ，故C选项正确；
过点C作 于点H，
∴ ，
设 ，则 ，
∵在 中， ，
在 中， ，
∴ ，解得 ，∴ ，
∴ ，
连接 ， ， ， ，
设 的半径为r，即 ，
∵ 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，故D选项正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
若 成立，
则 ，这与 矛盾，
∴ 不成立，故A选项错误．
故选：A
【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，三角形的内角和定理，圆周角定理等，综合运用
相关知识是解题的关键．
1．如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，F，且 ， ，则 的
周长为（ ）A．18 B．16 C．14 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理
得到 ， ， ，根据 ，于是得到 的周长．
【详解】解：∵ 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，F，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的周长 ，
故选：A．
2．如图， 中， ， ， 是边 上的高， ， 分别是 ，
的内切圆，则 与 的面积比为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的内切圆性质，圆的面积，先用勾股定理求得 得长，再利用
内切圆性质求得圆的半径，继而求得面积计算即可．
【详解】∵ ， ， 是边 上的高，
∴ ， ，
∴ ， ，设 与 的半径分别为x，y，则
∴ ， ，
解得 ，
∴ 与 的面积比为 ，
故答案为： ．
3．阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务．
在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在 中，三边分别为 是的内切圆，
切点分别为 ．求 的半径．
思路分析：如图1．连接 ，则存 ， ，设
．
于是有 ，
∴ ．（其中S表示 的面积，p表示 的周长的一半）
用语言叙述：三角形的内切圆的半径 ．
若已知 的三边长 ，如何求 的面积 呢？
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长
求它的面积的秦九韶公式：若则秦九韶公式为 ．
例如：在 中，若 ，利用秦九韶公式求 的面积 ．
解： ，
……
任务：
(1)请完成材料中利用秦九韶公式求 面积的剩余步骤，并求出 的内切圆的半径．
(2)如图2，在 中， 为它的内切圆，则 的长为______．
【答案】(1)剩余步骤见解析， 的内切圆的半径为
(2)1
【分析】本题考查实数的混合运算，三角形的内切圆，正方形的判定和性质，正确运用材料中的公式是解
题的关键．
（1）利用二次根式及有理数的运算法则计算出 ，再根据 计算 的内切圆的半径；
（2）先利用勾股定理求出 ，进而求出 的周长的一半和 ，根据 即可求出
的内切圆的半径，再证四边形 是正方形，即可求解．
【详解】（1）解：，
又 的周长的一半 ，
的内切圆的半径 ．
（2）解：如图，连接 和 ，
在 中， ，
，
设 ，p为 的周长的一半，
则 ， ，
的内切圆的半径 ．
；
又 为 的内切圆，
， ，
，
四边形 是正方形，
．故答案为：1．
【经典例题十三 三角形内切圆与外接圆综合】
【例13】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图， 中， ， ，内心为I，连接 并
延长交 的外接圆于D，若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】设 的外接圆的圆心为O，连接 ， ， ， ，根据圆周角定理证得 是等边
三角形，再根据垂径定理可得 ， ，再根据三角形内心证得 ，
进而解决问题．
【详解】解：如图，设 的外接圆的圆心为O，连接 ， ， ， ，
在 中， ， ，内心为I，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∵I是 的内心，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性
质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证得 是等边三角形是解题的关键．
1．（2024·四川南充·一模）如图，点 是 外接圆的圆心．点 是 的内心．连接 ．若
，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，
熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
连接 ，由点 是 的内心可得 平分 ，根据角平分线的定义可得
，根据圆周角定理可得 ，根据等腰三角形的定义及三
角形内角和定理进行计算即可得到答案．
【详解】如图，连接 ，
∵点 是 的内心，
∴ 平分 ，
∵ ，
∴ ，
∵点 是 外接圆的圆心，
∴ ，
∵ ，∴ ，
故选：C．
2．（23-24九年级下·湖南娄底·阶段练习）在 中， ，在斜边 上分别截取 ，
， ，O是 的外心，如图所示，则O到 的三边距离之和是 ．
【答案】12
【分析】
本题考查三角形的外接圆与外心、三角形的内心与内接圆等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问
题，属于中考常考题型．
首先证明点O是 的内心，由 ，即可解决问题．
【详解】
解：由题意点O是 垂直平分线的交点，
， ，
的垂直平分线经过B且平分 ， 的垂直平分线经过A且平分 ，
∴O是 的内心，
则 ，
∴点O到 的三边的距离之和是 ，
故答案为12．
3．（2024·上海·模拟预测）已知 的内心为O， ．
(1)如果 的外心也为O，求证： 为等边三角形，并尺规作线段 ；
(2)延长 交边 于E，求证： = ．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，角平分线的性质，三角形的内心与外心，垂径定理等知识点，
熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）根据三角形的内心点 为 角平分线的交点，根据尺规作图作角平分线的方法作 平分
， 平分 ， ， ， ，进而证明 ，即
可证明 ，得 为等边三角形；
（2）由题意可知 平分 ，作 ， ，得 ，设 边上的高为 ，根据
，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵ 的内心为O，
∴点 为 角平分线的交点，
如图，作 平分 ， 平分 ， ， ， ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，同理， ， ，
∵ 的外心也为O，
由垂径定理可知， ， ， ，
∴ ，则 ，
∴ 为等边三角形，即为所求；
（2）证明：∵ 的内心为O，
∴点 为 角平分线的交点，
∴ 平分 ，
作 ， ，
∴ ，
设 边上的高为 ，
则 ，
∴ ，
∴ ．
【经典例题十四 圆的综合问题】
【例14】（2024·山东淄博·一模）如图， 是 的直径，半径 ， 为 上一动点， 为的中点，连接 ．若 的半径为2，则 的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】连接 ，根据垂径定理得到 ，可得点 在以 为直径的 上，结合的 半径为
2，易得 的半径为1，当点 、 、 三点共线时， 最长，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：连接 ，如下图，
∵ 是 的直径， 为 的中点，
∴ ，
∴点 在以 为直径的 上，
∵ 的半径为2，
∴ 的半径为1，
当点 、 、 三点共线时， 最长，连接 并延长，交 于点 ，
故当点 与点 重合时， 最长，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握垂径定理和圆的性质是解题的
关键．
1．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，点E是 的内心， 的延长线和 的外接圆相交于
点D，与 相交于点G．则下列结论：① ；②若 ，则 ；③若点G
为 的中点，则 ；④ ．其中不一定正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌
握三角形的内心与外心．利用三角形内心的性质得到 ，则可对①进行判断；直接利用三角
形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明 得到 ，
则可对④进行判断．
【详解】解：∵E是 的内心，
∴ 平分 ，
∴ ，故①正确；
如图，连接 ，∵E是 的内心，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点G为 的中点，
∴G一定在 上，
∴ ，故③正确；
平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
若 ，则 ，显然不可能，故④错误．故选：D．
2．（2024·江苏泰州·二模）如图， 中， ， ， ，点P为 的中点，点Q
为 边上一动点，将 绕点C顺时针旋转，点Q的对应点记为点 ，旋转过程中 的取值范围为
．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，圆的运动轨迹，过点C作 于点H，先根据勾股定理求出 的长，
利用三角形面积求出 的长，利用由于点 在以C为圆心， 为半径的圆上，能截取到最小值， 在
以C为圆心， 为半径的圆上，能截取到最大值，即可求出结果．
【详解】解：如图，过点C作 于点H，
，
，
，
，
以点C为圆心 为半径作圆，
为 的中点，
，由于点 在以C为圆心， 为半径的圆上，能截取到最小值，
的最小值为 ，
由于 上的点B距离C点最短，
能取最大值时， 在以C为圆心， 为半径的圆上，能截取到最大值，
的最大值为 ，
旋转过程中 的取值范围为
故答案为： ．
3．（2024·四川达州·模拟预测）如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 是 延长线上一
点，连接 ， ，且 是 的切线．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2) 的半径为2
【分析】本题主要考查了圆的基本性质、圆周角、切线的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题
关键．
（1）连接 ，结合“直径所对的圆周角为直角”可得 ，即有 ，再结合
切线的性质可得 ，进而可得 ，可证明 ，结合 ，易
得 ，即可证明结论；
（2）设 ，在 中，根据勾股定理可得 ，代入数值并计算，即可获得
答案．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线， 为 半径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
即 的半径为2．
1．（2023·重庆潼南·模拟预测）如图， 和 是 的两条切线， 、 是切点，连接 交 于点
、 ，连接 ，若 ， ，则 的长为（ ）A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】题目主要考查切线的性质，等角对等边及全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，根据题
意得出 ， ， ，再由等角对等边确定 ，连接 ，利用全等
三角形的判定和性质及勾股定理求解即可．
【详解】解： 和 是 的两条切线，
， ， ，
∵ ，
，
，
，
连接 ，
是 的直径，
，
，
在 和 中，
，
，
，
在 中， ， ，，
，
故选：A．
2．（23-24九年级下·吉林延边·阶段练习）如图， 是 的直径， 与 切于点 ，点 在 上，
连接 与 交于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．若 ，则 的长为
（ ）
A．2 B．2❑√2 C．3 D．2❑√3
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质，平行线的性质，根据切线的性质可得 ，再利用平行线的性质
可得 ，从而可得 ， ，然后利用等腰三角形的性质可得
，从而可得 ，进而可得 ，即可解答．
【详解】解： 与 切于点 ，
，
∵ ，
，
， ，
，
，
，
，
故选：C．
3．（24-25九年级上·全国·课后作业）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数
学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其
中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图， 中，
的长分别为 ．则可以用含 的式子表示出 的内切圆直径 ，下列表达式错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，三角形内接圆半径，令 ，根据选项中关系式计算比较判断
即可．
【详解】解： 为直角三角形，
令 ．
选项A： ，选项B： ，选项C： ，选项D：
，
只有D选项结果跟其他选项结果不一致，
表达式错误的是D选项，
故选：D．
4．（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）以正方形 的 边为直径作半圆 ，过点 作直线切半圆
于点 ，交 边于点 ，若 的周长为12，则直角梯形 周长为（ ）．
A．12 B．13 C．14 D．18【答案】C
【分析】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找
出图形的各对相等切线长．根据切线的性质知： ， ；根据 的周长可求出正方形
的边长；在 中，利用勾股定理可将 的长求出，进而可求出直角梯形 的周长．
【详解】解：设 的长为 ，正方形 的边长为 ，
与半圆 相切于点 ，
， ，
，
，
，
正方形 的边长为4；
在 中， ，即 ，解得： ，
，
直角梯形 周长为14．
故选：C．
5．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）如图， 的内切圆 与 相切于点D、E、
F，已知 ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 ， ， ， ， ， ．根据题意可知 ，且 ， ，
，再根据 求出 ，接下来设 ，根据切线长定理得出 ，
， ，求出 ，再根据勾股定理求出 ，结合 ， 可知 是 的垂
直平分线，然后根据 求出 ，进而得出答案．本题主要考查了圆内切三角形的
性质，切线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，切线长定理等，根据面积相等求出半径是解题的关键．
【详解】解：连接 ， ， ， ， ， ．
根据题意可知 ，且 ， ， ，
∵
∴
∴ 是直角三角形
∴
∴ ，
即 ，
解得 ．
设 ，
则 ， ， ，得 ，
解得 ，
．
在 中， ，
， ，
是 的垂直平分线，
．
，
即 ，
解得 ，．
故选：C．
6．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 与 相切于点 ， 与弦 相交于点 ，
，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了切线的性质，连接 ，如图，先根据切线的性质得到 ，再证明
得到 ，设 ，则 ， ，利用勾股定理得到 ，然后
解方程即可，熟知切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
【详解】解：连接 ，如图，
与 相切于点 ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
设 ，则 ， ，
，
，
解得 ，即 的长为4．
故答案为：4．
7．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）如图， 为 的直径， ， 分别与⊙O相切于点B，
C，过点C作 的垂线，垂足为E，交 于点D．若 ，则线段 的长为 ．
【答案】
【分析】如图，作 于H，证明 ， ，四边形
为矩形，可得 ，证明 ，再进一步可得答案．
【详解】解：如图，作 于H，
∵直径 于H， ， 为 的切线，
∴ ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，∵ ， 分别切 于C，B，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，关键是
通过辅助线构造直角三角形，求出 的长．
8．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知直线 与 相切于点 ，连接 交 于点 ．
（1）如图①，点 是优弧 上一点，连接 ，若 ，则 °；
（2）如图②，延长 交 于点 ，连接 ，若 ，则 °；
（3）如图③，点 是 上一点，且 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，若 ，
则 °．
【答案】 40 30 40
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握切线的性
质，圆周角定理，等腰三角形的性质．
（1）连接 由切线的性质得 ，再由圆周角定理得 ，再求解即可得出
结论；
（2）连接 由 是 的切线，可得 ，从而得出 ，再由等腰三角形的性质可得 ，再求解即可得出结论；
（3）连接 由 是 的切线，可得 ，再由 ，可得 ，从而
得出 ，再由 ，可得 ，再求解即可得出
结论．
【详解】（1）如图①，连接
是 的切线，
，
．
故答案为：40；
（2）如图②，连接
是 的切线，
，
，
，
，
又 ，
，
．故答案为：30；
（3）如图③，连接
是 的切线，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：40
9．（2024·广东·模拟预测）如图， 是 的直径， 是 上一点，过点 作 的切线交 的延长
线于点 ，连接 ，且 ，若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】根据圆周角定理及切线的性质结合 ，证明 是等腰直角三角形，再根据直角三
角形的性质即可解答．
【详解】解： 是 的直径，
，
是 的切线，
，，
，
，
，
又 ，
，
是等腰直角三角形，
为 的中线，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，证明
是等腰直角三角形是解题的关键．
10．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点 是 外一点， 分别与 相切于点 ．
（1）如图①，若 ，则 ；
（2）如图②，连接 ，若 ，则 ；
（3）如图③，点 是优弧 上一点，连接 ，若 ，则 °．
【答案】 1 56 60
【分析】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理
等知识，掌握切线长定理是解题关键．
（1）根据切线长定理求解即可；
（2）由切线可知， ， ，进而得到 ，再根据三角形内角和定理求解即可；
（3）连接 ，由切线可知， ，得出 为等边三角形，从而得到
，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：（1） 分别与 相切于点 ， ，
，
故答案为：1；
（2） 分别与 相切，
， ，
，
，
，
故答案为：56；
（3）如图，连接 ，
分别与 相切，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
．
故答案为60
11．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知 中， ．(1)作一个圆，使圆心O在 边上，且与 所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若 ，求（1）中所作的 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作 的平分线 ，交 于点O，以O为圆心，以 长为半径画圆， 即为所求
作；
（2）过点O作 于点H，根据角平分线性质得到 ，判定点H在 上， 是 的切
线，求出 ，根据 ，即可求得 ．
【详解】（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交 于点D、E，
分别以点D、E为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点F，
作射线 交 于点O，
以O为半径，以 长为半径画圆，
即为所求作；
（2）过点O作 于点H，
∵ ，∴ ，
∴ 是 的切线，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴点H在 上， 是 的切线，
∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故 的半径为 ．
【点睛】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握基本作图，圆的切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股
定理解直角三角形，三角形面积法求三角形高，是解决本题的关键．
12．（23-24九年级下·北京·开学考试）如图，在 中， ， 为 的直径， 与 相交
于点D，过点D作 于点E， 延长线交 于点F．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）根据已知条件证得 即可得到结论；
（2）如图，过点O作 于点H，则 ，构建矩形 ，根据矩形
的性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：如图，过点O作 于点H，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 ，
，
∴ ，
∴在 ，
，
∵AB是 的直径，
∴ ，
∴在 ，
．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的性质，
圆周角定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
13．（2024·湖南·模拟预测） 如图，以线段 为直径作 ，交射线 于点C， 平分 交
于点D，过点D作直线 于点E，交 的延长线于点F．连接 并延长交 于点M．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；(3)2．
【分析】（1）连接 ，根据等腰三角形的性质得到 ，根据角平分线的定义得到
，证明 ，根据平行线的性质得到 ，根据切线的判定定理证明即可；
（2）由 ，得到 ，由（1）有 ，可得 ，从而 ，
根据“等角对等边”证得 ；
（3）在 中，求得 ，又由（2）有 ，可得 是等边三角形，从而 ，
，因此在 中， ，根据“三线合一”可得 ，再求出
，证得 ，从而 ．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴直线 是 的切线；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，∴ ，
∴
（3）解：∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ．
∵ ， 平分 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查圆的性质，切线的判定，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，含
的直角三角形，平行线的判定与性质等知识．本题的综合性较强，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
14．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，四边形 是 的内接四边形， ，D为
的中点， 的延长线交于点E， 的切线 与 交于点F．
(1)求证： 是 的平分线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据圆周角定理得到 ， ，根据切线的性质得到，于是得到 ；
（2）根据 ，求得 ，得到 ，再求得 ，最后在 中，
利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ．
，
是 的直径．
是 的切线，
．
是 的中点，
，
．
，
， ，
，
是 的平分线；
（2）解： ，
，
，即 ，故 ．
，
．
在 中， ， ，
∴ ，
解得 ，
在 中， ，
∴ ， ，∴ ，
解得 ．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的边角性质，等腰三角形的判定和性质，正确
地找出辅助线是解题的关键．
15．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知直线 与 相切于点 ，连接 交 于点 ．
(1)如图①，点 是优弧 上一点，连接 ，若 ，则 ______ ；
(2)如图②，延长 交 于点 ，连接 ，若 ，则 ______ ；
(3)如图③，点 是 上一点，且 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，若 ，则
______ ．
【答案】(1)40
(2)30
(3)40
【分析】本题考查了切线的定义，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，
正确画出辅助线．
（1）连接 ，根据切线的定义得出 根据圆周角定理得出 ，即可解答；
（2）连接 根据切线的定义得出 ，几何圆周角定理得出
，即可解答；
（3）连接 易得 ，根据等边对等角得出 ，
最后根据三角形的内角和定理即可解答．
【详解】（1）解：如图①，连接 ，
是 的切线，，
．
故答案为：40．
（2）解：如图②，连接
是 的切线，
，
，
，
，
又 ，
，
．
故答案为：30．
（3）解：如图③，连接
是 的切线，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：40．
