文档内容
专题05 一次函数50道压轴题型专训（10大题型）
【题型目录】
题型一 函数的图象压轴题型
题型二 一次函数的图象与性质压轴题型
题型三 一次函数的规律探究问题
题型四 一次函数与方程、不等式的关系
题型五 一次函数的应用压轴
题型六 一次函数的翻折问题
题型七 一次函数的旋转问题
题型八 一次函数中的最值问题
题型九 一次函数中的存在性问题
题型十 一次函数的综合
【经典例题一 函数的图象压轴题型】
1．（2023·河南平顶山·二模）如图①，正方形 在直角坐标系中，其中 边在y轴上，其余各边均
与坐标轴平行，直线 沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被
正方形 的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图②所示，则图②中
b的值为（ ）
A．6 B．9 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了动点问题的函数问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图，解决问题的
关键是掌握正方形的性质以及平移的性质．由直线解析式可知直线 与直线 平行，即直线 沿 轴的负
方向平移时，同时经过 两点，再根据 的长即可得到 的值．
【详解】解：如图1，直线 中，
令 ，则 ；令 ，则 ，
∴直线 与坐标轴围成的 为等腰直角三角形，
∴直线 与直线 平行，即直线 沿 轴的正方向平移时，同时经过 两点，
由图2可得，当 时，直线 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
当 时，直线 经过点 ，
∴当 时，直线 经过 两点，
∴ ，
∴等腰 中， ，
即当 时， ，
故选：C．
2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知动点P从点A出发沿图1的边框（边框拐角处都互相垂
直）按 的路径移动，相应的 的面积 关于移动路程 的关系图
象如图2，若 ，根据图象信息回答，下列说法正确的有： （填写正确的序号）①图1中 长为 ；
②图2中m的值为9，n的值为25；
③当P点运动到F点时，y对应的值为4；
④当 的面积为2时，对应的x的值是2或24．
【答案】①③
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据函数图象可知当 时，点P在 上运动，当
，点P在 上运动，据此可判断①；则 ， ，根据当点P运
动到直线 与 交点处时，y的值为0，得到 ，据此可判断②；则当P点运动到F点时，
y对应的值为 ，据此可判断③；分当 时，当 时， 当 时，
三种情况求出x的值即可判断④．
【详解】解：由函数图象可知，当 时，y随x增大而增大，当 时，y保持不变，
∴当 时，点P在 上运动，当 ，点P在 上运动，
∴ ，故①正确；
同理可得 上，点P在 上运动，则 ，
∴ ；
当点P运动到直线 与 交点处时，y的值为0，
∴ ，故②错误；
∴当P点运动到F点时，y对应的值为 ，故③正确；
当 时， ，解得 ，当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ，
∴当 的面积为2时，对应的x的值是2或24或28，故④错误；
故答案为：①③．
3．（22-23七年级下·四川成都·期中）如图1，在正方形 中，O是 的中点，P点从A点出发沿
的路线移动到D点时停止，出发时以a单位/秒的速度匀速运动；同时Q点从D点出发沿
的路线移动到A点时停止，出发时以b单位/秒的速度匀速运动；P、Q点相遇后P点的速
度变为c单位/秒，Q点的速度变为d单位/秒运动．图2是线段 扫过的面积 与时间t的图象，图3是
线段 扫过的面积 与时间t的图象．
(1)正方形 的边长是__________；
(2)求线段 扫过的面积 与时间t的代数关系式；
(3)若 在正方形中所夹图形面积S为5，求点P移动的时间t．
【答案】(1)4
(2)
(3) 或
【分析】本题考查的是动点图象问题、图象面积的计算等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
（1）由图象知，8秒时， 相遇，此时 扫过的面积图象中间变化1次，而 的没有变化，故 、
在点 相遇，由图2知， ，即可求解；
（2）分类讨论，根据三角形面积是底乘高乘 ，梯形面积是高乘上底加上下底的和再乘 ，进行列式计
算，注意时间范围，即可作答．
（3）与（2）过程类同，再令面积为 在正方形中所夹图形面积S为5，即可列式代入数值作答．
【详解】（1）解：由图象知，8秒时， 相遇，
此时 扫过的面积图象中间变化1次，而 扫过的面积图象没有变化，故 、 在点 相遇，
设正方形的边长为 ，则
由图2知， ，解得： ，
故答案为4；
（2）由图2知，相遇后点 秒走了 的长度即4个单位，则 ，
图3： ，解得：
∵Q点从D点出发沿 的路线移动到A点时停止，出发时以b单位/秒的速度匀速运动
∴
同理 ，
当点 在 段时，
当点Q在 段时，
则
，
当点 在 段时，；
综上，
（3）解：由题意得： ，
相遇前：
当Q在 上，点P在 上时，此时
当 ，则 （舍去）；
当Q在 上，点P在 上时，此时
当 ，则
相遇后：当点 在 段时，如图，
设 的面积为 ，梯形 的面积为 ，
则正方形 的面积为 ，
，
当点 在 段时，；
当 时，
令 ， ， ；
当 时，
令 ， ， （舍去）；
综上： 或
4．（22-23七年级下·四川成都·期中）已知甲，乙两地之间有一条笔直的公路，公路长为 ，A，B两
车从甲地出发沿这条公路匀速驶向乙地，A车先出发B车后出发． 表示到甲地的距离， 表示A
车行驶的时间，s与t的关系如图1所示．
(1)A车比B车先出发 h，A车的速度为 ，B车的速度为 ；
(2)在A车整个运动过程中，当A，B两车相距 时，求t的值；
(3)A车出发的同时C车从乙地出发沿这条公路驶向甲地，C车行驶速度 与 的关系如图2所示．
当A，B，C任意两车不在同一地点时，若其中一车到另外两车的距离恰好相等，请直接写出此时t的值，
不必写解答过程．【答案】(1)2， ，
(2)t的值为 或 或 或
(3) 或 或
【分析】（1）从图1中获取时间、路程相关数据，即可求出速度；
（2）分四种情况进行讨论：当B车还没运动时，当B车在A车后面时，当A车在B车后面时，当B车到
达乙地后，分别列出方程求解即可；
（3）分不同的时间段，根据其中一车到另外两车的距离恰好相等列一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：根据图象可知，A车比B车先出发2小时．
A车的速度为 ，
B车的速度为 ．
故答案为：2， ， ．
（2）解：当B车还没运动时， 时，
解得： ；
当相遇前，B车在A车后面时， ，
解得： ；
当相遇后，A车在B车后面时
解得：
当B车到达乙地后，
，
解得： ．综上，当A，B两车相距 时，t的值为 或 或 或 ．
（3）解：当 时，A在C、B之间，则 ，
解得 ，不合题意；
当 时，A在C、B之间，则 ，
解得 ，不合题意；
当A、B相遇时，则 ，解得 ．
当A、C相遇时，则 ，解得 ．
当 时，A在B、C之间，则 ，解得 ；
当B、C相遇时， ，解得t ；
当 时，C在B、A之间，则 ，解得 ；
当 时，B在C、A之间，则
，解得 ；
当 时，A在C、B之间，则 ，
解得 ，舍去．
综上所述， 或 或 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，从函数图象中获取信息，解第二问的关键是注意进行分类
讨论，解第三问的关键是注意不同时间段内A，B，C的位置关系．
5．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，等腰三角形 中， ， ，动点从点 出发，沿路线 匀速运动，速度为 ，运动到 点停止，设运动时间为 ，
的面积为 ．
(1)求 的面积．
(2)求等腰 腰上的高．
(3)请分别求出 在边 、 上运动时， 的面积为 与运动时间 之间
的函数关系式．
(4)是否存在某一时刻 ，使得 的面积正好是 面积的 ，若存在，求出 的值；若不存在，说
明理由．
(5)当运动时间 为_______时，（直接填空） 为直角三角形．
【答案】(1)
(2)等腰 腰上的高为 ；
(3)
(4)满足条件的 或 ；
(5) 或8
【分析】（1）先求出等腰三角形底边上的高，再用三角形的面积公式即可，
（2）利用 的面积也等于腰乘以腰上的高的一半即可得出结论；
（3）利用三角形的面积公式即可；
（4）分两种情况代入（3）的函数关系式中求出时间 ；
（5）先判断出要使 是直角三角形只有 ，借助（1）（2）得出的结论即可．
【详解】（1）解：如图1，过点 作 ，
， ，
，
根据勾股定理得， ，
，
即： 的面积为 ；
（2）解：如图2，
过点 作 ，
，
，
由（1）知， ，
，
，
等腰 腰上的高为 ；
（3）解：当点 在边 时，
如图3，由运动知， ，
；
当点 在边 时，
如图4，
由运动知， ，
；
（4）解：存在，
由（1）知， ，
的面积正好是 面积的 ，
，
当点 在边 时， ，
，
当点 在边 时， ，
，
即：满足条件的 或 ；
（5）解： ， ，要使 为直角三角形，只有 ，当点 在 上时，如图2中的点 就是点 ，
即： ，
在 中， ， ，
，
，
当点 在 上时，如图1中的点 就是点 ，
，
，
故答案为： 或8．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，勾股定理，直角三角
形的性质，解本题的关键是求面积时，选用恰当底．
【经典例题二 一次函数的图象与性质压轴题型】
1．（2024八年级·全国·竞赛）将函数 的图象记为 ．若一次函数 的图象与 有交点，
则 的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象性质与不等式的关系，找出一元一次不等式是解题的关键；
根据 的非负性得 或 两种情况，分类讨论得一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
【详解】图象如图所示：设 ,当 时， ，
，
当 时， ，
，
过点 ，当y过 处，即同时过A、B时，
将 代入 得：
解得：
当 时， 的图象与 在第一象限有交点，
时，当 与 平行时， 的图象与 无交点，
，
时， 的图象与 在第二象限有交点，
故选：D
2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系 中，已知点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点 为y轴上一动点，现连接 ．记线段 所围成的
封闭区域（不含边界）为W．当 时，区域W内的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数为 个；
当区域W内有6个整点时，m的取值范围是 ．
【答案】 4 或
【分析】本题为新定义问题，考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题等知识，
理解题意，分类讨论是解题关键．当 时，根据题意画出图形，即可确定区域W内的整点个数；分
和 两种情况，分别根据区域W内有6个整点确定界点，即可求解．
【详解】解：如图1，当 时，区域W内的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数为4个；
当 时，如图2，∵点B坐标为 ，点C坐标为 ，
∴直线 解析式为 ，当 时， ；
如图3，∵点A坐标为 ，点D坐标为 ，
∴直线 解析式为 ，
当 时， ；
∴当 时，区域W内有6个整点时，m的取值范围是 ；
当 时，如图4，∵点B坐标为 ，点E坐标为 ，
∴直线 解析式为 ，
当 时， ；如图5，点A坐标为 ，点F坐标为 ，
∴直线 解析式为 ，
当 时， ；
∴当 时，区域W内有6个整点时，m的取值范围是 ；
综上所述：当区域W内有6个整点时，m的取值范围是 或 ．
故答案为：4， 或
3．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，
交 轴于点 ，点 在直线 上，直线 经过点 和点 ， 是直线 上一动点．(1)求直线 的函数表达式；
(2)若 ，求点 的坐标；
(3)若 ，求点 的坐标．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3) 或 ．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分以下两种情况讨论：①当点Q在线段 的延长线上时；②当点Q在线段 上时，将点的坐标代
入直线的方程，求解即可；
（3）分两种情况，①当点Q在线段 的延长线上时；②当点Q在线段 上时，构造一线三直角，证明
两个三角形全等，将点的坐标代入直线的方程，求解即可．
【详解】（1）解： 点 在直线 上，
，
，
点 坐标为 ，
直线 经过点 和点 ，
设 为 ，将 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
为 ；
（2）解：如图所示，
①当点Q在线段 上时，如图中点 ，
当 时， ，
，
；
，
当 时， ，
，
，
，
此时 ，
设 ，
得 ，解得 ，
，
；
②当点Q在线段 的延长线上时，如图中点 ，
此时 ，
设 ，
得 ，
解得 ，
，
；
综上所述，点Q的坐标为 或 ；
（3）解：当点Q在线段 上时，如图中点 ，
作 ，交直线 于点 ，，
，即 ，
，
即点 也是满足题意的点Q，
作 ，垂足分别为M、N，
， ，
，
，
是直角三角形，其中 ，
，
，
，
，
，
，，
，
设点 ，则 ，
，
可得 ，
解得 ，
，
，
综上所述，点Q的坐标为 或 ．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法、全等三角形的判定的性质、翻折问题、一次函数与
坐标轴的交点问题等知识，解题的关键是掌握作辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题，本题
的计算量比较大．
4．（22-23 七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，平面直角坐标系中， ， ， ，
， ．
(1)求 、 、 的坐标和 的面积；(2)如图 ， 点 在线段 上，求 与 之间的数量关系；
将点 向上平移 个单位长度至 点（点 在 内部），若 的面积等于 ，求点 的坐标；
(3)在（ ）的条件下，将线段 向右平移 个单位 ；得到线段 ，其中点 ，点 的对应点分
别为点 ，点 ．若点 在射线 上，连接 ， ， 得到 ，若 ，则
的取值范围是_______．
【答案】(1) ， ， ， ；
(2) ； ；
(3) 或 ．
【分析】
（ ）由非负性求出 ， ， ，代入即可，然后由面积公式；
（ ） 求出一次函数解析式，然后代入即可；
连接 ，通过点的平移求出 ，然后通过面积和差即可求解；
（ ）通过图象平移规律即可求解；
本题考查了非负数的性质，坐标图形的性质，平移的性质和一次函数，解题的关键是熟练掌握以上知识点
的应用．
【详解】（1）∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ；（2） 设 解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴ 解析式为 ，
∵ 在线段 上，
∴ ，整理得 ；
如图，连接 ，
由题意得 ，
∵ ，
∴ ，整理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；（3）同（ ） 理得： 解析式为 ，由题意将线段 向右平移 个单位，
∴ 解析式为 ，
∵点 在射线 上，
∴ ，
过 作 轴于点 ，过 作 轴于点 ，
当点 在 轴上方时，如图，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
当交点 在 轴下方时，如图，同理 ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
综上可知： 或 ．
5．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 与直线 ：
交于点 ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．(1)求直线 的函数表达式；
(2)在平面直角坐标系中有一点 ，使得 ，请求出点 的坐标；
(3)点 为直线 上的动点，过点 作 轴的平行线，交 于点 ，点 为 轴上的一动点，且 为
等边三角形，请直接写出满足条件的点 的横坐标．
【答案】(1)直线 的函数表达式为
(2)点 的坐标为 或
(3)满足条件的点 的横坐标为 或
【分析】（1）先求出点 的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出 ，过点 作 ，当点 在直线 上时， ，求出直线 的解析式，
即可得出点 的坐标，当点 在 上方时，此时点 所在直线到 的距离与 到 的距离相等，故此
时点 所在直线解析式为 ，代入计算即可得出答案；
（3）设点 ，则 ，分两种情况：当 时，作 于 ；当 时，作
于 ，分别利用等边三角形的性质，结合勾股定理，计算即可得出答案．
【详解】（1）解： 点 在直线 ： 上，，即 ，
直线 ： 过点 ，点 ，
，
解得： ，
直线 的函数表达式为 ；
（2）解： 直线 的函数表达式为 ，
当 时， ，
解得 ，
，
如图，过点 作 ，当点 在直线 上时， ，
，
设直线 的解析式为： ，
直线 经过 ，
，
解得： ，
直线 的解析式为： ，
当 时， ，
；如图，当点 在 上方时，此时点 所在直线到 的距离与 到 的距离相等，
，
故此时点 所在直线解析式为 ，
当 时， ，
故 ；
综上所述，点 的坐标为 或 ；
（3）解：设点 ，则 ，
如图，当 时，作 于 ，
，
则 ， ，
是等边三角形， ，
， ，
，
，解得： 或 （不符合题意，舍去），
此时点 的横坐标为 ；
如图，当 时，作 于 ，
，
则 ， ，
是等边三角形， ，
， ，
，
，
解得： 或 （不符合题意，舍去）
此时点 的横坐标为 ，
综上所述，满足条件的点 的横坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活
运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．【经典例题三 一次函数的规律探究问题】
1．（23-24八年级上·河南郑州·期中）如图，直线 与直线 相交于点 ．直线
与 轴交于点 ，一动点 从点 出发，先沿平行于 轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，改为
垂直于 轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，再沿平行于 轴的方向运动，到达直线 上的点 处
后，又改为垂直于 轴的方向运动，到达直线 的点 处后，仍沿平行于 轴的方向运动，…，照此规律
运动，动点 依次经过点 ，则当动点 到达 处时，运动的总路径的
长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、探究规律，正确分析出相关规律是本题解题关键．
点， ， 所在直线与y轴平行，横坐标相同，根据变化的情况分析可得：当动点 到达点 处时，运动
的总路径的长为 ，据此即可求解．
【详解】解：由直线 ： 可知， ，
由平行于坐标轴的两点的坐标特征和直线 、 对应的函数表达式可知，
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，…，由此可得， ，
∴当动点 到达点 处时，运动的总路径的长为 ，
∴当点 到达 处时，运动的总路径的长为 ．
故选：B．
2．（2024·山东临沂·一模）如图，已知直线 ，直线 和点 ，过点 作 轴的平行
线交直线 于点 ，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，过
点 作 轴的平行线交直线 于点 ，按此作法进行下去，则点 的横坐标为 ．
【答案】
【分析】点 ， 在直线 上，得到 ，求得 的纵坐标 的纵坐标 ，得到 ，即
的横坐标为 ，同理， 的横坐标为 ， 的横坐标为 ， ， ， ，
，求得 ，于是得到结论．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，
正确地作出规律是解题的关键．
【详解】解： 点 ， 在直线 上，
，
轴，
的纵坐标 的纵坐标 ，在直线 上，
，
，
，即 的横坐标为 ，
同理， 的横坐标为 ， 的横坐标为 ， ， ， ， ，
，
的横坐标为 ，
的横坐标为 ，
的横坐标为 ，
的横坐标为 ，
∴点 的横坐标为
故答案为：
3．（2024·陕西·一模）问题探究：
（1）将一直角梯形 放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，
梯形 的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形 分成面积相等的两部分；
（画出一种即可）
（2）如图2， ，点A、D在 上，点B、C在 上，连接 、 ，交于点O，连接 、 ．试
说明： ；
问题解决：
（3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形 是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y轴
正半轴上， 边在x轴正半轴上， 平行于x轴， 的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需
求，需在 上找一点Q，使 将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿
修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）．
①请你利用有刻度的直尺在图中画出 的位置，并简要说明作图过程；②若点A的坐标为 ， ， ， ， ，请求出直线 的解析式．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②直线 的解析式为
【分析】本题考查同底等高的三角形的面积关系、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数平移的性质，
熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据网格和梯形的面积公式求解即可；
（2）根据 ， ，即可求解；
（3）①如图，连接 ，平移 ，使其经过点B，交x轴于点M，连接 ，交 于点N，量出 的
中点Q，连接 ，由 ，可得 ，从而可得 ，可证 ，
再由 平分梯形 的面积，即可求解；
②由题意可得 ，利用待定系数法求得直线 的解析式为 ，再根据一次函数平移的规律
可设直线 的解析式为 ，再把 代入求得直线 的解析式为 ，从而可得
，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：（1）直线l的位置如图所示．（答案不唯一），
理由如下：如图，直线l分别交 、 于点E、F，
∵ ， ，∵ ；
（2）设 、 之间的距离为h，∵ ，
，
，
．
（3）①如图，连接 ，平移 ，使其经过点B，交x轴于点M，连接 ，交 于点N，
量出 的中点Q，连接 ， 的位置如图所示．
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
，
∵ 平分梯形 的面积，
∴ 平分五边形 的面积，
②由题意得， ， ， ， ， ，
．
设直线 的解析式为 ，
将 ， ，代入得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，故可设直线 的解析式为 ，
将 代入，得 ，∴直线 的解析式为 ．
当 时， ，解得 ．
．
，
设直线 的解析式为 ，
将 ， ，代入得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
4．（2023·山东青岛·二模）含 角的菱形 ， ， ，……，按如图所示的方式放
置在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，……，和点 ， ， ， ，……，分别在直线 和
轴上．已知 ， ，【探究】
(1)点 的坐标是______；
(2)点 的坐标是______；
(3)点 的坐标是______（ 为正整数）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过 作 轴于 ，由菱形的性质可证 是等边三角形，由等边三角形的性质可
得， ，再通过勾股定理可求 ，即可求得 的坐标；
（2）过 作 轴于 ，四边形 是菱形可证， 是等边三角形，由等边三角形的性
质可得， ，再通过勾股定理可求 ，即可求得 的坐标；
（3）由（1）（2）的证明，同理可得 ， ，进而可得 ．
【详解】（1）过 作 轴于 ，则 ，四边形 是含 的菱形，
，
是等边三角形，
，
， ，
， ，
， ，
，
在 中， ，
．
故答案为： ．
（2）过 作 轴于 ，则 ，
四边形 是含 的菱形，
，是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形， ，
，
，
在 中， ，
；
故答案为： ．
（3）由（1）（2）同理可得， ， ， ，则点 ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是由特殊到一般，
得到 的坐标规律；
5．（21-22八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，点 在x轴上，且 ，过点 作 轴交直线
于点 ；过点 作 直线 交x轴于点 ；过点 作 轴交直线 交x轴于点 ；过
点 作 直线 交x轴于点 ；过点 作 轴交直线 于点 ，……，按照此方法一直作
下去．(1)写出点 的坐标 ；写出点 的坐标 ；写出点 的坐标 ；
(2)按照上述规律，点 的坐标是 ．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】（1）先由 得到点 的坐标，然后求得点 的坐标，再结合等腰直角三角形的性质得到点
、点 的坐标；
（2）根据点 、 、 的坐标得出点 的规律，从而得到点 的坐标．
【详解】（1）解： ，
点 的坐标为 ，
轴交直线 于点 ，当 时， ，
点 的坐标为 ，
，
为等腰直角三角形，
，
直线 交 轴于点 ，
，， ，
为等腰直角三角形，
，
，
，
轴交直线 交 轴于点 ，当 时， ，
点 的坐标为 ，
同理可得，点 的坐标为 ，
故答案为： ， ， ．
（2）解：由 ， ， 可得 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过等腰直角三
角形的性质得到系列点 的坐标得出规律．
【经典例题四 一次函数与方程、不等式的关系】
1．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数 和
，无论 取何值，始终有 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数综合问题， 充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键．先判断两直线平行，始终有 ，求解当 过 时， ，再利用数形结合的方法解题
即可．
【详解】解：由题意可知：∵一次函数 的图象过定点 ，
一次函数 过定点 ，
∵无论 取何值，始终有 ，
∴两直线平行，才会始终有 ，
∴ ，
当 过 时，
∴ ，
解得： ，
此时两条直线相交，
如图，
∴ 且 ，
当 时，如图，不符合题意；故选：D
2．（2023·四川乐山·模拟预测）定义：我们把一次函数 与正比例函数 的交点称为一
次函数 的“不动点”．例如求 的“不动点”：联立方程 ，解得 ，
则 的“不动点”为 ，
（1）由定义可知，一次函数 的“不动点”为 ；
（2）若直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，且直线 上没有“不动点”，若
点为 轴上一个动点，使得 ，求满足条件的P 点坐标
【答案】 或
【分析】本题是一次函数的综合题，理解定义，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．
（1）根据题意，联立 ，即可求解；
（2）由题意可知直线 与直线 平行，则有 ，在求出 ， ，设 ，由
，可得 ，即可 点坐标．
【详解】解：（1）联立 ，解得 ，
一次函数 的“不动点”为 ，
故答案为： ；
（2） 直线 上没有“不动点”，
直线 与直线 平行，
，
，
， ，
设 ，
，
，
，
，
，
或 ，
或 ．
故答案为： 或
3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象 与 轴交于点 （ ），
与 轴交于点 ，与一次函数 的图象 交于点 ．(1)求 的函数表达式；
(2)直线 与 轴交于点 ，求 的面积；
(3)如图，已知长方形 ， ， ， ，矩形 的边 在 轴上平移，若矩形
与直线 或 有交点，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)当 时，矩形 与直线 有交点，当 时，矩形 与直线 有交点
【分析】（1）利用待定系数法求出 的解析式；
（2）根据点 是直线 和直线 的交点，求出 点坐标，利用面积计算公式即可求解；
（3）分别求出矩形 在平移过程中，当点 在 上、点 在 上、点 在 上、点 在 上时 的值，
即可得出结论．
【详解】（1）解：设直线 的表达式 ，
∵直线 过点 （ ， ）和点 ，
∴ ，解得 ．
∴直线 的表达式为 ．
（2）解：∵点 是直线 和直线 的交点，联立得：
，
解得 ，
则点 的坐标为 ，
令 中， ，则 ，
∴
∴ ；
（3）解：当矩形 的顶点 在 上时， 的值为 ，
矩形 向右平移，当点 在 上时，
，
解得 ，即点 ，
∴ 的值为 ，矩形 继续向右平移，当点 在 上时， 的值为 ，
矩形 继续向右平移，当点 在 上时， ，
解得 ，即点 ，
∴ 的值 ，
综上所述，当 时，矩形 与直线 有交点，当 时，矩形 与直线 有交点．
【点睛】本题主要考查求一次函数，两条直线相交或平行、图形的平移以及矩形的性质，掌握待定系数法
及求出各临界点时 的值，就可以得到 的取值范围是解题的关键．
4．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）【模型建立】
如图1，等腰直角三角形 中， ，直线 经过点C，过A作 于点D，过
B作 于点E，易证明 （无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就
利用这个模型来解决一些问题：
【模型运用】
（1）如图1，若 ，则 的面积为 ；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，等腰 ，点C的坐标为 ，A点的坐
标为 ，求 与y轴交点D的坐标；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，直线 函数关系式为： ，点 ，在直线 上是否存在点
B，使直线 与直线 的夹角为45°？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．【模型拓展】
（4）如图4，在平面直角坐标系中，已知点 ，P是直线 上一点，将线段 延长至点Q，
使 ，将线段 绕点B顺时针旋转45°后得 ，直接写出 的最小值．
【答案】（1）5；（2） （3） ， ； （4）
【分析】（1）根据 证明 可得 ，在 中，利用勾股定理
解得 的长，最后根据三角形面积公式解题；
（2）作 轴于点 ，根据题意，可证 ，再由全等三角形对应边相等的性质
得到 ，结合点 的坐标分别解得 的长，继而得到 的坐标，再由待定系数法
解得直线 的解析式，令 即可解题；
（3）画出符合题意的示意图，可知有两个点符合，设 ，过点 作直线平行 轴，过点 作直线
平行 轴，两直线相交于点 ，由点 坐标表示线段 和 ，根据 可证 ，再
由全等三角形对应边相等的性质解得 的长，继而得到点 的坐标，最后将点 代入直线
上即可解题；（4）过点 作 于点 ， 于点 ，连接 ，设 ，由全等三角形的判定与性质
得到 ，再由全等三角形对应边相等得到 ，由此解得点 的坐标，
继而推出点 在直线 上，过点 作直线 的垂线，根据垂线段最短及等积法解题即可.
【详解】解：（1）根据题意得，
在 与 中，
中，
中，
，
故答案为： ；
（2）作 轴于点 ,
在 与 中，设直线 的解析式为： ，代入点 得，
解得：
直线 的解析式为：
令 得， ，
；
（3）存在，有两个点符合题意， ，理由如下：
设 ，过点 作直线平行 轴，过点 作直线平行 轴，两直线相交于点 ，如图，由题意得
在 中，
即
在直线 上，
（4）过点 作 于点 ， 于点 ，连接 ，如图，设 ，
由题意可知
点 在直线 上，
过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，根据垂线段最短原理，可知此时线段 最短，如图，
令
解得直线 与 轴的交点
令
解得直线 与 轴的交点
由等积法得，，
故答案为： .
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式、垂线段最短等
知识，是重要考点，难度较大，正确作出辅助线、掌握相关知识是解题关键.
5．（2024·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标系中，点 在直线 上，过点A的直线
交y轴于点 ．
(1)求m的值和直线 的函数表达式．
(2)若点 在直线 上，点 在直线 上，当t取任意实数时，代数式 的值
为定值，求k的值，并求出这个定值．
【答案】(1)
(2) ，定值为【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质．熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与
性质，是解题的关键．
（1）把点A的坐标代入直线 可求得m值，然后设直线 的函数解析式为 ，进而根据
待定系数法可进行求解函数解析式；
（2）由（1）及题意得 ， ，则有 ，然后根据代数式
的值为定值即可求解．
【详解】（1）把点 代入 ，
得， ．
设直线的函数表达式为 ，
把点 ， 代入，得， ，
解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ．
（2）∵点 在直线 上，点 在直线 上，
∴ ， ，
∴ ．
∵ 的值为定值，
∴ ，
∴ ， ．
故k的值为 ，这个定值为 ．【经典例题五 一次函数的应用压轴】
1．（23-24八年级上·山西运城·期末）已知：如图，直线 分别与 轴， 轴交于 、 两点，从
点 射出的光线经直线 反射后再射到直线 上，最后经直线 反射后又回到 点，则光线所经
过的路程是（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的综合题，主要利用物理中反射角等于入射角，以及形成三角形之间的关系
来解．由题意由题意知 的点 ，点 ，也可知点 ，设光线分别射在 、 上的
、 处，由于光线从点 经两次反射后又回到 点，反射角等于入射角，则 ；
．由 而求得．
【详解】解：由题意知 的点 ，点
则点
设光线分别射在 、 上的 、 处，由于光线从点 经两次反射后又回到 点，
根据反射规律，则 ； ．
作出点 关于 的对称点 ，作出点 关于 的对称点 ，则：， ，
， ， ， 共线，
，
即 ；
．
故选：A
2．（2023·北京门头沟·一模）某校计划租用甲，乙，丙三种型号客车送师生去综合实践基地开展活动．每
种型号客车的载客量及租金如下表所示：
客车型号 甲 乙 丙
每辆客车载客量/人 20 30 40
每辆客车的租金/元 500 600 900
其中租用甲型客车有优惠活动：租用三辆或三辆以上每辆客车的租金打8折．现有280名师生需要前往综
合实践基地，要求每种型号的客车至少租1辆，且每辆车都坐满．
（1）如果甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是2，4，3，那么租车的总费用为 元；
（2）如果租车的总费用最低，那么甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是 ．
【答案】 6100 3，6，1或9，2，1或6，4，1
【分析】（1）列式计算即可求解；
（2）设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c，分① ， 或② ，
或③ ， 三种情况讨论，利用a，b，c都是正整数以及一次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）依题意得 (元)；
故答案为：6100；（2）设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c，租车的总费用为y，
则 ，即 ，
整理得 ，
∵a，b，c都是正整数，
∴则 必须是3的倍数，
∴① ， 或② ， 或③ ， ；
分类讨论，
①当 ， ， 时， ，不合题意，舍去；
当 时， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴c最小时，y最小，即 时，最小值为5700元，此时 ；
②当 ， ， 时，由（1）得 ，不合题意，舍去；
当 时， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴c最小时，y最小，即 时，最小值为5700元，此时 ；
③当 ， 时， ， ， 或 ， 或
当 ， ， 时， ，不合题意，舍去；
当 ， 或 时， ；
综上，如果租车的总费用最低，那么甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是3，6，1或9，2，1
或6，4，1．
故答案为：3，6，1或9，2，1或6，4，1．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，正确的分类是解题的关键，注意租用甲型客车有优惠活动．
3．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）元旦前夕，某盆栽超市要到盆栽批发市场批发A，B两种盆栽共300
盆，A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，付款总额不超过3320元，两种盆栽的批发价和零售价如下表．设
该超市采购x盆A种盆栽．
品名 批发市场批发价：元/盆 盆栽超市零售价：元/盆A种盆栽 12 19
B种盆栽 10 15
(1)求该超市采购费用y（单位；元）与x（单位；盆）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元；
(3)受市场行情等因素影响，超市实际采购时，A种盆栽的批发价每盆上涨了 元，同时B种盆栽
批发价每盆下降了m元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是
1460元，求m的值．
【答案】(1)
(2)商场能获得的最大利润为1820元
(3)
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、解一元一次方程，理解题意，正确列出函
数解析式是解答的关键．
（1）根据题意列函数解析式和不等式组求解即可；
（2）设利润为W，根据题意得到总利润 ，利用一次函数的增减性质求解即可；
（3）设利润为W，根据题意得到总利润 ，分 和 ，利用一次函
数的增减性质求解即可．
【详解】（1）解：该超市采购x盆A种盆栽，则采购 盆B种盆栽，
根据题意， ，
由题意得： ，
解得： ，
答：该商场的采购费用y与x的函数关系式为 ；
（2）解：设总利润为W，根据题意得：
，
∵ ，∴W随x的增大而增大，又 ，
∴当 时，W最大，最大值为1820，
答：商场能获得的最大利润为1820元；
（3）解：设总利润为W元，根据题意得：
，
当 即 时，W随x的增大而增大，
又∵ ，
∴当 时，W有最小值为 ，
解得 ，舍去；
当 即 时，W随x的增大而减小，
又∵ ，
∴当 时，W有最小值为 ，
解得： ，
综上分析可知，满足条件的m值为2．
4．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，
售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少
于60件．设购进甲种服装 件，两种服装全部售完，商场获利 元．
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元?
(3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠 元的价格进行优惠促销活动，乙种服装
每件进价减少 元，售价不变，且 ，若最大利润为4000元，求 的值．
【答案】(1)
(2)当 时取最大值4500元
(3)【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意建立函数关系
式是求解本题的关键．
（1）由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式．
（2）先求解自变量x的取值范围，再根据一次函数增减性求最值．
（3）先建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，建立关于a，b的方程组求值即可．
【详解】（1）解：
（2）解：由题意得： ，
∴ ，
∵ 中， ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， (元)．
（3）解：∵ ，
∴ ，
由题意得：
．
∵ ，
∴当 时， ，
∴y随x的增大而增大，
∴当 时， ，
∴ ，符合题意．
当 时， ， 不合题意．
当 时， ， y随x的增大而减小．∴当 时， ， ∴ ，不合题意，舍去．
综上， ．
5．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每
台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000
元购进空调的数量相等．
(1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少；
(2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，
要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并
确定获利最大的方案以及最大利润；
(3)实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（ ）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你
根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．
【答案】(1)每台空调的进价为 元，则每台电冰箱的进价为 元
(2)3种方案；购买电冰箱34台，购进空调 台，利润最大，为 元
(3)见解析
【分析】（1）设每台空调的进价为 元，根据每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用
80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等，列出分式方程进行求解即可；
（2）根据购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，列出不等式组，进行求解，得
到方案，求出 关于 的解析式，利用一次函数的性质，求最值即可；
（3）列出 关于 的一次函数，根据一次函数的性质，求最值即可．
本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用．读懂题意，正确的列出分式方程，
一元一次不等式组，一次函数的解析式，是解题的关键．
【详解】（1）解：设每台空调的进价为 元，则每台电冰箱的进价为 元，由题意，得：
，
解得： ，
经检验 是原方程的解；
∴ ；
答：每台空调的进价为 元，则每台电冰箱的进价为 元；（2）设购进电冰箱x台，则购进空调 台，由题意，得：
，
解得： ，
∵ 为整数，
∴ ，共3种方案；
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
∴当 时， 有最大值为 元，
即：购买电冰箱34台，购进空调 台，利润最大，为 元．
（3）由题意，得： ，
当 ，即： ， 随 的增大而增大，
∴当购买电冰箱36台，购进空调 台，利润最大，
当 ，即： ， 随 的增大而减小，
∴当购买电冰箱34台，购进空调 台，利润最大，
当 ，即： ，每种方案的总利润相同，均为 元．
【经典例题六 一次函数的翻折问题】
1．（23-24八年级上·广东佛山·期中）已知，如图，直线 ： ，分别交平面直角坐标系于
两点，直线 ： 与坐标轴交于 两点，两直线交于点 ；点 是 轴上一动点，
连接 ，将 沿 翻折， 点对应点刚好落在 轴负半轴上，则 所在直线解析式为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法，折叠，勾股定理，过点 作 轴于 ，过
点 作 轴于 ，先求出点 的坐标，再求出直线 的解析式，然后求出点 坐标，得到 ，
设点 的坐标为 ，利用勾股定理可求出 ，由待定系数法即可求出 所在直线解析式，求出
点 的坐标是解题的关键．
【详解】解：如图，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，点 为点 在 轴负半轴上的对
应点，
把 代入直线 ： 得，
，
∴ ，
∴ ，
把 代入直线 ： 得，
，∴ ，
∴直线 解析式为 ，
∴点 坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴设点 的坐标为 ，
则 ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
设 所在直线解析式为 ，把 、 代入得，
，解得 ，
∴ ，
故选： ．
2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，直线 与坐标轴相交于点A，B，点 ，点P在
线段 上运动，连接 ．将 沿 翻折，使A点落在点 处，若 平行于坐标轴时，则
．
【答案】 的长为 或2或10
【分析】分三种情况： 平行于y轴时，由平行线的性质及等腰三角形性质、对称性质即可求解； 平
行于x轴时，过点C作 于N，设 交y轴于点M；设 ，点 ， 则可得 ，
M的坐标，从而求得 ，再由折叠性质得 ，可得 ；由
求得a与m的关系；再由勾股定理得 ，从而可
求得m及a的值；当P靠近A且 平行于x轴时，延长 交y轴于点M，求法与上面 平行x轴的求
法类似．
【详解】解：当 平行于y轴时，如图，
则 ，
由折叠知： ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
对于 ，令 ，得 ；令 ，得 ；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
平行于x轴时，如图，过点C作 于N，设 交y轴于点M；
设 ，点 ，则 ，
则 ， ，
∴ ， ；
由折叠性质知： ，
∵ ， ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
即 ；
另一方面， ，
即 ，因 ，故 ；
把 代入 中，得： ，
解得： （舍去），
∴ ，
即 ；
当P靠近A且 平行于x轴时，延长 交y轴于点M，此时M位于点C上方，如图，
设 ，点 ，则 ，
则 ， ，
∴ ， ；
由折叠性质知： ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
即 ；
另一方面， ，即 ，
因 ，故 ；
把 代入 中，得： ，
解得： （舍去），
∴ ，
即 ；
综上， 的长为 或2或10．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行线的性质，等腰三角形的性质角平分线的性质，
勾股定理，等积法，利用等积法是解题的关键与难点．
3．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点A在 轴的正
半轴上，点 在 轴的正半轴上，线段 的长分别是 且满足 ，点 是线段
上一点，将 沿直线 翻折，点 落在矩形的对角线 上的点 处．
(1)求 的长；(2)求直线 的解析式；
(3)点 在直线 上，在 轴上是否存在点 ，使以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)
(3)点N的坐标为 或 或 ．
【分析】（1）根据非负数的性质求得m、n的值，即可求得 、 的长；由勾股定理求得 ，由
翻折的性质可得： ， ， ，在 中，由勾股定理可得
，解方程求得x的值，即可得 ，
（2）由（1）可得点D的坐标为 ，再利用待定系数法求得直线 的解析式即可；
（3）过E作 ，在 中，根据直角三角形面积的两种表示法求得 的长，再利用勾股定理
求得 的长，即可求得点E的坐标，利用待定系数法求得 的解析式，再根据平行四边形的性质分两
种情况求得点N的坐标即可．
【详解】（1）解：∵线段 的长分别是 且满足 ，
∴ ， ，
∴ ， ；
设 ，
由翻折的性质可得： ， ， ，
而 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理可得： ，
即 ，
解得： ，
∴ ，（2）由（1）点D的坐标为 ，
设 的解析式为： ，
把 ， 代入解析式可得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ；
（3）过E作 ，在 中， ，
即 ，
解得： ，
在 中， ，
∴点E的坐标为 ，
设直线 的解析式为： ，
把 ， 代入解析式可得： ，
解得： ，
所以 的解析式为： ，
把 代入 的解析式 ，可得： ，此时 ，
即 ，
当以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形且 为边时，
∴ ，
∴ ， ，
∴点N的坐标为 或 ．
如图，当 为平行四边形的对角线时，
设 ， ，而 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
综上： 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了非负性、用待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、平行
四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过求一次函数
的解析式和平行四边形的性质才能得出结果．
2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，过
做 轴于 点，连接 ；(1)求 的长度；
(2)如图2，将 沿射线 翻折，使点 落在边 上的 点处，折痕 与 交于点 ，连接 .
过点 作 ，垂足为 ，且 ，动点 从点 出发，以每秒 个单位沿射线 运
动，设点 的运动时间为 ，求 的面积 与 的关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点 作 ，交 于点 ，在点 的运动过程中，当 的面积
等于 的面积时，求 的值．
【答案】(1)
(2) 或
(3)当 或 时， 的面积等于 的面积
【分析】（1）根据题目条件可得 ，再由勾股定理可得结果；
（2）由翻折的性质可知 ，进而可得 ，设
然后根据勾股定理求得 的长，然后利用勾股定理可求 的值，再分当点 在线段 上时及当点 在
线段 延长线上时两种情况讨论求解即可；
（3）先求得 ，然后根据勾股定理求得 ，最后列方程求解即可．
【详解】（1）∵点A的坐标为 ， 轴于 点，
∴ ，
在 中，
∴ ，
∴ ；
（2）由轴对称的知识可知可知 ，
∴ ，
∴ ，设 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
，
在 中，
，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴设 ，
在 中， ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
分情况讨论：
①当点 在线段 上时，
，
∴ ，
∴ ，
②当点 在线段 延长线上时，，
，
综上所述， 或 ；
（3）由（2）可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积等于 的面积，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
综上所述，当 或 时， 的面积等于 的面积.
【点睛】此题考查了坐标中动点的问题、勾股定理、折叠及一次函数与几何结合问题等知识，解决本题的
关键熟练掌握坐标与图形、勾股定理、折叠的性质及一次函数与几何结合问题．3．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系 中，直线 分别交 ，
轴于点 ， ，在 轴负半轴有一点C，满足 ，作直线 ，点D是y轴正半轴上的一个动点．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)过点D作y轴的垂线，分别交直线 ， 于点 ， ，若 ，求点D的坐标；
(3)如图2，连接 ，将 沿直线 进行翻折，翻折后点O的对应点为点E，连接 ，若 为
直角三角形，求 的长度．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3) 或 或8．
【分析】（1）设直线 的解析式为 ，用待定系数法即可得直线 解析式；
（2）分类讨论：点D在线段 上，点D在线段 延长线上，把三个点的坐标表示出来列方程即可求解；
（3）点D在y轴正半轴上运动时，分三种情况： ，分别画出图形，
结合图形，运用勾股定理、矩形、正方形的性质及判定求解即可．
【详解】（1）解：令 ，
，则 ，
令 ，即 ，
，则 ， ，，
，
，
设直线 的函数表达式为 ，
将 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
直线 的函数表达式为 ；
（2）解：①点D在线段 上时，如下图所示，
设 ，则 ，
，
，
，
，
的坐标为 ；
②点D在线段 延长线上时，如下图所示：设 ，则 ，
，
，
，
，
的坐标为 ；
综上所述，若 ，D的坐标为 或 ；
（3）解： ， ，
，
设 ，则 ，
将 沿直线 进行翻折得到 ，
， ， ，
①当 时，如图所示：，此时点A、E、B三点在一条直线上，点E在直线 上，
， ，
在 中， ，
即 ，
解得 ；
②当 时，如图所示：
作 于点F，
，
四边形 是矩形，
，
在 中， ，
，
在 中， ，即 ，
解得 ；
③当 时，如图所示：
，
四边形 是正方形，
即 ，
；
综上所述，当 为直角三角形， 的长度为 或 或8．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及矩形、正方形性质及判定、勾股定理、折叠等知识，解题的关
键是用含参数的代数式变式相关点坐标和相关线段的长度，运用分类讨论、数形结合灵活解题．
【经典例题七 一次函数的旋转问题】
1．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）如图，直线y＝2x+2与直线y＝﹣x+5相交于点A，将直线y＝2x+2
绕点A旋转45°后所得直线与x轴的交点坐标为（ ）A．（﹣8，0） B．（3，0）
C．（﹣11，0），（ ，0） D．（﹣10，0），（2，0）
【答案】C
【分析】先求出点A的坐标；设直线y=2x+2与x轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，可求出AC和BC
的长；若将直线y=2x+2绕点A旋转45°，则需要分两种情况：当直线AB绕点A逆时针旋转45°时，如图
1，设此时直线与x轴的交点为P；过点B作BD⊥AB交直线AP于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，可得
△ACB≌△BED，进而可得点D的坐标，用待定系数法可求出直线AP的表达式，进而求出点P的坐标；当
直线AB绕点A顺时针旋转45°时，如图2，设此时直线与x轴的交点为Q，延长DB交AQ于点F，则
△ADF是等腰直角三角形，根据中点坐标公式可求出点F的坐标，进而求出直线AQ的表达式，最后可求
出点Q的坐标．
【详解】解：令2x+2=-x+5，解得x=1，
∴A（1，4）．
设直线y=2x+2与x轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，
∴OC=1，AC=4，
令y=2x+2=0，则x=-1，
∴OB=1，
∴BC=2．
将直线y=2x+2绕点A旋转45°，需要分两种情况：
①当直线AB绕点A逆时针旋转45°时，如图1，设此时直线与x轴的交点为P，此时∠BAP=45°，
过点B作BD⊥AB交直线AP于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，∴∠ACO=∠ABD=90°，
∴∠ABC+∠DBE=∠DBE+∠BDE=90°，
∴∠ABC=∠BDE，
∵∠ABD=90°，∠BAP=45°，
∴∠BDA=∠BAP=45°，
∴AB=BD，
∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BC=DE=2，BE=AC=4，
∴OE=3，
∴D（3，-2），
设直线AP的解析式为y=kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线AP的解析式为y=-3x+7，
令y=0，则x= ，
∴P（ ，0）；
②当直线AB绕点A顺时针旋转45°时，如图2，设此时直线与x轴的交点为Q，延长DB交AQ于点F，则∠BAQ=45°，
∵∠ABF=∠ABD=90°，
∴∠BAF=∠BFA=45°，
∴BF=BA=BD，即点B为DF的中点，
∵B（-1，0），D（3，-2），
∴F（-5，2），
设直线AQ的解析式为：y=mx+n，
∴ ，解得 ，
∴直线AQ的解析式为：y= x+ ．
令y=0，则x=-11，
∴Q（-11，0），
综上所述，将直线y=2x+2绕点A旋转45°后所得直线与x轴的交点坐标为（-11，0），（ ，0）．
故选：C．
【点睛】本题属于一次函数与几何综合题目，涉及全等三角形的性质与判定，图象的交点，等腰三角形的
性质等内容，解题的关键是根据45°角作出垂线构造全等．本题若放在九年级可用相似解决．
2．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，现将直
线 绕点 按逆时针方向旋转 交 轴于点 ，则点 的坐标是 ．【答案】
【分析】过 作 轴于 ，过 作 ，证明 是等腰直角三角形，则有 ，再通
过角度的和差，证明 ，根据性质得出点 ，最后通过待定求出直线 的函数
表达式即可．
【详解】解：如图，过 作 轴于 ，过 作 ，交直线 于D，作 轴于 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的函数表达式为： ，
把 ， 代入得 ，
解得 ，
∴直线 的函数表达式为： ，
令 ，则 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了一次函数与几何变换，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，
全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
3．（23-24八年级上·江苏徐州·期末）如图，直线 与 、 轴分别交于点 、 ． 为 轴上
的动点，连接 ，将线段 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到线段 ，连接 ．
(1)求直线 对应的函数表达式；
(2)当点 坐标为 时，在 轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存
在，请说明理由；
(3)连接 ．则 的最小值为 （直接写结果）【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】（1）运用待定系数法求 的解析式即可；
（2）设 证明 可得 ， 的 边上的高为8，由勾股定理求出
，分两种情况由面积关系可得结论，
（3）设点P的坐标为 ，则 可得 ， ，得出点C在直线 上运动，
设直线 交 轴于点 ， ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，得
出 当 三点共线时， 此时， 的值最小，最小值为
根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：设直线 的解析式为 ，
把 . 代入得，
，
解得， ，
所以，直线 的解析式为 ；
（2）解：过点C作 轴于点F，如图，∵
∴
∴
又
∴
∵
∴
∴
∴
，
设点D的坐标为 ，
①当点D在点B下方时，
∴ ，
解得， ，
∴
②当点D 在点B上方时，同理可求出 ，
∴ ,
综上，点D 的坐标为： 或 ；
（3）解：作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，由（2）知 ，
∴
设点P的坐标为 ，则
∴ ，
∴ ，
∴点C在直线 上运动，
设直线 交 轴于点 ，
令 则 解得， ；
令 则
∴ ，点 在直线 上，
∵
∴
∵ 与 关于 轴对称，
∴
∴
∴
∴点 在直线 上，
∵ 与 关于直线 对称，
∴
∴
∴ ，
在 中，由三边关系得
当 三点共线时， 此时， 的值最小，最小值为
∵
∴
∴∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查一次函数图象与性质，待定系数法、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾
股定理等知识，数形结合是解题的关键．
2．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图1，等腰直角三角形 中， ， ，过点
作 交于点 ，过点 作 交于点 ，易得 ，我们称这种全等模型为“ 型全
等”．如图2，在直角坐标系中，直线 ： 分别与 轴， 轴交于点 、 （ ， ）．
(1)求 的值和点 的坐标；
(2)在第二象限构造等腰直角 ，使得 ，求点 的坐标；
(3)将直线 绕点 旋转 得到 ，求 的函数表达式．
【答案】(1) ，点 ( ， )
(2)点 的坐标为( ，
(3) 或
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，平面直角坐标系，三角形全等的判定及性质，解题的关键是正
确利用模型并作出正确的辅助线．
（1）由待定系数法即可求解，将点 ( ， )代入解析式 中即可求出 的值，令解析式的 即
可求点 的坐标；
（2）过点 作 轴交于点 ，证明 ，据此即可求解；（3）当直线 绕点 顺时针旋转 得到 时，过点 作 交直线 于点 ，过点 作 轴交
于点 ，证明 ，求得 ，利用待定系数法即可求解，当直线 绕点 逆时针旋转
得到 时，同理可得 的函数表达式．
【详解】（1）解：将点 的坐标代入 中得： ，解得： ，
则该函数的表达式为： ，
令 ，则 ，
点 ，
即 ，点 ( ， )；
（2）过点 作 轴交于点 ，
， ，
由 型全等模型可得 ，
， ，则 ，
点 的坐标为( ， )；
（3）当直线 绕点 顺时针旋转 得到 时，过点 作 交直线 于点 ，过点 作 轴交
于点 ，， ，
，
由 型全等模型可得 ，
与 轴的交点 ( ， )， ( ， )，
， ，
( ， )，
设直线 的解析式为 ，
，
解得： ，
；
当直线 绕点 逆时针旋转 得到 时，
同理可得．
综上所述：直线 的解析式为 或 ．
3．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线 ，与y轴交于点
B，点C在x轴正半轴上，且 ，(1)求直线 的解析式；
(2)点P是 内部一点，连接 ，请直接写出 的最小值；
(3)如图2，将 绕点B旋转，使得 ，将 沿直线 平移得到 ，连接 、 、
C．是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或 或
【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，再得出点C的坐标，设直线 的解析式为 ，把
， 代入求出k和b的值，即可得出直线 的解析式；
（2）将 绕点A顺时针旋转 得到 ，连接 推出 ，则
当点 在同一条直线上时， 取最小值，求出点 的坐标，根据两点之间的距离公式
求出 即可；
（3）过点 作x轴的垂线，垂足为N，过点 作x轴的垂线，垂足为M，求出 ，
，则点 向右平移 个单位，向下平移 个单位得到点 ，过点 作x轴的垂线，垂足为
P，进行分类讨论即可：①当 时，②当 时，③当 时，④当时．
【详解】（1）解：把 代入 得： ，
∴ ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，则 ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）解：如图：将 绕点A顺时针旋转 得到 ，连接 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，则 ，
∴ ，
当点 在同一条直线上时， ，
此时 取最小值，
∵ ，
∴ ，∴ ，则 ，
∵ ，
∴ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ 最小值为 ；
（3）解：过点 作y轴的垂线，垂足为N，过点 作y轴的垂线，垂足为M，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（2）可知， ，
∴ ，
∵ 绕点B旋转得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，根据勾股定理可得： ，
∵ ，
∴ ， ，
∴点 向右平移 个单位，向下平移 个单位得到点 ，
∵ 沿直线 平移得到 ，
∴ ，点 向右平移 个单位，向下平移 个单位得到点 ，
过点 作x轴的垂线，垂足为P，
①当 时，
∵ ，
∴ ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴ ，则 ；②当 时，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴ ，则 ；
③当 时，
由图可知： ，
∴ ，
把 代入 得： ，解得： ，
∴ ，则 ；
④当 时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴ ，则 ；
综上： 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数综合，费马点问题，等腰三角形综合，解题的关键是熟练掌握求一次函
数与坐标轴交点，求解费马点问题的方法和步骤，等腰三角形的定义，正确画出辅助线，以及具有分类讨
论的思想．【经典例题八 一次函数中的最值问题】
1．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ， ，点 在边 上，
，点 为 的中点，点 为边 上的动点，若使四边形 周长最小，则点 的坐标为
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称一最短线路问题，坐标与图形的性质，待定系数法求函数解析式，两直线的交
点问题，作点 关于 的对称点 ，连接 ，若使四边形 周长最小，只要 最小，当
三点共线时， 最小， 设直线 交 于 ，则点 与 重合时，四边形 周长
最小，利用待定系数法求出直线 和 的解析式，联立方程组即可求出点 坐标，正确找出点 的位置
是解题的关键．
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴点 在 轴上，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵点 关于 的对称点 ，
∴ ， ，
∴若使四边形 周长最小，只要 最小，
当 三点共线时， 最小，
设直线 交 于 ，则点 与 重合时，四边形 周长最小，
∵ ，
∴ ，
设直线 的函数解析式为 ，把 ， 代入得，
，
解得 ，
∴直线 的函数解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，把 代入得，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
联立函数解析式得，，
解得 ，
∴点 的坐标为 ，
故选： ．
2．（21-22九年级上·浙江宁波·期末）已知点A（1，3）、B（5，﹣2），在x轴上找一点P，使|AP﹣BP|
最大，则满足条件的点P的坐标是 ．
【答案】（13，0）
【分析】作点B（5，﹣2）关于x轴的对称点B′（5，2），连接 ，AB′，得到 ，根据
，得到当点P在直线 上时， ， 的值最大，
求出过点A（1，3）、B′（5，2）的直线解析式 ，根据y＝0时， x＝13，得到直线AB′与x轴
的交点P的坐标为（13，0）
【详解】作点B（5，﹣2）关于x轴的对称点B′，则B′（5，2），连接 ，AB′，
则 ，
∵ ，
∴当点P在直线 上时， ， 的值最大，
设过点A（1，3）、B′（5，2）的直线解析式为y＝kx+b（k≠0），
那么k+b＝3，5k+b＝2，
解得 ，即AB′所在直线的解析式为 ，
∵此时点P的横坐标是y＝0时，x的值，
∴ ，
∴x＝13，
∴点P的坐标为（13，0）．
故答案为：（13，0）
【点睛】本题主要考查了轴对称线段差最大问题，解决问题的关键是熟练掌握轴对称两点到对称轴上一点
的距离相等的性质，三角形三边的关系，两点之间线段最短．
3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线 交坐标轴于 ，
两点，过点 作 交 于点 ，交 轴于点 ，且 ．
(1) 的坐标为_________，线段 的长为_________．
(2)求直线 的解析式和点 的坐标．
(3)如图（2），点 是线段 上一动点（不与点 ， 重合）， 交 于点 ，连结 ．①在点 移动过程中，线段 与 数量关系是否不变，并证明；
②连结 ，当 面积最大时，求 的长度和 的面积．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)①相等，不变，见解析，② ，
【分析】（1）分别将 、 时，代入解析式，即可求出点 、 坐标，即可求解，
（2）根据 ，可得 ，通过 ， ，求直线 的解析式，与
联立方程组，即可求解，
（3）①由已知可证 ，即可求解，②由 ，得到
为定值，当 最小时 最大， 由 ，得：当 时， 取最小值，即可求
解，
本题考查了，一次函数综合，三角形的面积，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：利用全等三角形，
实现面积之间的等量代换．
【详解】（1）解：当 时，直线 ，
当 时，直线 ，解得： ，
，
，
故答案为： ， ，（2）解： 过点 作 交 于点 ，交 轴于点 ，且 ，
， ，
，
设过点 ， ，直线 的解析式为： ，
则： 解得： ，
直线 的解析式为： ，
、 交于点 ，
解得： ，
，
故答案为： ， ，
（3）解：
① ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，即线段 与线段 数量关系， 保持不变，
② ，
，
，
，，
，即： ，
，
，
，
，
， ， ，
， ，
，
∴ 为定值，
，
∴要使 最大，求 最小即可，
，
∴当 取最小值时， 最小，
， ， ，
，
当 时， 取最小值，
，即： ，解得： ，
面积最小为 ，
，
故答案为：①相等，不变，见解析；② ， ．4．（23-24九年级上·广东广州·开学考试）如图1，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于
点 ，直线 与 轴交于点 ，与 相交于 点，过 轴上动点 作直线 轴分别与直
线 、 交于 、 两点．
(1)①请直接写出点 ，点 ，点 的坐标： ______， ______， ______．
②若 ，求 的值；
(2)如图2，若 为线段 上动点，过点 作直线 交直线 于点 ，求当 为何值时， 最
大，并求这个最大值．
【答案】(1)① 、 、 ；② 或3；
(2)当 时， 最大，最大值 ．
【分析】（1）①令函数值等于0，可求与x轴交点坐标，联立函数解析式解方程组可得函数图像交点坐标；
②设点 ，则点 ，则 ，即可求解；
（2）设点 ，则点 ，求出点 ．进而用t表示出 、 长，根据t的取值范围，
结合一次函数的增减性即可求出 的最大值．
【详解】（1）解：①对于直线 ①，
令 ，解得 ，故点 ，对于 ，同理可得：点 ，
则 ，解得 ，
故点 的坐标为 ，
故答案为： 、 、 ；
②点 在直线 上，则设点 ，同理点 ，
则 ，即：
解得 或3；
（2）点 在直线 上，则设点 ，同理点 ，
∵ ，
∴ ，
∴点F的纵坐标为 ，解 得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴当 时， 最大，最大值 ．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行线的性质、绝对值的应用、面积的计
算等，其中（2）要注意用点的坐标表示线段长．
4．（22-23八年级下·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系 中，矩形 顶点 分别在y轴
和x轴上，已知 ， ．(1)求直线 的解析式；
(2)若射线 上有一点 ， 面积为S，求S与x的函数关系式，并求 时，点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，在x轴上找一点Q，使 最小，求出最小值和点Q的坐标．
【答案】(1)
(2) 关于 的函数关系式为 ．当 时，点 的坐标为
(3) 最小值为 ，
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、矩形的性质，解决本题的关键是掌握待定系数法．
（1）根据矩形性质求出 长，可得 点坐标，即可求直线 的解析式；
（2）根据（1）中直线解析式即可得三角形的面积与 的关系式，进而求得点 坐标．
（3）作出点B关于x轴的对称点D，连接 交x轴于点Q，连接 ，此时 最小，据此求解即可．
【详解】（1） 四边形 是矩形，
， ， ，
根据勾股定理，得 ，
，
设直线 的解析式为 ，把 代入，得 ，
∴直线 的解析式为 ．（2） ，
当 时， ，
∴ 关于 的函数关系式为 ，当 时，点 的坐标为 ．
（3）如图，作出点B关于x轴的对称点D，连接 交x轴于点Q，连接 ，此时 最小，
可得 ， ，
∴ ，
∴ 最小值为 ，
设直线 函数关系式为： ，
可得 ，解得： ，
∴直线 函数关系式为： ，
令 得 ，
解得： ，∴ ．
【经典例题九 一次函数中的存在性问题】
1．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，
于点 ，点 为直线 上不与点 、 重合的一个动点．在 轴上存在（ ）个点 ，使得以 、
、 为顶点的三角形与 全等．
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定，根据题意，可知 ，要使
以 、 、 为顶点的三角形与 全等，则 ，再根据 ，只需再确定一组对边相
等，即可得到两个三角形全等，进行讨论即可．
【详解】解：∵ ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 为直线 上不与点 、 重合的一个动点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∵要使以 、 、 为顶点的三角形与 全等，则 ，
又∵ ，
∴分两种情况进行讨论，
①当 时，此时 或 ， ，如图所示：
或 ，
②当 时，此时 或 ， ，如图所示，
或 ；
综上，共存在 个点 ；
故选B．
2．（2021·湖北黄石·模拟预测）如图，直线 的解析式为 分别与 ， 轴交于 两点，点
的坐标为 ，过点 的直线交 轴负半轴于点 ，且 ，在 轴上方存在点 ，使以点
为顶点的三角形与 全等，则点 的坐标为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查的是一次函数图像上的坐标特征，涉及到三角形全等、平行线的性质、勾股定理的运用等，将点 的坐标代入直线 的解析式为 ，可求得直线 的解析式，从而可得到
的长度，再分 和 两种情况进行讨论即可得到
答案．
【详解】解： 点 在直线 ： 上，
，
，
直线 的解析式为： ，
当 时， ，当 时， ，解得 ，
点 坐标为 ，点 的坐标为 ，
，
，
，
，
，
由勾股定理得： ， ，
以点 为顶点的三角形与 全等，
当 时，如图所示，
此时 ，且 ，
，即 ，
点 的横坐标为3，纵坐标为4，
点 的坐标为： ；
当 时，如图所示，此时 ， ，
，
点 的横坐标为4，纵坐标为3，
点 的坐标为： ，
综上所述：点 的坐标为 或 ．
3．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图：已知直线 与x轴、y轴分别相交于点A、B，
是 的角平分线，点E是线段 上的一个动点（不与点O，A重合），过点E作 ，交线段
于点Q，交线段 于点F，设 ， ．
(1)分别求点A和点B的坐标；
(2)求y与x的函数关系式，并写出定义域；
(3)连接 ，如果 垂直平分 ，那么直线 上是否存在点P，使得 的面积等于 的面积
的2倍？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1) ， ；
(2) ；(3)存在，点 的坐标为 或 ．
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式，勾股定理，角平分线的性质等知识，掌
握相关知识是解题的关键．
（1）利用一次函数与x轴、y轴的交点坐标即可求解；
（2）根据勾股定理求出 的长，解得 ，再进一步求出 ，即可求解；
（3）连接 ，先证明四边形 为菱形，再通过勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵直线 与 轴轴交于 ，与 轴交于 ，
∴令 ，则 ，
∴
令 ，则 ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
∴ ，
，
∴ ，
在 上运动与 重合时 ，与 重合则 ，
∵ 与 不重合，
∴ ．
（3）解：连接 ，如图：
∶ 垂直平分 ，
∴ ， ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴四边形 为菱形，
∵ ，则 ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
且 在 上
∴当 与 重合时，
如图：
当 在A上方与 重合时，
， ，
，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
综上， 为 或 ．
4．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交A、B
两点，与直线y 相交于点 ．
(1)求m和b的值；
(2)若直线 与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设
点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段 上，且 的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使 为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)① ；②存在t的值，使 为等腰三角形，t的值为4或 或 或8
【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题
的关键．（1）将点 代入 ，求出 的值，再代入 中求出 即可；
（2）①利用面积公式列出方程进行求解即可；②三种情况：当 时；当 时；当 时；
分别求出t的值即可．
【详解】（1）在 中，当 时， ；
当 时， ；
∴ ；
∵点C在直线 上，
∴ ，
又∵点 也在直线 上，
∴ ，
解得： ；
（2）①在 中，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
设 ，则 ，过C作 于E，如图1所示：
则 ，∵ 的面积为10，
∴ ，
解得： ；
②存在，理由如下：
过C作 于E，如图1所示：
则 ，
∴ ，
∴ ；
a、当 时， ，
∴ ，
∴ ；
b、当 时，如图2所示：
则 ，
∴ ， ，
∴ ，或 ；
c、当 时，如图3所示：设 ，则 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴P与E重合， ，
∴ ，
∴ ；
t的值为4或 或 或8．
5．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，直线 与x轴
交于点A，与y轴交于点 ，直线 与x轴交于点C，与直线 交于 ， ， ．
(1)求直线 的解析式．
(2)点P是射线 上的动点，过点P作 且与 交于点Q， 轴垂足为点F， 轴垂足为
点H，当四边形 为正方形时，求出正方形的边长．
(3)如图2，连接 ，将 沿直线 翻折得到 ．若点M为直线 上一动点，在平面内是否存
在点N，使得以B、G、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出N的坐标，并把求其中一个点N
的过程写出来，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)
(3)存在，N点坐标为 或 或 或
【分析】（1）分别求出A、C、D点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设 ，则 ， ， ，则 ， ，再
由 ，求出t的值即可求正方形的边长；
（3）设 ， ， ，由 ， ，求出
，，①当 为菱形对角线时， ，求出 ；②当 为菱形对角线时，
，求出 ；③当 为菱形的对角线时， ，求出 或
．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，将 ， 代入 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
将 代入 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
设直线直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴ ；
（2）设 ，则 ， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
解得 或 ，
∵P点在射线 上，∴ ，
∴ ，
∴正方形的边长为 ；
（3）存在点N，使得以B、G、M、N为顶点的四边形为菱形，理由如下：
设 ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
设 ，
∴ ， ，
解得 ， （舍）或 ， ，
∴ ，
①当 为菱形对角线时， ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
②当 为菱形对角线时， ，
∴ ，解得 （舍）或 ，
∴ ；
③当 为菱形的对角线时， ，
∴ ，
解得 或 ，
∴N点坐标 或 ；
综上所述：N点坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，正方形的性质，
待定系数法求函数的解析式是解题的关键．注意第(3)问有多种情况，注意不要有遗漏．
【经典例题十 一次函数的综合】
1．（21-22八年级下·陕西西安·期中）已知直线 ， ， 的图象如图所示，若无
论x取何值，y总取 、 、 中的最小值，则y的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据无论x取何值，y总取 、 、 中的最小值，y最大值即求三个函数的公共部分的最大值．
【详解】解：如图
由于y总取 、 、 中的最小值，所以 的图象如图所示，分别求出 、 、 交点的坐标
， ， ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
所以y最大值为 ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一次不等式的综合应用，画出函数的图象根据数形结合解题，数形结
合是解题的关键．
2．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，分别以 的三边 、 、 为边，向外作三个正
三角形，分别为 、 、 ，连结 、 相交于点G，连结 ，若 ，
，则 的值是 ．【答案】
【分析】以点C为原点，垂直于边 的直线为 轴，建立平面直角坐标系，表示出各点的坐标，然后用
待定系数法求直线 ， 的解析式，从而求出 点，最终运用两点之间距离公式得解；
【详解】解：如图，以点C为原点，垂直于边 的直线为 轴，建立平面直角坐标系，
∵分别以 的三边 、 、 为边，向外作三个正三角形，分别为 、 、 ，
，
， ， ， ，
，
∴点 在 轴负半轴上，
根据等边三角形的性质可得：
轴， ，
，
，
由勾股定理得： ，
在 中，由面积法可得： ，
，，
，
， ， ， ， ，
设 ，
，解得； ，
解得： ，
同理可得： ，
联立得， ，
解得：
，
由两点之间距离公式可得： ，
同理可得： ， ，，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了建立平面直角坐标系解决几何问题，待定系数法求函数解析式，等边三角形的性质，
勾股定理，求两直线的交点以及两点之间距离公式的应用等，综合运用所学解决问题是解题的关键．
3．（2024·山东泰安·一模）探究：如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象 分别与x轴，y
轴交于点A，点P，经过点P的直线 交x轴的正半轴于点B，且 ．
(1)如图①，求点A的坐标及直线 的函数表达式；
(2)如图②，取 的中点 ，过点 作 轴，交直线 于点 ，连接 ，求 的面积；
(3)在（2）的条件下，延长 交直线 于点 ，如图③，若 为 轴上一点，且以 ， ， 为顶点的
三角形是等腰三角形，求点C的坐标，
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或 或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由 的面积 ，即可求解；
（3）当 时，列出等式即可求解；当 或 时，同理可解．【详解】（1）解：对于 ，当 时， ，
令 ，
则 ，即点 、点 ，
，则 ，点 ，
设直线 的表达式为： ，
将点 的坐标代入上式得： ，
解得： ，
则直线 的表达式为： ；
（2） 点 是 的中点，则点 ，
当 ，
解得： ，即点 ，则 ，
则 的面积 ；
（3）当 时，则 ，
即点 ，
设点 ，
由点 、 、 的坐标得， ， ， ，
当 时，
则 ，
解得： ，
即点 ；
当 或 时，
则 或 ，
解得： （舍去）或0或 ，即点 的坐标为： 或 ；
综上，点 的坐标为： 或 或 ．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，两点之间距离公式，等腰三角形的性质、待定系数法求函数表
达式，分类求解是解题的关键．
4．（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）在平面直角坐标系中， 、 ，四边形 是正方
形，点 是 轴正半轴上一动点， ， 交正方形 外角的平分线 于点 ．
(1)如图1，当点 是 的中点时，求证： ；
(2)点 在 轴正半轴上运动，点 在 轴上．若四边形 为菱形，求直线 的解析式．
(3)连 ，点 是 的中点，当点 在 轴正半轴上运动时，点 随之而运动，点 到 的距离是否为
定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)是定值，
【分析】（1）如图1中，取 的中点 ，连接 ．只要证明 即可；
（2）如图2中，作 交 作于 ，则 ，由四边形 是正方形，可证 ，
四边形 是平行四边形，当 点在边 上时， 点在 上， ，推出四边形 不
可能是菱形，推出点 在点 的右侧，如图3中，利用全等三角形的性质求出 ，可得当 坐标，致力于待定系数法即可解决问题；
（3）只要证明点 到 的距离为定值且等于平行线 之间的距离即可．
【详解】（1）证明：如图1中，取 的中点 ，连接 ．
为正方形的外角平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ 分别为 的中点，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：如图2中，作 交 作于 ，由四边形 是正方形，可证 ，
，
∴ ，
由（1）可知 ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形，当 点在边 上时， 点在 上， ，
∴四边形 不可能是菱形，
∴点 在点 的右侧，
如图3中，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，则有 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
（3）解：如图4或5，连接 ．∵ ，
∴ ，
∵ 是 中点，
∴ ，
∴点 在 的垂直平分线上，
∵ 垂直平分 ，
∴点 在直线 上，
∵ ，
∴ ，
∴点 到 的距离为定值且等于平行线 之间的距离，
∴点 到 的距离 ．
【点睛】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解
题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于压轴题．
5．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点C在y轴的正半轴上，点B
与点A关于y轴对称， 为等边三角形， ， ．
(1)求点A的坐标；
(2)动点F从原点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿x轴正方向运动，运动时间为t秒，求 的面积S与t之间的关系（用含t的式子表示S）．
(3)在（2）的条件下，当点F运动到点A时，有一动点E从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线
段 向终点B运动，当点E到达终点时，点E、F运动停止，连接 交 于点G，交y轴于点K，
①过点E作 于点H，求线段 的长；
②如图，当 ， 时，在x轴负半轴有一点L，连接 ，在y轴上取一点M，
，连接 并延长，交 于点N，若 ．求线段 的长．
【答案】(1)
(2)当 时， ；当 时，
(3)① ；②
【分析】（1）由等边三角形的性质及轴对称的性质可知 在 轴上， ， ，即可
求得点 的坐标；
（2）由题意可知， ，分两种情况：当 时，当 时，表示出 的长度，结合三角形的面
积公式即可求解；
（3）①由题意可知 ，结合 是等边三角形，过点 作 ，则易得 是等边三角形，
进而可证 ，得 ，根据等边三角形的性质得 ，可得
，即可求解；
②当 时，易得 ，由 ， ，知 ，得
， ，在 上取 ，则 ，过点 作
，交 延长线于 ，则 ，设 ，结合题意表示出相应的角， ， ，则 ，得 ，可证
，得 ， ，则 ，结合
即可求解．
【详解】（1）解：∵ 为等边三角形，点C在y轴的正半轴上，点B与点A关于y轴对称，
∴ 轴 ，即 轴，
∵ ，
∴ ，
作 ，则 ，
∴ ，即点 到 距离为 ，
又∵ 轴， ，即点 到 轴距离为 ，
即：点 与点 重合，则 在 轴上，
∴ ，
∴ ；
（2）由题意可知， ，
当 时，点 在线段 上，则 ，
∴ 的面积 ；
当 时，点 在线段 的延长线上，则 ，
∴ 的面积 ；
综上，当 时， ；当 时， ；
（3）①当点 运动到点 时，有一动点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度，
∴ ，∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
过点 作 ，则 ， ， ，
∴ 是等边三角形，则 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ；
②当 时，即 ，可得： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 上取 ，则 ，
过点 作 ，交 延长线于 ，则 ，设 ，则 ，，
∵ ，则 ，
∴ ，则 ，
由三角形内角和可得 ，
∴ ，则 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
由三角形内角和可得 ，
∴ ，则 ，
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，坐标与图形，一次函数与几何图
形，勾股定理等知识点，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
