文档内容
第三篇 思想方法篇
思想04 化归与转化思想（练）
一、单选题
1．（2023春·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试）河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的
珍贵遗产，是我国古建筑之精品，是中国古代高超的建筑工程技术和建筑艺术成就的例证. 一名身高1 的
同学假期到河北省正定县旅游，他在A处仰望须弥塔尖，仰角为 ，他沿直线向塔行走了 后仰望须弥塔
尖，仰角为 ，据此估计该须弥塔的高度约为（ ）（参考数据:
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出图形，求出角度，利用正弦定理结合 的正弦值，求出答案.
【详解】如图， ，因为 ，所以 ，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，其中
，
故
又 ，
又 ，
所以 ，又该同学身高 ，所以塔高约为 .
故选： .
2．（2022秋·江苏南京·高三南京航空航天大学附属高级中学校考阶段练习）已知 ， ，则“ ”
是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用必要不充分条件判断即可.
【详解】若 ，取 ， ，但是 无意义，
所以由“ ”推不出“ ”，
若“ ”，则 ，所以可得 ，
所以由“ ”可推出“ “，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B．
3．（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度 随开窗通风换气时间 的关系如图所示，则下列时间段内，空气中
微生物密度变化的平均速度最快的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可；
【详解】如图分别令 、 、 、 、 、 、 所对应的点为 ,
所以 内空气中微生物密度变化的平均速度最快；
故选：B
4．（2022秋·贵州·高三校联考阶段练习）近期随着疫情的日益严重，社区的防控压力日益增大，我校第三党
支部决定成立疫情防控小组投入到社区的疫情防控当中，现有4名男性党员和2名女性党员同志自愿报名，若
从这6名党员同志中随机选择3名党员组成疫情防控小组，则防控小组中男、女党员均有的情况有多少种？（
）
A．32 B．20 C．16 D．10
【答案】C
【分析】6人中任选3人，至少有一名是男性，因此只要排除3人都是男性的情形即可得，即用排除法求解．【详解】6人中任选3人，至少有一名是男性，因此只要排除3人都是男性的情形即可得，方法为 .
故选：C．
5．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性可知前者可以推出后者，举反例 ，可知后者无法推出前者，即可得
到答案.
【详解】当 时,则 ,根据指数函数 在 上单调递增，
故 ，
若 ，满足 ，不满足 ，
所以前者可以推出后者，后者无法推出前者，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
6．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）已知等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，且
，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设等比数列 的公比为 ，由 ， ，列方程求出 ，进而可求出 ，结合指数函
数的性质求出 的最大、小值，列不等式组即可求出 的取值范围
【详解】解：设等比数列 的公比为 ，因为 ， ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
当x为正整数且奇数时，函数 单调递减，
当x为正整数且偶数时，函数 单调递增，
所以 时， 取得最大值 ，当 时， 取得最小值 ，
所以 ，解得 .
故选：B.
7．（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）平行四边形 中， ， ， ，点 在边
上，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，设 ，把 的取值范围转化为求二次函数的值域问题，
即可求得本题答案.
【详解】作 ，垂足为 ，以点 为原点， 所在直线为 轴， 轴建立如下图的平面直角坐标
系.
因为 ，而 ,所以 ，在直角 中，因为 ， ，所以 ， ，
则 ，设 ，
所以 ，
所以 ，
因为二次函数开口向上，对称轴为 ，且 ，
所以当 时， 取最小值 ，当 时， 取最大值 ，
所以 的取值范围是 .
故选：C
8．（福建省南平市2022-2023学年高二上学期期末质量检测数学试题）已知函数 的最小值为
－1，过点 的直线中有且只有两条与函数 的图象相切，则实数b的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先利用导数求出函数的最小值，结合题意可得 ，设过点 的直线与函数 的图象相切的
切点为 ，利用导数的几何意义求出切线方程，根据切线过点 建立方程，再结合过点 的直
线有两条与函数 的图象相切可得 ，解之即可求解.【详解】因为 ，则 ，
令 可得 ．
当 时， ， 是增函数．
当 时， ， 是减函数．
所以当 时， 有最小值 ，所以 ，
设过点 的直线与函数 的图象相切的切点为 ，
则切线方程为 ，
又切线过点 ，
所以 ，
即 ，
即 ．
过点 的直线有两条与函数 的图象相切，
则 ，即 ，
解得： 或 ．
故选： .
二、多选题
9．（2023秋·辽宁丹东·高三统考期末）设 ， ，若a，b，c互不相等，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】由 ，可解得 ，可判断A；当 时，取 ，可得 ，不满足a，b，c互不相等，可判断B；将 看成函数 与 图象的交点，可判断C，D.
【详解】由 ，可得 ，因为 ，所以 ，故A正确；
当 时， ，若 ，则 ，
故 ，不满足a，b，c互不相等，所以 ，故B正确，
因为 ， ，
可将 看成函数 与 图象的交点横坐标，
当 时，图象如下图，
可得： ，此时 .
当 时，图象如下图，
可得： ，此时 ，所以C不正确，D正确；
故选：ABD.
【点睛】本题关键点是将 看成函数 与 图象的交点横坐标，作出函数
与 图象，讨论 的取值即可比较 的大小.10．（广东省肇庆市2022-2023学年高一上学期期末数学试题）已知函数 的图象如图所示，
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数 是偶函数
D．关于x的不等式 的解集为
【答案】ACD
【分析】根据函数图象可得函数图象的对称轴，进而求得参数a的值，判断A，B；根据图象的平移结合偶函
数的性质可判断C；分段解不等式可得不等式 的解集，判断D.
【详解】由函数图像可知 为函数 的对称轴，即函数满足 ，
则当 时，则 ，故 ，则 ，
同理当 时，则 ，故 ，则 ，
综合可知 ，A正确；B错误.
将 的图象向左平移1个单位，即得函数 的图象，
则 的图象关于y轴对称，故 为偶函数，C正确；
当 时， ，令 ，解得 ，故 ；
当 时， ，令 ，解得 ，故 ，综合可得 ，即不等式 的解集为 ，D正确，
故选：ACD
【点睛】方法点睛：解答本题，要注意数形结合的思想方法，同时要结合函数图像的特征，利用相应的定义去
判断解答，即可求解.
11．（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知点 ，圆C： ，点P是圆C上的一点，
则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B． 的最小值为
C．设线段PA的中点为Q，则点Q到直线 的距离的取值范围是
D．过直线 上一点T引圆C的两条切线，切点分别为M，N，则 的取值范围是
【答案】AD
【分析】由圆的方程，设圆上一点 ，判断A，B，C的正误，数形结合，得
，判断D的正误.
【详解】设 ，
对于A， ，故A正确；
对于B， ， ，所以
，
所以当 ，即P点为 时， ，故B错误；
对于C， ，所以点Q到直线 的距离，故C错误；
对于D，如图所示， ，又CM TM，CN TN，
所以 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，故D正确．
故选：AD．
12．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知函数 ，则过点 恰能作曲线 的两条切
线的充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】设切点坐标为 ，则有 ，所以问题转化为方程
恰有两个解，令 ，然后利用
导数求解其零点即可.
【详解】由 ，得 ，设切点为 ，则切线的斜率为 ，
所以有 ，
整理可得： ，
由题意可知：此方程有且恰有两个解，令 ，
，
，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，因为 ，
所以当 时， ；当 时， ，
①当 ，即 时，
当 时， ，则函数 单调递增，
当 时， ，则函数 单调递减，
当 时， ，则函数 单调递增，
所以只要 或 ，即 或 ；
②当 ，即 时，
当 时， ，则函数 单调递减，
当 时， ，则函数 单调递增，
所以只要 ，即 ，而 ；③当 ，即 时，
当 时， ，则函数 单调递增，
当 时， ，则函数 单调递减，
当 时， ，则函数 单调递增，
当 时， ，
所以只要 或 ，由 可得： ，
由 得 ；
④当 时， ，所以函数 在 上单调递增，所以函数至多有一个零点，不
合题意；
综上：当 时， ；
当 时， 或 ；
当 时， 或 ，
所以选项 正确， 正确， 错误， 正确，
故选： .
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的
应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用
导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中
的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
三、填空题
13．（2023春·四川成都·高三校联考期末）在 中， ， ， 为 所在平面内的动
点，且 ，则 的取值范围为______．
【答案】【分析】由题意画出图形，建立平面直角坐标系，可得 与 的坐标，设 ，写出 ，再由三
角函数求最值即可．
【详解】由题意不妨设 ， ，
为 所在平面内的动点，且 ， 设 ，
则 ， ，
，
由于 ，所以
的取值范围是
故答案为:
14．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测） 的最小值为______．
【答案】
【分析】由数形结合，转为求抛物线 上动点 到 及准线距离和的最值.
【详解】易知动点 的轨迹为抛物线 ，C的焦点为 ，设P到C的准线的距离为d，，
则 ，
故 的最小值为 ．
故答案为： .
【点睛】方法点睛：平方和的形式可看作两点距离公式，再根据点的坐标形式判断点所在的曲线，将问题转化
为几何问题求最值.
15．（湖南省株洲市2023届高三下学期一模数学试题）已知椭圆 的左右焦点为 ，
，过 的直线交椭圆C于P，Q两点，若 ，且 ，则椭圆C的离心率为__________．
【答案】
【分析】根据椭圆的定义，线段比例关系和余弦定理即可求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，所以 ，
在三角形 中， ，
在三角形 中， ，
以上两式相等整理得 ，
故 或 （舍去），
故 ，
故答案为： .
16．（2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知函数 的图象恒过定点A，圆
上两点 ， 满足 ，则 的最小值为
______．
【答案】
【分析】求出定点 的坐标，由条件可得点 三点共线，结合点到直线的距离公式求
的最小值.
【详解】因为 时， ，
所以函数 的图象过定点 ，
因为 ，
所以点 三点共线， ，
因为 ， 为圆 上两点，所以点 为过点 的直线与圆 的两个交点，
设线段 的中点为 ，则 ，
因为 表示点 ， 到
直线 的距离和，
表示表示点 到直线 的距离，
分别过点 作 与直线 垂直，垂足为 ，
则 ，
所以 ，
因为 ，直线 过点 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，化简可得 ，
即点 在圆 上，
所以点 的轨迹为以 为圆心，半径为 的圆，
所以点 到直线 的距离的最小值为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
故答案为： .
四、解答题
17．（2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，D为BC的中点，求线段AD长度的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理求得正确答案.
（2）利用圆的几何性质求得 的最大值.
【详解】（1）依题意， ，
由正弦定理得 ，由于 是三角形的内角，所以 ，
所以 ，则 为锐角，所以 .
（2）设三角形 外接圆的半径为 ，圆心为 ，
则 ，
由于 ，所以 在三角形 外接圆上运动，
且只在优弧 （不包括端点）上运动，如图所示，
则 ， ，
当 三点共线时， 最大，
所以 长度的最大值是 .
18．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知 为首项 的等比数列，且 ， ，
成等差数列；又 为首项 的单调递增的等差数列， 的前n项和为 ，且 ， ， 成等比数
列．
(1)分别求数列 ， 的通项公式；
(2)令 ，数列 的前n项和为 ，求证： ．
【答案】(1) ，(2)证明见解析
【分析】（1）由 ， ， 成等差数列求出公比可得 的通项公式，由 ， ， 成等比数列求出
公差可得 的通项公式；
（2）利用错位相减可得 可得答案.
【详解】（1）设等比数列 的公比为 数列 的公差为
由题知： ，即 ，
即 ， ，解得 ，
所以 ，
又 ，即 ，即 ，
解得 （舍）或 ，
所以 ；
（2） ， ， ，
，①
，②
由① ②知： ，
即 ，∴ ．
19．（2023·山西忻州·统考模拟预测）在 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，且 的面积是 ，求AD的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换化简即可求得 ；
（2）由三角形的面积可得 ，然后由向量的运算可得 ，再结合基本不等式即可求
得最小值.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
解得 ．
因为 ，所以 ．
（2）因为 ABC的面积是 ，
△
所以 ，解得 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ．
因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，
即当 时，AD取得最小值 ．
20．（2023·广东汕头·统考一模）如图，在多面体 中，四边形 与 均为直角梯形，
， ， 平面 ， ， ．
(1)已知点 为 上一点，且 ，求证： 与平面 不平行；
(2)已知直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求该多面体 的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量及直线 的方向向量，即可证明；
（2）设 且 ，利用空间向量法求出表示出线面角的正弦值，即可求出参数 的值，再根据锥体
的体积公式计算可得.
【详解】（1）证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 、 ，又 ，
如图建立空间直角坐标系，则 、 、 、 、 ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以 ，
因为 ，且不存在 使得 ，即 与 不共线，
所以 与平面 不平行且不垂直.
（2）解：设 且 ，则 ，所以 ，
直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
，化简得 ，解得 或 （舍去），
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，又 ， ，所以 ，， 平面 ，所以 平面 ，
又 ，所以 ，
，所以 ，
所以 ，即多面体 的体积为 .
21．（2023春·河南安阳·高三安阳一中校联考阶段练习）已知数列 满足 ，且 ．
(1)设 ，证明： 是等比数列；
(2)设数列 的前n项和为 ，求使得不等式 成立的n的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)20
【分析】（1）由已知条件，用 表示出 ，得出 ，再用 表示出 ，得出 ，联立得
出 ，通过构造得出 ，检验 ，即可得出证得结论；
（2）由（1）的结论表示出 ， 和 ，证出 在 是一个
增数列，通过计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵ ，
， ， ，
,
又 ，
，
,，
，
又 ，
，
,
,即 ，
，
又 ，
，
，
∴数列 是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）可知数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
，
即 ，
，
，
，
又 ，，
即 ,
，
，
，
在 是一个增数列，
，
，
∴满足题意的n的最小值是20．
22．（2023秋·辽宁丹东·高三统考期末）已知函数 ．
(1)证明：若 ，则 ；
(2)证明：若 有两个零点 ， ，则 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）因为 定义域为 ，所以 等价于 ．设 ，
求导判断单调性，从而求得 即可得证；
（2）不妨设 ，由（1）可知 ， 也是 的两个零点，且 ， ，于是 ，由于在 单调递减，故 等价于 ．而 ，故 等价于
①，设 ，则①式为 ．因此对 求导判断单调性即可得证.
【详解】（1）因为 定义域为 ，所以 等价于 ．
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递减， 在 单调递增，
故 ．
因为 ，所以 ，于是 ．
（2）不妨设 ，由（1）可知 ， 也是 的两个零点，且 ， ，于是 ，由于
在 单调递减，故 等价于 ．
而 ，故 等价于 ．①
设 ，则①式为 ．
因为 ．
设 ，当 时， ，故 在 单调递增，
所以 ，从而 ，因此 在 单调递增．
又 ，故 ，故 ，于是 ．
【点睛】关键点点睛 ：本题第(2)问是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数 证
明不等式.
