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高考命题中，以知识为载体，以能力立意，以思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础
性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值.高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组
合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录
和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、
处理和解决.高考中常用到的数学思想方法主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与
化归思想等.
第 1 讲 函数与方程思想
思想概述 函数的思想是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认
识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得以解决.
方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方
程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决.
方法一 运用函数相关概念的本质解题
在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题.常见问题有求函
数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质.
{(3a-1)x+4a(x<1),
例1 (1)已知函数f(x)= a 满足对任意的实数x ，x 且x ≠x ，都有[f(x )-f(x )](x -
(x≥1), 1 2 1 2 1 2 1
x
x )<0，则实数a的取值范围为( )
2
[1 ) [ 1)
A. ，1 B. 0，
7 3
[1 1) [1 )
C. ， D. ，1
6 3 6
(2)对于函数f(x)(x∈D)，若存在常数T(T>0)，使得对任意的x∈D，都有f(x+T)≤f(x)成立，我们称函数
π
f(x)为“T同比不增函数”.若函数f(x)=kx+cos x是“ 同比不增函数”，则实数k的取值范围是( )
3[3 ) ( 3]
A. ，+∞ B. -∞，-
π π
[ 3 ) ( 3]
C. - ，+∞ D. -∞，
π π
[规律方法] 解决本类题目的关键是理解函数相关概念的本质，也可以结合函数图象加以理解，严格按定
义推导即可.
方法二 利用函数性质解不等式、方程问题
函数与方程、不等式相互联系，借助函数的性质可以解决方程的解的个数、参数取值范围以及解不等
式问题.
例2 (1)已知函数f(x+2)=log (3x+3-x)，若f(a-1)≥f(2a+1)成立，则实数a的取值范围为( )
3
A.(-∞，-2]
[ 4]
B. -2，
3
C.(-∞，-2]∪[0，+∞)
[4 )
D.(-∞，-2]∪ ，+∞
3
(2)设x，y为实数，满足(x-1)3+2 023(x-1)=-1，(y-1)3+2 023(y-1)=1，则x+y= .
[规律方法] 函数与方程的相互转化：对于方程f(x)=0，可利用函数y=f(x)的图象和性质求解问题.
方法三 构造函数解决数学问题
在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁
为简、化难为易的效果.
( π π)
例3 已知ε>0，x，y∈ - ， ，且ex+εsin y=eysin x，则下列关系式恒成立的为( )
4 4
A.cos x≤cos y B.cos x≥cos y
C.sin x≤sin y D.sin x≥sin y
[规律方法] 在构造函数求解数学问题的过程中，要确定合适的变量，揭示函数关系使问题明晰化.答案精析
例1 (1)C (2)B
例2 (1)B [设g(x)=f(x+2)=log (3x+3-x)，则其定义域为R，
3
因为g(-x)=log (3-x+3x)=g(x)，
3
所以g(x)为偶函数，
所以f(x+2)的图象关于直线x=0对称，所以f(x)的图象关于直线x=2对称，
设y=3x+3-x，
则y'=3xln 3-3-xln 3
=(3x-3-x)ln 3，
令y'>0，则3x-3-x>0，得x>0，
所以y=3x+3-x在(0，+∞)上单调递增，
因为函数y=log x为增函数，
3
所以g(x)在[0，+∞)上单调递增，
所以f(x)在[2，+∞)上单调递增，
因为f(a-1)≥f(2a+1)，
所以|a-1-2|≥|2a+1-2|，
所以(a-3)2≥(2a-1)2，
化简得(a+2)(3a-4)≤0，
4
解得-2≤a≤ .
3
[ 4]
所以实数a的取值范围为 -2， .]
3
(2)2
sinx
例3 A [构造f(x)= ，
ex
( π π)
x∈ - ， ，
4 4
cosx-sinx
则f'(x)= ，
ex
( π π)
当x∈ - ， 时，cos x>sin x，
4 4
cosx-sinx
f'(x)= >0，
exsinx ( π π)
所以f(x)= 在 - ， 上单调递增，
ex 4 4
因为00，eε>1时，
ex+ε ey
则01时，
ex+ε ey
则sin x
