文档内容
思想 02 运用数形结合的思想方法解题
【命题规律】
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、
综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，
二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和
描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、
处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化
归思想等．
【核心考点目录】
核心考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点
核心考点二：解不等式、求参数范围、最值问题
核心考点三：解决以几何图形为背景的代数问题
核心考点四：解决数学文化、情境问题
【真题回归】
1．（2022·北京·统考高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，
因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
2．（2022·天津·统考高考真题）设 ，对任意实数x，记 ．若 至
少有3个零点，则实数 的取值范围为______．
【答案】
【解析】设 ， ，由 可得 ．
要使得函数 至少有 个零点，则函数 至少有一个零点，则 ，
解得 或 ．
①当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：
此时函数 只有两个零点，不合乎题意；
②当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
所以， ，解得 ；
③当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：由图可知，函数 的零点个数为 ，合乎题意；
④当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
可得 ，解得 ，此时 ．
综上所述，实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ， ，
离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是
________________．
【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴椭圆的方程为
，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，∵
，∴ ，∴ 为正三角形，∵过 且垂直于 的直线与C交于
D，E两点， 为线段 的垂直平分线，∴直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ， 直线 的方程：
，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ，
判别式 ，
∴ ，
∴ ， 得 ，∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ，∴ 的周长等于 的周长，
利用椭圆的定义得到 周长为
．
故答案为：13．
4．（2022·浙江·统考高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形 的边 上，则
的取值范围是_______．
【答案】
【解析】以圆心为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则 ， ，设
，于是 ，因为 ，所以 ，故 的取值范围是 ．
故答案为： ．
5．（2022·天津·统考高考真题）在 中， ，D是AC中点， ，试用 表示
为___________，若 ，则 的最大值为____________
【答案】
【解析】方法一：
， ，
，当且仅当 时取等号，而
，所以 ．
故答案为： ； ．
方法二：如图所示，建立坐标系：
， ，
，所以点 的轨迹是以 为圆心，以 为半径
的圆，当且仅当 与 相切时， 最大，此时 ．故答案为： ； ．
【方法技巧与总结】
1、以形助数（数题形解）：借助形的生动性和直观性来阐述数与形之间的关系，把抽象问题具体化，把
数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想．
2、以数辅形（形题数解）：借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性，把直观图形数量
化，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想．
【核心考点】
核心考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点
【典型例题】
例1．（2023·河北衡水·高三周测）设 是定义在 上的偶函数，对任意的 ，都有
，且当 时， ，则在区间 内关于 的方程
的根的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 是定义在 上的偶函数，对任意的 ，都有 ，
所以 ，即 ，所以函数 的周期为 ，
当 时，则 ，此时 ，
即 ，
由 ， ，得 ，分别作出函数 和 ，
的图象，如图所示，则由图象可知两个函数的图象的交点个数为 个，即方程 的零点个数为 个．
故选：D．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的图象上有且仅有四个不同的点关于直
线 的对称点在 的图象上，则实数 的取值范围是
A． B． ， C． D．
【答案】C
【解析】设函数 任意一点 关于直线 对称的点为 ，
则 ，所以 ，
而P在函数 上，所以 ，即 ，
所以函数 恒过定点 ，
（1）当 时， ，设直线 与 相切于点 ，
，
整理可得 ，解得 ，
所以 ；
（2）当 时， ，
设直线 与函数 相切于点 点 ，
，整理可得 ，解得 ，所以 ，
故 ，即 时，
在 时，函数 与 的图象相交有2个交点；
在 时，函数 与 的图象相交有2个交点，
故函数 与 的图象相交有4个交点时的 的范围是 ．
故选：C．
例3．（2023·上海·高三专题练习）已知函数f（x）＝x2＋ex－ （x<0）与g（x）＝x2＋ln（x＋a）的图
象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 关于 轴对称得到的函数为 ，依题意可知
与 在 上有公共点，由 得 ， ．
对于函数 ，在 上单调递减，且 ．
对于函数 ，在 上单调递增．
当 时， 的图像向右平移 个单位得到 ，与 图像在 上必有 个交
点．
当 时， 的图像向左平移 个单位得到 ，要使 与 图像在上有交点，则需当 时（也即 轴上）， 的函数值小于 的函数值，即
，解得 ．
综上所述， 的取值范围是 ．
故选：B．
例4．（2023·全国·高三专题练习）设 是定义在R上的偶函数，对任意的 ，都有
，且当 时， ，若在区间 内关于 的方程
恰有三个不同的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 对于任意的 ，都有 ，
函数 关于直线 对称，
又 当 ， 时， ，且函数 是定义在 上的偶函数，
故函数 在区间 ， 上的图象如下图所示：若在区间 ， 内关于 的方程 恰有3个不同的实数解
则 ， ，
解得：
故选：A
核心考点二：解不等式、求参数范围、最值问题
【典型例题】
例5．（2023春·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考阶段练习）设函数 ，其中
， ，若存在 ，使得 成立，则实数 的值是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 可以看作是动点 与动点 之间距离的平方，
动点 在函数 的图象上， 在直线 的图象上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由 得， ，解得 ，
曲线上点 到直线 的距离最小，最小距离 ，
则 ，根据题意，要使 ，则 ，此时 恰好为垂足，
由 ，解得 ．故选 ．
例6．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 对任意 ， 恒成立，则
实数m的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则T的几何意义是直线 上的点 与曲线 上的点
的距离，
将直线 平移到与面线 相切时，切点Q到直线 的距离最小．
而 ，令 ，则 ，可得 ，
此时，Q到直线 的距离 ，故 ，
所以 ．
故选：B
例7．（2023春·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考期中）设函数 ， ，其中
，若存在唯一的整数 使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【解析】由题意可知，存在唯一的整数 ，使得 ，
构造函数 ，则 ．
当 时， ；当 时， ．
所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
函数 在 处取得极小值 ，
如下图所示，由于 ， ，所以， ，
结合图象可知， ，解得 ．
故选：B核心考点三：解决以几何图形为背景的代数问题
【典型例题】
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，若点P是 所在平面内的一点，
且 ，则 的最大值等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
【答案】C
【解析】∵ ，∴可以A为原点， 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；
不妨设 ，则 ，故点P坐标为
则 ，∴
令 ，则 ，
则当 时， ，当 时， ，
则函数 在 递增，在 上递减，则 ，即 的最大值为12．
故选：C．例9．（2023春·浙江杭州·高二学军中学阶段练习）设不等式 的解集为
，则 的值是（ ）
A．5 B． C．6 D．7
【答案】D
【解析】设 ，则 ，原不等式可化为 ．
先解 ．
则 ，移项可得 ，
两边平方可得， ，
整理可得， ，两边平方整理可得 ．
所以， 表示的点 在双曲线 上．
则不等式 表示的点 在双曲线 上及其内部．
则不等式 与不等式组 同解，
整理可得 ．由已知可得，不等式 的解集是 ，
所以 的两个解为 、 ，根据韦达定理有 ．
故选：D．
例10．（2023春·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）若不等式 的解集为区间 ，
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】如图所示：
因为 表示以坐标原点为圆心，4为半径位于 轴上方（含和 轴交点）的半圆，
表示过坐标原点及第一三象限内的直线，
又因为不等式 的解集为区间 ，且 ，
即半圆位于直线下方的区间长度为2，
所以 ，
所以直线与半圆的交点 ，
所以 ．
故选：C．
核心考点四：解决数学文化、情境问题
【典型例题】
例11．（2023·全国·高三专题练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角 的一
边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得 最大．”如图，其结论是：点P为过M，N两点且
和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两
点M（-1，2），N（1，4），点P在x轴上移动，当 取最大值时，点P的横坐标是（ ）A．1 B．-7 C．1或-1 D．2或-7
【答案】A
【解析】由题M（-1，2），N（1，4），则线段MN的中点坐标为（0，3），
易知 ，则经过M，N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线 上．
设圆心为 ，则圆S的方程为 ．
当 取最大值时，圆 必与 轴相切于点 （由题中结论得），
则此时P的坐标为 ，代入圆S的方程，得 ，
解得 或 ，即对应的切点分别为P（1，0）和 ．
因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，
又过点M，N， 的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，
所以 ，故点P（1，0）为所求，即点P的横坐标为1．
故选：A．
例12．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴
藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平
面直角坐标系中，曲线 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：
①曲线 围成的图形的面积是 ；
②曲线 上的任意两点间的距离不超过2；
③若 是曲线 上任意一点，则 的最小值是1．
其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】当 且 时，曲线 的方程可化为 ；
当 且 时，曲线 的方程可化为 ；
当 且 时，曲线 的方程可化为 ；当 且 时，曲线 的方程可化为 ，
曲线 的图像如图所示；
由图可知，曲线 所围成的面积为四个半圆的面积与边长为 的正方形的面积之和，
从而曲线 所围成的面积 ，故①正确；
过原点 且连接两个半圆圆心 、 的直线交曲线 于 、 两点，如下图所示：
则 ，
所以， ，故命题②错误；
因为 到直线 的距离为 ，
所以 ，
当 最小时，易知 在曲线 的第一象限内的图象上，
因为曲线 的第一象限内图象是圆心为 ，半径 的半圆，
所以圆心 到直线 的距离 ，
所以 ，
所以 的最小值为 ，故③正确．
故选：C
例13．（2023·青海海东·统考一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术
之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪
纸窗花（如图1）．已知正方形 的边长为2，中心为 ，四个半圆的圆心均为正方形 各边的中
点（如图2），若 在 的中点，则 ___________．【答案】8
【解析】方法一：
图3
如图3，取 中点为 ，连结 ，显然 过 点．
易知， ， ，
则 ， ， ．
所以， ．
图4
如图4，延长 交 于 ，易知 是 的中点，且 ．
则 ， ，
在 中， ， ．
所以， ．
所以， ．故答案为：8．
方法二：
图5
取 中点为 ，连结 ，显然 过 点．
易知， ， ，
如图5，取 中点为 ，显然 ， ， ．
在 中， ， ．
又 为 中点，则 ．
所以， ．
故答案为：8．
【新题速递】
一、单选题
1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）若直线 与曲线 有两个交点，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 表示的曲线是圆心为 ，半径为 的圆在 轴以及右侧的部分，如图所示：直线 必过定点 ，
当直线 与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，
即 ，结合直线与半圆的相切可得 ，
当直 的斜率不存在时，即 时，直线和曲线恰有两个交点，
所以要使直线和曲线有两个交点，
则 .
故选：B.
2．（2023春·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考阶段练习）已知x，y是实数，且 ，
则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方程可化为 ，表示以 为圆心， 为半径的圆， 的几何意义是圆上一点
与点A 连线的斜率，设 ，即 ，当此直线与圆相切时，斜率最大或最小，当
切线位于切线AB时斜率最大.
此时 ， ，，所以 的最大值为 .
故选：D．
3．（2023春·陕西渭南·高一统考）已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时，
.若函数 ，则函数 的零点个数不可能是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ,
作出 的图象如图：
，
故当 时， 有3个零点；
当 或 时， 的图象与x轴有两个交点，则函数有2个零点；
当 时， 的图象与x轴有4个交点，则函数有4个零点；
由于 也为偶函数，结合 图象可知， 不可能有1个零点，
故选：A
4．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数 ， 若函数 ，则函
数 的零点个数为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】当 时， ，
当 时， ，
，
，且定义域为 ，关于原点对称，故 为奇函数，
所以我们求出 时零点个数即可，
， ，令 ，解得 ，
故 在 上单调递增，在 单调递减，
且 ，而 ，故 在 有1零点，，故 在 上有1零点，图像大致如图所示：
故 在 上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在 上也有2个零点，且 ，故
共5个零点，
故选：D.
5．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若函数 的定义域为 为偶函数，
当 时， ，则函数 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】D
【解析】令 解得 ，令 解得 ，
所以当 时， ，
为偶函数，所以 的图象关于 轴对称，
所以 的图象关于直线 轴对称，
故作出 的图象如下，
令 ，即 ，由图象可知， 的图象与 的图象共有四个交点，
所以函数 的零点个数为4个.
故选:D.
6．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数 是定义域为 的偶函数，且 是奇函数，当
时，有 ，若函数 的零点个数为5，则实数 取值范围是
（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】∵偶函数 ， ， 是奇函数，得 ，即
， ，得 ， ，即 与 的
图像交点的个数，因为 ，即为 与 的图像交点的个数，因为
的图像为半圆，故由图像可知斜率 应该在 与 之间或为 ，
或 ，
故选：C.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若存在 使得
，则 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，∴ 与 的图象关于直线 对称，作出
的大致图象如图所示，
易知 ，由 ，即 ， ，得 ，
∵ ，∴ ，得 ，
∴ .
设 ， 则 ， .
，当且仅当 取到等号，
故当 时，令 ， 单减， ，
故 .
故选：A
二、多选题
8．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，过 作倾
斜角为 的直线分别交 轴与双曲线右支于点 ， ，下列判断正确的是（ ）
A． ， B．C． 的离心率等于 D． 的渐近线方程为
【答案】BCD
【解析】如下图所示，因为 ，即 为 中点， 为 中点，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，A错误，B正确；
由 知： ，又 ， ，
所以 ，即 ，所以 ，解得： ，C正确；
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 的渐近线方程为 ，D正确．
故选：BCD．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 过抛物线 的焦点 ，且斜率为 ， 与抛物线交于
两点（ 在第一象限），以 为直径的圆分别与 轴相切于 两点，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．若 为抛物线 上的动点， ，则
D．若 为抛物线 上的点，则
【答案】ABC
【解析】设直线PQ的方程为：y （x﹣2），与 联立整理可得：3x2﹣20x+12=0，解得：x 或6，则P（6，4 ），Q（ ， ）；
所以|PQ|=6 4 ，选项A正确；
因为F(2,0),所以PF，QF的中点分别为：（4，2 ），（ ， ），
所以A（0， ），B（0， ），所以|AB|=2 ，
选项B正确；
如图M在抛物线上，ME垂直于准线交于E，可得|MF|=|ME|，
所以|MF|+|MN|=|ME|+|MN|≥NE=2+2=4，当N，M，E三点共线时，
|MF|+|MN|最小，且最小值为4，选项C正确；
对于选项D，若 为抛物线 上的点，则 ，又 ，
所以 ，选项D错误.
故选：ABC.
10．（2023春·河南·高三校联考）在三棱锥 中，平面 平面BCD， ，
， 为等边三角形，E是棱AC的中点，F是棱AD上一点，若异面直线DE与BF所成角的余弦值为
，则AF的值可能为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】AC
【解析】由 为等边三角形，取BD的中点O，连接 ,则
又平面 平面BCD，且平面 平面
所以 平面BCD，由
过 作与 平行的直线为 轴，分别以 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为 ，则 ， ，
所以 ．
设 ，则 ， ，
则 ，解得 或 ，
故 或 ．
故选：AC
11．（2023秋·福建三明·高一福建省宁化第一中学校考阶段练习）已知 为 的重心， ，
，则 的可能取值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】CD
【解析】如图， 是 的重心，记 ，
则 ，
，
又 ，即 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ．即 ．只有CD满足．
故选：CD．12．（2023春·湖北黄冈·高三校考开学考试）已知 的重心为 ，过 点的直线与边 ， 的交点
分别为 ， ，若 ，且 与 的面积之比为 ，则 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】BD
【解析】如图， ， ，即 ，设 ，则
，
三点共线， ， ，
所以 ， 与 的面积之比为 ， ，
即 ，化简得 ，解得 或3.
故选：BD
13．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校联考）在三维空间中，定义向量的外积： 叫做向量 与 的
外积，它是一个向量，满足下列两个条件：
① ， ，且 ， 和 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、
中指的指向一致，如图所示）；
② 的模 ，( 表示向量 ， 的夹角)．
在正方体 中，有以下四个结论，正确的有（ ）A． B． 与 共线
C． D． 与正方体表面积的数值相等
【答案】ABD
【解析】对于A，设正方体的棱长为 ，在正方体中 ，
则 ，
因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以A正确；
对于B， ， ， ， 平面 ， 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，同理可证 ，
再由右手系知， 与 同向，所以B正确；
对于C，由 ， 和 构成右手系知， 与 方向相反，
又由 模的定义知， ，
所以 ，则 ，所以C错误；
对于D，正方体棱长为 ， ，
正方体表面积为 ，所以D对．
故选：ABD．三、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .若关于 的方程
有6个不同的实数根，则 的取值范围___________.
【答案】
【解析】因为 ，
所以当 时， 开口向上，对称轴为 ， ，两零点为
；
当 时， ，则 在 上单调递减，零点为 ，且 ；
由此作出 的图像如图，
.
令 ，则当 时， 有三个实数根，
因为 有6个不同的实数根，
所以 必须有两个不等实根 ，且 ，
令 ，则 ，即 ，
解得 ，即 .
故答案为： .15．（2023春·全国·高一期末）已知函数 集合 ，
若集合 中有3个元素，则实数 的取值范围为________．
【答案】 或
【解析】令 ，记 的零点为 ，
因为集合 中有3个元素，所以 的图象与直线 共有三个交点，
则， 或 或
当 时，得 ， ，满足题意；
当 时，得 ， ，满足题意；
当 时， ，解得 .
综上，t的取值范围为 或 .
故答案为： 或
16．（2023秋·黑龙江绥化·高一校考期末） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，若 有两解，写出a的一个可能的值为__________．
【答案】 （满足 均可，答案不唯一）【解析】由于满足条件的 有两个，则 ，即 .
故答案为： （满足 均可，答案不唯一）．
17．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数 在 上有3个零点 ， ，
，其中 ，则 ______．
【答案】
【解析】令 ，故 ，
故 的零点为函数 与函数y＝m交点的横坐标，
作出函数g(x)在 上的大致图象：
令 ，解得 ，
令 ，得 ，则由图知 ，
令 ，得 ，则由图知 ，
故 ．
故答案为： ﹒
18．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知双曲线 与直线
无交点，则 的取值范围是_____．【答案】
【解析】依题意，由 可得 ，双曲线 的渐近线方程为 ，
因为双曲线 与直线 无交点，所以直线 应在两条渐近线上下两部分之间，
故 ，解得 ，即 .
故答案为： .
.
