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第三篇 思想方法篇
思想03 数形结合思想（练）
一、单选题
1．（2023秋·天津·高三统考期末）函数 在区间 上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）若函数 的部分图象如图，则 的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（河南省top20名校联盟2023届高三下学期2月联考理科数学试题）已知 ， ，若
，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·陕西西安·统考一模）已知函数 满足 ，若 ，则（ ）A． B．
C． D．
5．（2023春·青海西宁·高三统考开学考试）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，P是椭圆上任意
一点，过 作 的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与焦点间的最短距离为（ ）
A．2 B．1 C． D．
6．（2023·全国·模拟预测）定义在R上的奇函数 满足 ，且当 时， ．设
直线 与函数 的图象相交于点 ，记 ，则 （ ）．
A．18 B．20 C．22 D．24
7．（2023春·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）在平面直角坐标系中， 为原点，已知 ，
设动点 满足 ，动点 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
8．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆
锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题9．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知函数 ，若关于x的方程
恰有两个互异的实数解，则实数a的值可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
10．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）如图，在正方体 中，E为棱 上的一个动点，F
为棱 上的一个动点，则直线 与平面EFB所成的角可能是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）如图所示，在边长为3的等边三角形 中， ，且点
在以 的中点 为圆心， 为半径的半圆上，若 ，则（ ）
A． B．C． 存在最大值 D． 的最大值为
12．（2023·吉林·统考二模）如图，函数 的图象称为牛顿三叉戟曲线，函数 满足
有3个零点 ， ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2023·河南郑州·统考一模）设函数 则满足 的x的取值范围是______．
14．（2023春·江苏苏州·高一常熟中学校考开学考试）已知函数 ，（1）当 时，
则实数a，b之间的大小关系是___________；（2）若 ，且 ，则 的取值范围是
___________.
15．（福建省福州市八县（市）2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题）如图，已知一酒杯的内壁是由
抛物线 旋转形成的抛物面，当放入一个半径为1的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的A点，
当放入一个半径为2的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的A点，则p的取值范围为______ .16．（2023·河南·校联考模拟预测）在四面体ABCD中， ， ， ．若四面体
ABCD的体积为 ，则四面体ABCD外接球的表面积的最小值为______．
四、解答题
17．（2023·高三课时练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间，并指出其增减性；
(2)设集合 { 使方程 有四个不相等的实根}，求M.
18．（2022·河北·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)画出 和 的图象；
(2)当 时，若 恒成立，求实数 的取值范围．
19．（山东省日照市2023届高三一模考试数学试题）已知抛物线 ： 的焦点为 为 上的
动点， 垂直于动直线 ，垂足为 ，当 为等边三角形时，其面积为 .(1)求 的方程；
(2)设 为原点，过点 的直线 与 相切，且与椭圆 交于 两点，直线 与 交于点 ，试
问：是否存在 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
20．（2022秋·山西阳泉·高三统考期末）已知过点 的直线交抛物线 于 两点， 为坐标原
点．
(1)证明： ；
(2)设 为抛物线的焦点，直线 与直线 交于点 ，直线 交抛物线与 两点（ 在 轴的同
侧），求直线 与直线 交点的轨迹方程．
21．（2023秋·辽宁营口·高三统考期末）已知椭圆 （ ）的离心率为 ，且经过点
(1)求椭圆 的方程；
(2)过 作两直线与抛物线 （m>0）相切，且分别与椭圆C交于P，Q两点，直线 ， 的斜率分别
为 ，
①求证： 为定值；
②试问直线 是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
22．（2022秋·北京·高三北师大二附中校考开学考试）已知函数 .(1)当 时，求曲线 在 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若关于 的方程 恰有四个不同的解，求 的取值范围.
