文档内容
思想 02 运用数形结合的思想方法解题
【目录】
..............................................................................................................................................1
..............................................................................................................................................2
..............................................................................................................................................2
..............................................................................................................................................9
考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点..............................................................................................9
考点二：解不等式、求参数范围、最值问题........................................................................................................14
考点三：解决以几何图形为背景的代数问题........................................................................................................19
考点四：解决数学文化、情境问题.......................................................................................................................23
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、
综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，
二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和
描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、
处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化
归思想等．
1、以形助数（数题形解）：借助形的生动性和直观性来阐述数与形之间的关系，把抽象问题具体化，把
数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想．
2、以数辅形（形题数解）：借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性，把直观图形数量化，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想．
1．（2023·全国·统考高考真题）已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形，
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】法一：
连结 交于 ，连结 ，则 为 的中点，如图，
因为底面 为正方形， ，所以 ，则 ，
又 ， ，所以 ，则 ，
又 ， ，所以 ，则 ，
在 中， ，
则由余弦定理可得 ，
故 ，则 ，
故在 中， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 的面积为 .
法二：
连结 交于 ，连结 ，则 为 的中点，如图，因为底面 为正方形， ，所以 ，
在 中， ，
则由余弦定理可得 ，故 ，
所以 ，则
，
不妨记 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
则 ，整理得 ①，
又在 中， ，即 ，则
②，
两式相加得 ，故 ，
故在 中， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 的面积为 .
故选：C.
2．（2023·全国·统考高考真题）函数 的图象由函数 的图象向左平移 个单位长度
得到，则 的图象与直线 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C
【解析】因为 向左平移 个单位所得函数为 ，
所以 ，
而 显然过 与 两点，
作出 与 的部分大致图像如下，
考虑 ，即 处 与 的大小关系，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以由图可知， 与 的交点个数为 .
故选：C.
3．（2023·全国·统考高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ,所以 ,
即 ,即 ,所以 .
如图,设 ,由题知, 是等腰直角三角形,
AB边上的高 ,
所以 ,
,
.
故选:D.
4．（2023·全国·统考高考真题）已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与 交于B，
C两点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图所示， ，则由题意可知: ，
由勾股定理可得当点 位于直线 异侧时或PB为直径时，设 ，
则：
，则
当 时， 有最大值 .
当点 位于直线 同侧时，设 ，
则：
，，则
当 时， 有最大值 .
综上可得， 的最大值为 .
故选：A.
5．（2023·天津·统考高考真题）双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 作其中一
条渐近线的垂线，垂足为 ．已知 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图，
因为 ，不妨设渐近线方程为 ，即 ，
所以 ，
所以 .
设 ,则 ，所以 ，所以 .
因为 ,所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以双曲线的方程为
故选：D
6．（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥 中，线段 上的点 满足 ，线段 上的
点 满足 ，则三棱锥 和三棱锥 的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，分别过 作 ,垂足分别为 .过 作 平面 ，垂足为 ，
连接 ,过 作 ,垂足为 .
因为 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 .
又因为平面 平面 ， ， 平面 ，所以 平面 ，且 .
在 中，因为 ，所以 ，所以 ，
在 中，因为 ，所以 ，
所以 .
故选：B考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点
【例1】（2024·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知函数 在
上有两个极值点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 在 上有两个极值点，
所以 在 上有两个变号零点，
因为 ，令 ，即 ，可得 ．
令 ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以，函数 在 上递增，在 上递减，
因为 ， ， ，如下图所示：
当 时，直线 与函数 在 上的图象有两个交点，
设两个交点的横坐标分别为 、 ，且 ，由图可知，当 或 时， ，此时， ，
当 时， ，此时， ，
所以，函数 在 上递增，在 上递减，在 上递增，
此时，函数 有两个极值点，合乎题意.
因此，实数 的取值范围为 .
故选：B.
【变式1-1】（2024·安徽·高三校联考阶段练习）若函数 有三个不同的零点，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，得 ，即 ，
记 ，则 ，
对 求导得 ，
因为当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
且当 时， 且 ，当 时， ，当 时， ，
则函数 的大致图象如图，
记 ，由于 有三个不同的零点，
所以 必有两个不同的零点，记为 ，当 时，有 ，即 ，无解；
当 时，有 ，即 ，无解；
当 时，有 ，即 ，解得 ；
综上， 的取值范围为 .
故选：D.
【变式1-2】（2024·湖南永州·统考二模）已知函数 ，下列结论正确的是（ ）
A． 的图象是中心对称图形
B． 在区间 上单调递增
C．若方程 有三个解， ，则
D．若方程 有四个解，则
【答案】D
【解析】对于B，当 时， ，
，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，所以 ，所以 在区间 上单调递减，故B错误；
当 时， ，
，
因为 ， ，所以 ，所以 ，所以 在区间 上单调递增；
因为 ，所以 ，
所以 的对称轴为 ，
又 ，
，
故图象如下：
对于A，由图象可知， 不是中心对称图形，故A错误；
对于C，若方程 有三个解，则 ，故
又 ，解得 ，所以 ，
所以 ，故C错误；
对于D，由图象可知若方程 有四个解，则 ，解得 ，
故D正确.
故选：D
【变式1-3】（2024·四川攀枝花·统考二模）若关于x的方程 存在三个不等的实数根．则实
数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ， ，两者不等式，故 不是方程的根，
当 时， ，
令 ，则 ，
当 ， 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
且当 时， ，当 时， ，
画出 的图象如下：
令 ， ，
则 ，当 ， 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
且当 时， ，当 时， ，
画出 ， 的函数图象，如下：
令 ， ，则 ，
由于 在 上恒成立，
故当 ， 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
其中 ，
从 的函数图象，可以看出当 时， ，
当 时， ，画出函数图象如下，
要想 有三个不同的根，则 .
故选：D
考点二：解不等式、求参数范围、最值问题
【例2】（多选题）（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知函数 的图象
与直线 有三个交点，记三个交点的横坐标分别为 ，且 ，则下列说法正确的
是（ ）
A．存在实数 ，使得
B．
C．
D． 为定值
【答案】BCD
【解析】由方程 ，可得 ．
令 ，则有 ，即 ．
令函数 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，作出图象如图所示，要使关于 的方程 有三个不相等的实数解 ，且 ，
结合图象可得关于 的方程 一定有两个实根 ， ，
且 ， 或 ， ，
令 ，若 ， ，
则 故 ．
若 ， ，则 ，无解，
综上： ，故C正确；
由图结合单调性可知 ，故B正确；
若 ，则 ，又 ，故A不正确；
，
故D正确，
故选：BCD．
【变式2-1】（2024·河北邯郸·高三大名县第一中学校考阶段练习）已知函数 ，若关
于 的不等式 的解集中恰有两个整数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由题意知： 定义域为 ，则由 得： ；
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减；
又 ，可得 图象如下图所示：
如图所示： ， ， ， ，
将 解集中恰有两个整数转化为 图象在 下方的部分恰有两个横坐标为整数的
点，
恒过点 ，
当 时， 图象在 下方的部分恰有两个横坐标为整数的点，
又 ， ， ，即实数 的取值范围为 .
故选：A.
【变式2-2】（2024·河南新乡·高三阶段练习）已知函数 ，若关于 的不等式
的解集中恰有两个整数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知函数 的定义域为 ，
从而 等价于 ，即转化为函数 的图象在函数 的图象下方的部分恰有两个横坐标为整数的点.
因为 ，所以 .
当 时， ；当 时， .
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
画出函数 的大致图象，
如图所示. ， ， ，
由图可知 ，即 .
故选：A
【变式2-3】（2024·江苏苏州·高二星海实验中学校考期末）已知任意实数 ，关于 的不等式
恒成立，则实数 的最大整数值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 （ ），由题意知当 时，函数 的图像在直线 下方，
由 ，得 ，
当 变化时， ， 的变化如下表
1
0所以 的大致图像如图所示
当 时，由图像知不成立，
当 时，因为 ，所以当 时不成立；
当 时，设直线 与 的图像相切于点 ，则
，得 ，解得 ，
所以 ，
所以当 时，函数 的图像在直线 下方，
所以当 时， ，
故选：B
考点三：解决以几何图形为背景的代数问题
【例3】（2024·全国·模拟预测）已知 为坐标原点， 为抛物线 的焦点，点
，点 在 上， ，且 的面积为1，则 的准线方程为 ．
【答案】
【解析】解法一 由题知 的准线过点 ，如图，过点 作 的准线的垂线，垂足为 ，
由抛物线的定义可知 ，则由 可知 ，
所以在 中， ，得 ，
由 的面积为1，得 ，则 ，则 ，所以 ，得 ，所以 的准线方程为 ，
故答案为： ；
解法二 由题知 的准线过点 ，如图，过点 作 的准线的垂线，垂足为 ，
由抛物线的定义可知 ，由 可知 ，
所以在 中， ，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，所以 ，（另也可以通过证明 得到
）
则 为等腰直角三角形，所以 ，
又 的面积为1，所以 的面积为2，
则 ，得 ，所以 的准线方程为 ，
故答案为： .
【变式3-1】（2024·湖南永州·统考一模）在平行六面体 中， 为
的中点，过 的平面 分别与棱 交于点 ，且 ，则 （用
表示）．
【答案】
【解析】如图所示：由题意不妨设 分别为 的中点，容易证明四边形 是平行四边形，
即平面 为符合题意的平面 ，因此
，
又因为 ， ， ，且 ， ，
所以 .
故答案为： .
【变式3-2】（2024·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知正方体 的棱长为2，M为棱
的中点，N为底面正方形ABCD上一动点，且直线MN与底面ABCD所成的角为 ，则动点N的轨迹
的长度为 ．
【答案】
【解析】如图所示，取BC中点G，连接MG，NG，由正方体的特征可知MG⊥底面ABCD，
故MN与底面ABCD的夹角即 ，
∴ ，则 ，
故N点在以G为原点 为半径的圆上，又N在底面正方形ABCD上，
即N的轨迹为图示中的圆弧 ，易知 ，
所以 长为 .
故答案为： .
【变式3-3】（2024·贵州贵阳·统考模拟预测）已知正方体 的棱长为4，点P在该正方体的
表面上运动，且 ，则点P的轨迹长度是 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以点 可能在平面A B C D 内，可能在平面 内，可能在平面
1 1 1 1
内.
当点 在平面A B C D 内时，
1 1 1 1
由 平面A B C D ， 平面A B C D ，可知 ，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以 ，所以 ，
所以点 到 的距离为 ，
所以点 的轨迹为以点 为圆心， 为半径的圆与正方形A B C D 边界及其内部的交线.
1 1 1 1
如上图， ， ，
则 的长 ，
所以，当点 在平面A B C D 内时，点P的轨迹长度是 .
1 1 1 1同理可得，当点 在平面 内时，点P的轨迹长度也是 .
当点 在平面 时，点P的轨迹长度也是 .
综上所述，点P的轨迹长度为 .
故答案为： .
【变式3-4】（2024·浙江绍兴·高三统考期末）在正方体 中， 分别是棱 的中
点，过 、 、 的平面 把正方体截成两部分体积分别为 ，则 .
【答案】
【解析】延长 交 的延长线与点 ，连接 交 于点 ，连接 ：
延长 交 的延长线与点 ，连接 交 于点 ，连接 ：
所以过 、 、 的截面为 ，如下图所示：
设正方体的棱长为 ，由 ， 分别是棱 、 的中点，
所以 ，
所以 ， ，
则过 、 、 的截面下方几何体的体积为
，
所以另一部分体积为 ，则 .
故答案为： .
考点四：解决数学文化、情境问题
【例4】（2024·全国·高三专题练习）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上
用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多
面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有 个面角，每个面角是 ，所以正四面体在每个顶点
的曲率为 ，故其总曲率为 .给出下列三个结论：
①正方体在每个顶点的曲率均为 ；
②任意四棱锥的总曲率均为 ；
③若某类多面体的顶点数 ，棱数 ，面数 满足 ，则该类多面体的总曲率是常数.
其中，所有正确的结论是 （填写序号）.
【答案】①②③
【解析】对于①，根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为 ，故①正确；
对于②，由定义可得多面体的总曲率 顶点数 各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为
4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为 ，故②正确；
对于③，设每个面记为 边形，
则所有的面角和为 ，
根据定义可得该类多面体的总曲率 为常数，故③正确.
故填：①②③
【变式4-1】（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年
提出了以下猜想： 是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出
，不是质数．现设 ，数列 的前 项和为 ，则使不等式
成立的正整数 的最大值为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】B【解析】依题意， ， ，
则 ，
则
，而 ，解得 ，
所以满足条件的正整数 的最大值为 .
故选：B
【变式4-2】（2024·河北邢台·高三统考期末）保定的府河发源于保定市西郊，止于白洋淀藻杂淀，全长26
公里．府河作为保定城区主要的河网水系，是城区内主要的排沥河道．府河桥其桥拱曲线形似悬链线，桥
型优美，是我市的标志性建筑之一，悬链线函数形式为 ，当其中参数 时，该函数就是
双曲余弦函数 ，类似的有双曲正弦函数 ．若设函数 ，若
实数 满足不等式 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意， ，
函数定义域为R，为增函数，
由 ，则函数 为奇函数，
由 ，即
所以 ，解得 ，
所以x的取值范围为 .
故选：A
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．已知卫星运
行轨道近似为以地球为圆心的圆形，运行周期 与轨道半径 之间关系为 （K为常数）．已知甲、乙两颗卫星的运行轨道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲的运行轨道半径为 ， 分别
是甲、乙两颗卫星的运行轨道上的动点，则 之间距离的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图，设卫星乙的运行轨道半径为 ，因为 ，且 ，所以 ，
设地球的球心为 ，则 ，当且仅当 与 共线且位于 两侧时取得等号，
故选：B．
【变式4-4】（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）秦九韶（1208年~1268年），字道古，祖籍鲁
郡（今河南省范县），出生于普州（今四川安岳县）．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元
数学四大家.1247年秦九韶完成了著作《数书九章》，其中的大衍求一术（一次同余方程组问题的解法，
也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义
的重要贡献．设 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，面积为 ，秦九韶提出的“三斜
求积术”公式为 ，若 ， ，则由“三斜求积
术”公式可得 的面积为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】因为 ，由正弦定理得 ，所以 ，
又因为 ，由余弦定理得 ，
可得 ，所以 .
故选：B．
【变式4-5】（2024·辽宁大连·高三统考期末）在财务审计中，我们可以用“本•福特定律”来检验数据是
否造假.本福特定律指出，在一组没有人为编造的自然生成的数据（均为正实数）中，首位非零的数字是
这九个事件不是等可能的.具体来说，随机变量 是一组没有人为编造的首位非零数字，则
.则根据本•福特定律，首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之比约
为（ ）（保留至整数，参考数据： ）.
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】由题意可得 .
故选：B.
