文档内容
思想 02 运用数形结合的思想方法解题
【命题规律】
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、
综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，
二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和
描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、
处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化
归思想等．
【核心考点目录】
核心考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点
核心考点二：解不等式、求参数范围、最值问题
核心考点三：解决以几何图形为背景的代数问题
核心考点四：解决数学文化、情境问题
【真题回归】
1．（2022·北京·统考高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·天津·统考高考真题）设 ，对任意实数x，记 ．若 至
少有3个零点，则实数 的取值范围为______．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ， ，
离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是
________________．
4．（2022·浙江·统考高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形 的边 上，则
的取值范围是_______．
5．（2022·天津·统考高考真题）在 中， ，D是AC中点， ，试用 表示
为___________，若 ，则 的最大值为____________
【方法技巧与总结】1、以形助数（数题形解）：借助形的生动性和直观性来阐述数与形之间的关系，把抽象问题具体化，把
数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想．
2、以数辅形（形题数解）：借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性，把直观图形数量
化，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想．
【核心考点】
核心考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点
【典型例题】
例1．（2023·河北衡水·高三周测）设 是定义在 上的偶函数，对任意的 ，都有
，且当 时， ，则在区间 内关于 的方程
的根的个数为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的图象上有且仅有四个不同的点关于直
线 的对称点在 的图象上，则实数 的取值范围是
A． B． ， C． D．
例3．（2023·上海·高三专题练习）已知函数f（x）＝x2＋ex－ （x<0）与g（x）＝x2＋ln（x＋a）的图
象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例4．（2023·全国·高三专题练习）设 是定义在R上的偶函数，对任意的 ，都有
，且当 时， ，若在区间 内关于 的方程
恰有三个不同的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
核心考点二：解不等式、求参数范围、最值问题【典型例题】
例5．（2023春·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考阶段练习）设函数 ，其中
， ，若存在 ，使得 成立，则实数 的值是
A． B． C． D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 对任意 ， 恒成立，则
实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例7．（2023春·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考期中）设函数 ， ，其中
，若存在唯一的整数 使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
核心考点三：解决以几何图形为背景的代数问题
【典型例题】
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，若点P是 所在平面内的一点，
且 ，则 的最大值等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
例9．（2023春·浙江杭州·高二学军中学阶段练习）设不等式 的解集为
，则 的值是（ ）
A．5 B． C．6 D．7
例10．（2023春·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）若不等式 的解集为区间 ，
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．2核心考点四：解决数学文化、情境问题
【典型例题】
例11．（2023·全国·高三专题练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角 的一
边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得 最大．”如图，其结论是：点P为过M，N两点且
和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两
点M（-1，2），N（1，4），点P在x轴上移动，当 取最大值时，点P的横坐标是（ ）
A．1 B．-7 C．1或-1 D．2或-7
例12．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴
藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平
面直角坐标系中，曲线 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：
①曲线 围成的图形的面积是 ；
②曲线 上的任意两点间的距离不超过2；
③若 是曲线 上任意一点，则 的最小值是1．
其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例13．（2023·青海海东·统考一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术
之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪
纸窗花（如图1）．已知正方形 的边长为2，中心为 ，四个半圆的圆心均为正方形 各边的中
点（如图2），若 在 的中点，则 ___________．
【新题速递】一、单选题
1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）若直线 与曲线 有两个交点，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考阶段练习）已知x，y是实数，且 ，
则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·陕西渭南·高一统考）已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时，
.若函数 ，则函数 的零点个数不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数 ， 若函数 ，则函
数 的零点个数为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
5．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若函数 的定义域为 为偶函数，
当 时， ，则函数 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
6．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数 是定义域为 的偶函数，且 是奇函数，当
时，有 ，若函数 的零点个数为5，则实数 取值范围是
（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若存在 使得
，则 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
二、多选题
8．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，过 作倾
斜角为 的直线分别交 轴与双曲线右支于点 ， ，下列判断正确的是（ ）
A． ， B．
C． 的离心率等于 D． 的渐近线方程为
9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 过抛物线 的焦点 ，且斜率为 ， 与抛物线交于
两点（ 在第一象限），以 为直径的圆分别与 轴相切于 两点，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．若 为抛物线 上的动点， ，则
D．若 为抛物线 上的点，则
10．（2023春·河南·高三校联考）在三棱锥 中，平面 平面BCD， ，
， 为等边三角形，E是棱AC的中点，F是棱AD上一点，若异面直线DE与BF所成角的余弦值为
，则AF的值可能为（ ）
A． B．1 C． D．
11．（2023秋·福建三明·高一福建省宁化第一中学校考阶段练习）已知 为 的重心， ，
，则 的可能取值为（ ）
A． B．1 C． D．
12．（2023春·湖北黄冈·高三校考开学考试）已知 的重心为 ，过 点的直线与边 ， 的交点
分别为 ， ，若 ，且 与 的面积之比为 ，则 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．3
13．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校联考）在三维空间中，定义向量的外积： 叫做向量 与 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：
① ， ，且 ， 和 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、
中指的指向一致，如图所示）；
② 的模 ，( 表示向量 ， 的夹角)．
在正方体 中，有以下四个结论，正确的有（ ）
A． B． 与 共线
C． D． 与正方体表面积的数值相等
三、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .若关于 的方程
有6个不同的实数根，则 的取值范围___________.
15．（2023春·全国·高一期末）已知函数 集合 ，
若集合 中有3个元素，则实数 的取值范围为________．
16．（2023秋·黑龙江绥化·高一校考期末） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，若 有两解，写出a的一个可能的值为__________．
17．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数 在 上有3个零点 ， ，
，其中 ，则 ______．
18．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知双曲线 与直线
无交点，则 的取值范围是_____．
