文档内容
思想 01 运用分类讨论的思想方法解题
【命题规律】
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、
综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，
二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和
描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、
处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化
归思想等．
【核心考点目录】
核心考点一：由情境的规则引起的分类讨论
核心考点二：由定义引起的分类讨论
核心考点三：由平面图形的可变性引起的分类讨论
核心考点四：由变量的范围引起的分类讨论
核心考点五：由空间图形的可变性引起的分类讨论
【真题回归】
1．（2022·浙江·统考高考真题）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 ．证
明：
（ⅰ）若 ，则 ；
（ⅱ）若 ，则 ．
（注： 是自然对数的底数）
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
【方法技巧与总结】
当被研究的问题出现多种情况且综合考虑无法深入时，我们通常将可能出现的所有情况分别进行讨论，
得出每种情况下相应的结论，这就是分类讨论的思想，包含分类与整合两部分，既化整为零，各个击破，
又集零为整．
基本步骤是：（1）研究讨论的必要性，确定讨论对象；（2）确定分类依据，并按标准分类；（3）
逐类解决，获得各类的结果；（4）归纳整合，得到结果．
分类的基本原则是：（1）标准统一，不重不漏；（2）层次明晰，不混不乱．
分类讨论应用的热点：（1）由概念、定义、公式、定理、性质等引起的分类讨论，如直线的斜率是
否存在，幂、指数、对数函数的单调性，等比数列的公比是否为1等．（2）由数学运算规则引起的分类讨
论，如除法运算中分母不为零，偶次方根为非负数，不等式两边同乘（除）以一个数（式）的符号等．
（3）由变量的范围引起的分类讨论，如对数的真数与底数的范围，指数运算中底数的范围，函数在不同
区间上单调性受参变量的影响等．（4）由图形的可变性引起的分类讨论，如图形类型、位置，点所在的
象限，角大小的可能性等．（5）由情境的规则引起的分类讨论，情境问题的规则在解决数学问题时常需
要分类讨论思想，如体育比赛的规则等．
【核心考点】
核心考点一：由情境的规则引起的分类讨论
【典型例题】
例1．多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得 5分，有选错的得0
分，部分选对的得3分．若选项中有 其中 个选项符合题目要求，随机作答该题时 至少选
择一个选项 所得的分数为随机变量 其中 ，则有（ ）
A． B．
C． D．
例2．甲、乙、丙、丁进行乒乓球比赛，比赛规则如下：
第一轮：甲和乙进行比赛，同时丙和丁进行比赛，两个获胜者进入胜者组，两个败者进入败者组；第二轮：胜者组进行比赛，同时败者组进行比赛，败者组中失败的选手淘汰；
第三轮：败者组的胜者与胜者组的败者进行比赛，失败的选手淘汰；
第四轮：第三轮中的胜者与第二轮中胜者组的胜者进行决赛，胜者为冠军．
已知甲与乙、丙、丁比赛，甲的胜率分别为 ；乙与丙、丁比赛，乙的胜率分别为 ；丙与丁
比赛，丙的胜率为 任意两场比赛之间均相互独立．
求丙在第二轮被淘汰的概率；
在丙在第二轮被淘汰的条件下，求甲所有比赛全胜并获得冠军的概率．
例3．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖
后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分
布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，
已知 ，求 ；
设 p 表 示 该 种 微 生 物 经 过 多 代 繁 殖 后 临 近 灭 绝 的 概 率 ， p 是 关 于 x 的 方 程 ：
的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时，
；
根据你的理解说明 问结论的实际含义．
核心考点二：由定义引起的分类讨论
【典型例题】
例4．已知数列 满足
求数列 的通项公式；
求数列 的前n项和例5．设数列 的前n项和为 ，且满足
求数列 的通项公式；
若 求数列 的前15项的和．
例 6．已知正项数列 的前 n 项和为 ，如果 都有 ，数列 满足
，数列 满足 ， 设 为 的前n项和，则当 取得最
大值时，n的值等于（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
核心考点三：由平面图形的可变性引起的分类讨论
【典型例题】
例7． 中，内角A，B，C的对边分别为a，b， 已知 ，
求角
若AC边上的点D满足 ， ，求 的面积．
例8．若恰有三组不全为0的实数对 、 满足关系式 ，则实数
t的所有可能的值为__________．
例9．过双曲线C： 的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线
垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点 已知O为坐标原点，若 的内切圆的半径为，则双曲线C的离心率为__________．
核心考点四：由变量的范围引起的分类讨论
【典型例题】
例10．已知函数 为 的导函数．
求证： 在 上存在唯一零点；
f(x)
求证： 有且仅有两个不同的零点．
例11．已知函数 的图像经过 点．
f(x)
确定a的值，并讨论函数 的极值点：
设 ，若当 时， ，求实数m的取值范围．
例12．已知函数 是自然对数的底数
若 ，求 的单调区间；
若 ，试讨论 在 上的零点个数． 参考数据：
核心考点五：由空间图形的可变性引起的分类讨论
【典型例题】
例13．正方体 棱长为2，动点P在线段 上 含端点 ，以下结论不正确的为
（ ）
A．三棱锥 的体积为定值B．过P，B， 三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或平面四边形
C．当点P和 重合时，三棱锥 的外接球体积为
D．直线PD与面 所成角的正弦值的范围为
例14．两条异面直线a，b所成的角为 ，在直线a，b上分别取点A，E和点B，F，使 ，
且 已知 ， ， ，则线段AB的长为（ ）
A．8 B． C． D．
例15．（多选题）如图，在三棱锥 中， 平面 为垂足点，
F为BD中点，则下列结论正确的是（ ）
A．若AD的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值
B．若AC的长为定值，则该三棱锥内切球的半径也为定值
C．若BD的长为定值，则EF的长也为定值
D．若CD的长为定值，则 的值也为定值
【新题速递】
一、单选题
1．已知 为奇函数，且在 (0,) 上是递增的，若 ，则 的解集是
（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或2．已知函数 若存在 ， ，且 ，使得 ，则实
数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知角 的终边上一点 ，则 （ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
4．已知函数 是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．若关于x的不等式 恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D． 或
二、多选题
6．对于给定实数a，关于x的一元二次不等式 的解集可能是（ ）
A． B．
C． D．R
7． ，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，则方程 的根的个数可能为
（ ）
A．2 B．6 C．5 D．4
9．设数列 的前n项和为 ，且 ，若 ，
则下列结论正确的有A． B．当 时， 取得最小值
C．当 时，n的最小值为7 D．当 时， 取得最小值
10．在棱长为1的正方体 中，M是线段 上的一个动点，则下列结论正确的是
（ ）
A．四面体 的体积恒为定值
B．直线 与平面 所成角正弦值可以为
C．异面直线BM与AC所成角的范围是
D．当 时，平面BDM截该正方体所得的截面图形为等腰梯形
11．已知函数 若 ，则实数a的值可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．定义新运算“ ”，满足对任意的 ，有 若对 ，
恒成立，则实数m的取值范围是__________．
13．已知定义域为R的函数 ，满足 ，则实数a的取值范围是
__________．
14．在等比数列 中， ， ，则公比 __________．
15．若 是定义在R上的奇函数，当 时， 为常数 ，则当 时
__________．16．设抛物线 的焦点为F，过点F作直线l与抛物线交于A，B两点，点M满足
为坐标原点 ，过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若 ，则点P的横坐
标为__________， __________．
17．已知关于x的不等式 ，若 ，则该不等式的解集是__________，
若该不等式对任意的 均成立，则实数a的取值范围是__________．
