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思想 03 运用函数与方程的思想方法解题
【命题规律】
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、
综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，
二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和
描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、
处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化
归思想等．
【核心考点目录】
核心考点一：运用函数的思想研究问题
核心考点二：运用方程的思想研究问题
核心考点三：运用函数与方程的思想研究不等式问题
核心考点四：运用函数与方程的思想研究其他问题
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、右
顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为离心率 ，解得 ， ，
分别为C的左右顶点，则 ，
B为上顶点，所以 ．
所以 ，因为
所以 ，将 代入，解得 ，
故椭圆的方程为 ．
故选：B．
2．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分
别交于M，N两点，且 ，则l的方程为___________．
【答案】【解析】[方法一]：弦中点问题：点差法
令 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，
设直线 ， ， ，求出 、 的坐标，
再根据 求出 、 ，即可得解；
令 的中点为 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即
所以 ，即 ，设直线 ， ， ，
令 得 ，令 得 ，即 ， ，
所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以直线 ，即 ；
故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法由题意知，点 既为线段 的中点又是线段MN的中点，
设 ， ，设直线 ， ， ，
则 ， ， ，因为 ，所以
联立直线AB与椭圆方程得 消掉y得
其中 ，
∴AB中点E的横坐标 ，又 ，∴
∵ ， ，∴ ，又 ，解得m=2
所以直线 ，即
[方法三]：
令 的中点为 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即
所以 ，即 ，设直线 ， ， ，
令 得 ，令 得 ，即 ， ，所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以直线 ，即 ；故答案为：
3．（2022·全国·统考高考真题）写出与圆 和 都相切的一条直线的方程
________________．
【答案】 或 或
【解析】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为 ，
于是 ，
故 ①， 于是 或 ，
再结合①解得 或 或 ，
所以直线方程有三条，分别为 ， ，
填一条即可
[方法二]：
设圆 的圆心 ，半径为 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
则 ，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然 符合题意；
又由方程 和 相减可得方程 ，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为 ，
直线OC与直线 的交点为 ，
设过该点的直线为 ，则 ，解得 ，
从而该切线的方程为 填一条即可
[方法三]：
圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心 为 ，半径为 ，
两圆圆心距为 ，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，当切线为l时，因为 ，所以 ，设方程为
O到l的距离 ，解得 ，所以l的方程为 ，
当切线为m时，设直线方程为 ，其中 ， ，
由题意 ，解得 ，
当切线为n时，易知切线方程为 ，
故答案为： 或 或 ．
4．（2021·全国·统考高考真题）曲线 在点 处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】由题，当 时， ，故点在曲线上．
求导得： ，所以 ．
故切线方程为 ．
故答案为： ．
5．（2022·全国·统考高考真题）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为____________，
____________．
【答案】
【解析】[方法一]：化为分段函数，分段求
分 和 两种情况，当 时设切点为 ，求出函数
导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 ，即可求出切线方程，
当 时同理可得；
因为 ，
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
故答案为： ；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
因为 是偶函数，图象为：
所以当 时的切线，只需找到 关于y轴的对称直线 即可．
[方法三]：
因为 ，
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；故答案为： ； ．
【方法技巧与总结】
1、函数与方程是紧密相联、可以相互转化的．在研究方程解的存在性、方程解的个数、方程解的分
布等问题时，一般利用方程的性质，对方程进行同解变形，进而构造函数，利用函数的图象与性质求解方
程问题．例如，方程 解的个数可以转化为函数 的图象与 轴交点的个数，也可以参变分离，
转化为水平直线与函数图象交点的个数，也可以部分分离，转化为斜线与函数图象交点的个数，也可以构
造两个熟悉函数，转化为两个函数图象交点的个数．
2、在研究函数问题时，运用方程的思想，设出未知数，通过题目中的等量关系，建立方程（组），
进而求解方程（组），或者将方程变形，构造新函数，更易于研究其图象和性质．例如，在研究曲线的切
线问题时，设出切点横坐标 ，得到切线斜率 ，切线方程为 ， 从而
将函数中的切线问题转化为关于切点横坐标 的方程问题．
3、函数、方程、不等式三位一体，常常相互转化．在研究不等式的解集、不等式恒成立、不等式有
解、不等式的证明等问题时，最重要的思想方法就是函数与方程思想，构造适当的函数，分析、 转化不
等式问题．例如，不等式 或 恒成立，可以转化为 或 ．也可以考虑参
变分离再求函数的最值．
4、函数与方程的思想贯穿高中数学的多个模块，在数列、解析几何、三角形、立体几何等内容中都
有广泛的运用．函数思想体现的是运动与变化的观念，通过分析问题中的数量关系，建构函数，再运用函
数的图象与性质分析．转化问题，进而解决问题．方程思想体现的是“动中求静”，寻求变化过程中保持
不变的等量关系，建构方程（组），通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析，转化问题，使问
题获得解决．
【核心考点】
核心考点一：运用函数的思想研究问题
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，设函数 若关于 的方程
恰有两个互异的实数解，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】当 时，令 ，则 ，
因为 为增函数，所以当该方程在 时无实数根时，，所以 ，
① 时， 时有一个解，所以 时， 有一个解，
当 时， 是递减的，
则 ，
所以 时有一个解，
即当 时， 恰有两个互异的实数解；
② 时， 在 时无解，
此时 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以方程在 时有1个解，
即当 时，方程 只有一个实数解，
③ 时， 在 时无解，
则 时， ，
所以 ，该方程要在 时有2个不等的实数解，
即函数 在 上有2个不同的零点，
所以 ，解得 ，
综上所述， 的范围为 ，
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）若 在 上为增函数，求实数 的取值范围；
（2）若 在 上最小值为 ，求实数 的值；
（3）若 在 上只有一个零点，求实数 的取值范围．【解析】（1）由 得
若 在 为增函数，则 所以
（2）令
即 最小值为
若 则 时最小
若 则 时最小 无解
若 时 则 时最小 得 舍去
（3） 只一个零点
由 得 舍去
或
若 有二个零点且只一个在 内
则
即
解得
．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）若 ，证明：当 时， ；
（2）若 在 只有一个零点，求 的值．
【解析】（1）［方法一］：【最优解】指数找朋友
当 时， 等价于 ．
设函数 ，则 ．
，所以 在 单调递减．
而 ，故当 时， ，即 ．
［方法二］：【通性通法】直接利用导数研究函数的单调性求得最小值当 时， ．
令 ，令 ，得 ．则函数 在区间 内单调递减，在区间
内单调递增，从而 ，所以函数 在区间 内单调递增，有
．
［方法三］：【最优解】指对等价转化
当 时， ．
令 ，函数 在区间 上单调递增，故
，有 ，故当 时， ．
（2）［方法一］：指数找朋友
设函数 ，
在 只有一个零点当且仅当 在 只有一个零点．
（i）当 时， ， 没有零点；
（ii）当 时， ．
当 时， ；当 时， ．
所以 在 单调递减，在 单调递增．
故 是 在 的最小值．
①若 ，即 ， 在 没有零点；
②若 ，即 ， 在 只有一个零点；
③若 ，即 ，由于 ，所以 在 有一个零点，
由（1）知，当 时， ，所以 ．
故 在 有一个零点，因此 在 有两个零点．
综上， 在 只有一个零点时， ．
［方法二］：等价转化为直线与曲线的交点个数
令 ，得 ．令 ．则函数 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，
则 ．当 时， ，当 时， ，故函数 在区间
内只有一个零点时， ．
［方法三］：等价转化为二次曲线与指数函数图象的交点个数
函数 在区间 内只有一个零点等价于函数 的图象与函数 的图象在区间 内
只有一个公共点．由 与 的图象可知它们在区间 内必相切于y轴右侧同一点，设切点为
，则 ，解方程组得 ，经验证符合题意．
［方法四］：等价转化为直线与曲线的交点个数
当 时， ，原问题转化为动直线 与曲线 在区间 内只有一个公
共点．由 得函数 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增．设 与
的切点为 ，则 ，于是函数 在点P处的切线方程为
．由切线过原点可得 ，故 ．
［方法五］：【通性通法】含参讨论
因为 ， ，
当 时， 在区间 内单调递增，又 ，故 无零点；
当 时， ．
①当 时， 在区间 内单调递增，有 在区间
内单调递增，又 ，故 无零点；
②当 时，令 ，得 ，故函数 在区间 内单调递减，在区间
内单调递增． ，从而 单调递增．又 ，所以
无零点．
③当 时， ，又 ，所以存在 ，使得 ，则函数
在区间 内单调递增，在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，且 ，则
为函数 的唯一零点，且 满足 ．所以 ，解得 ，则 ．
［方法六］：【最优解】等价变形＋含参讨论
当 时， ，无零点；
当 时， ，记 ，则 ；
当 时， ，函数 在区间 内单调递增，则有 ，故 无零点；
当 时，当 时， 单调递诚，当 时， 单调递增，当
时， ，当 时， ，
故 ，得 ．
【整体点评】（1）方法一：根据指数找朋友，将不等式等价转化为 ，这样可以减少求导
的次数，便于求最值，是该题的最优解．；
方法二：常规的直接求导，研究函数的单调性求最值，是该题的通性通法；
方法三：利用指对互化，将不等式等价转化为 ，这样可以减少求导的次数，便于求最值，
是该题的最优解．
（2）方法一：根据指数找朋友，原函数 在 只有一个零点等价于 在 只有
一个零点，再分类讨论以及利用导数研究其单调性即可解出；
方法二：利用函数零点个数与两函数图象交点个数关系，等价转化为直线与曲线的交点个数，即可解出；
方法三：利用函数零点个数与两函数图象交点个数关系，等价转化为二次曲线与指数函数图象的交点个数，
即可解出；
方法四：同方法二；
方法五：直接含参讨论函数的单调性确定最值，再根据零点存在性定理判断即可解出，是该类型题的通性
通法；
方法六：易知当 时函数无零点，只需考虑 时的情况， ，再含参讨论函数
的单调性，研究其最值即可解出，是本题的最优解．
核心考点二：运用方程的思想研究问题
【典型例题】
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，其中 ．
（1）请利用 的导函数推出 导函数，并求函数 的递增区间；
（2）若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 的切线平行，求（化简为只含 的代数式）；
（3）证明：当 时，存在直线 ，使得 既是 的一条切线，也是 的一条切线．
【解析】（1）对于 ，则 ，
又 ，所以 ，
因为 ，定义域为 ，
，因为 ，所以 ，
所以当 时 ，所以 的单调递增区间为 ；
（2）由 ，可得曲线 在点 处的切线的斜率为 ．
由 ，可得曲线 在点 处的切线的斜率为 ．
这两条切线平行，故有 ，即 ，
两边取以 为底数的对数，得 ，
；
（3）证明：曲线 在点 处的切线 ，
曲线 在点 ， 处的切线 ．
要证明当 时，存在直线 ，使 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，
只需证明当 时，存在 ， 使得 与 重合，
即只需证明当 时，方程组
由①得 ，代入②得：
，③
因此，只需证明当 时，关于 的方程③存在实数解．
设函数 ，既要证明当 时，函数 存在零点．，可知 时， ； 时， 单调递减，
又 ， ，
故存在唯一的 ，且 ，使得 ，即 ．
由此可得， 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
在 处取得极大值 ．
，故 ．
．
下面证明存在实数 ，使得 ，
令 ，则 ，
所以当 时 ，当 时 ，即 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以当 时，有
．
存在实数 ，使得 ．
因此，当 时，存在 ，使得 ．
当 时，存在直线 ，使 是曲线 的切线，也是曲线 的切线．
例5．（2023春·安徽滁州·高三校考阶段练习）已知函数 ．
（Ⅰ）不需证明，直接写出 的奇偶性：
（Ⅱ）讨论 的单调性，并证明 有且仅有两个零点：
（Ⅲ）设 是 的一个零点，证明曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线．
【解析】（Ⅰ）定义域为 ，函数为奇函数．
（Ⅱ）因为 ，
由（Ⅰ）知， 为奇函数，且
所以， 在 和 上单调递增．
在 上， ，所以 在 上有唯一零点 ，即 ．
又 为奇函数， ．
故 在 上有唯一零点 ．
综上， 有且仅有两个零点．
（Ⅲ）因为 ，故点 在曲线 上．
由题设知 即 ，连接 ，
则直线 的斜率
曲线 在点 处切线的斜率是 ；
曲线 在点 处切线的斜率也是 ．
所以曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线．
例6．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考一模）若直线 是曲线 的切线，也是
的切线，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设直线 与 和 的切点分别为 ， ，
则切线方程分别为，
，
，
化简得，
依题意上述两直线与 是同一条直线，
所以， ，解得 ，
所以 ．
故选：C．
例7．（2023·全国·高三专题练习）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 （ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】对于 ，设切点为 ， ，
则切线方程为 ，
即 …①；
对于 ，设切点为 ，
则切线方程为 ，
…②；
由①②得： 解得 ， ；
故选：A．
核心考点三：运用函数与方程的思想研究不等式问题
【典型例题】
例8．（2023春·广西·高三期末）已知函数
（1）当 时，求 的最小值；
（2）若对 ，不等式 恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1）化简得 ，
当 时， ，
当 时等号成立，所以 的最小值为2；
（2）由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
又因为 ，
当且仅当 时，等号成立．
所以，
或或 ．
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ，求 的取值范围
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】若 ，则 ， ， ，
即 ， ，解得 ；
若 ，则 ， ， ，
即 ， ，解得 ；
若 ， ， ，满足，
综上所述， ， 的取值范围为 ，
故选：D．
例10．（2023·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）已知函数 ，若
时， ，求a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题，得 ，设 ，则
， ．
当 ， ， 单调递增；当 ， ， 单调递减．
又 ，故 在 存在唯一零点，即 在 存在唯一零点．
由题设知 ，可得 ．因为 在 存在唯一零点，设为 ，且当 时，
；当 时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减．
又 ，所以，当 时， ．
又当 ， 时， ，故 ．
因此，a的取值范围是 ．
故选：B
核心考点四：运用函数与方程的思想研究其他问题【典型例题】
例11．（2023春·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）已知 的内角A，B，C的对边分别
是a，b，c， 的面积为S，且满足 ， ．
（1）求A和a的大小；
（2）若 为锐角三角形，求 的面积S的取值范围．
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理得：
所以 ，
所以 ，
因为 中 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，由余弦定理得： ，解得 ，
综上， ， ．
（2）由（1）知： ， ，
由正弦定理得： ， ．
因为 为锐角三角形，故 ，得 ．
从而 的面积
，
又 ， ，
所以 ，从而 的面积的取值范围为 ．例12．（2023春·河北张家口·高三张家口市第一中学校考阶段练习）已知椭圆 的离
心率为 ，其中一个焦点在直线 上．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆交于 两点，试求三角形 面积的最大值．
【解析】（1）椭圆的一个焦点即为直线与 轴的交点 ，所以 ，
又离心率为 则 ， ，所以椭圆方程为 ；
（2）联立若直线 与椭圆方程得 ，令 ，得
设方程 的两根为 ，
则 ， ， ，
点 到直线的距离 ，
当且仅当 ，
即 或 时取等号，而 或 满足 ，
所以三角形 面积的最大值为1．
例13．（2023春·陕西咸阳·高三陕西咸阳中学校考期中）已知数列 是各项均为正数的等差数列．
（1）若 ，且 ， ， 成等比数列，求数列 的通项公式；
（2）在（1）的条件下，数列 的前n项和为 ，设 ，若对任意的 ，不
等式 恒成立，求实数k的最小值．
【解析】（1）依题意， ， ，设正项等差数列 的公差为d，则 ，
于是得 ，解得 或 （舍去），则 ，
所以数列 的通项公式是 ．
（2）因数列 的前n项和为 ，则由（1）知： ，，
，
即 ，有 ，则数列 是递减数列，因此， ，
因对任意的 ，不等式 恒成立，从而得 ，
所以实数k的最小值为 ．
例14．（2023春·北京·高三校考期中）已知函数
（1）函数 的值域是____________．
（2）若关于x的方程 恰有两个互异的实数解，则a的取值范围是______________-．
【答案】
【解析】（1）当 时， ；
当 时， ，
所以函数 的值域为 ．
（2）关于x的方程 （a∈R）恰有两个互异的实数解，
即函数 的图象与直线 有两个不同的交点，
在平面直角坐标系内画出函数 的图象和直线 如图所示，
当直线 分别经过点 和 时，a的值分别为 和 ，有图易得当 时，函数 的图象和直线 有两个交点；
当直线 与函数 的图象在 内相切时，
有 ，即 有且仅有一个根，
则有 ，
解得 （ 舍去）．
综上所述，a的取值范围是 ．
故答案为： ； ．
【新题速递】
一、单选题
1．（2023·广东茂名·高三统考）已知三棱柱 的顶点都在球O的表面上，且
，若三棱柱 的侧面积为 ，则球O的表面积的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意可知三棱柱 是直三棱柱，设其高为 ，
设 ，
则 ， ，，
由余弦定理得 ，即 ，
设三角形 的外接圆半径为 ，则 ，
所以球 的半径
，
当且仅当 时等号成立．
所以球 的表面积的最小值为 ．
故选：C
2．（2023·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知函数 ，
，若 存在三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 存在三个零点，所以方程 存在三个实根，
因为当 时， ，即 有且只有一个实根，
所以当 时， ，即 有且只有2个实根，
令 ， ，则 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以当 时， 取得最大值 ，又 时， ， 时， ，
由函数 ， 的图象可知， ．
所以实数 的取值范围是 ．
故选：B．
3．（2023春·河北沧州·高三阶段练习）已知数列 满足： ，则下列说法正
确的是（ ）
A．若 ，则数列 是单调递减数列 B．若 ，则数列 是单调递增数列
C． 时， D． 时，
【答案】C
【解析】由 得 ，
即 ，
所以数列 是以4为公差的等差数列，
函数 ，
A项， ， ， 在 上是单调递增函数，即数列 是单调递增数列，
B项， ， 在 上是单调递减函数，即数列 是单调递减数列，
C项， 时，可知 ， ，
，
D项， 时， ，由C知， ，
故选：C．二、多选题
4．（2023·浙江嘉兴·高一统考期末）已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ，则下列
结论正确的是（ ）
A．对任意 ， B．对任意 ， 的最小值为
C． 的最大值为 D． 的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为 ， ．所
以 ，故A正确．
对于D，设 ，则 ， ，应用A的结论得，
，
等号可以取到，故D正确．
对于B，因为 ，所以 ，
，故B正确．
对于C， ，故C错误，
故选：ABD．
5．（2023春·福建泉州·高三福建省永春第一中学校考阶段练习）已知圆 ，直线
，则（ ）
A．直线 恒过定点
B．当 时，圆 上恰有三个点到直线 的距离等于1
C．直线 与圆 有一个交点
D．若圆 与圆 恰有三条公切线，则
【答案】AD
【解析】对于A选项，直线 ，所以 ，令 ，
解得 ，所以直线恒过定点 ，故A选项正确．对于B选项，当 时，直线 为： ，则圆心 到直线 的距离为 ，
，所以圆上只有2个点到直线的距离为
，故B选项错误．
对于C选项，因为直线过定点 ，所以 ，所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点．故
C选项错误．
对于D选项，由圆的方程 可得， ，所以圆心为 ，半径为
，因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，则 ，解
得 ，故D选项正确．
故选：AD
6．（2023春·山东日照·高三统考）下列命题中是真命题的有（ ）
A． 有四个实数解
B．设a、b、c是实数，若二次方程 无实根，则
C．若 ，则
D．若 ，则函数 的最小值为2
【答案】BC
【解析】对 ：令 ，容易知其为偶函数，
又当 时，令 ，解得 ；
故函数 有两个零点，即 ，故 错误；
对 ：若二次方程 无实根，故可得 ，
即可得 ，故 正确；
对 ： ，则 ，解得 ，且 ，
此时一定有 ，故 正确；
对 ：令 ， ，则原函数
等价于 ，根据对勾函数的单调性可知，
该函数在区间 上是单调增函数，
故可得函数的最小值为 ．故 错误．
故答案为： ．7．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 ，
若 ， ，则（ ）
A． B．若 ，则 的最小值为
C． 取到最大值时， D．设 ，则数列 的最小项为
【答案】AD
【解析】由 ，可得 ，
则等差数列 的通项公式为 ，则选项A判断正确；
若 ，则
则
（当且仅当 时等号成立）
又 ，则 的最小值为不为 ．则选项B判断错误；
等差数列 中，
则等差数列 的前 项和 取到最大值时， 或 ．则选项C判断错误；
设 ，则 ，则
则
则数列 的最小项为 ．则选项D判断正确
故选：AD
8．（2023春·福建泉州·高三泉州五中校考）数列 满足 ， ， ，则下列说法正确
的是（ ）
A．当 时，
B．当 时，
C．当 时，
D．当 时，数列 单调递增，数列 单调递减【答案】AB
【解析】A选项， ，设 ，整理得： ，
所以 ，故 ，又 ，，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列，
所以 ， ，A正确；
B选项， ，
因为 ，所以 ，
，
猜想： ，下面用数学归纳法进行证明：
显然 ，满足要求，
假设 时，成立，即 ，
则当 时，因为 ，所以 ，
故 ，B正确；
C选项，由B选项知， ，
画出 与 的图象，
因为 ，且 ，
画出蛛网图，可以看出：当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
，
故 ， ，
所以 ， ，两不等式相加得： ，C错误；，
因为 ，所以 ，
显然 ， ，故此时 为常数列，D错误．
故选：AB
三、填空题
9．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）若函数 在定义域 内存在非零实数
，使得 ，则称函数 为“壹函数”，则下列函数是“壹函数”的是______．
① ；② ；③ ；④ ．
【答案】②③
【解析】对于①， 的定义域为 ，由 ，得 ，平方得
，解得 ，不是非零实数，则 不是“壹函数”；
对于②， 的定义域为 ，由 ，得 ，即
，解得 ，则 是“壹函数”；
对于③， 的定义域为 ，由 ，得 ，可得 ，即
，解得 ，则 是“壹函数”；
对于④， 的定义域为 ，由 ，得 ，解得 ，不
是非零实数，则 不是“壹函数”．
故答案为：②③．
10．（2023春·四川成都·高一校联考）已知函数 满足 ，当 时，不等式 恒成立，则实数a的取值范围为_________．
【答案】
【解析】因 ，当 时，不等式 恒成立，则f（x）在R上单调递减，
由 知， ，则 ，
当 时， ，当 时， 在 上单调递减，此时 ，解得 ，
则 ，
当 时，因函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
而函数 在 上单调递减，必有 ，解得 ，则 ，
所以实数a的取值范围为 ．
故答案为：
四、解答题
11．（2023春·安徽淮北·高一淮北一中校考阶段练习）已知函数 ，且函数 的值域为
．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的不等式 在 上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程 有三个不同的实数根，求实数k的取值范围．
【解析】（1）由题意知， ，即 ，解得 ．
（2）由 在 上恒成立，可化为 在 恒成立；
令 ，由 ，可得 ，
则 在 上恒成立．
记 ，函数 在 上单调递减，所以 ．
所以 ，解得 ，所以实数m的取值范围是 ．（3）方程 有三个不同的实数根，
可化为 有三个不同根．
令 ，则 ．当 时， 且递减，
当 时， 且递增，当 时， ，
当 时， 且递增．
设 有两个不同的实数根 且 ．
原方程有3个不同实数根等价于 或 ．
记 ，则 或
解得 ．
综上，实数k的取值范围是 ．
12．（2023春·上海浦东新·高一华师大二附中校考）已知函数 ，函数
的值域为 ．
（1）若不等式 的解集为 ，求m的值；
（2）在（1）的条件下，若 恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的不等式 的解集为 ，求实数c的值．
【解析】（1）不等式 可化为 ．
因为不等式 的解集为 ，所以-2和1是方程 的两根，
代入得： ，解得：m=2．
（2）在（1）的条件下， ．
所以 可化为 ．
因为 ，
所以 ，所以 ．
即实数k的取值范围 ．
（3）由 的值域为 可知： ，即 ．
不等式 可化为 ，其解集为 ．
设方程 的两根为 ，则
又 ，
所以 ，
解得：c=9．
13．（2023春·江苏南通·高三阶段练习）已知函数 、 ．
（1）当c＝b时，解关于x的不等式 ＞1；
（2）若 的值域为[1， ），关于x的不等式 的解集为（m，m＋4），求实数a的值；
（3）若对 ， ， ， 恒成立，函数 ，且 的最大值为1，
求 的取值范围．
【解析】（1）当 时，由 得 ，即 ，
当 ，即 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ．
（2）由 的值域为 ，得 ，
又关于 的不等式 的解集为 ，所以 ， 是方程 的两个根，即
的两根之差为4．
所以 ，则 ，解得 ．
（3） 时， ，则 时， 恒成立．又 ，因为 的最大值为1， 在 上的最大值为
1，由 图像开口向上，所以 ，即 ，则 ，且 ；
此时由 时， 恒成立，即 恒成立，则 ，得 ，
所以 ，要满足 时， 恒成立，则 ，解得 ，
，所以 ．
此时 ．
14．（2023春·河北邯郸·高三校考）已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 上的点 的横坐
标为1，且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过焦点 作两条相互垂直的直线（斜率均存在），分别与抛物线 交于 ､ 和 ､ 四点，求四边
形 面积的最小值．
【解析】（1）由已知知： ，解得 ，
故抛物线 的方程为： ．
（2）由（1）知： ，设直线 的方程为： ， 、 ，则直线
的方程为： ，
联立 得 ，则 ，所以 ， ，
∴ ，
同理可得 ，
∴四边形 的面积 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
∴四边形 面积的最小值为2．
15．（2023春·内蒙古·高三赤峰二中校考阶段练习）已知椭圆 的左右两个焦点分别为 ， ，以坐标原点为圆心，过 ， 的圆的内接正三角形的面积为 ，以 为焦点的抛物线
的准线与椭圆C的一个公共点为P，且 ．
（1）求椭圆C和抛物线M的方程；
（2）过 作相互垂直的两条直线，其中一条交椭圆C于A，B两点，另一条交抛物线M于G，H两点，求
四边形 面积的最小值．
【解析】（1）圆 半径为 ，故内接正三角形的面积为
∴ ，即
又 ， ，故
∴ ，∴
∴椭圆 ．
（2）由已知得直线 的斜率存在，记为
（i）当 时， ， ，故 ．
（ii）当 时，设 ，代入 ，得：
∴ ．
此时， ，代入 得：
∴ ．
∴
综上， ．
16．（2023春·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校考阶段练习）定义：若对定义域内任意x，都
有 （a为正常数），则称函数 为“a距”增函数．
（1）若 ， （0， ），试判断 是否为“1距”增函数，并说明理由；
（2）若 ， R是“a距”增函数，求a的取值范围；
（3）若 ， （﹣1， ），其中k R，且为“2距”增函数，求 的最小值．
【解析】（1）任意 ， ，因为 ， ， 所以 ，所以 ，即 是“1距”增函数．
（2） ．
因为 是“ 距”增函数，所以 恒成立，
因为 ，所以 在 上恒成立，
所以 ，解得 ，因为 ，所以 ．
（3）因为 ， ，且为“2距”增函数，
所以 时， 恒成立，
即 时， 恒成立，
所以 ，
当 时， ，即 恒成立，
所以 ， 得 ；
当 时， ，
得 恒成立，
所以 ，得 ，
综上所述，得 ．
又 ，
因为 ，所以 ，
当 时，若 ， 取最小值为 ；
当 时，若 ， 取最小值．
因为 在R上是单调递增函数，
所以当 ， 的最小值为 ；当 时 的最小值为 ，
即 ．
17．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）在① ，② ，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
锐角 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， 的面积为S，已知______．
（1）求角C的大小；
（2）求 的取值范围．
【解析】（1）若选择条件①
∵ ，
∴ ，
即
，
∴ ， ， ．
若选择条件②原式 ，再根据正弦定理边角互化可知
，即 ， ， ，
若选择条件③原式 ，即 ， ， ；
（2）∵ 为锐角三角形且
∴
∴ ，∴ ，
∴ ，
即 的锤子数学取值范围为 ．
