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专题 04 全等三角形之倍长中线模型与截长补短模
型的二类综合题型
目录
典例详解
类型一、全等三角形模型之倍长中线模型
类型二、全等三角形模型之截长补短模型
压轴专练
类型一、全等三角形模型之倍长中线模型
1）倍长中线模型（中线型）
条件：AD为△ABC的中线。 结论：
证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）
2）倍长类中线模型（中点型）
条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。
∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）
例1．如图，在 中， 平分 ，E为 的中点， ．求证： ．
【变式1-1】老师在某节数学课上提出了如下问题：在 中， ， ，求边 上的中线
的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：
①延长中线 至点Q，使得 ；
②连接 ，把 集中在 中；
③利用三角形的三边关系，可得 ．
请根据该小组的方法思考，回答下列问题：
(1)直接写出 的取值范围是___________；
(2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把
分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
如图2， 是 的中线， ， ， ，用等式表示 和 的数量
关系并证明．
【变式1-2】【发现问题】
（1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在 中， ， ． 是 的中
线，求 的取值范围．
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长 到E，使得 ；②连接
，通过三角形全等把 、 、 转化在 中；③利用三角形的三边关系可得 的取值范围
为 ，从而得到 的取值范围是________；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形【问题解决】
（2）如图2， 是 的中线， 是 的中线， ，下列四个选项中：直接写出
所有正确选项的序号是________．
① ；② ；③ ；④
【问题拓展】
（3）如图3， ， ， 与 互补，连接 、 ，E是 的中点，试说明：
；
（4）如图4，在（3）的条件下，若 ，延长 交 于点F， ， ，则 的
面积是________．
类型二、全等三角形模型之截长补短模型
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词
句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。
截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法：** 错误的表达式 **在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；** 错误的表达式 **在AD上
取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等例2．如图， 交 于 ，交 于 平分 平分 ，直线 经过点 并与
分别交于点 ．
(1)如图①，求证： ；
(2)如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，直接写出 三条线段的数量
关系．
【变式2-1】阅读下面文字并填空：
数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在 中， 平分 ， ．求证：
”．
李老师给出了如下简要分析：要证 就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如
图2，在 上截取 ，连接 ，只要证 __________即可，这就将证明线段和差问题转化为证
明线段相等问题，只要证出 __________ __________，得出 及 __________，再证出
__________ __________，进而得出 ，则结论成立．
请仿照上题方法解决以下问题：
变式应用：如图， 和 是等腰三角形，且 ， ， ， ，
以A为顶点作一个 角，角的两边分别交边 延长线于点E、F，连接 ，则 之间
存在什么样的关系？并说明理由．【变式2-2】如图1，在四边形 中， ，点 ，点 分别在边 ， 上，已知
， ．
(1)求证： ；
(2)如图2，若点 ，点 分别在边 ， 的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成
立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由．
一、单选题
1． 中， 是 边上的中线，若 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．∵ 是 边上的中线，
∴ ，
在 和 中，
2．如图，在四边形 中， 是 的平分线，且 ．若 ，则四边
形 的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在长方形 中， 是 中点， 在边 上，若 ，则 （ ）
A．3 B．2 C．1.5 D．
二、填空题
4．如图，已知在 中， 平分 ， ，则 . （用含
的代数式表示）.5．如图， 中， 为 的中点， 是 上一点，连接 并延长交 于 ．若 ，
， ，那么 的长度为 ．
6．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN
周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是 ．
三、解答题
7．如图 ， 、 分别平分 、 ，交于E点．
(1)如图1，求 的度数．
(2)如图2，过点E的直线分别交 、 于B、C，猜想 、 、 之间的存在的数量关系：
_______．(3)试证明（2）中的猜想．
．即 ．
8．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线
段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材
料，解答下列问题：如图1，在 中， 平分 ，交 于点 ，且 ，求证：
．
(1)为了证明结论“ ”，小亮在 上截取 ，使得 ，连接 ，解答了这个问题，
请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等）
(2)如图2，在四边形 中，已知 ， ， ， ， 是
的高， ， ，求 的长．
9．（1）方法呈现：
如图①：在 中，若 ，点D为 边的中点，求 边上的中线 的取值范围．解决
此问题可以用如下方法：延长 到点E使 ，再连接 ，可证 ，从而把
集中在 中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即
可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在 中，点D是 的中点， 于点D， 交 于点E， 交 于F，连接 ，
判断 与 的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形 中， ， 与 的延长线交于点F、点E是 的中点，若 是
的角平分线．试探究线段 之间的数量关系，并加以证明．10．【综合探究】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小军在组内做了如下尝
试：如图1，在 中， 是 边上的中线，延长 到 ，使 ，连接 ．
（1）【探究发现】图1中，由已知和作图能得到 的理由是 ．
A． B． C． D．
（2）【初步应用】如图2，在 中，若 ， ，求得 的取值范围是________．
A． B． C． D．
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已
知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
（3）【问题解决】如图3，分别以 和 为边作等腰直角三角形，即在 中， ，
，在 中， ， ，连接 ，试探究 与 的数量关系，并说明理
由．
提示： ．延长 到 ，使 ，连接 ，根据 （ ， ，
）证明 ，得 ，又因为 ，所以 ．
11．综合与探究[问题情境]
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（ ），在四边形 中， 平分 ，
于点 ，且 ．
求证：
小明是这样思考的：因为 平分 ，根据角平分线的性质，
所以过点 作 的延长线于点 ，先证明 ，再证明 ，即可证出
，
小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长 至 ，使 ，连接 ，先证明
，再证明 ，即可证出 ．请你帮助小明或小丽完成证明过程．
[实践探究]
（2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．
老师又出示了一个问题．如图（ ），在 中 ，点 为 的中点，
交 于 ．
①求证： ；
②求证： ．
12．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
【初步探索】
（1）如图1，在 中，若 ．求 边上的中线 的取值范围．以下两位同学是这样思
考的：
小聪：延长 至 ，使 ，连接 ．利用全等将边 转化到 ，在 中利用三角形三边
关系即可求出中线 的取值范围．
小明：过点 作 ，交 的延长线于点 ．利用全等将边 转化到 ，在 中利用三角形
三边关系即可求出中线 的取值范围．
在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_____；中线 的取值范围是_____．【灵活运用】（2）如图2，在 中，点 是 的中点， ，其中
，连接 ，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在五边形 中， ， ， ， 为
边上的中线．
①求证： ；②若 ， ，则五边形 的面积为_____．
