文档内容
北师大版（2024）第五章《二元一次方程组》5.4二元一次方程与一次函数教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 五
课题 二元一次方程与一次函数 课时 1
1、理解二元一次方程（组）及其解的概念，理解一次函数及其图像的概念；
课标 2、探索并理解二元一次方程的解与一次函数图像的交点之间的关系；
要求 3、能运用二元一次方程组合一次函数解决简单的实际问题，体会数学模型的建立和运用过
程。
《二元一次方程与一次函数》是北师大版八年级上第五章第4节内容．该节内容是二元一
次方程（组）与一次函数及其图象的综合应用．通过探索“方程”与“函数图象”的关系，培
养学生数学转化的思想，通过二元一次方程方程组的图象解法，使学生初步建立了“数”（二
教材 元一次方程）与“形”（一次函数的图象（直线））之间的对应关系，进一步培养了学生数形
分析 结合的意识和能力．本节要注意的是由两条直线求交点，其交点的横纵坐标为二元一次方程组
的近似解，要得到准确的结果，应从图象中获取信息，确立直线对应的函数表达式即方程，再
联立方程应用代数方法求解，其结果才是准确的．学生在探索过程中体验数形结合的思想方法
和数学模型的应用价值，这对今后的学习有着十分重要的意义.
学生的知识技能基础：学生能够正确解二元一次方程（组），初步掌握了一次函数及其图
像的基础知识，已经具备了函数的初步思想，对于数形结合的数学思想也有所接触。学生的活
学情 动经验基础：学生能够根据已知条件准确画出一次函数图象，能够认识和接受函数解析式与二
分析 元一次方程之间的互相转换．在过去已有经验基础上能够加深对“数”和“形”间的相互转化
的认识，有小组合作学习经验。
1.初步理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解.
核心 2.通过思考和操作，建立“数”与“形”之间的对应，培养学生初步的数形结合的意识和能
素养 力.
目标 3.通过自主探索，揭示方程和图象之间的对应关系，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科
学精神，进一步激发学生学习数学的兴趣.
教学 二元一次方程（组）和一次函数的关系；
重点
教学 数形结合和数学转化的思想意识。
难点
教学 课件
准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、知识 1. 若两个变量x,y间的对应关系可以表示成 回顾知识，完 知识回顾，唤醒记
衔接 y=kx+b (k,b 为常数， k ≠ 0 ） 的形式，则称y是x 成习题。 忆，为新授奠基
的一次函数.
2.若两条直线互相平行，则这两条直线中的k 相等 .
3.关于x的一元一次方程都可以变形为kx+b=0(k≠0) 的
形式，方程kx+b=0的解即为函数 y=kx+b当 y=0 时x
所对应的值，从图象上看，则为函数图象与x轴交点
的 横坐标 . .
4.解二元一次方程组的方法有 加减消元和代入消元 .
三、探究 探究一：二元一次方程与一次函数的关系 1、探究一， 设计三个探究：探
新知 小组交流讨论 究一，二元一次方
4个问题。 程与一次函数的关
2、探 究 小 系，理解二元一次结； 方程的解就是一次
x+y=5是二元 函数图像上的对应
一次方程，变 点。探究二，探究
形 成 y=-x+5 二元一次方程组的
称为一次函 解就是两直线的交
数。函数图像 点。探究三，两两
上的点都是二 直线平行是二元一
问 题 1. 元一次方程的 次方程组无解，两
方 x=0 x=2 x=3 x=4 程 x＋ 解。 直线重合是二元一
y＝５的解有多少个 y ？ =5 写 出 y 其 =3 中 的 y= 几 2 个 . y=1 3、两点法作 次方程组有无数个
【有无数个解； 】 出一次函数的 解。建立数与形的
问题2.以这些解为坐标的点在一次函数y=-x+5的图象 图像， 对应关系，培养学
上吗？ 4 、 小 组 交 生数形结合意识。
【把x=0、2、3、4，代入y=-x+5中求出y=5、3、2、 流；方程组的
1，所以这些解都在y=-x+5的图像上】 解和相应的两
个函数图象的
问题3.在一次函数图象上任取几个点，它们的坐标适
交点坐标有什
合方程x＋y＝５吗？它们是方程的解吗？
么关系?
【（1，4）、（5，0）（-1，6）。因为 1+4=5,
4、探 究 小
5+0=5, -1+6=5,所以直线上的点都是方程 x+y=的
结：
解。】
方程组的解就
问题4.以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像
是两直线的交
与一次函数y=-x+5的图象相同吗？
点坐标；
【方程x+y=5的解有无数个，以方程x+y=5的解为坐
5、探究两直
标的所有点组成的图像与一次函数y=-x+5的图象相
线平行于方程
同，是同一条直线。
组解的关系。
即一个二元一次方程对应平面上的一条直线。】
6、探 究 小
探究小结：
结：
x+y=5是二元一次方程，变形成 y=-x+5称为一次函
当k1≠k2 时，
数。函数图像上的点都是二元一次方程的解。
两直线交于一
小试牛刀
点，此时对应
1.把下列二元一次方程转化为一次函数
的二元一次方
（1）y-2x=1； （2）2y+x=4
程组有一组
【y=2x+1, y=-0.5x+2】
解.
2.以方程2x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一
当k1=k2
次函数 y=-2x+ 5 的图像相同.
b1≠b2时，两
3.如图所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都
直线互相平
是方程x-2y=2的解的是（ C)
行，无交点，
此时对应的二
A. B. C. D.
元一次方程组探究二，用图像法解二元一次方程组 无解.
1、作y=5-x的图像 当k1=k2
取两点（0,5)，(5,0)，作出 b1=b2时，两
一次函数y=5-x的图象 直线重合，无
2、作y=2x-1的图像 数个交点，此
取两点（0.5,0)，(0,-1)， 时对应的二元
作出 一次方程组无
一次函数y=2x-1的图象 数个解.
3、解方程组
思考：方程组的解和相应的两个函数图象的交点坐标
有什么关系?
【方程组的解就是两直线的交点坐标】
小试牛刀
1.以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数
画图像，所得两条直线（ D ）
A. 有无数个交点 B.没有交点
C. 只有一个交点 D. 以上都有可能
2.根据下列图象，说出哪些方程组的解.
x=1
y=1
x=-2
y=1
探究三：两直线平行于方程组解的关系
在同一直角坐标系内， 一
次函数y = x + 1 和 y = x
- 2 的图象有怎样的位置
关系？【两直线平行】
方程组 解
的情况如何?【无解】探究小结
归纳：对于两条直线
当k1≠k2 时，两直线交于一点，此时对应的二元一次
方程组有一组解.
当k1=k2 b1≠b2时，两直线互相平行，无交点，此时
对应的二元一次方程组无解.
当k1=k2 b1=b2时，两直线重合，无数个交点，此时
对应的二元一次方程组无数个解.
小试牛刀：
1. 已 知 二 元 一 次 方 程 组 a x- y+ b= 0 的 解
kx-y=0
为则函数y=kx+b和y=kx 的图象的交点坐标为 交点
．
2.以2x- y=5方程的解为坐标的所有点组成的图象与
一次函数 y=6x-15 的图
y
象相同． 5
l
1
3..图中的直线 y=-x+4 和 4
3
直线 y=2x+1 的交点坐标是
2
（1,3）则该坐标可以看作 1
y=-x+4
方程组 y = 2 x + 1 的解。 O 1 2 3 4 l x
2
五、尝试 基础达标： 完成课堂练习 引导学生能够在课
1.若方程组没有解,由此一次函数y=2-x与y=-x的图 题 堂练习的完成过程
像必定 ( B ). 中对要点知识加深
A. 重合 B. 平行 C. 相交 D. 无法判断 巩固，有效应用。
2.有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗？【没
有】
图象之间有何关系？【平行】
3.直线y=ax+b和直线y=bx+3a的交点坐标是(2,-1)，
则 a=-1,b= 1 .
4、用图象法解方程组：
x=2
y=-5x=2
y=6
5. 直线y=-2x+3 与直线y=2x的交点坐标是
方程组 的解是______
6. 方程组 y = a x + 4 的解是 x = 4 则直线
y=bx+4 y=0
y=ax+4 与直线y=bx+4的交点坐标是 (4,0 )
7. 如图，在平面直角坐标系中，直线 ：
y=x+3与直线 ：y=mx+n交于点A(-1,b)，则关
于x、y的的方方程程组组 的解为
y=x+3
( A y=mx+n
A. x = - 1 B. x=2
y=2 y=1
C. x = 2 D. x=-1
y=-1 y=-2
能力提升：
8.一顾客准备办理上网业务，发现有两种收费方式：
方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B
除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网
时间计费。顾客选择那种收费方式更划算呢？
方法一：设上网时间为x分钟，收费为y元。
方式A:y=0.1x 方式B Y=0.05X+20
解方程组
y=0.1x
y=0.05x+20
得 x=400
y=40
故交点坐标为 (400,40) 。
由图象知：
当0 < x < 400时，选方式A省钱；
当x = 400时，选方式A或 B都一样
当x > 400时，选方式B省钱。
方法2：设上网时间为x分，方式B与方式A两种计费的差额yB- yA为y元，
得y =-0.05x+20，当差额为0是即
-0.05x + 20 = 0
得：x=400
故直线 与x 轴的
交点为（400，0）
由图象知：
当0 < x < 400时，y > 0，选方式A省钱；
当x = 400时，y = 0，选方式A或B都一样；
当x > 400时，y < 0，选方式B省钱
拓展迁移：
9.如图，已知直线 分别与x轴、y轴交
于点A，B，直线 分别与x轴、y轴交
于点C，D，且直线AB与CD相
交于点P, .
（1）求 b 的值和点 P 的坐
标；
（2）求△ADP的面积.
解答提示；
(1)求出A,B两点的坐标A(-2,0),B(0,1);根据三角形
ABD的面=2和A，B的坐标,求出D点坐标，即可求出
b. 再把两个二元一次函数联立成方程组，可求出P点
坐标。
（2）三角形ADP的面积=三角形ABD面积+三角形BDP
面积或等于三角形ACD面积+三角形ACP面积
答案是：(1),b=-1;P(4,3)
(2),6
六、提升 利用图像法求二元一次方程组的解一般步骤： 引导学生对本 引导学生从知识内
1、将两个方程化成一次函数形式； 节课知识进行 容、研究方法以及
2、画出两个一次函数图象； 小结。 运用过程三个方面
3、找到两条直线交点坐标即为方程组的解 总结自己的收获，
让学生全面把握本
若两条直线相交，则交点就是二元一次方程组的
节课的重点和难
解；
点，并启发学生用
若两条直线平行，则二元一次方程组无解.
类比或迁移的方法
若两直线重合是二元一次方程组有无数个
学习后续课程。
板书设计 二元一次方程与一次函数的关系 利用简洁的文字、
符号、图表等呈现
二元一次方程的解 本节课的新知，可
以帮助学生理解掌
一次函数图像点的坐标 握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标：
（课外练
1．如图，若直线 与直线 相交于点A，则方程组 的
习）
解是（ A ）
A． B． C． D．
2．小亮在用作函数图象的方法解二元一次方程组时，在同一坐标系中作出如图所示的图
象，他解的这个方程组可能是（ D ）
A． B． C． D．
第1题 第2题 第3题
3.如图，已知一次函数y=ax+b和y=kx的图象相交于点P，则根据图象可得二元
一次方程组 y = ax + b 的解是( A )
Kx-y=0
A. x=-4 B. x=-2 C. x=2 D. x=2
y=-2 y=-4 y=4 y=-4
4．．．以以以一一一个个个二二二元元元一一一次次次方方方程程程组组组中中中的的的两两两个个个方方方程程程作作作为为为一一一次次次函函函数数数画画画图图图象象象，，，所所所得得得的的的两两两条条条直直直线线线（（（ D ）
A．有一个交点 B．有无数个交点 C．没有交点 D．以上都有可能
5．以方程组 的解为坐标的点在（ A ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．若直线 经过点(0,4)， 经过点(3,2)，且 与 关于x轴对称，则 与 的交点坐标为（
B ）
A．(-2,0) B．(2,0) C．(-6,0) D．(6,0)
7.方程组 的解为 ；所以点(−1，1)是直线 y=3x+ 4 与直线y=2x+3 的交
点．
8．直线y=kx-2和y=2x+k的交点的横坐标为2，则k= 6 .
能力提升：9如图，已知A(3,1)与B(1,0)，PQ是直线y=x上的一条动线段且
PQ= ,(Q在P的下方)，当AP+PQ+BQ最小时，Q点坐标为
( )
【解析】：作B点关于PQ的对称B ,BQ=B Q,B(1,0);B (0,1);
过A点作MN∥PQ,并将A点沿MN向下平移 单位得A .由
于A(3,1），AA = .
∴A (2,0),则四边形AA PQ是平行四边形，得到AP=QA 如
图；
AP+PQ+BQ=QA +PQ+BQ ，由于PQ是固定值，只有当A 、
Q、B 三点共线时AP+PQ+BQ值最小。B (0,1);A (2,0)用
待定系数法求出A B 的解析式y=-0.5x+1,与直线y=x联立解方程求出交点坐标，
拓展迁移：
10.已知一次函数 和 的图象都经过点A(-2,0)，且与y轴分别交于点
B，点C.求△ABC的面积.
解：对于 ，当 时， ，
所以 ，
解得 .
对于 ，当 时， ，
所以 ，
解得 .
所以 ， .
所以 ， .
所以 .
11.如图，一次函数L :y=kx+b(k≠0）的图象经过A(0,4)和D(4,0)两点，一次函数L
:y=x+1的图象与x轴交于点C，直线相交于点B连接AC．
(1)求K，b的值;
(2)求点B的坐标;
(3)求△ b=4
k=-1
解：(1) A(0,4),B(4,0)代入y=kx+b(k≠0），得 b=4
4k+b=0解得
(2)由(1)得L :y=-x+4，联立L ，L ，得 y=-x+4
y=x+1
4k+b=0
解得
所以B
对于y=x+1，当y=0时，x+1=0，解得x=-1，
所以点C(-1,0)，
所 以．
教学反思
