文档内容
第五章 二元一次方程组
5.4二元一次方程与一次函数导学案
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学习目标与重难点
学习目标：
1.初步理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解.
2.通过思考和操作，建立“数”与“形”之间的对应，培养学生初步的数形结合的意识和能力.
3.通过自主探索，揭示方程和图象之间的对应关系，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精
神，进一步激发学生学习数学的兴趣.
学习重点：二元一次方程（组）和一次函数的关系；
学习难点：数形结合和数学转化的思想意识
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预习自测
一、知识链接
1 . 若两个变量x,y间的对应关系可以表示成 的形式，
则称y是x的一次函数.
2.若两条直线互相平行，则这两条直线中的k .
3.关于x的一元一次方程都可以变形为kx+b=0(k≠0) 的形式，方程kx+b=0的解即为函数 y=kx+b
当 时x所对应的值，从图象上看，则为函数图象与x轴交点的 .
4.解二元一次方程组的方法有 .
二、自学自测
（本节课内容预习自测，设置3-5个练习，选择题或填空题均可，题目难度相对简单）
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教学过程
合作交流、新知探究
探究一：二元一次方程与一次函数的关系
问题1.方程x＋y＝５的解有多少个？写出其中的几个.
问题2.以这些解为坐标的点在一次函数 y=-x+5的图象上 吗？
问题3.在一次函数图象上任取几个点，它们的坐标适合方 程
x＋y＝５吗？它们是方程的解吗？问题4.以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y=-x+5的图象相同吗？
探究小结：
x+y=5是二元一次方程，变形成y=-x+5称为一次函数。函数图像上的点都是二元一次方程的解。
小试牛刀
1.把下列二元一次方程转化为一次函数
（1）y-2x=1； （2）2y+x=4
2.以方程2x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数 的图像相同.
3.如图所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都是方程x-2y=2的解的是（ )
A. B. C. D.
探究二，用图像法解二元一次方程组
1、作y=5-x的图像,取两点（ , )，( , )，
作出一次函数y=5-x的图象
2、作y=2x-1的图像,取两点（ , )，( , )，
作出一次函数y=2x-1的图象
3、解方程组
解得：
思考：方程组的解和相应的两个函数图象的交点坐标
有什么关系?
【方程组的解就是两直线的交点坐标】
小试牛刀
1.以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图像，所得两条直线（ ）
A. 有无数个交点 B.没有交点 C. 只有一个交点 D. 以上都有可能
2.根据下列图象，说出哪些方程组的解.探究三：两直线平行于方程组解的关系
1、在同一直角坐标系内， 一次函数y = x + 1 和 y = x - 2
的图象有怎样的位置关系？
2、方程组 解的情况如何?
3、探究小结
归纳：对于两条直线
当k1≠k2 时，两直线交于一点，此时对应的二元一次方程组有一组解.
当k1=k2 b1≠b2时，两直线互相平行，无交点，此时对应的二元一次方程组无解.
当k1=k2 b1=b2时，两直线重合，无数个交点，此时对应的二元一次方程组无数个解.
小试牛刀：
1.已知二元一次方程组 a x - y + b = 0 的解为则函数y=kx+b和y=kx 的图象的交点坐标为 ．
kx-y=0
2.以2x- y=5方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 的图象相同．
3..图中的直线 y=-x+4和直线y=2x+1的交点坐标是（1,3）则该坐标可以看作方程组 的解。
y
5
l
1
4
3
2
1
O 1 2 3 4 l x
2
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.若方程组没有解,由此一次函数y=2-x与y=-x的图像必定 ( ).
A. 重合 B. 平行 C. 相交 D. 无法判断
2.有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗？【 】 图象之间有何关系？【 】
3.直线y=ax+b和直线y=bx+3a的交点坐标是(2,-1)，则 a = , b .4、用图象法解方程组：
5. 直线y=-2x+3 与直线y=2x的交点坐标是 方程组 的解是______
6. 方程组 y = a x + 4 的解是 x = 4 则直线y=ax+4 与直线y=bx+4的交点坐标是 。
y=bx+4 y=0
7. 如图，在平面直角坐标系中，直线 ：y=x+3与直线 ：y=mx+n交于点A(-1,b)，则
y=x+3
关于x、y的方程组 y = m x + n 的解为( )
x=-1 x=2 x=2 x=-1
A. B. C. D.
y=2 y=1 y=-1 y=-2
能力提升：
8. 一顾客准备办理上网业务，发现有两种收费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；
方式B除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费。顾客选择那种收费方式更划
算呢？
拓展迁移：
9.如图，已知直线 分别与x轴、y轴交于点A，B，直线 分别与x轴、
y轴交于点C，D，且直线AB与CD相
交于点P, .
（1）求b的值和点P的坐标；（2）求△ADP的面积.
四、总结反思、拓展升华
利用图像法求二元一次方程组的解一般步骤：
1、将两个方程化成一次函数形式；
2、画出两个一次函数图象；
3、找到两条直线交点坐标即为方程组的解
若两条直线相交，则交点就是二元一次方程组的解；
若两条直线平行，则二元一次方程组无解.
若两直线重合是二元一次方程组有无数个
五、【作业布置】
基础达标：
1．如图，若直线 与直线 相交于点A，则方程组 的解是
（ ）
A． B． C． D．
2．小亮在用作函数图象的方法解二元一次方程组时，在同一坐标系中作出如图所示的图象，他解的
这个方程组可能是（ ）
A． B． C． D．第1题 第2题 第3题
3.如图，已知一次函数y=ax+b和y=kx的图象相交于点P，则根据图象可得二元一次方
y=ax+b
程组 的解是( )
Kx-y=0
A. x=-4 B. x=-2 C. x=2 D. x=2
y=-2 y=-4 y=4 y=-4
4．以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图象，所得的两条直线（ ）
A．有一个交点 B．有无数个交点 C．没有交点 D．以上都有可能
5．以方程组 的解为坐标的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．若直线 经过点(0,4)， 经过点(3,2)，且 与 关于x轴对称，则 与 的交点坐标为（ ）
A．(-2,0) B．(2,0) C．(-6,0) D．(6,0)
7.方程组 的解为 ；所以点(−1，1)是直线 与直线 的交点．
8．直线y=kx-2和y=2x+k的交点的横坐标为2，则k= .
能力提升：
9如图，已知A(3,1)与B(1,0)，PQ是直线y=x上的一条动线段且PQ=
,
(Q在P的下方)，当AP+PQ+BQ最小时，Q点坐标为( )
拓展迁移：
10.已知一次函数 和 的图象都经过点A(-2,0)，且与y轴分别交于点B，点C.
求△ABC的面积.11.如图，一次函数L :y=kx+b(k≠0）的图象经过A(0,4)和D(4,0)两点，一次函数L :y=x+1的图
象与x轴交于点C，直线相交于点B连接AC．
(1)求K，b的值;
(2)求点B的坐标;
(3)求△ABC的面积．
课堂练习参考答案：
1、B
2、没有；平行
3、a=-1,b=1
x=2 x=2
4、 ；
y=-5 y=6
3
x
5、 4
3
y
26.、(4,0)
7、 A
8、 方法一：设上网时间为x分钟，收费为y元。
方式A:y=0.1x 方式B Y=0.05X+20
解方程组 y=0.1x
y=0.05x+20
x=400
得
y=40
故交点坐标为 (400,40) 。
由图象知：
当0 < x < 400时，选方式A省钱；
当x = 400时，选方式A或 B都一样
当x > 400时，选方式B省钱。
方法2：设上网时间为x分，方式B与方式A两种计费的差额yB- yA为y元，
得y =-0.05x+20，当差额为0是即
-0.05x + 20 = 0 得：x=400
故直线 与x 轴的交点为（400，0）
由图象知：
当0 < x < 400时，y > 0，选方式A省钱；
当x = 400时，y = 0，选方式A或B都一样；
当x > 400时，y < 0，选方式B省钱
9、解答提示；
(1)求出A,B两点的坐标A(-2,0),B(0,1);根据三角形ABD的面=2和A，B的坐标,求出D点坐标，即
可求出b. 再把两个二元一次函数联立成方程组，可求出P点坐标。
（2）三角形ADP的面积=三角形ABD面积+三角形BDP面积或等于三角形ACD面积+三角形ACP面积
答案是：(1),b=-1;P(4,3)
(2),6
课外作业参考答案：
1、A
2、D
3、A
4、D
5、A6、B
7、y=3x+4 ; y=2x+3
8、6
9、解析】：作B点关于PQ的对称B ,BQ=B Q,B(1,0);B (0,1);
过A点作MN∥PQ,并将A点沿MN向下平移 单位得A .由于A(3,1），AA = .
∴A (2,0),则四边形AA PQ是平行四边形，得到AP=QA 如图；
AP+PQ+BQ=QA +PQ+BQ ，由于PQ是固定值，只有当A 、Q、B 三点共线时AP+PQ+BQ值最小。B
(0,1);A (2,0)用待定系数法求出A B 的解析式y=-0.5x+1,与直线y=x联立解方程求出交点坐标，
10、解：对于 ，当 时， ，
所以 ，
解得 .
对于 ，当 时， ，
所以 ，
解得 .
所以 ， .
所以 ， .
所以 .
b=4
4k+b=0
11、解：(1)把A(0,4),B(4,0)代入y=kx+b(k≠0），得
解得 b=4
k=-1
y=-x+4
y=x+1
4k+b=0(2)由(1)得L :y=-x+4，联立L ，L ，得
解得
所以B
(3)对于y=x+1，当y=0时，x+1=0，解得x=-1，
所以点C(-1,0)，
所以．
