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第 3 讲 机械能守恒定律及其应用
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～6题为单选，7～10
题为多选)
1. 如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两个
相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一细绳相连，细绳恰
好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中，下列说法中正确的是( )
A．M球的机械能守恒
B．M球的机械能增大
C．M和N组成的系统机械能守恒
D．绳的拉力对N做负功
答案 C
解析 细杆光滑，故M、N组成的系统机械能守恒，N的机械能增加，绳的拉
力对N做正功、对M做负功，M的机械能减少，故C正确，A、B、D错误。
2．从地面竖直上抛两个质量不同、初动能相同的小球，不计空气阻力，以地面
为零势能面，当两小球上升到同一高度时，则( )
A．它们具有的重力势能相等
B．质量小的小球动能一定小
C．它们具有的机械能相等
D．质量大的小球机械能一定大
答案 C解析 两小球在上升过程中，只有重力做功，机械能守恒，由于初动能相同，
则它们具有的机械能相等，故C正确，D错误；当两小球上升到同一高度时，由于
两小球质量不同，由重力势能E ＝mgh可知它们具有的重力势能不同，质量小的
p
小球重力势能小，动能一定大，故A、B错误。
3. 如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，管中液柱总长度
为4h，开始时使两边液面高度差为h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，
右侧液面下降的速度为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 液柱移动时，除了重力做功以外，没有其他力做功，故机械能守恒。此
题等效为原右侧高的液柱移到左侧(如图所示)，其重心高度下降了，减少的重力势
能转化为液柱整体的动能，设液体的总质量为4m，则有mg·＝(4m)
v
2，得v＝ ，A
正确。
4. 一轻绳系住一质量为m的小球悬挂在O点，在最低点先给小球一水平初速
度，小球恰能在竖直平面内绕O点做圆周运动，若在水平半径OP的中点A处钉
一枚光滑的钉子，仍在最低点给小球同样的初速度，则小球向上通过P点后将绕A
点做圆周运动，当小球到达最高点N时绳子的拉力大小为( )
A．0 B.2mgC.3mg D.4mg
答案 C
解析 小球恰能在竖直平面内绕O点做圆周运动，则在最高点有mg＝，解得
v＝，从最低点到最高点，由机械能守恒定律可知m v＝2mgR＋m
v
2，解得初速度v0
＝；若在水平半径OP的中点A处钉一枚光滑的钉子，设小球到最高点N时速度为
v
′，根据机械能守恒定律，有m v＝mgR＋m
v
′2，根据向心力公式有T＋mg＝，联
立解得T＝3mg，故C正确。
5. (2020·江苏省无锡市模拟)如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面
上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面
的过程中，下列说法正确的是( )
A．斜劈对小球的弹力不做功
B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C．斜劈的机械能守恒
D．小球重力势能减少量等于斜劈动能的增加量
答案 B
解析 斜劈由静到动，动能增加，只有弹力对斜劈做功，根据动能定理，小球
对斜劈的弹力对斜劈做正功，则斜劈对小球的弹力对小球做负功，故A错误；不计
一切摩擦，小球和斜劈组成的系统中，只有重力势能和动能相互转化，机械能守恒，
但斜劈的机械能不守恒，故B正确，C错误；小球重力势能减少量等于斜劈和小球
动能的增加量之和，故D错误。
6. (2021·江苏省如皋市高三上第三次月考)如图所示，质量均为m的小滑块P、
Q通过铰链用长为L的轻杆连接，P套在固定的竖直光滑杆上，Q放在光滑水平地
面上，轻杆与竖直方向夹角α＝30°，原长为的轻弹簧水平放置，右端与Q相连，左
端固定在竖直杆O点上。P由静止释放，下降到最低点时α变为60°，整个运动过
程中，P、Q始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速
度为g。则P下降过程中( )A．P、Q组成的系统机械能守恒
B．P、Q的速度大小始终相等
C．弹簧弹性势能最大值为mgL
D．P达到最大动能时，Q受到地面的支持力大小为mg
答案 C
解析 在P下滑的过程中，对P、Q组成的系统，弹簧弹力做负功，则系统机械
能减小，故A错误；将P、Q的速度进行分解，如图所示，可得vP cosα＝vQ sinα，即有
vP ＝vQ tanα，仅当α＝45°时，vP ＝vQ ，故B错误；当P下降到最低点时，弹簧的弹性
势能最大，对 P、Q 及弹簧组成的系统，根据机械能守恒定律，可得 E ＝
pmax
mg(Lcos30°－Lcos60°)＝mgL，故C正确；P达到最大动能时，P的加速度为零，则
P、Q、轻杆组成的系统在竖直方向的加速度为零，对系统受力分析可得，此时Q受
到地面的支持力大小等于P、Q的总重力，即2mg，故D错误。
7. 如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O
在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度释放，让小球自由摆下，不计空
气阻力。在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是( )
A．小球的机械能守恒
B．小球的机械能减少C．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D．小球和弹簧组成的系统机械能守恒
答案 BD
解析 小球由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做了
负功，所以小球的机械能减少，故A错误，B正确；在此过程中，由于只有重力和弹
簧的弹力做功，所以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球减少的重力势能
等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，故C错误，D正确。
8．(2020·山西省临汾市高三上学期第二次月考)如图所示，倾角为30°的足够
长斜面与水平面平滑相连，水平面上用轻杆连接的小球A、B以速度v0 ＝ 向左运
动，小球质量均为m，杆长为l，当小球B到达斜面上某处P时速度为零。不计一切
摩擦，重力加速度为g。则下列说法正确的是( )
A．P与水平面的高度差为
B．P与水平面的高度差为
C．两球上滑过程中杆对A球所做的功为－
D．两球上滑过程中杆对A球所做的功为
答案 AD
解析 设小球B沿斜面上滑距离为x时到达斜面上某处P，不计一切摩擦，则
系统机械能守恒，可得2×m v＝mgxsin30°＋mg(x＋l)sin30°，解得x＝l，则P与水
平面的高度差为h＝xsin30°＝l，故A正确，B错误；设两球上滑过程中杆对A球所
做的功为W，对A球，由动能定理得W－mgsin30°＝0－m v，解得W＝，故C错误，
D正确。
9．(2021·湖南省株洲市高三教学质量统一检测(一))如图甲所示，轻质弹簧的
下端固定在倾角为θ的固定光滑斜面的底部，在弹簧的上端从静止开始释放 0.5
kg的小球，小球的加速度a与弹簧压缩量x间的关系如图乙所示。重力加速度 g
取10 m/s2，则( )A．斜面的倾角θ＝60°
B．弹簧的劲度系数为12.5 N/m
C．小球最大的动能为0.25 J
D．弹簧最大弹性势能为1 J
答案 BCD
解析 由图可知，当弹簧压缩量x ＝0时，a ＝5 m/s2，则有a ＝gsinθ＝5 m/s2，
0 0 0
解得θ＝30°，故A错误；当弹簧压缩量x ＝20 cm＝0.2 m时，a ＝0，则有mgsinθ－
1 1
kx ＝0，解得k＝＝ N/m＝12.5 N/m，故B正确；在ax图像中，图线与x轴所围成的
1
面积表示ax的大小，当x
1
＝0.2 m时，a
1
＝0，此时小球的速度最大，由2ax＝v 2可知
vm ＝ m/s＝1 m/s，则小球最大的动能为E km ＝m v＝0.25 J，故C正确；由运动的对称
性可知，当弹簧的压缩量为x ＝0.4 m时，小球速度为零，此时弹簧的弹性势能最
2
大，从最高点到弹簧压缩量为x ＝0.4 m的位置，对系统由机械能守恒定律可得，
2
弹簧最大弹性势能为E ＝mgx sin30°＝0.5×10×0.4× J＝1 J，故D正确。
pm 2
10. (2020·黑龙江省大庆中学高三下学期开学考试)如图所示，物体A、B通过
细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体A、B的质量分别为2m、m，开始时细绳
伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地
面上，放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰
好无压力，不计一切摩擦及空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的
是( )
A．物体A下落过程中，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒B．弹簧的劲度系数为
C．物体A着地时的加速度大小为
D．物体A着地时弹簧的弹性势能为mgh－m
v
2
答案 AC
解析 由题可知，物体A下落过程中，物体B一直静止不动，对于物体A和弹
簧组成的系统，只有重力和弹簧弹力做功，则物体A和弹簧组成的系统机械能守
恒，故A正确；物体A与地面即将接触时，物体B对地面恰好无压力，则此时弹簧
的弹力为T＝mg，开始时弹簧处于原长，由胡克定律知：T＝kh，联立解得弹簧的劲
度系数为k＝，故B错误；物体A着地时，弹簧的弹力为T＝mg，则细绳对A的拉
力也等于mg，对A，根据牛顿第二定律得2mg－mg＝2ma，解得a＝，故C正确；物
体A与弹簧组成的系统机械能守恒，有：2mgh＝E
p
＋×2m
v
2，解得E
p
＝2mgh－
m
v
2，故D错误。
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11. (14分)一劲度系数为k＝100 N/m的轻弹簧下端固定于倾角为 θ＝53°的光
滑斜面底端，上端连接物块Q。一轻绳跨过O点的定滑轮，一端与物块Q连接，另
一端与套在光滑竖直杆的物块P连接，定滑轮到竖直杆的距离为d＝0.3 m。初始
时在外力作用下，物块P在A点静止不动，轻绳与斜面平行，绳子张力大小为50
N。已知物块P质量为m ＝0.8 kg，物块Q质量为m ＝5 kg，不计滑轮大小及摩擦，
1 2
取g＝10 m/s2。现将物块P静止释放，求：
(1)物块P位于A点时，弹簧的伸长量x ；
1
(2)物块P上升h＝0.4 m至与滑轮O等高的B点时的速度大小；
(3)物块P上升至B点过程中，轻绳拉力对其所做的功。
答案 (1)0.1 m (2)2 m/s (3)8 J
解析 (1)物块P位于A点时，绳子张力T＝50 N，设弹簧的伸长量为x ，
1对物块Q受力分析有T＝m gsinθ＋kx ，
2 1
解得x ＝0.1 m。
1
(2)由几何知识可知，OB垂直于竖直杆，d＝0.3 m，则此时物块Q速度为零，下
降的距离为
Δx＝ －d＝0.2 m，
则弹簧压缩量为x ＝0.2 m－0.1 m＝0.1 m，则P从A到B弹簧的弹性势能不
2
变。
物块P从A到B，对系统根据机械能守恒定律有
m
2
g·Δx·sinθ－m
1
gh＝m 1v，
代入数据可得vB ＝2 m/s。
(3)设此过程轻绳拉力对P做的功为W ，对物块P由动能定理有W －m gh＝
T T 1
m 1v－0，
代入数据得W ＝8 J。
T
12．(16分)某实验小组做了如下实验，装置如图甲所示。竖直平面内的光滑轨
道由倾角为θ的斜面轨道AB和圆弧轨道BCD组成，使质量m＝0.1 kg的小球从
轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用压力传感器测出小球经过圆弧最高点 D
时对轨道的压力F，改变H的大小，可测出相应的F大小，F随H的变化关系如图
乙所示，取g＝10 m/s2。
(1)求圆弧轨道的半径R；
(2)若小球从D点水平飞出后又落到斜面上，其中最低点与圆心O等高，求θ
的值。
答案 (1)0.2 m (2)45°
解析 (1)小球经过D点时，竖直方向的合力提供圆周运动的向心力，即F＋
mg＝m从开始到D的过程中只有重力做功，根据机械能守恒定律有：mg(H－2R)＝
m 2
v
联立解得：F＝H－5mg
由题中给出的FH图像知斜率
k＝ N/m＝10 N/m
即＝10 N/m
所以可得R＝0.2 m。
(2)小球离开D点做平抛运动，根据几何关系知，小球落点越低平抛的射程越
小，即题设中小球落点位置最低对应小球离开D点时的速度最小。
根据临界条件知，小球能通过D点时的最小速度为v0 ＝
此时小球在斜面上的落点与圆心等高，故可知小球平抛时下落的距离为R
所以小球平抛的射程
s＝v0 t＝v0 ＝·＝R
由几何关系可知，θ＝45°。
