文档内容
第 01 讲 分类加法计数原理与分步乘法计
数原理 (精练）
A 夯实基础 B 能力提升 C 综合素养
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·全国·高二课时练习）现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中
选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ）
A．7种 B．9种 C．14种 D．70种
【答案】C
【详解】分为三类:
从国画中选，有2种不同的选法;从油画中选，有5种不同的选法;从水彩画中选，有7种不同的选法，
根据分类加法计数原理，共有5+2+7= 14(种)不同的选法;
故选：C
2．（2022·北京顺义·高二期末）已知某居民小区附近设有A，B，C，D4个核酸检测点，居民可以选择任
意一个点位去做核酸检测，现该小区的3位居民要去做核酸检测，则检测点的选择共有（ ）
A．64种 B．81种 C．7种 D．12种
【答案】A
【详解】3位居民依次选择检测点，方法数为 ．
故选：A．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）一个电路中含有（1）（2）两个零件，零件
（1）含有A，B两个元件，零件（2）含有C，D，E三个元件，每个零件中有一个元件能正常工作则该零
件就能正常工作，则该电路能正常工作的线路条数为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．5
【答案】C
【详解】由分步乘法计数原理易得，该电路能正常工作的线路条数为 条．
故选：C．
4．（2022·北京师大附中高二期中）用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（
）A．36 B．48 C．60 D．72
【答案】C
【详解】当个位数为0时，有 个，
当个位数为2或4时，有 个，
所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个，
故选：C.
5．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形
体都必须有对称形式．”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之
美．如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，
无论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）
被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫
回文数，若两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是
（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
【答案】D
【详解】要能被3整除，则四个数的和是3的偶数倍数．满足条件的回文数分为以下几类：
和为6的回文数：1221,2112，3003， 3个．
和为12的回文数：3333，2442，4224，1551，5115，6006， 6个．
和为18的回文数：1881，8118，2772，7227，3663，6336，4554，5445，9009，9个．
和为24的回文数：3993，9339，4884，8448，5775，7557，6666，7个．
和为30的回文数：7887，8778，6996，9669，4个．
和为36的回文数：9999，1个．
故共有3+6+9+7+4+1＝30个．
故选：D
6．（2022·全国·模拟预测（文））已知正整数有序数对 满足：
① ；② ．
则满足条件的正整数有序数对 共有（ ）组．
A．24 B．12 C．9 D．6
【答案】B
【详解】由题意知， 为正整数，
故由 可得 ，
因为 ，故 ，则满足 的数为3和2，
则有序数对 可能为 ，
再由 可得 ，
则 的可能有 共6种情况，
故满足条件的正整数有序数对 共有 组，
故选：B
7．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车
和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（
）
A．288 B．336 C．576 D．1680
【答案】B
【详解】解:第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法
有 种,
第二步,排黑车,若白车选 ,则黑车有 共7种选择,黑车是不相同的,故黑车的停
法有 种，
根据分步计数原理,共有 种,
故选：B
8．（2022·浙江省杭州第二中学高二期中）杭州车牌由两部分组成，第一部分规定必须为“浙A”，第二部
分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，比如“浙A·G82M4”本月投放的号段满足以下规则（第二部
分）：①第三位与第五位是固定字母；②第一、二、四位可以是0-9中可重复的任意一个数字．同时，杭
州市又有如下错峰限行规定：①工作日高峰时段禁止相应机动车辆尾号限行：周一限车牌尾号“1”和
“9”，周二“2”和“8”，周三“3”和“7”，周四“4”和“6”，周五“5”和“0”；②景区限行规则（双休日
及法定节假日）：号牌最后一位阿拉伯数字为1、3、5、7、9的，在奇数日通行；2、4、6、8、0的，在
偶数日通行；③尾号为字母时按最后一位数字计算．H老师家中已有一台尾号为0的小轿车，他希望选择的号牌不在周五也不在奇数日限行，则不同的选择方案共有（ ）种
A．600 B．500 C．400 D．200
【答案】C
【详解】由题意得，第一、二位数字各有10种情况，第四位数字可取1、3、7、9共4种情况，共有
种．
故选：C
二、多选题
9．（2022·山东临沂·高二期中）如图，标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从
结点 向结点 传递消息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，小圆圈表示网络的结点，结点之间
的连线表示他们有网线相连，则单位时间内传递的信息量可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】第一条线路单位时间内传递的最大信息量为 ；
第二条线路单位时间内传递的最大信息量为 ；
第三条线路单位时间内传递的最大信息量为 ；
第四条线路单位时间内传递的最大信息量为 ．
因此该段网线单位时间内可以通过的最大信息量为 ，
故选：AB
10．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）甲、某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在
如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时
针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（ ，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直
循环下去．某人抛掷n次骰子后棋子恰好又回到点A处，则（ ）
A．若 时，则共有3种不同走法 B．若 时，则共有5种不同走法
C．若 时，则共有25种不同走法 D．若 时，则共有27种不同走法【答案】BD
【详解】解：由题意知正方形 （边长为2个单位）的周长是 ．
当 时，骰子的点数之和是 ，列举出在点数中两个数字能够使得和为 的有 ， ， 共
种组合，抛掷骰子是有序的，所以共 种结果，故A错误，B正确；
若 时，三次骰子的点数之和是 ， ，列举出在点数中三个数字能够使得和为 ， 的有 ，
， ， ， ， ， 共有 种组合，
前 种组合 ， ，每种情况可以排列出 种结果，共有 种结果，
其中 ， ， ， ， 各有 种结果，共有 种结果，根据分类计数原
理知共有 种结果．
故选：BD．
三、填空题
11．（2022·江苏宿迁·高二期末）如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有_____________条不同的线
路（每条线路仅含一条通路）．
【答案】
【详解】解：依题意按上、中、下三条线路可分为三类，
上线路中有 种，
中线路中只有 种，
下线路中有 （种 ．
根据分类计数原理，共有 （种 ．
故答案为： ．
12．（2022·山东·高二阶段练习）现要用5种不同的颜色对如图所示的5个区域涂色，要求相邻的区域不
能用同一种颜色，则不同涂色方法的种数为______．
【答案】420
【详解】由题意，可以同色的区域为 ； ，若都不同色，则有 ，
若只有 同色，则有 ，
若只有 同色，则有 ，
若 与 两个同色，则有 ，
由分类计数原理，共有 ，
故答案为：
四、解答题
13．（2022·全国·高二课时练习）相邻的 个车位中停放了 辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这
个车位中．
(1)若要求有 辆车不得停在原来的车位中，有多少种不同的停法？
(2)若要求所有车都不得停在原来的车位中，有多少种不同的停法？
【答案】(1) (2)
（1）可分成两步完成：第一步，先选出停在原来车位的那辆车，有 种情况，
第二步，停放剩下的 辆车，将剩余 辆车分别编号为 ， ， ，将剩余 个停车位分别编号为一、二、
三，设 车先选停车位，此时有 种停法，剩余两辆车有且只有 种停法，所以第二部有 种停法，
根据分步乘法计数原理，共有 种停法；
（2）将 辆车分别编号为 ， ， ， ，将 个停车位分别编号为一、二、三、四．不妨设 车先选停
车位，此时有 种停法，若 车选了二号停车位，那么 车再选，有 种停法，剩下的 车和 车都只有
种停法，故共有 种停法．
14．（2022·全国·高二课时练习）如图，从左到右共有5个空格．
(1)向5个空格中分别放入0，1，2，3，4这5个数字，一共可组成多少个不同的五位数的奇数？
(2)用红、黄、蓝这3种颜色给5个空格涂色，要求相邻空格用不同的颜色涂色，一共有多少种涂色方案？
【答案】(1)36(2)48
（1）由题意，选一个奇数放在个位有2种放法，从余下的数中选一个数放在万位有3种放法，再放余下的
第二、三、四位，共有 种，根据分步乘法原理，这样的五位数的奇数共有
（个）．
（2）从左数第1个格子有3种涂色方案，则剩下的每个格子均有2种涂色方案，故涂色方案共有
（种）．
B 能力提升
1．（2022·全国·高二课时练习）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，
如图所示．将一个正四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可
供使用，求不同的染色方法种数．【答案】420
【详解】由题设，四棱锥S - ABCD的顶点S, A, B所染的颜色互不相同,它们共有 种染色方法；
当 染好时，不妨设所染颜色依次为1, 2, 3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4,
则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法,即当S, A, B染好时，C, D还有7
种染法.
故不同的染色方法有 种.
2．（2022·河北承德·高二阶段练习）已知集合 ， ，从 ， 这两
个集合中先后选取一个元素依次作为平面直角坐标系中点的横、纵坐标.
(1)求位于第二象限的不同点的个数；
(2)求在圆 内部（不含边界）的不同点的个数.
【答案】(1)9(2)6
(1)因为这个点为第二象限内的点，所以该点的横坐标小于0，纵坐标大于0.
先选横坐标，有3种方法，再选纵坐标，也有3种方法，
根据分步乘法计数原理，则位于第二象限的不同点的个数为 .
(2)因为这个点在圆 的内部（不含边界），所以 .
若 ，则 或 ，共2种情况；
若 ，则 或 ，共2种情况；
若 ，则 或 ，共2种情况.
根据分类加法计数原理，则满足条件的不同点的个数为6.
C 综合素养
1．（2022·全国·高二课时练习）用 种不同的颜色给如图所示的 、 、 、 四个区域涂
色．（1）若相邻区域能用同一种颜色，则图①有多少种不同的涂色方案？
（2）若相邻区域不能用同一种颜色，当 时，图①、图②各有多少种不同的涂色方案？
（3）若相邻区域不能用同一种颜色，图③有 种不同的涂色方案，求 的值．
【答案】（1） 种；（2）题图①： 种，题图②： 种；（3） ．
【详解】（1）由题意知题图①中的四个区域，每个区域有 种涂色方案，共有 种方案；
（2）题图①：第一步，涂 ，有 种不同的涂法；
第二步，涂 ，与 的颜色不相同，有 种不同的涂法；
第三步，涂 ，与 、 的颜色都不相同，有 种不同的涂法；
第四步，涂 ，只需与 的颜色不相同，有 种不同的涂法．
所以共有 种不同的涂色方案.
题图②：第一步，涂 ，有 种不同的涂法；
第二步，涂 ，与 的颜色不相同，有 种不同的涂法；
第三步，涂 ，与 、 的颜色都不相同，有 种不同的涂法；
第四步，涂 ，与 、 的颜色都不相同，有 种不同的涂法．
所以共有 种不同的涂色方案；
（3）前三步与题图①的涂法类似，分别有 、 、 种不同的涂法，
第四步，涂 ，与 、 的颜色都不相同，有 种不同的涂法．
所以共有 种不同的涂色方案，
所以 ， ，所以 ．
