专题25计数原理(原卷版)_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_2023年新高考数学知识点总结与题型精练（新高考地区专用）

专题 25 计数原理 【考纲要求】 1、理解分类计数原理与分步计数原理，培养学生的分析概括能力。 2、理解排列组合的意义，会用排列数和组合数的公式 3、理解二项式的性质，掌握多项式展开式的特殊项和系数问题 一、两种计数原理 【思维导图】 【考点总结】 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法， 那么完成这件事共有N＝ m ＋ n 种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法， 那么完成这件事共有N＝ m × n 种不同的方法． 3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别 原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言 每一步得到的只是中间结果，任何一步 每类办法都能独立完成这件事，它是独 都不能独立完成这件事，缺少任何一步 区别一 立的、一次的，且每次得到的是最后结 也不可，只有各步骤都完成了才能完成 果，只需一种方法就可完成这件事 这件事 各类办法之间是互斥的、并列的、独立 各步之间是相互依存的，并且既不能重 区别二 的 复也不能遗漏 二、排列与组合 【思维导图】【考点总结】 1.排列与组合的概念 名称 定义 排列 按照一定的顺序排成一列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 组合 合成一组 2.排列数与组合数 (1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取 出m个元素的排列数，用 A 表示． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中 取出m个元素的组合数，用 C 表示． 3.排列数、组合数的公式及性质 (1)A＝ n ( n － 1)( n － 2) … ( n － m ＋ 1) ＝ 公式 (2)C＝＝＝ (3)0！＝1；A＝n！ 性质 (4)C＝C；C＝ C ＋ C 三、二项式定理【思维导图】 【考点总结】 1. 二项式定理 abn C0an C1an1b Cranrbr  Cnbn nN* n n  n  n ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理， abn Cr r 0,1,2,3, ,n 右边的多项式叫做 的二项展开式，其中的系数 n (  )叫做二项式系数．式中的 Cranrbr T T Cranrbr n 叫做二项展开式的通项，用 r1表示，即展开式的第r1项； r1 n . 2．二项展开式形式上的特点 n1 (1)项数为 . n a b n (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 ，即 与 的指数的和为 . a n b (3)字母 按降幂排列，从第一项开始，次数由 逐项减1直到零；字母 按升幂排列，从第一项起，次数 n 由零逐项增1直到 . C0 C1 Cn1 Cn (4)二项式的系数从 n ， n，一直到 n ， n . 3. 二项式系数的性质 C0 Cn C1 Cn1 Cm Cnm (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 n n ， n n ，， n n . n1 n1 r  r  Cr (2)增减性与最大值：二项式系数 n ，当 2 时，二项式系数是递增的；由对称性知：当 2 时， 二项式系数是递减的． n n C2 当 是偶数时，中间的一项 n 取得最大值． n1 n1 n C 2 C 2 当 是奇数时，中间两项 n 和 n 相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和 abn 的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即 C n 0 C n 1   C n r   C n n 2n ，二项展开式中， C0 C2 C4  C1 C3 C5  2n1 偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 n n n  n n n  ， 4.二项式定理的应用 （1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题； x （4）近似计算.当 充分小时，我们常用下列公式估计近似值： nn1 1xn 1nx 1xn 1nx x2 ① ；② 2 ； （5）证明不等式. 【题型汇编】 题型一：两种计数原理 题型二：排列与组合 题型三：二项式定理 【题型讲解】 题型一：两种计数原理 一、单选题 1．（2022·浙江·杭州四中高二期中）甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺 冠情况共有（ ）种. A． B． C． D． 2．（2022·福建·厦门海沧实验中学高二期中）元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然 后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（ ） A．6种 B．9种 C．11种 D．23种 3．（2023·全国·高三专题练习）四色定理又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年 由毕业于伦敦大学的格斯里提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家 着上不同的颜色”．某校数学兴趣小组在研究给四棱锥 的各个面涂颜色时，提出如下的“四色 问题”：要求相邻面（含公共棱的面）不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂法有（ ） A．36种 B．72种 C．48种 D．24种 4．（2022·全国·高三专题练习）在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的 夺冠情况共有（ ）种 A． B． C． D． 5．（2022·全国·高三专题练习）将6封信投入4个邮筒，且6封信全部投完，不同的投法有（ ） A． 种 B． 种 C．4种 D．24科6．（2022·全国·高三专题练习）从数字1，2，3，4中取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数 字之和等于6，则这样的三位数的个数为（ ） A．7 B．9 C．10 D．13 二、多选题 7．（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）已知数字 ，由它们组成四位数，下列说法正确的 有（ ） A．组成可以有重复数字的四位数有 个 B．组成无重复数字的四位数有96个 C．组成无重复数字的四位偶数有66个 D．组成无重复数字的四位奇数有28个 8．（2022·湖南·周南中学高二期末）现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ） A．从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 9．（2022·广东·顺德一中高二期中）现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派人参加， 则下列命题中正确的是（ ） A．只需1人参加，有16种不同选法 B．若需老师、男生、女生各1人参加，则有120种不同选法 C．若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法 D．若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法 三、解答题 10．（2022·全国·高二课时练习）从1、2、3三个数中取1个数作分子，从4、5、6、7四个数中取1个数 作分母，组成一个分数，这样能组成多少个值不相等的分数？写出这些分数． 11．（2022·江苏·响水县第二中学高二期中）有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有 多少种不同的报名方法？（不一定6名同学都参加） (1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，但每人参加的项目不限. 12．（2023·全国·高三专题练习）相邻的 个车位中停放了 辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这个车位中． (1)若要求有 辆车不得停在原来的车位中，有多少种不同的停法？ (2)若要求所有车都不得停在原来的车位中，有多少种不同的停法？ 题型二：排列与组合 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一､二､三共5本书，把 这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是（ ） A．72 B．144 C．48 D．36 2．（2023·全国·高三专题练习）某密码锁的一个密码由3位数字组成，每一位均可取0，1，2，…，9这 10个数字中的一个，小明随机设置了一个密码，则恰有两个位置数字相同的概率为（ ） A．0.09 B．0.12 C．0.18 D．0.27 3．（2022·四川·射洪中学高三阶段练习（理））2022年遂宁主城区突发“920疫情”，23日凌晨2时，射 洪组织五支“最美逆行医疗队”去支援遂宁主城区，将分派到遂宁船山区、遂宁经开区、遂宁高新区进行 核酸采样服务，每支医疗队只能去一个区，每区至少有一支医疗队，若恰有两支医疗队者被分派到高新区， 则不同的安排方法共有（ ） A．30种 B．40种 C．50种 D．60种 4．（2022·山东·高密三中高三阶段练习）已知n，m为正整数，且 ，则在下列各式中错误的是（ ） A． ； B． ； C． ； D． 5．（2022·江苏镇江·高三开学考试）已知 ， 为正整数，且 ，则在下列各式中，正确的个数是 （ ） ① ；② ；③ ；④ A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2023·全国·高三专题练习）若 ，则 （ ）A．7 B．8 C．9 D．10 7．（2023·全国·高三专题练习）宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，涌现了一大批卓有成就的数学 家，其中秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”．周老师将秦九韶的 《数书九章》、李治的《测圆海镜》《益古演段》、杨辉的《详解九章算法》、朱世杰的《算学启蒙》 《四元玉鉴》这六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组，则分配方式一共有（ ） A．15种 B．60种 C．80种 D．90种 8．（2023·全国·高三专题练习）甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园，西湖茶经楼，历史博物馆和北 湖公园其中一处去参观游玩，其中茶经楼必有人去，则不同的参观方式共有（ ）种. A．24 B．96 C．174 D．175 9．（2023·全国·高三专题练习）2010年世界杯足球赛预计共有24个球队参加比赛，第一轮分成6个组进 行单循环赛（在同一组的每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分 取4个队（不比赛），共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（ ）场次． A．53 B．52 C．51 D．50 10．（2023·全国·高三专题练习）教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市 3所高校的校长计划拜访当地企业，共有4家企业可供选择.若每名校长拜访3家企业，每家企业至少接待 1名校长，则不同的安排方法共有（ ） A．60种 B．64种 C．72种 D．80种 11．（2023·全国·高三专题练习）若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至 少分配一人，每人只能去一个社区．若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 的可能取值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．（2023·全国·高三专题练习）某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周 一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二 值班，男员工乙不能安排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则（ ） A．甲乙都不选的方案共有432种 B．选甲不选乙的方案共有216种C．甲乙都选的方案共有96种 D．这个单位安排夜晚值班的方案共有1440种 14．（2023·全国·高三专题练习）信息技术编程中会用到“括号序列”，一个括号序列是由若干个左括号 和若干个右括号组成．合法括号序列可以按如下方式定义：①序列中第一个位置为左括号；②序列中左括 号与右括号个数相同；③从序列第一个位置开始任意截取一个连续片段，该片段中左括号的个数不少于右 括号的个数．例如（）（（））和（）（）都是合法括号序列，而（））（，）（）和（））（（）都不 是合法括号序列．一个合法括号序列中包含的左括号和右括号的个数之和称为该序列的长度．若A和B都 是括号序列，则AB表示将B拼接在A后得到的括号序列．根据以上信息，下列说法中正确的是（ ） A．如果A，B是合法括号序列，则 也是合法括号序列 B．如果 是合法括号序列，则A，B一定都是合法括号序列 C．如果 是合法括号序列，则A也是合法括号序列 D．长度为8的合法括号序列共有14种 15．（2023·全国·高三专题练习）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设 “礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是 （ ） A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法 C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法 D．课程“礼”排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有96种排法 三、解答题 16．（2022·全国·高三专题练习）（1）求值： （2）求关于 的不等式 的解集． 17．（2023·全国·高三专题练习）已知 五名同学，按下列要求进行排列，求所有满足条件的排 列方法数. (1)把5名同学排成一排且 相邻； (2)把5名同学排成一排且 互不相邻；(3)把5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上，且 不相邻. 18．（2023·全国·高三专题练习）有 名男生和甲、乙 名女生排成一排，求下列情况各有多少种不同的排 法？ (1)女生甲排在正中间； (2) 名女生不相邻； (3)女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）； (4) 名女生中间恰有 名男生． 题型三：二项式定理 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习） 的展开式中 项的系数为（ ） A． B． C．80 D．200 2．（2023·全国·高三专题练习） 展开式中， 项的系数为（ ） A．5 B．-5 C．15 D．-15 3．（2022·北京市广渠门中学高三阶段练习）若 的展开式中的第 项和第 项的二项式系数相等， 则展开式中 的系数为（ ） A． B． C． D． 4．（2022·江苏省泰兴中学高三阶段练习）设 ， ，则（ ） A． B． C．D． 5．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习） 的展开式中 的系数为（ ） A． B． C． D． 6．（2022·江苏江苏·高三阶段练习） 的展开式中 的系数为（ ） A． B． C． D． 7．（2023·广东茂名·高三阶段练习）下列各式中，不是 的展开式中的项是（ ） A． B． C． D． 8．（2023·全国·高三专题练习）在 （ ）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n 的值不可能是（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 9．（2023·全国·高三专题练习）在 的展开式中，若二项式系数的和为 ，则 的系数为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则下列结论正确 的有（ ） A． B． C． D． 11．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知 ，则（ ） A． B．C． D． 12．（2023·全国·高三专题练习）下列结论正确的是（ ） A．命题“ "的否定是" " B．已知回归模型为 ，则样本点 的残差为 C．若样本数据 的方差为2，则数据 的方差为8 D．若 的展开式中各项的二项式系数之和为32，则展开式中 项的系数为 13．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则（ ） A． B． C． D． 三、解答题 14．（2023·全国·高三专题练习）在二项式 的展开式中，二项式系数最大的项只有一项，且是 第4项． (1)求 的值； (2)求展开式中所有有理项的系数之和； (3)把展开式中的项重新排列，求有理项互不相邻的排法种数． 15．（2023·全国·高三专题练习）在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等； ③奇数项的二项式系数的和为128；这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两 个问题. 已知 （n∈N*），___________ (1)求 的值： (2)求 的值.16．（2023·全国·高三专题练习）已知 展开式的二项式系数和为512，且 . (1)求 的值； (2)设 ，其中 ，且 ，求 的值.