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易错点 13 排列组合与二项式定理
易错题【01】求解“至少”问题计数重复
排列组合中有一类“至少”问题,若使用分步计数很容易出现计数重复,如从1,2,3,4中任取2
个数字,至少有1个偶数,问有多少种不同取法,若先取1个偶数,再从另外3个 数中任取1个,
计数会重复,这是因为先2后4或先4后2的结果是一样的,求解此类问题,一般是分类求解,
如该问题可分2类：仅有1个偶数及有2个偶数.
易错题【02】利用分步乘法原理计数,分步标准错误
仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键.两个原理的区别在于一个与分类
有关,一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法,这n类办法彼此之间是相互独立的,无论
哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用分类加法计
数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤,缺一不可,即需要依次完成n个步骤,才能完成这
件事,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事的方法种数,就用分步乘法计
数原理.
易错题【03】分组问题混淆“均分”与“非均分”
平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列.分堆到位相当于分堆后各
堆再全排列,平均分堆不到指定位置,其分法数为：.对于分堆与分配问题应注意：①处理分
配问题要注意先分堆再分配.②被分配的元素是不同的(像“名额”等则是相同元素,不适用),
位置也应是不同的(如不同的“盒子”).③分堆时要注意是否均匀.如6分成(2,2,2)为均匀分
组,分成(1,2,3)为非均匀分组,分成(4,1,1)为部分均匀分组.
易错题【04】计数时混淆有序与定序
有序是指元素排列有顺序的区别,元素相同,位置不同是不同的结果,定序是指不同元素的相
对位置固定,不同元素的定序排列可看作组合问题,此外对于某几个元素顺序一定的排列问题,
可先把这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.
易错题【05】混淆二项式系数与系数
要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别. (a＋b)n的展开式中第r+1项的系数
是 ,其值只与 有关,与 无个,系数是该项中的常数,在(a＋b)n的展开式中,系数最大的
项是中间项；但当a,b的系数不是1时,系数最大的项的位置就不一定在中间,需要利用通项
公式,根据系数的增减性具体讨论而定.
01
(2021年高考全国乙卷理科)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球
和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有 ( )
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【警示】本题出错的主要原因是重复计数：先让其中4名志愿者各分一个项目,结果有
中,最后一名志愿者再任选一个项目,所有不同的分配方案共有480种,故选D.
【答案】C
【问诊】根据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5
名志愿者中任选2人,组成一个小组,有 种选法；然后连同其余三人,看成四个元素,四个项
目看成四个不同的位置,四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有 4！种,根据乘法
原理,完成这件事,共有 种不同的分配方案,故选C．
【叮嘱】求解至少问题,一般是先分组,后排列.
1. (2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每
项工作由1人完成,则不同的安排方式共有 ( )
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】D
【解析】解法一：分组分配之分人
A3 6 C1 3
首先分组将三人分成两组,一组为三个人,有 3 种可能,另外一组从三人在选调一人,有 3
A2 2
种可能；其次排序两组前后在排序,在对位找工作即可,有 2 种可能；共计有36种可能．
解法二：分组分配之分工作
C2 6 A3 6
工作分成三份有 4 种可能,在把三组工作分给3个人有 3 可能,共计有36种可能．
解法三：分组分配之人与工作互动
A3 24 C1 3
先让先个人个完成一项工作,有 4 种可能,剩下的一项工作在有3人中一人完成有 3
A2 2
种可能,但由两项工作人数相同,所以要除以 2 ,共计有36种可能．解法四：占位法
C1C2 18
其中必有一个完成两项工作,选出此人,让其先占位,即有 3 4 中可能；剩下的两项工作
A2 2
由剩下的两个人去完成,即有 2 种可能,按分步计数原理求得结果为36种可能．
解法五：隔板法和环桌排列
C2 6 A3 6
首先让其环桌排列,在插两个隔板,有 4 种可能,在分配给3人工作有 3 种可能,按分
步计数原理求得结果为36种可能．
2. (2018年高考数学课标卷Ⅰ(理))从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少
有1位女生入选,则不同的选法共有种．.(用数字填写答案)
【答案】16
【解析】方法一：直接法,1女2男,有 ,2女1男,有
根据分类计数原理可得,共有12+4=16种,
方法二,间接法： 种．
02
把3个不同的小球投入到4个盒子,所有可能的投法共有( )
A．24种B．4种C．43种D．34种
【警示】本题错误解法是：因为每个盒子有三种投入方法,共4个盒子,所以共有3×3×3×3＝
34(种)投法．
【问诊】错误原因是没有考虑每个球只能投入一个盒子中,导致错误
【答案】第1个球投入盒子中有4种投法；第2个球投入盒子中也有4种投法；第3个球投
入盒子中也有4种投法．只要把这3个球投完,就做完了这件事情,由分步乘法计数原理可得
共有43种方法,故选C.
【叮嘱】利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺
序的,并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才
算完成这件事．分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立,互不干扰；二是步与步确保连
续,逐步完成．
1．已知某教学大楼共有四层,每层都有东、西两个楼梯,则从一层到四层不同的走法种数为(
)A．32 B．23
C．43 D．24
【答案】B
【解析】根据题意,教学大楼共有四层,每层都有东、西两个楼梯,则从一层到二层,有2种走
法,同理从二层到三层、从三层到四层也各有2种走法,
则从一层到四层共有2×2×2＝23种走法．故选B.
2.在生物学研究过程中,常用高倍显微镜观察生物体细胞．已知某研究小组利用高倍显微镜
观察某叶片的组织细胞,获得显微镜下局部的叶片细胞图片,如图所示,为了方便研究,现在利
用甲、乙等四种不同的试剂对 、 、 、 、 、 这六个细胞进行染色,其中相邻的细
胞不能用同种试剂染色,且甲试剂不能对 细胞染色,则共有______种不同的染色方法(用数
字作答)．
【答案】
【解析】不考虑甲试剂不能对 细胞染色,则 细胞的染色试剂有 种选择.
①若 、 细胞的染色试剂相同,有 种选择, 、 细胞可以用剩余 种试剂进行染色,有
种方法,则 细胞的染色试剂有 种选择,
此时,共有 种不同的染色方法；
②若 、 细胞的染色试剂不同,有 种不同的染色方法, 细胞的染色方法只有 种,
若 、 细胞的染色试剂不同,则 细胞的染色试剂只有 种, 细胞的染色试剂只有 种；
若 、 细胞的染色试剂相同,则 细胞的染色试剂有 种.
此时,共有 种不同的染色方法；
综上所述,不考虑甲试剂不能对 细胞染色,染色方法种数为 种；
现在考虑用甲试剂对 细胞染色,则 细胞的染色试剂有 种选择.
①若 、 细胞的染色试剂相同,则 、 细胞可以用剩余 种试剂进行染色,有 种方法,
细胞的染色试剂有 种,
此时,共有 种不同的染色方法；
②若 、 细胞的染色试剂不同,则 细胞的染色试剂有 种选择, 细胞的染色试剂只有种.
若 、 细胞的染色试剂不同,则 细胞的染色试剂只有 种, 细胞的染色试剂只有 种,
若 、 细胞的染色试剂相同,则 细胞的染色试剂有 种.
此时,共有 种不同的染色方法.
综上所述,当用甲试剂对 细胞染色时,染色方法种数为 种.
因此,符合条件的染色方法种数为 种.
03
某校高二年级共有六个班,现从外地转入 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排
名,则不同的安排方案种数为()
A． B． C． D．
【警示】本题若混淆均分与非均分,会误选A
【问诊】因为是均分,要除以 .
【答案】先将4名学生均分成两组方法数为 ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为
,根据分步计数原理合要求的安排方法数为 ．故选B．
【叮嘱】要注意均分与非均分的区别.
1．(2022届江苏省南京市高三上学期期中)集合 , ,以 为定义域,
为值域的函数的个数为( )
A．60 B．150 C．540 D．
【答案】B
【解析】由题意可知求以 为定义域, 为值域的函数的个数相当于把5个不同的球放入3
个不同的盒子中,且盒子不能空的放法,先将5个不同的球分成3组,不同的分法有种,然后每个盒子中放一组即可,所以共有
种,所以以 为定义域, 为值域的函数的个数为150,
故选B
2．(多选题)(2022届重庆市实验中学高三上学期开学考试)有 本不同的书,按下列方式进行
分配,其中分配种数正确的是( )
A．分给甲､乙､丙三人,每人各 本,有 种分法；
B．分给甲､乙､丙三人中,一人 本,另两人各 本,有 种分法；
C．分给甲乙每人各 本,分给丙丁每人各 本,有 种分法；
D．分给甲乙丙丁四人,有两人各 本,另两人各 本,有 种分法；
【答案】BD
【解析】对于A, 本不同的书分给甲､乙､丙三人,每人各 本,共有 种分
法,A错误；对于B, 本不同的书分给甲､乙､丙三人,一人 本,另两人各 本,共有
种分法,B正确；对于C, 本不同的书分给甲乙每人各 本,丙丁每人各
本,共有 种分法,C错误；对于D, 本不同的书,分给甲乙丙丁四人,有两人各
本,另两人各 本,共有 种分法,D正确；
故选BD.
04
身高互不相同的七名学生排成一排,从中间往两边越来越矮,不同的排法有()
A．5040种 B．720种 C．240种 D．20种
【警示】本题错误解法是：最高个子站在中间,只需排好左右两边,第一步：先排左边,有种排法,第二步：排右边,有 种排法,根据分步乘法计数原理,共有
种,故选B．
【问诊】错误原因是混淆有序与定序
【答案】最高个子站在中间,只需排好左右两边,第一步：先排左边,因顺序固定有
种排法,第二步：排右边,因顺序固定,有1种排法,根据分步乘法计数原理,共有 种,
故选 ．
【叮嘱】这里的“有序”是指元素的位置可以有不同的顺序,有序问题是排列问题；“定
序”是指元素的相对顺序固定,定序问题可看作组合问题,如本题先选3人排左边,排法是 ,
不是
1.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单,开演前又增加了3个新节目,如果将这3个
新节目插入节目单中,那么不同的插法种数为( )
A．504 B．210 C．336 D．120
【答案】A
【解析】将3个新节目插入节目单中,共有9个节目,原来的6个节目顺序不变.
分两步：先从这9个位置中任选3个位置安排插入的3个新节目,共有 种方法；再把原来
的6个节目按原来顺序安排到剩余的6个位置,共有1种方法. 故共有 种不同的
方法.故选A
2．某班级有一个7人小组,现任选其中3人相互调整座位,其余4人座位不变,则不同的调整
方案的种数有( )
A．35 B．70 C．210 D．105
【答案】A
【解析】根据题意,由于班级有一个7人小组,现任选其中3人相互调整座位,那么其余的4人
的位置不变,则可知从7个中任意选3个,所有的情况有 ,其余4个人的位置只有一种,
那么可知一共有35种,故选A.05
(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)) 的展开式中 的系数为 ( )
A． B． C． D．
【 警 示 】 本 题 错 误 解 法 是 ： 展 开 式 的 通 项 公 式 为
,令 ,解得 ,故含 的系数为 ,故选
A．
【答案】C
【问诊】错误解法是混淆二项式系数与系数,正确解法是： 展开式的通项公式为
,令 ,解得 ,故含 的系数为 ,
故选C．
【叮嘱】系数展开项中字母前的常数.
1．(2022届上海市奉贤区高三一模)已知 的二项展开式中,前三项系数成等差数
列,则 的值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】依题意, 的二项展开式通项： ,,于是有： ,整理得 ,即 ,而 ,解
得 ,所以 的值为8.故选B
2.(2022届重庆市南开中学高三上学期12月月考)已知二项式 的展开式中共有8
项,则下列说法正确的有( )
A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项为第5项 D．有理项共3项
【答案】AB
【解析】二项式 的展开式中共有8项,则 ,
选项A：所有项的二项式系数和为 ,故A正确；
选项B：令 ,则 ,所以所有项的系数的和为1,故B正确；
选项C：二项式系数最大的项为第4项和第5项,故C不正确；
选项D：二项式的展开式的通项为 ,
当 时,二项式的展开式中对应的项均为有理项,所以有理项有4项,故D不正确．
故选AB﹒
错
1．已知 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为(
)
A．512 B．210
C．211 D．212
【答案】A
【解析】∵ 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,∴ ,解得n＝10,对于二项式 ,令x＝ ,可得其展开式的奇数项和偶数项的二项式系数之和为0,即奇数
项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等,又因为所有二项式系数之和为 ,∴
的展开式中奇数项的二项式系数和为 ,
故选A．
2．疫情期间,有6名同学去社区做防疫志愿者,根据需要,要安排这6名同学去甲､乙两个核酸
检测点,每个检测点至少去2名同学,则不同的安排方法共有( )
A．10种 B．20种 C．50种 D．70种
【答案】C
【解析】根据题意,分2种情况,
(1)①将6人分为人数为2和4的2组,有 种分组方法,
②将分好的2组全排列,安排到2个核酸点,有 种情况,则有 种不同的安排方
法；
(2)①将6人分为人数为3和3的2组,有 种分组方法,
②将分好的2组全排列,安排到2个核酸点,有 种情况,则有 种不同的安排方
法；
∴不同的安排方法有 ,故选C．
3．(2022届云南省三校高三联考)昆明市博物馆十一期间同时举办“滇池地区青铜文化精品
展”､“恐龙化石展”､“清代云南名家扇面精品展”､“馆藏明代民窑青花瓷展”四个展览,
某代表团决定在十一黄金周期间某一天的上､下午各参观其中的一个,且“滇池地区青铜文
化精品展”､“恐龙化石展”至少参观一个,则不同的参观方案共有( )
A．6种 B．8种 C．10种 D．12种
【答案】C
【解析】根据题意,分2种情况讨论
①该代表团只参观一个,在“滇池地区青铜文化精品展”､“恐龙化石展”中任选1个,有 种选法,
可以在“清代云南名家扇面精品展”､“馆藏明代民窑青花瓷展”中任选1个,
有 种选法,
将选出的2个展览安排在十一的上､下午,有 种情况,
则只参观一个的方案有 种；
②该代表团参观两个,将“滇池地区青铜文化精品展”､“恐龙化石展”全排列,安排在十一
某天的上､下午,
有 种情况,即参观两个有2种方案,
综上所述：不同的参观方案共有 个.
故选C.
4．(2022届山西省大同市高三上学期12月月考)为迎接第 届冬季奥林匹克运动会,某校安
排甲、乙、丙、丁、戍共五名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者,每个比赛
项目至少安排 人,则学生甲被安排到冰球比赛项且做志愿者的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先考虑全部的情况,即将 名学生分为三组,每组的人数分别为 、 、 或 、 、 ,
所有将 名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者,每个比赛项目至少安排 人,
不同的排法种数为 种；接下来考虑学生甲被安排到冰球比赛项且做志
愿者,则做冰球志愿者的人数可为 或 或 ,若做冰球志愿者的人数为 且为甲,共有
种；若做冰球志愿者的人数为 且包含甲,共有 种；若做冰球志
愿者的人数为 且包含甲,共有 种.因此,所求概率为 .故选A.
5．(多选题)已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大,则n的值可以为( )
A．7 B．8C．9 D．10
【答案】ABC
【解析】若展开式只有第五项的二项式系数最大,则 ,解得：n＝8；若展开式第四项
和第五项的二项式系数最大,则 ,解得：n＝7；若展开第五项和第六项的二项式系数
最大,则 ,解得：n＝9；故选ABC
6．(多选题)(2022届河北省邯郸市高三上学期强化训练)在二项式 的展开式中,下列
结论正确的是( )
A．第5项的二项式系数最大 B．所有项的系数和为
C．所有奇数项的二项式系数和为 D．所有偶数项的二项式系数和为
【答案】ABD
【解析】选项A：二项式 展开式式共有9项,有二项式系数的性质可知第5项的二
项式系数最大,故A正确；
选项B：令 ,可得所有项的系数和为 ,可知B正确；
选项C：所有奇数项的二项式系数和为 ,C错误；
选项D：所有偶数项的二项式系数和为 ,D正确.
故选ABD
7．(多选题)甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍,假设它们均不慎失足下落,已
知：(1)甲在下落的过程中依次撞击到树枝A,B,C；(2)乙在下落的过程中依次撞击到树枝
D,E,F；(3)丙在下落的过程中依次撞击到树枝G,A,C；(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝
B,D,H；(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝I,C,E,则下列结论正确的是( )
A．最高处的树枝为G,I中的一个
B．最低处的树枝一定是F
C．这九根树枝从高到低不同的顺序共有33种
D．这九根树枝从高到低不同的顺序共有32种
【答案】AC【解析】由题判断出部分树枝由高到低的顺序为 ,还剩下 , , ,且树枝 比 高,
树枝 在树枝 , 之间,树枝 比 低,最高可能为G或I,最低为F或H,故 选项正确,B错
误；
先看树枝 ,有4种可能,若 在 , 之间,
则 有3种可能：① 在 , 之间, 有5种可能；
② 在 , 之间, 有4种可能；
③ 在 , 之间, 有3种可能,
此时树枝的高低顺序有 (种).
若 不在 , 之间,则 有3种可能, 有2中可能,
若 在 , 之间,则 有3种可能,
若 在 , 之间,则 有三种可能,
此时树枝的高低顺序有 (种)可能,
故这九根树枝从高到低不同的顺序共有 种,故 选项正确.
故选AC.
8．(多选题)2020年3月,为促进疫情后复工复产期间安全生产,某医院派出甲、乙、丙、丁4
名医生到 , , 三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作,每名医生只能到一家企业工作,
则下列结论正确的是( )
A．所有不同分派方案共 种
B．若每家企业至少分派1名医生,则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少分派1名医生,且医生甲必须到 企业,则所有不同分派方案共12种
D．若 企业最多派1名医生,则所有不同分派方案共32种
【答案】BC
【解析】对于选项A：所有不同分派方案共有34种,故错误；
对于选项B：若每家企业至少分派1名医生,则有 种,故正确；
对于选项C：若每家企业至少分派1名医生,且医生甲必须到 企业,若A企业分2人,则有
种；若A企业分1人,则有 种,所以共有 种,故正确；
对于选项D：若 企业没有派医生去,每名医生有2种选择,则共有 种,若 企业派1名医生则有 种,所以共有 种,故错误；
故选BC．
9．甲,乙,丙,丁,戊五人并排站成一排照相,下列说法正确的是( )
A．如果甲,乙必须相邻,那么不同的排法有24种
B．甲不站在排头,乙不站在正中间,则不同的排法共有78种
C．甲乙不相邻且乙在甲的右边,则不同的排法共有36种
D．若五人已站好,后来情况有变,需加上2人,但不能改变原来五人的相对顺序,则不同的排
法共有42种
【答案】BCD
【解析】对A,如果甲,乙必须相邻,则可将甲乙先捆绑,考虑左右位置,共有2种情况,再将4个
位置全排列,共有 种排法,故A错误；
对B,分两种情况,①甲站中间时,共有 种排法；②甲不站中间,先排甲,有3种情况,中
间位置3选1,有3种情况,剩下3人全排列,有 种情况,则共有 种情况,甲不
站在排头,乙不站在正中间,不同的排法共有 种情况；
对C,甲乙不相邻且乙在甲的右边,按中间人数多少分类,当中间有1人时,有 种；当
中间有两人时,有 种；当中间有3人时,有 种排法,则共有36种排法；
对D,五人站好后,有6个空,剩下两人再逐一插空,共有 种情况；
故答案为BCD
10．(2022届河北省邯郸市高三上学期期末)2021年7月下旬河南省多地遭遇了暴雨洪涝灾
害,社会各界众志成城支援河南,邯郸市某单位组织4辆救援车随机前往河南省的A,B,C三个
城市运送物资,则每个城市都至少安排一辆救援车的概率为______．
【答案】
【解析】四辆车前往三个城市安排方式有 种,每个城市都至少安排一辆车共 种,
因此每个城市都至少安排一辆救援车的概率为 ．
