文档内容
第 01 讲 计数原理
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：分类加法计数原理的应用....................................................................................................2
题型二：分步乘法计数原理的应用....................................................................................................3
题型三：两个计数原理的综合应用....................................................................................................5
02 重难创新练......................................................................................................................................6
03 真题实战练....................................................................................................................................13题型一：分类加法计数原理的应用
1．书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.
从书架上任取1本书，不同的取法种数为（ ）
A．3 B．8 C．12 D．18
【答案】B
【解析】书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，
第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为 .
故选：B.
2．从 地到 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2
次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（ ）
A．3 B．9 C．24 D．以上都不对
【答案】B
【解析】由题意可知，可以乘汽车、火车、轮船三种交通工具，汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，
则由分类加法计数原理可得共有 种不同走法.
故选：B.
3．某校有5名学生参加数学竞赛，要求必须有人参加比赛，其中2名学生必须同时参加或同时不参加，其
他学生可以独立决定是否参加，求不同的参赛组合数（ ）．
A．10种 B．15种
C．20种 D．25种
【答案】B
【解析】某校有5名学生参加数学竞赛，其中2名学生必须同时参加或同时不参加，
所以设这两名同学为甲乙，
当甲乙同时参加时，剩下的三名同学可能有：
没有同学参加有 种情况，恰有一名同学参加有 种情况，
恰有两名同学参加有 种情况，三名同学都参加有 种情况，
所以共有 种组合；
当甲乙同时不参加时，剩下的三名同学可能有：
恰有一名同学参加有 种情况，恰有两名同学参加有 种情况，
三名同学都参加有 种情况，所以共有 种组合；所以不同的参赛组合数为： 种，
故选：B
题型二：分步乘法计数原理的应用
4．学校为丰富高中生的课外生活，开设了兴趣小组，有3名学生想要报名书法、绘画、篮球、羽毛球兴趣
小组，每人限报1项、则不同的报名方式种数有（ ）
A． B．36 C．24 D．
【答案】D
【解析】根据题意，每名学生都可以在书法、绘画、篮球和羽毛球兴趣小组中任选1个，
都有4种选法，由分步计数原理得，共有 种不同的选法.
故选：D.
5．如图，只闭合两个开关将一条电路从A处到B处接通，可构成线路的条数为（ ）
A．8 B．4 C．5 D．3
【答案】B
【解析】根据题意
根据分步计数原理，一条电路从A处到B处接通， 处并联电路开关闭合一个，有2种方法，
处并联电路开关闭合一个，只能闭合下面两个中的一个，有2种方法，共有 种方法.
故选：B
6． 2024年中国足球甲级联赛哈尔滨会展体育中心的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价
分别对应球场三个不同区域的座位，四位球迷相约看球赛，则四人中恰有三人在同一区域的不同座位方式
共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．24种
【答案】D
【解析】要使四人中恰有三人在同一区域，可以分成三步完成：
第一步，先从四人中任选三人，有 种方法；
第二步再选这三人所在的区域，有 种方法；
第三步，将另外一人从余下的两个区域里任选，有 种方法.
由分步乘法计数原理，共有 种方法.
故选：D.
7．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）用 代表红球， 代表蓝球， 代表黑球， 由加法原理及乘法原理， 从
1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由 的展开式 表示出来，如： “ 1 ” 表示一个球都不取、“ ”表示取出一个红球， 而 “ ” 表示把红球和蓝球都取出来，
以此类推， 下列各式中， 其展开式可用来表示从 3 个无区别的红球、 3 个无区别的蓝球、 2 个有区
别的黑球中取出若干个球， 且所有蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】第一步，从3个无区别的红球中取出若干球，
则有 ；
第二步，从3个无区别的蓝球中都取出或都不取出，要满足题意，
只有 ；
第三步，从2个有区别的黑球中取出若干个，
则有 .
根据分步计数原理，则要满足题意的取法有：
.
故选：A.
8．从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有多少种选法？（ ）
A．11 B．12 C．30 D．36
【答案】C
【解析】由题意，共有 种选法.
故选：C．
9． 5名同学分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为（ ）
A．9 B．20 C． D．
【答案】D
【解析】因为每名同学都有4种选择，
所以由分步乘法计数原理可知不同选法的种数为： ．
故选：D.题型三：两个计数原理的综合应用
10．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、
马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同
学喜欢龙、牛和羊，乙同学喜欢龙和马，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则
选法有 种．
【答案】50
【解析】第一种情况是甲选龙，乙只能选马，丙有10种方法，
第二种情况是甲选牛或马，甲有2种方法，乙也有2种方法，那么丙有10种方法，则共有 种
方法，
所以共有 种方法.
故答案为：50
11．（2024·浙江杭州·模拟预测）袋子中有数字“7”的卡片3张和数字“2”，“3”，“5”的卡片各1张，从
中任意取出4张卡片，最多能组成 个不同的四位数（用数字回答）．
【答案】
【解析】如果取一张数字7的卡片，则数字2、3、5的卡片都要取出，则组成 个不同的四位数；
如果取两张数字7的卡片，则数字2、3、5的卡片要取出两张，则组成 个不同的四位数；
如果取三张数字7的卡片，则数字2、3、5的卡片要取出一张，则组成 个不同的四位数；
所以最多能组成 个不同的四位数.
故答案为： .
12．如果一个四位数各个位数上的数字之和为8，则称这个四位数为“幸运数”，那么总共有 个
“幸运数”．
【答案】
【解析】①若有 个 ，则为 ，共 个；
②若有 个 ，则另外两个数为 ， ， ， ，则有 个；
③若有 个 ，则另外三个数为 ， ， ， ， ，
则有 个；
④若没有 ，则为 ， ， ， ， ，
则有 个；
综上一共有 个.
故答案为：
13．用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中能被3整除的偶数有 个.（用数字作答）.
【答案】46
【解析】依题意，若这四位数为偶数，则个位一定是0,2,4这三个之一；
若这四位数能被3整除，则这四位数之和为3的倍数.
当个位数为0时，剩下的三位数为1，2，3或2,3,4或3,4,5，此时共有： 个；
当个位数为2时，剩下的三位数为0,1,3或0,3,4或1,4,5，
当剩下的三位数含有0时，0不能在千位数，此时有 个；
当个位数为4时，剩下的三位数为0,2,3或0,3,5或1,2,5，
当剩下的三位数含有0时，0不能在千位数，此时有 个；
总共有： 个.
故答案为：46.
1．（2024·海南·模拟预测）将“1，2，2，3，4，5”这6个数字填入如图所示的表格区域中，每个区域填
一个数字，1不在 区域且三列中只有中间一列区域的数字之和为7，若中间一列填2和5，则不同的填法
有（ ）
A．20种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【解析】求不同填法需要4步，填中间一列有2种方法，再填1有3种方法，
与1同列的只能是3或4，有2种方法，最后两个区域，填两个数字有2种方法，
所以不同填法种数是 .
故选：B
2．（2024·广东深圳·模拟预测）某高校要求学生除了学习第二语言英语，还要求同时进修第三语言和第四
语言，其中第三语言可从A类语言：日语，韩语，越南语，柬埔寨语中任选一个，第四语言可从E类语言：
法语，德语，俄语，西班牙语，意大利语，则学生可选取的语言组合数为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
【答案】A【解析】第三语言可从A类语言4个中任选一个，有4种方法，
第四语言可从E类语言5个中任选一个，有5种方法，
所以共有 种.
故选：A.
3．（2024·河南周口·模拟预测）2024年春节档贺岁片《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》异
常火爆，甲、乙等5人去观看这三部电影，每人只观看其中一部，甲、乙不观看同一部电影，则选择观看
的方法有（ ）
A．243种 B．162种 C．72种 D．36种
【答案】B
【解析】先安排甲、乙两人，有 种方法，再安排其余3人，每人有3种安排方法，故共有
（种）方法.
故选：B.
4．（2024·全国·模拟预测）如下图所示，边长为a的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面
的中心有原子分布的晶体结构，我们称之为面心立方结构.若要将这一个立方体上的14个点染上红黄蓝三
种颜色，使得被一条线段连接的两个点不能染上同一种色，那么不同染色方案的种数是（旋转和镜像对称
后重合的视为同一种）（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】A
【解析】不妨设正方体的边长为1，记红黄蓝三种颜色为a，b，c，
我们首先假设正方体的一对对顶点是在 和 ，若将 染成 色，
那么 ， ， 三个点必然都是 色，
而 ， ， 必然都是 色．如此递推可以恰好染完整个正方体.
而当 色固定的时候通过旋转就可以得到 互换的正方体.
从而只有三种不同的方案，也就是将面的中间分别染上红黄蓝三种颜色.
故选：A
5．（2024·天津和平·二模）为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，
组织同学从推荐的课外读物中进行选读．活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这
两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【答案】B
【解析】根据题意，分2步进行分析：
首先选取 种相同课外读物的选法有 种，
再选取另外两种课外读物需不同，则共有 种，
所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有 种．
故选：B．
6．（2024·江苏南通·模拟预测）某志愿者小组有5人，从中选3人到A、B两个社区开展活动，其中1人
到 社区，则不同的选法有（ ）
A．12种 B．24种 C．30种 D．60种
【答案】C
【解析】求不同选法种数需2步，先从5人中选1人去 社区，再从余下4人中选2人去 社区，
所以不同的选法有 （种）.
故选：C
7．（2024·陕西铜川·模拟预测）小张同学喜欢吃4种不同品种的奶糖，她有5个不同颜色的塑料袋，每个
袋子中至少装1种奶糖．小张同学希望5个袋子中所装奶糖种类各不相同，且每一种奶糖在袋子中出现的
总次数均为2，那么不同的方案数为（ ）
A．3000 B．3360 C．1440 D．1560
【答案】A
【解析】依次记四种奶糖为 ，则每个字母出现2次，先分堆．
若是“ ”，则其中的“4”必须是 ，故有1种可能；
若是“ ”，则考虑 ，故有 种可能；
若是“ ”，则考虑 ，故有 种可能，
所以不同的方案数为 种．
故选:A．
8．（2024·陕西西安·三模）方程 的非负整数解的组数为（ ）
A．40 B．28 C．22 D．12
【答案】A
【解析】因为 ，所以 的因数有 个，
故方程 的非负整数解的组数为40．
故选：A
9．（多选题）（2024·全国·模拟预测）将 这七个数随机地排成一个数列，记第i项为
，则下列说法正确的是（ ）A．若 ， ，则这样的数列共有360个
B．若该数列恰好先增后减，则这样的数列共有64个
C．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有144个
D．若 ， ， ，则这样的数列共有71个
【答案】ACD
【解析】对于A：由于 为奇数，根据对称性可知这样的数列有 个，
故A正确；
对于B：从 中选出 个数排在 的右侧，其余排在 的左侧，
得到先减后增的数列有 个；
从 中选出2个数排在 的右侧，其余排在 的左侧，
得到先减后增的数列有 个；
从 中选出3个数排在 的右侧，其余排在 的左侧，
得到先减后增的数列有 个；
从 中选出4个数排在 的右侧，其余排在 的左侧，
得到先减后增的数列有 个；
从 中选出5个数排在 的右侧，其余排在 的左侧，
得到先减后增的数列有 个；
故满足条件的总个数为： 个，故B错误．
对于C：若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，
则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有 个，故C正确；
对于D：若 ，则先从其余6个数中任选2个数作为 且 ，有 种方法，
剩余4个数中最大的为 ，剩下的3个数任取2个作为 且 ，有 种方法，
则这样的数列有 个，
若 ，则先从除去1之外的5个数中任选2个数作为 且 ，有 种方法，
剩余4个数中最大的为 ， ，剩下的2个数任取1个作为 或 即可，有 种方法，则这样的数
列有 个，
若 ，则先从除去1、2之外的4个数中任选2个数作为 且 ，有 种方法，
剩余4个数位置固定的一种排法，其中 ，则这样的数列有 个，
所以满足条件的这样的数列共有 个，故D正确；
故选：ACD.
10．（多选题）（2024·高二·山东德州·阶段练习）带有编号 、 、 、 、 的五个球，则（ ）A．全部投入 个不同的盒子里，共有 种放法
B．放进不同的 个盒子里，每盒至少一个，共有 种放法
C．将其中的 个球投入 个盒子里的一个（另一个球不投入），共有 种放法
D．全部投入 个不同的盒子里，没有空盒，共有 种不同的放法
【答案】AC
【解析】对于A：由分步计数原理，
五个球全部投入 个不同的盒子里共有 种放法，故A正确；
对于B：由排列数公式，
五个不同的球放进不同的 个盒子里，每盒至少一个，共有 种放法，故B错误；
对于C：将其中的 个球投入一个盒子里（另一个球不投入）共有 种放法，故C正确；
对于D：全部投入 个不同的盒子里，没有空盒，
共有 种不同的放法，故D错误．
故选：AC
11．（多选题）（2024·重庆·模拟预测）如图，16枚钉子钉成4×4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则
下列说法正确的有(不同的图形指两个图形中至少有一个顶点不同)（ ）
A．可以围成20个不同的正方形
B．可以围成24个不同的长方形(邻边不相等)
C．可以围成516个不同的三角形
D．可以围成16个不同的等边三角形
【答案】ABC
【解析】不妨设两个钉子间的距离为1，
对于选项A，由图知，边长为1的正方形有 个，边长为 的正方形有 个，
边长为3的正方形有1个，边长为 的正方形有 个，边长为 的有2个，共有20个，所以选项
A正确，
对于选项B，由图知，宽为1的长方形有 个，宽为2的长方形有 个，
宽为3的长方形有5个，宽为 的有2个，共有24个，所以选项B正确，
对于选项C，由图知，可以围成 个不同的三角形，所以选项C正确，对于选项D，由图可知，不存在等边三角形，所以选项D错误，
故选：ABC.
12．（多选题）（2024·高二·山东滨州·期末）某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到 ， ， 三家企业
开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A．所有不同分派方案共 种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到 企业，则所有不同分派方案共12种
D．若 企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
【答案】BCD
【解析】选项A：所有不同分派方案共 种.判断错误；
选项B：若每家企业至少分派1名医生，
先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配.
则所有不同分派方案共 （种）.判断正确；
选项C：若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到 企业，
则 企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生，
则所有不同分派方案共 （种）.判断正确；
选项D：若 企业最多派1名医生，则 企业可以有1名医生和没有医生两种情况,
则不同分派方案共 （种）.判断正确.
故选：BCD
13．（2024·河南新乡·模拟预测）2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中
某段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火
炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为 ．
【答案】10
【解析】最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的2人，也可以是从乙、丙中选1人，从除甲、乙、丙之外的
2人中选1人组成，所以最后一棒的安排方案有： 种；
安排最后一棒后，剩余两人安排在中间两棒，方案有： 种，
由分步计数乘法原理，不同的传递方案种数为： 种.
故答案为：10
14．（2024·全国·模拟预测）二阶魔方是一个 的正方体，由8个角块组成，没有中心块和棱块，结
构相对简单.若空间中方向不同但状态相同（即通过整体旋转后相同）的情况只算一种，则任意二阶魔方共
有 种不同的状态.（提示：任选其中1个角块作为参考，则其余7块能自由排列，在这7块中，任
意确定6块，最后1块也就唯一确定了）
【答案】【解析】任选其中1个角作为参考，考虑其余7块排列情况.在这7块中，任意确定6块，
最后一块也确定了，所以任意二阶魔方有 种状态.
再考虑每个角块有三种朝向，扣除状态相同的情况，则有 种状态.
故答案为： .
15．（2024·河南濮阳·模拟预测）第一届全国学生（青年）运动会开幕式于2023年11月5日在广西举行，
举办本届学青会是推动新时代青少年和学校体育改革发展，增强青少年和学生体质、促进竞技体育后备人
才培养的重要措施．为了加强宣传力度，某体育协会从甲、乙等6人中选派4人到A，B，C，D四个不同
的区域参加宣传活动，每人去一个区域，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去A区域的选派方法共有
种（用数字作答）．
【答案】276
【解析】依题意，由甲、乙至少有一人参加，得甲参加与甲不参加乙必参加两种情况，
当甲参加时，有 种选派方法，当甲不参加时，有 种选派方法，
所以不同选派方法种数是 .
故答案为：276
16．（2024·高二·吉林长春·期末）有4人到甲、乙、丙三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每
所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为 .（用数字作答）
【答案】60
【解析】当 人中有三人被录取，则不同的录取情况数为 ，
当4人全部被录取，则不同的录取情况数为 ，
综上不同的录取情况数共有 种.
故答案为：60
17．（2024·福建泉州·模拟预测）围棋在中国古时称"弈"，是一种策略性二人棋类游戏．围棋棋盘由纵横
各19条等距离、垂直交叉的平行线构成．则围棋棋盘上的矩形数量为 ．（用数字作答）
【答案】29241
【解析】矩形是在同一平面内，由两组平行线段组成，且每两相交线段均垂直的闭合图形．
则横向19条线、纵向19条线中各选择2条即可，即 .
故答案为：29241．1．（2001年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷））如图，小圆圈表示网络的结点，结点之
间的连线表示它们有网络联系，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从
结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（
）
A．26 B．24 C．20 D．19
【答案】D
【解析】由题图可知，从A到B有4种不同的传递路线，各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下
分别为3，4，6，6，
由分类加法计数原理得，单位时间内传递的最大信息量为 .
故选：D．
2．（1993年普通高等学校招生考试数学（理）试题（旧高考））同室 人各写一张贺年卡,先集中起来,然
后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则 张贺年卡不同的分配方式有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】B
【解析】设四人分别为 ,写的卡片分别为 ,由于每个人都要拿别人写的卡片,即不能拿自己
写的卡片,
故 有 种拿法,不妨设 拿了 ,则 可以拿剩下 张中的任一张,也有3种拿法, 和 只能有一种拿法,
所以共有 种分配方式.
故选：B.
3．（2005年普通高等学校春季招生考试数学（文）试题（北京卷））从0，1，2，3这四个数中选三个不
同的数作为函数 的系数，可组成不同的一次函数共有 个，不同的二次函数
共有 个．（用数字作答）
【答案】 ； .
【解析】因为只有当 且 时，函数 才是一次函数，所以可组成不同的一次函数共有 ；
因为只有当 时，函数 才是二次函数，
所以可组成不同的二次函数共有 ，
故答案为： ；
4．（2005年普通高等学校春季招生考试数学（理）试题（北京卷））从 ，0，1，2这四个数中选三个
不同的数作为函数 的系数，可组成不同的二次函数共有 个，其中不同的偶
函数共有 个．（用数字作答）
【答案】 18 6
【解析】可组成不同的二次函数共有： 个.
函数为偶函数，则 ，共有： 个.
故答案为：18；6
5．（2001年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷））圆周上有 个等分点 ，以其中三
个点为顶点的直角三角形的个数为 ．
【答案】
【解析】由题意知,只有三角形的一条边过圆心,才能组成直角三角，
因为圆周上有 个等分，所以共有 条直径，
每条直径可以和除去本身的两个端点外的点组成直角三角形，所以可做 个直角三角形.
根据分步计数原理知,共有 个
故答案为: .
6．（2003 年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分
成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘
汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第三、四名，则该大师赛共有 场比赛．
【答案】16
【解析】按比赛赛程分类，第一类单循环赛场次 ，第二类淘汰赛场次2，第三类决赛场次2，
总场次为 ．
故答案为：16.
