文档内容
§10.1 两个基本计数原理与排列组合
课标要求 1.理解分类计数原理、分步计数原理及其意义.2.理解排列、组合的概念.3.能利
用两个基本计数原理、排列组合解决简单的实际问题．
知识梳理
1．两个基本计数原理
(1)分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m 种不同的方法，在第2
1
类方式中有m 种不同的方法，在第n类方式中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有N
2 n
＝m ＋ m ＋ … ＋ m 种不同的方法．
1 2 n
(2)分步计数原理：完成一件事，需要n个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有
1
m 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m × m ×…× m 种不同的方法．
2 1 2 n
2．排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出 按照一定的顺序排成一列
组合 m(m≤n)个元素 并成一组
3.排列数与组合数
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，用符号 A 表示 ．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，用符号 C 表示 ．
4．排列数、组合数的公式及性质
(1)A＝ n ( n － 1)( n － 2) … ( n － m ＋ 1) ＝(n，m∈N*，且m≤n)．
公式
(2)C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)
(1)0！＝1；A＝ n ！ .
性质
(2)C＝1；C＝C；C＝ C ＋ C
常用结论1．排列数、组合数常用公式
(1)A＝(n－m＋1)A.
(2)A＝nA.
(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.
(4)kC＝nC.
(5)C＋C＋…＋C＋C＝C.
2．解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排．
(2)合理分类与准确分步．
(3)排列、组合混合问题要先选后排．
(4)相邻问题捆绑处理．
(5)不相邻问题插空处理．
(6)定序问题倍缩法处理．
(7)分排问题直排处理．
(8)“小集团”排列问题先整体后局部．
(9)构造模型．
(10)正难则反，等价转化．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在分类计数原理中，某两类不同方案中的方法可以相同．( × )
(2)在分布计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(
× )
(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( × )
(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( √ )
2．(多选)下列结论正确的是( )
A．3×4×5＝A
B．C＋C＝C
C．若C＝C，则x＝3
D．C＋C＋C＋C＝64
答案 AD
解析 3×4×5＝A，故A正确；
C＋C＝2C＝2×＝20，C＝＝15，故C＋C≠C，故B错误；
C＝C，则x＝2x－2或x＋2x－2＝10，解得x＝2 或x＝4，故C错误；
C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＝1＋＋＋7＝64，故D正确．
3．书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法种数为________，从第1,2,3层各取1本
书，不同的取法种数为________．
答案 15 120
解析 由分类计数原理知，从书架上任取 1本书，不同的取法种数为4＋5＋6＝15.由分布
计数原理知，从1,2,3层各取1本书，不同的取法种数为4×5×6＝120.
4．将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生
参加，则不同的安排方案共有________种．
答案 36
解析 第一步，先从4名学生中任选2人组成一组，与剩下2人分成三组，有C＝6(种)不
同的方法；第二步，将分成的三组安排到甲、乙、丙三地，则有 A＝6(种)不同的方法．故
共有6×6＝36(种)不同的安排方案.
题型一 两个基本计数原理
例1 (1)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在
一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个
数是( )
A．60 B．48 C．36 D．24
答案 B
解析 长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个
面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个
数是36＋12＝48.
(2)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
答案 B
解析 ①当万位数字为5，个位数字为0时，有4×3×2＝24(个)；②当万位数字为5，个
位数字为2时，有4×3×2＝24(个)；③当万位数字为5，个位数字为4时，有4×3×2＝
24(个)；④当万位数字为4，个位数字为0时，有4×3×2＝24(个)；⑤当万位数字为4，个
位数字为2时，有4×3×2＝24(个)．由分类计数原理，得共有 24＋24＋24＋24＋24＝
120(个)．
(3)如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形
ABCD内部为“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成)，给△ABE，
△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色，且相邻区域(即图中有
公共点的区域)不同色，已知有4种不同的颜色可供选择．则不同的涂色方法种数是( )A．48 B．54 C．72 D．108
答案 C
解析 设“赵爽弦图”ABCD为①区，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形分别为
②，③，④，⑤区．
第一步给①区涂色，有4种涂色方法．
第二步给②区涂色，有3种涂色方法．
第三步给③区涂色，有2种涂色方法．
第四步给④区涂色，若④区与②区同色，⑤区有2种涂色方法；
若④区与②区不同色，则④区有1种涂色方法，⑤区有1种涂色方法．
所以共有4×3×2×(2＋1×1)＝72(种)涂色方法．
思维升华 完成一件事的方法种数的计算步骤
(1)审清题意，弄清要完成的事件是怎样的．
(2)分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类这四种方法中的哪一
种．
(3)弄清在每一类或每一步中的方法种数．
(4)根据分类计数原理或分布计数原理计算出完成这件事的方法种数．
跟踪训练1 (1)某生产过程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等
6名工人中选出4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第
四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有( )
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
答案 B
解析 分两类：①第一道工序安排甲时有1×1×4×3＝12(种)；
②第一道工序不安排甲时有1×2×4×3＝24(种)．
所以共有12＋24＝36(种)．
(2)用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成________个无重复数字的四位偶数(用数字作答)．答案 420
解析 当个位数字为0时，有6×5×4＝120(个)无重复数字的四位偶数；当个位数字为
2,4,6中的一个时，千位数字不能为0，有3×5×5×4＝300(个)无重复数字的四位偶数．根
据分类计数原理知，共有120＋300＝420(个)无重复数字的四位偶数．
(3)某学校有一块绿化用地，其形状如图所示．为了让效果更美观，要求在四个区域内种植
花卉，且相邻区域花卉颜色不同．现有五种不同颜色的花卉可供选择，则不同的种植方案
共有________种．(用数字作答)
答案 180
解析 先在A中种植，有5种不同的种植方法，再在B中种植，有4种不同的种植方法，
再在C中种植，有3种不同的种植方法，最后在D中种植，有3种不同的种植方法，
所以不同的种植方案共有5×4×3×3＝180(种)．
题型二 排列组合问题
例2 (1)(2023·济宁模拟)为了强化学校的体育教育教学工作，提高学生身体素质，加强学生
之间的沟通，凝聚班级集体的力量，激发学生对体育的热情，某中学举办田径运动会．某
班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校4×100米接力赛，其中甲只能跑第
一棒或第二棒，乙只能跑第二棒或第四棒，那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案种数为(
)
A．48 B．36 C．24 D．12
答案 B
解析 当甲排第一棒时，乙可排第二棒或第四棒，共有AA＝24(种)方案；
当甲排第二棒时，乙只能排第四棒，共有A＝12(种)方案．
故甲、乙都参加的不同棒次安排方案种数为24＋12＝36.
(2)(2023·新高考全国Ⅰ)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这
8门课中选修 2门或3门课，并且每类选修课至少选修 1门，则不同的选课方案共有
________种(用数字作答)．
答案 64
解析 ①当从8门课中选修2门时，不同的选课方案共有CC＝16(种)；
②当从8门课中选修3门时，(ⅰ)若体育类选修1门，则不同的选课方案共有CC＝24(种)；
(ⅱ)若体育类选修2门，则不同的选课方案共有CC＝24(种)．
综上所述，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64(种)．
思维升华 排列问题和组合问题的区分方法
(1)排列问题：若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取
的顺序有关．
(2)组合问题：若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与
选取的顺序无关．
跟踪训练2 (1)(2024·温州模拟)学校高三大理班周三上午四节、下午三节有六门科目可供安
排，其中语文和数学各自都必须上两节而且两节连上，而英语、物理、化学、生物最多上
一节，则不同的课程安排有________种情况．
答案 336
解析 根据题意，分2种情况讨论：
①语文和数学都安排在上午，
此时语文和数学的安排方法有2种，再在剩下的4门课中任选3门，安排在下午，有A种
情况，
则此时有2×A＝48(种)安排方法；
②语文和数学分别安排在上午和下午，
若语文在上午，有3种安排方法；数学在下午，有2种安排方法，再在剩下的4门课中任
选3门，安排在其他时间，有A种情况，
则语文在上午、数学在下午的安排方法有3×2×A＝144(种)，
同理，数学在上午、语文在下午的安排方法也有144种，
则不同的安排方法有48＋144＋144＝336(种)．
(2)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，
要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法(用数字作答)．
答案 660
解析 方法一 ①只有1名女生时，先选1名女生，有C种方法；
再选3名男生，有C种方法；
然后排队长、副队长位置，有A种方法．
由分布计数原理知，
共有CCA＝480(种)不同的选法．
②有2名女生时，再选2名男生，有C种方法；
然后排队长、副队长位置，有A种方法．
由分布计数原理知，共有CA＝180(种)不同的选法．所以依据分类计数原理知，
共有480＋180＝660(种)不同的选法．
方法二 不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，
而没有女生的选法有AC种，
故至少有1名女生的不同选法有
AC－AC＝840－180＝660(种)．
题型三 排列组合的综合应用
命题点1 相邻、相间问题
例3 (2022·新高考全国Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站
在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
答案 B
解析 先将丙和丁捆在一起有A种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A种排列方式，
最后将甲插入中间两空，有C种排列方式，所以不同的排列方式共有AAC＝24(种)．
命题点2 定序问题
例4 (2023·扬州模拟)花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼
具生活功能与艺术特色．如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则
不同取法种数为________．
答案 90
解析 由题意，取下6盏不同的花灯，
先对6盏不同的花灯进行全排列，共有A种方法，
因为每次只取一盏花灯，而且只能从下往上取，
所以必须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序，
故共有取法种数为＝90.
命题点3 分组、分配问题
例5 (2023·湖南新高考教学教研联盟联考)某高校计划在今年暑假安排编号为A，B，C，
D，E，F的6名教师，到4个不同的学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中B，D
必须安排在同一个学校．则不同的安排方法共有( )
A．96种 B．144种
C．240种 D．384种
答案 C
解析 将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校．
若教师人数依次为3,1,1,1，则不同的安排方法有CA＝96(种)；
若教师人数依次为2,2,1,1，
则不同的安排方法有CA＝144(种)，
故不同的安排方法共有96＋144＝240(种)．
思维升华 求解排列组合问题的6种主要方法
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素
捆绑法
的内部排列
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素
插空法
插在前面元素排列的空当中
定序问题除法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的
处理 全排列
间接法 正难则反、等价转化的方法
跟踪训练3 (1)(多选)已知A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有(
)
A．若A，B不相邻，则共有72种不同排法
B．若A不站在最左边，B不站在最右边，则共有72种不同排法
C．若A在B右边，则共有60种不同排法
D．若A，B两人站在一起，则共有48种不同排法
答案 ACD
解析 对于A，若A，B不相邻，则共有AA＝72(种)不同排法，故A正确；
对于B，若A不站在最左边，B不站在最右边，则利用间接法共有A－2A＋A＝78(种)不同
排法，故B错误；
对于C，若A在B右边，则共有＝60(种)不同排法，故C正确；
对于D，若A，B两人站在一起，则共有AA＝48(种)不同排法，故D正确．
(2)(2023·聊城模拟)某综合性大学数学科学学院为了提高学生的数学素养，开设了“古今数
学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求每位学生从
大一到大三的三个学年内将四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，若同一学年
内选修的课程不分前后顺序，则每位学生共有________种不同的选修方式(用数字作答)．
答案 54
解析 由题意可知三年内将四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，
则四门学科可按2,1,1和2,2,0两种情况分成三组，
若按2,1,1分成三组，有C＝6(种)分组方法；若按2,2,0分成三组，有＝3(种)分组方法，
所以每位学生共有(6＋3)A＝54(种)不同的选修方式．
课时精练
一、单项选择题
1．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数的个数是
( )
A．30 B．42 C．36 D．35
答案 C
解析 因为a＋bi为虚数，
所以b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，
由分布计数原理知可以组成6×6＝36(个)虚数．
2．(2024·鞍山模拟)为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每
个学校至少安排1人，其中甲校至少要安排2名大学生，则不同的安排方法共有( )
A．50种 B．60种 C．80种 D．100种
答案 C
解析 若甲校安排2名大学生，此时有CCA＝60(种)安排方法；
若甲校安排3名大学生，此时有CA＝20(种)安排方法．
综上所述，共有80种安排方法．
3．(2023·广州模拟)如图，在两行三列的网格中放入标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，每格
只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有( )
A.96种 B．64种 C．32种 D．16种
答案 B
解析 根据题意，分3步进行，第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5”，则中
间的数字只能为两组数1,4或2,3中的一组，共有2A＝4(种)排法；
第二步，排第一步中剩余的一组数，共有AA＝8(种)排法；
第三步，排数字 5和6，共有A＝2(种)排法，由分布计数原理知，不同的排法种数为
4×8×2＝64.
4．在数学中，有一个被称为自然常数(又叫欧拉数)的常数e≈2.718 28.小明在设置银行卡的
数字密码时，打算将自然常数e的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2不相邻，两个8相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为( )
A．36 B．48 C．72 D．120
答案 A
解析 如果排列时要求两个8相邻，两个2不相邻，两个8捆绑看作一个元素与7,1全排列，
排好后有4个空位，两个2插入其中的2个空位中，注意到两个2、两个8均为相同元素，
那么小明可以设置的不同的密码个数为AC＝36.
5．一辆七座(含司机)旅游客车载着6名游客前往某地游览，6名游客返程时恰有2名游客
坐的是出发时的座位的方法数为( )
A．135 B．150 C．165 D．180
答案 A
解析 恰好有两个人的位置没有发生变化，则从6个人中选两个人使位置没有发生变化，
有C＝15(种)，剩下4个人均没有坐在出发时的位置上，设这四个人分别为 A，B，C，D，
设他们出发时坐的位置分别为a，b，c，d，返程时，若A从b，c，d三个位置中任选一个
位置有3种选择，不妨假设A选择b，则此时B，C，D三个人需要安排到a，c，d的位置，
共有，，3种安排方法，故总的安排方法数为15×3×3＝135.
6.在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，
若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是( )
A．1 440 B．720
C．1 920 D．960
答案 C
解析 如图，设5个区域分别是A，B，C，D，E.
第一步：选择1种花卉种植在A区域，有6种方法可以选择；
第二步：从剩下的5种不同的花卉中选择1种种植在B区域，有5种方法可以选择；
第三步：从剩下的4种花卉中选择1种种植在C区域，有4种方法可以选择；
第四步：若区域D与区域A种植同1种花卉，则区域E可选择的花卉有4种；
若区域D与区域A种植不同种花卉，则区域D有3种花卉可以选择，区域E可选择的花卉
有4种，
故不同的种植方法种数是6×5×4×(1×4＋3×4)＝1 920.7．在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有 A，B，C，D，E，F共6项成果要汇
报，如果B成果不能最先汇报，而A，C，D成果按先后顺序汇报(不一定相邻)，那么不同
的汇报安排种数为( )
A．100 B．120 C．300 D．600
答案 A
解析 不考虑限制条件共有A种，B最先汇报共有A种，如果B不能最先汇报，而A，C，
D按先后顺序汇报(不一定相邻)，则不同的汇报安排种数为＝100.
8．(2023·潍坊模拟)过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天
事业发展中的重要一环．已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭
功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项．若这五项测试每天进行一项，连
续5天完成，且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安
排在相邻两天测试，则不同的选拔测试安排方案有( )
A．24种 B．36种 C．48种 D．60种
答案 B
解析 ①若失重飞行安排在第一天，且前庭功能安排在第二天，则后面三天安排其他三项
测试有A＝6(种)安排方法，此情况跟失重飞行安排在第五天，且前庭功能安排在第四天的
安排方案种数相同；
②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有C种选择，超重耐力安排在第四、第五天有C
种选择，剩下两种测试全排列为A，则有CCA＝8(种)安排方法，此情况与失重飞行安排在
第四天的安排方案种数相同；
③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有C种选择，超重耐力在第一、第五天有C种选
择，剩下两种测试全排列为A，则有CCA＝8(种)安排方法，
故选拔测试的安排方案有6×2＋8×2＋8＝36(种)．
二、多项选择题
9．现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是( )
A．4个空位全都相邻的坐法有120种
B．4个空位中只有3个相邻的坐法有240种
C．4个空位均不相邻的坐法有120种
D．4个空位中至多有2个相邻的坐法有840种
答案 AC
解析 将四个空位当成一个整体，全部的坐法有A＝120(种)，故A对；
先排4个学生A，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入到由 4个学生
形成的5个空当中，有A种方法，所以一共有AA＝480(种)坐法，故B错；
先排4个学生A，4个空位是一样的，然后将4个空位插入到由4个学生形成的5个空当中，
有C种方法，所以一共有AC＝120(种)坐法，故C对；至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C可知都不相邻的坐法有120种，
空位两个两个相邻的有AC＝240(种)，空位只有两个相邻的有ACC＝720(种)，
所以一共有120＋240＋720＝1 080(种)坐法，故D错．
10．安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2023年成都大运会志愿者服务活动，有翻译、
导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是( )
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法种数为45
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法种数为AC
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则不同的方法种数为(CC＋CC)A
D．若每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都
能胜任四项工作，则不同的安排方法种数为CCA＋CA
答案 AD
解析 若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，故A正确；
先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有CA种安排方法，故B错误；
先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有 A
种情况，则有A种安排方法，故C错误；
①从丙，丁，戊中选出1人开车，②从丙，丁，戊中选出2人开车，则有(CCA＋CA)种安
排方法，故D正确．
三、填空题
11．甲、乙、丙、丁四个人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己所写的贺卡，
共有________种不同的取法．
答案 9
解析 第一步：由甲取1张不是自己所写的那张贺卡，有3种取法；
第二步：由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有3种不同取法；
第三步：由剩余两人中任1个人取，此时只有1种取法；
第四步：最后1个人取，只有1种取法，根据分布计数原理可得共有3×3×1×1＝9(种)取
法．
12.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以
梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫
下珠．例如，在十位档拨一颗上珠和一颗下珠，个位档拨一颗上珠，则表示数字 65.若在个、
十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，则可能
出现的数字个数为________，其中所拨数字小于600的有________个．
答案 24 7
解析 在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，
所有的数有CC＝24(个)，其中小于600的有CC－C＝7(个)．
13．(2023·郑州质检)某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、
李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学
生讲述，则不同的分配方案有________种．
答案 240
解析 先把5名学生分成人数为2,1,1,1的四组，共有＝C＝10(种)分法，再将四组学生安排
宋元数学四大家讲述，有A＝24(种)分法，
所以分配方案有10×24＝240(种)．
14．现有15个省三好学生名额分给1,2,3,4四个班级，其中1班至少有2个名额，2班、4
班每班至少有3个名额，3班最多有2个名额，则共有________种不同分配方案．
答案 85
解析 由3班最多有2个名额，得3班有2个、1个或0个名额三种情况．
(1)当3班有2个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的8个名
额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额．
相当于将8个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别
得到一组，有C＝21(种)分法；
(2)当3班有1个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的9个名
额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额．
相当于将9个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别
得到一组，有C＝28(种)分法；
(3)当3班没有分得名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的10
个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额．
相当于将10个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别
得到一组，有C＝36(种)分法，
所以一共有21＋28＋36＝85(种)不同的分配方案．
15．如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一
个单位长度，记a 为第n次跳跃后对应数轴上的数字(n＝1,2，…，14)，则满足a＝16，a
n 14
＝2的跳跃方法有( )
A．336种 B．448种 C．315种 D．420种答案 B
解析 因为a＝16，所以a＝－4或a＝4.
8 8
当a＝－4，a ＝2时，前8次向左跳跃6次，向右跳跃2次，后6次向右跳跃6次，
8 14
所以有CC＝28(种)跳跃方法；
当a ＝4，a ＝2时，前8次向右跳跃6次，向左跳跃2次，后6次向左跳跃4次，向右跳
8 14
跃2次，
所以有CC＝28×15＝420(种)跳跃方法．
综上所述，满足a＝16，a ＝2的跳跃方法有28＋420＝448(种)．
14
16．因演出需要，身高互不相等的8名演员要排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最
左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六、七、八个依次递
增，则不同的排列方式有( )
A．181种 B．109种 C．84种 D．96种
答案 A
解析 依题意作图如图所示：
上面的数字表示排列的位置，必须按照如图的方式排列，其中第 3个位置必须比1,2,4,5,6
要高，第8个位置必须比6,7高，1,6两处要比排列里其他位置低，设8个演员按照从矮到
高的顺序依次编号为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，则第3个位置可选演员编号最小
是⑥，最大是⑧，下面分类讨论：
(1)第3个位置选⑥号：先从①，②，③，④，⑤号中选两个放入前两个位置，
余下的3个号放入位置4,5,6，顺序是确定的，只有一种情况，然后⑦，⑧号放入最后两个
位置也是确定的，此时共C＝10(种)情况；
(2)第3个位置选⑦号：先从①，②，③，④，⑤，⑥号中选两个放入前两个位置，
余下的4个号中编号最小的放入第6个位置，剩下3个选2个放入4,5两个位置，
余下的号和⑧号放入最后两个位置，此时共CC＝45(种)情况；
(3)第3个位置选⑧号：先从①，②，③，④，⑤，⑥，⑦号中选两个放入前两个位置，
余下的5个号中编号最小的放入第6个位置，剩下4个选2个放入4,5两个位置，余下的2
个号放入最后两个位置，此时共CC＝126(种)情况，
由分类计数原理可得共有10＋45＋126＝181(种)排列方式．
