第02讲充要条件与量词（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习考点精讲精练+易错题型归纳（新高考专用）

第 02 讲 充要条件与量词 【基础知识网络图】 四种 命逻辑题联及结词词 或、且、非 互为逆否关系的命题等价 其关系 四种命题、充 要条件 简单命题与复合命题 简易逻辑 充要条件 充分、必要、充要、既不充分也不必要 全称量词、存在量词 【基础知识全通关】 一、命题 能判断真假的语句叫做命题． 二、复合命题的真假 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真。 三、全称命题与特称命题 1、全称量词：类似“所有”这样的量词，并用符号“ ”表示。 2、全称命题：含有全称量词的命题。其结构一般为： 3、存在量词：类似“有一个”或“有些”或“至少有一个”这样的量词，并用符号“ ”表示。 4、特称命题：含有存在量词的命题。其结构一般为： 四、全称命题与特称命题的否定 1、命题的否定和命题的否命题的区别命题 的否定 ，即 ，指对命题 的结论的否定。 命题 的否命题，指的是对命题 的条件和结论的同时否定。 2、全称命题的否定 全称命题 ： 全称命题 的否定（ ）： 特称命题 特称命题的否定 所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。 五、常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有 个 至多有（ ） 个 小于 不小于 至多有 个 至少有（ ） 个 对所有 ， 存在某 ， 成立 不成立 或 且 对任何 ， 存在某 ， 不成立 成立 且 或 六．量词 (1)全称量词与全称命题 ①全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词． ②全称命题：含有全称量词的命题． ③全称命题的符号表示： 形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)． (2)存在量词与特称命题 ①存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词． ②特称命题：含有存在量词的命题． ③特称命题的符号表示： 形如“存在M中的元素x，使p(x)成立”的命题，用符号简记为∃x∈M，p(x)． 0 0 0 0 (3)命题的否定 ①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再 对量词进行改写． ②否定结论：对原命题的结论进行否定． 【注】原命题与命题的否定真假性相反 七、充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果p⇒q，则 p 是 q 的充分条件 ； (2)如果q⇒p，则p是q的必要条件； (3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则 p 是 q 的充要条件． 【注】集合中，子集可以推出另一个集合 .【考点研习一点通】 考点01：四种命题及其关系 例1. 写出命题“已知 是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命 题，并判断其真假。 【解析】逆命题：已知 是实数，若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题； 否命题：已知 是实数，若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题； 逆否命题：已知 是实数，若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题。 【点评】 1.“已知 是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略； 2. 互为逆否命题的两个命题同真假； 3. 注意区分命题的否定和否命题. 考点02：全称命题与特称命题真假的判断 2. 判断下列命题的真假，写出它们的否定并判断真假. （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【解析】 (1)由于 都有 ，故 ， 为真命题； ： ， 为假命题 (2) 因为不存在一个实数 ，使 成立， 为假命题； ： ， 为真命题. (3)因为只有 或 满足方程， 为假命题； ： ， 为真命题.(4) 由于使 成立的数有 ，且它们是有理数， 为真命题； ： ， 为假命题. 【点评】 1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素 ，验证 成 立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个 ，使 不成立即 可； 2.要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个 ，使 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题. 考点03：判定复合命题的真假 3.分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． (1)若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根； (2)若ab＝0，则a＝0或b＝0； (3)若实数x、y满足x2＋y2＝0，则x、y全为零． 【解析】 (1)逆命题：若关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，为假命题． 否命题：若q≥1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题． 逆否命题：若关于x的方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，真命题． (2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题． 否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题． 逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题． (3)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，真命题． 否命题：若实数x、y满足x2＋y2≠0，则x、y不全为零，真命题． 逆否命题：若实数x、y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题． 考点04：全称命题与特称命题真假的判断 4. 判断下列命题的真假，写出它们的否定并判断真假. （1） ； （2） ；（3） ； （4） . 【解析】 (1)由于 都有 ，故 ， 为真命题； ： ， 为假命题 (2) 因为不存在一个实数 ，使 成立， 为假命题； ： ， 为真命题. (3)因为只有 或 满足方程， 为假命题； ： ， 为真命题. (4) 由于使 成立的数有 ，且它们是有理数， 为真命题； ： ， 为假命题. 【点评】： 1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素 ，验证 成 立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个 ，使 不成立即 可； 2.要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个 ，使 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题. 考点05：在证明题中的应用 5.若 均为实数，且 ， ， ．求证： 中至少有一个大于0．【 解 析 】 ： 假 设 都 不 大 于 0 ， 即 ， 则 而 ∵ ， ． ∴ ，这与 相矛盾． 因此 中至少有一个大于0． 【点评】： 1.利用反证法证明时，首先正确地作出反设（否定结论）.从这个假设出发，经过推理论 证，得出矛盾，从而假设不正确，原命题成立，反证法一般适宜结论本身以否定形式出 现，或以“至多…”、“至少…”形式出现，或关于唯一性、存在性问题，或者结论的反 面是比原命题更具体更容易研究的命题. 2.反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题． 考点06：充要条件的判断 6.设a，a，…，a∈R，n≥3.若p：a，a，…，a 成等比数列； 1 2 n 1 2 n ，则（ ） A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 【答案】A 【解析】 a q n (n3) a 试题分析：对命题p：a 1 ，a 2 ，…，a n 成等比数列，则公比 n1 且a n ≠0； (a2 a2 a2 )(a2 a2 a2)(aa a a a a )2 对命题 q，①当 a n =0 时， 1 2 n1 2 3 n 1 2 2 3 n1 n 成 立； ②当a≠0时，根据柯西不等式，等式 n (a2 a2 a2 )(a2 a2 a2)(aa a a a a )2 1 2 n1 2 3 n 1 2 2 3 n1 n 成立，a a a 1  2  n1 a a a 2 3 n 则 ，所以a，a，…，a 成等比数列，所以p是q的充分条件，但不是 1 2 n q的必要条件. 故选A 【点评】 1. 处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论； 2. 正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换. 考点07：求参数的取值范围 7.已知m∈R，设P：x 和x 是方程x2－ax－2＝0的两个根，不等式|m－5|≤|x－ 1 2 1 x|对任意实数a∈[1,2]恒成立；Q：函数f(x)＝3x2＋2mx＋m＋有两个不同的零点.求使“P 2 且Q”为真命题的实数m的取值范围. 【解析】： 由题设x＋x＝a，xx＝－2， 1 2 1 2 ∴|x－x|＝＝. 1 2 当a∈[1,2]时，的最小值为3. 要使|m－5|≤|x－x|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只须|m－5|≤3，即2≤m≤8. 1 2 由已知，得f(x)＝3x2＋2mx＋m＋＝0的判别式 Δ＝4m2－12(m＋)＝4m2－12m－16>0， 得m<－1或m>4. 综上，要使“P∧Q”为真命题，只需P真Q真，即 解得实数m的取值范围是(4,8]. 【点评】 从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类问题的基 本策略。 【考点易错】 易错点1 A是B的充分条件与A的充分条件是B的区别 1.设 ,则“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【错解】选A．【错因分析】充分必要条件的概念混淆不清致错. 【试题解析】若 ，则 ，但当 时也有 ，故本题 选B． 【变式训练】 已知 ， ，若 的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取 值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由基本不等式得， ，由 ，又因 为 的一个充分不必要条件是 ，则 ，故选A． 易错点2 命题的否定与否命题的区别 2.命题“ 且 ”的否定形式是 A． B． C． D． 【答案】D 【错因分析】错解1对命题的结论否定错误，没有注意逻辑联结词； 对于错解2，除上述错误外，还没有否定量词； 错解3的结论否定正确，但忽略了对量词的否定而造成错选． 【试题解析】全称命题的否定为特称命题，因此命题“ 且”的否定形式是“ ”．故选D． 【巩固提升】 1.命题“ ”的否定是 A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为 ， 故选A。 2.设函数 (e为自然底数)，则使 成立的一个充分不必要条件是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， 解得： ； 又“ ”可以推出“ ”， 但“ ”不能推出“ ”， 所以“ ”是“ ” 充分不必要条件. 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等价转化思想及充分、必要条件的概念，属于基础题. 3.“ ”是“方程 表示双曲线”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若方程表示双曲线，则 ，所以 ， 即“ ”是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A． 4.已知平面 内一条直线l及平面 ，则“ ”是“ ”的 A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由面面垂直的定义知，当“l⊥β”时，“α⊥β”成立， 当 时， 不一定成立， 即“ ”是“ ”的充分不必要条件， 故选：B． 【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础 题. 5.已知直线 ， 和平面 ，若 ， ，则“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由线面垂直的判定定理得：若 ， ，则“ ”不能推出“ ”， 由“ ”，根据线面垂直的性质定理，可得“ ”， 即“ ”是“ ”的必要不充分条件， 故选B．【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的判定，以及线面垂直的判定定理和性质定理的 应用，其中解答中熟记线面垂直的判定定理和性质定理，合理利用充分条件和必要条件的 判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 6.命题“ ， ”的否定是 A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】C 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“ ， ”的否定是： “ ， ”，故选C. 【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题. 7.命题“ ， ”的否定是 A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】B 【解析】根据命题否定的定义可得结果为： ， ，故选B. 8.设 ，则“ ”是“直线 与直线 平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】当 时，两条直线的方程分别为： ， ，此时 两条直线平行； 若两条直线平行，则 ，所以 或 ，经检验，两者均符合，综上，“ ”是“直线 与直线 平行” 的充分不 必要条件，故选A. 【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若 则 ”是真命题， “若 则 ”是假命题，则 是 的充分不必要条件；若“若 则 ”是真命题，“若 则 ”是真命题，则 是 的充分必要条件；若“若 则 ”是假命题，“若 则 ”是 真命题，则 是 的必要不充分条件；若“若 则 ”是假命题，“若 则 ”是假命题， 则 是 的既不充分也不必要条件. 9.设m,n为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若 ，使 ，则两向量 反向，夹角是 ，那么 ；若 ，那么两向量的夹角为 ，并 不一定反向，即不一定存在负数 ，使得 ，所以是充分而不必要条件，故选A． 【名师点睛】判断充分必要条件的的方法： （1）根据定义，若 ，那么 是 的充分不必要条件，同时 是 的必要不 充分条件；若 ，那么 ， 互为充要条件；若 ，那么就是既不充 分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知 ,若 ， 那么 是 的充分不必要条件，同时 是 的必要不充分条件；若 ，那么 ， 互 为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件. （3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将 是 条件的判断，转化为 是 条件的判断. 10.设 ，则“ ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 ，但 时 ，不满足 ，所以“ ”是“ ”的充分而不必要条件，故选A． 【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若 ，则 是 的充分条件，若 ， 则 是 的必要条件，若 ，则 是 的充要条件；从集合的角度看，若 ， 则 是 的充分条件，若 ，则 是 的必要条件，若 ，则 是 的充要条 件，若 是 的真子集，则 是 的充分而不必要条件，若 是 的真子集，则 是 的必要而不充分条件． 11．设命题p: ,则 为 A． B． C． D． 【答案】C【解析】命题p: ，则 为 .故选C． 12．“若 ，则 ，都有 成立”的逆否命题是 A． ，有 成立，则 B． ，有 成立，则 C． ，有 成立，则 D． ，有 成立，则 【答案】D 【解析】由原命题与逆否命题的关系可得：“若 ，则 ，都有 成 立”的逆否命题是“ ，有 成立，则 ”.本题选择D选项. 13．已知集合 ，集合 ，则 集合 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可得， ，解得 ，满足题意 ，所以集合＝ 故选C． 14.设 ，则“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式 可得： 或 ， 据此可知： 是 的充分不必要条件. 故选A． 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 15.已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l ，m，n共面”是“l ，m，n两两相 交”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件. 【详解】依题意， 是空间不过同一点的三条直线， 当 在同一平面时，可能 ，故不能得出 两两相交. 当 两两相交时，设 ，根据公理 可知 确定一个 平面 ，而 ，根据公理 可知，直线 即 ，所以 在同一平面. 综上所述，“ 在同一平面”是“ 两两相交”的必要不充分条件. 故选B. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理 和公理 的运用，属于中档 题. 16.已知 ，则“存在 使得 ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断. 【详解】(1)当存在 使得 时， 若 为偶数，则 ； 若 为奇数，则 ； (2)当 时， 或 ， ，即 或 ， 亦即存在 使得 ． 所以，“存在 使得 ”是“ ”的充要条件. 故选C． 【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨 论思想的应用，属于基础题. 17.已知命题 ：“ ， ”，命题 ：“ ， ””若 “ ”是真命题，则实数 的取值范围是A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若命题 ：“ ， ，为真命题， 则 ， 若命题 ：“ ， ”为真命题， 则 ，解得 ， 若命题“ ”为真命题， 则 ， 都是真命题， 则 ， 解得： ． 故实数 的取值范围为 ． 故选A． 【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价 条件是解决本题的关键． 18.下列命题中错误的是 A．若 为假命题，则 与 均为假命题 B．已知向量 ， ，则 是 的充分不必要条件 C．命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ” D．命题“ ， ”的否定是“ ， ” 【答案】B 【解析】若“ ”为假命题，则p与q均为假命题，正确；已知向量 ， ，则“ ”可得 ，解得 或 ，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以B不正确； 命题“若 ，则 的逆否命题为“若 ，则 ”，满足 逆否命题的形式，正确； 命题“ ， ”的否定是“ ， ”满足命题 的否定形式，正确； 故选B． 【点睛】本题考查亩土地真假的判断与应用，四种命题的逆否关系，复合命题的真假，充 要条件等知识，是基本知识的考查． 19.设有下列四个命题： p：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． 1 p：过空间中任意三点有且仅有一个平面． 2 p：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 3 p：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l． 4 则下述命题中所有真命题的序号是__________． ① ② ③ ④ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 利用两交线直线确定一个平面可判断命题 的真假；利用三点共线可判断命题 的真假； 利用异面直线可判断命题 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题 的真假.再利用复 合命题的真假可得出结论. 【详解】对于命题 ，可设 与 相交，这两条直线确定的平面为 ； 若 与 相交，则交点 在平面 内，同理， 与 的交点 也在平面 内， 所以， ，即 ，命题 为真命题； 对于命题 ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个， 命题 为假命题； 对于命题 ，空间中两条直线相交、平行或异面， 命题 为假命题； 对于命题 ，若直线 平面 ， 则 垂直于平面 内所有直线， 直线 平面 ， 直线 直线 ， 命题 为真命题. 综上可知， ， 为真命题， ， 为假命题， 为 真命题， 为假命题， 为真命题， 为真命题. 故答案为①③④. 【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断， 考查推理能力，属于中等题.