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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 02 不等式中的恒成立问题（精讲+精
练）
一、知识点梳理
1.结合图象务必理解掌握下面几个重要结论！
设函数 的值域为 或 ，或 或 中之一种，则
①若 恒成立（即 无解），则 ；
②若 恒成立（即 无解），则 ；
③若 有解（即存在 使得 成立），则 ；
④若 有解（即存在 使得 成立），则 ；
⑤若 有解（即 无解），则 ；
⑥若 无解（即 有解），则 ．
【说明】
（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．
（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的
取舍）
2.分离参数的方法
①常规法分离参数：如 ；
②倒数法分离参数：如 ；
【当 的值有可能取到，而 的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】③讨论法分离参数：如:
④整体法分离参数：如 ；
⑤不完全分离参数法：如 ；
⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
【注意】
（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数
或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．
（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，
再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】
3.其他恒成立类型一
① 在 上是增函数，则 恒成立．(等号不能漏掉)．
② 在 上是减函数，则 恒成立．(等号不能漏掉)．
③ 在 上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法)
4.其他恒成立类型二
① ，使得方程 成立 ．
② ，使得方程 成 ．
5.其他恒成立类型三
① ， ；② ， ；
③ ， ；
④ ， ．
【方法】处理 时，把 当常数；处理 时，把 当常数．
思考： 对 的四种取值情形；或 ；或 等又
如何处理呢？【同理！】
二、题型精讲精练
1 . 基本不等式恒成立问题
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求得 的最小值，由此可得 的范围.
【详解】当 时， （当且仅当 时取等号），
，即 的取值范围为 .
故选：D.
2．（2023·上海·高三专题练习）已知P是曲线 上的一动点，曲线C在P点处的
切线的倾斜角为 ，若 ，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a的范围即可.
【详解】因为 ，所以 ，
因为曲线在M处的切线的倾斜角 ，
所以 对于任意的 恒成立，
即 对任意 恒成立，
即 ，又 ，当且仅当 ，
即 时，等号成立，故 ，
所以a的取值范围是 ．故选：D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 且 ，若 恒成立，则实数m的取值
范围是（ ）
A． B． } C． D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式可取 的最小值，从而可求实数m的取值范围.
【详解】∵ ，且 ，
∴ ，
当且仅当 时取等号，∴ ，
由 恒成立可得 ，解得： ，
故选：D.
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知实数 满足 ， 且 ，
若不等式 恒成立， 则实数 的最大值为 （ ）
A．9 B．12 C．16 D．25
【答案】D
【分析】由 得到 ，从而利用基本不等式“1”的妙用求出 的最小值，从而得到
.
【详解】因为 ，所以 ，
，
当且仅当 ， 即 时，等号成立．
因不等式 恒成立，只需 ，
因此 ，故实数 的最大值为25．
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）当 不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式求出 ，将恒成立问题转化为 ，然后解不等
式即可.【详解】 恒成立，即
，
又 ，
上述两个不等式中，等号均在 时取到，
，
，解得 且 ，又 ，
实数 的取值范围是 .
故选：B.
6．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知正数 满足 ，若 恒成立，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 ，然后求出 的最小值即可，而 ，所以
，化简后利用基本不等式可求得其最小值.
【详解】依题意， ，
因为正数 满足 ，
所以，
当且仅当 ，即 时两个等号同时成立，
所以 的取值范围为 .
故选：B
7．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）正实数 满足 ，且不等式 恒成立，则实
数 的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式“1”的妙用可得 的最小值为4，再根据含参不等式恒成立解一元二次不等式，
即可得实数 的取值范围.
【详解】正实数 满足 ，
则 ，
当且仅当 ，即 且 时，等号成立，则 时， 取到最小值4，
要使不等式 恒成立，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：C.8．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知正数 ， 满足 ，若不等式
恒成立，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合条件，由 可得 ，然后由 可
得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
所以由 可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，当且仅当 ， 时取等号，
故选：B．
9．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知正数a，b满足 ，若 恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先参变分离得 ，再利用 ，与 相乘，然后连续运用两次基本不等式即可.
【详解】依题意， ．又 ，
而
，
当且仅当 ，即 ， 时，
前后两个不等号中的等号同时成立，所以 的取值范围为
故选：
10．（2023·全国·高三专题练习）设正实数 满足 ，不等式 恒成立，则 的
最大值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，求出 的值，代入 中化简，利用基本不等式求出结果.
【详解】设 ，则
所以
当且仅当 即 时取等号所以 的最小值是 ，则 的最大值为 .
故选A
【点睛】本题考查基本不等式，解题的关键是设 ，得出
进行代换，属于偏难题目.
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 对 恒成立，则实数 的值可
以为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】ABC
【分析】将题目转化为 恒成立问题，即求 的最小值，利用基本不等式求出
的最小值，进而可得实数 的取值范围，则答案可求．
【详解】解： ， 即 恒成立，
，则 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
．
故选：ABC．
【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查恒成立问题的求解，考查学生计算能力和转化能力，是中档题．
12．（2023·全国·高三专题练习）当 ， ， 时， 恒成立，则 的取值
可能是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】AB【分析】利用基本不等式求出 的最小值，再求出 的最大值即可求解.
【详解】因为 ， ，所以 ，当且仅当 时，等号成立．
因为 ．
若 恒成立，则 ，解得 ．
故选：AB.
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习） ， ，且 恒成立，则 的最大值为__．
【答案】4
【分析】将不等式变形分离出 ，不等式恒成立即 大于等于右边的最小值；由于 ，凑
出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值．
【详解】解：由于 恒成立，且
即 恒成立
只要 的最小值即可
， ，故 ，因此
故答案为：4．
14．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）已知 ，若不等式 恒成立，则
的最大值为________．
【答案】
【分析】根据将 分离出来，基本不等式求最值即可求解.【详解】由 得 ．
又 ，当且仅当 ，即当 时等号成立，
∴ ，∴ 的最大值为 ．
故答案为：
15．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式 对任给 ， 恒成立，则实数a的
取值范围是______.
【答案】
【分析】利用参数分离法将不等式进行转化，利用基本不等式求出式子的最大值即可得到结论．
【详解】解：∵x＞0，y＞0，
∴不等式 等价为a 恒成立，
设m ，则m＞0，
平方得m2＝（ ）2 1 1 1+1＝2，
当且仅当x＝y时取等号，
∴m2≤2，则0−3，
所以 .
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）若存在实数 ，使得 成立，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别在 、 和 的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果.
【详解】①当 时，不等式化为 ，解得： ，符合题意；
②当 时， 为开口方向向上的二次函数，
只需 ，即 ；
③当 时， 为开口方向向下的二次函数，
则必存在实数 ，使得 成立；
综上所述：实数 的取值范围为 .
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）设向量 满足 ， ，若 ， ，则向量 与
的夹角不等于（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C【分析】利用向量数量积的运算律将模长的平方写为向量的平方，结合一元二次不等式在实数集上有解求
解即可.
【详解】设向量 与 的夹角为 ， ，
由向量数量积的运算律可将原问题转化为 ， ，
即 ，根据题意整理得 有解，
所以 ，
解得 ，
故选：C
5．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）若正实数 、 满足 ，且不等式 有解，
则实数 的取值范围是（ ）．
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】A
【分析】将代数式 与 相乘，展开后利用基本不等式可求得 的最小值，可得
出关于实数 的不等式，解之即可.
【详解】因为正实数 、 满足 ，则 ，即 ，
所以， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，即 的最小值为 ，
因为不等式 有解，则 ，即 ，
即 ，解得 或 .故选：A.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分离参数，将问题转换为 在 上有解，设函数 ， ，求出函数
的最大值，即可求得答案.
【详解】由题意得， ， ，即 ，
故问题转化为 在 上有解，
设 ，则 ， ，
对于 ，当且仅当 时取等号，
则 ，故 ，故选：A
7．（2023·全国·高三专题练习）若关于 的不等式 的解集不为空集，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】据题意，分两种情况讨论：①当 时，即 ，将 的值代入分析不等式的解集是否为
空集，②当 时，即 ，结合二次函数的性质分析不等式解集非空时 的取值范围，综合2种情况即可得答案．
【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：
①当 时，即 ，
若 时，原不等式为 ，解可得： ，则不等式的解集为 ，不是空集；
若 时，原不等式为 ，无解，不符合题意；
②当 时，即 ，
若 的解集是空集，则有 ，解得 ，
则当不等式 的解集不为空集时，有 或 且 ，
综合可得：实数 的取值范围为 ；
故选：C．
二、填空题
8．（2023·全国·高三专题练习）关于 的不等式 在 内有解，则 的取值范围为
________．
【答案】
【分析】根据不等式有解可得当 时， ，结合二次函数的最值可求得结果.
【详解】 在 内有解， ，其中 ；
设 ，则当 时， ，
，解得： ， 的取值范围为 .
故答案为： .
9．（2023·全国·高三专题练习）若关于 的不等式 有解，则实数a的取值范围是
____________．
【答案】【详解】本题考查了二次函数的性质，函数恒成立问题．分类讨论，先验证 是否成立，再根据二次函
数的性质列出不等式得出a的范围．
【解答】当 时，不等式为 有解，故 ，满足题意；
当 时，若不等式 有解，
则满足 ，解得 或 ；
当 时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式 总是有解，
所以 ，
综上可得，实数a的取值范围是 .
10．（2023·上海·高三专题练习）对数列 ， ，如果存在正整数 ，使得 ，则称数
列 是数列 的“优数列”，若 ， ，并且 是 的“优数
列”， 也是 的“优数列”，则 的取值范围是____________．
【答案】 ．
【分析】根据“优数列”列不等式，再根据二次不等式有解求参数范围.
【详解】因为 是 的“优数列”，
所以存在正整数 ，
即 ，
显然成立，所以 ；
因为 是 的“优数列”，
所以存在正整数 ，
即 ，当 时，由于对称轴 ，所以必存在正整数 ，使得
综上，
故答案为：
【点睛】本题考查数列新定义、不等式有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.
11．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）若函数 存在单调递减区间，则实
数 的取值范围是________.
【答案】
【分析】先求导函数，递减小于0，再解含参数的不等式分类讨论即可.
【详解】 ，
由题意知， 在 上有实数解，
即 有实数解，
当 时，显然满足，
当 时，只需
综上所述 ，故答案为：
【点睛】本题考查导函数的单调性，及含参数的不等式有解求参数的取值范围问题.
12．（2023·全国·高三专题练习）若 ，使 成立，则实数 的取值范围是
______________．
【答案】
【分析】利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论.
【详解】由 可得， ，
因为 ，所以 ，根据题意， 即可，
设 ，易知 在 单调递减，在 单调递增，所以 ，所以 ，
故答案为：
