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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 26 讲 复数（精讲）
题型目录一览
①复数的有关概念
②复数的四则运算
③复数的模长
④复数相等和共轭复数
⑤复数的几何意义
⑥复数的三角形式
一、知识点梳理
一、复数的概念
①复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，a，b分别是它的实部和虚部， 叫虚数单位，满足
（1）当且仅当b＝0时，a＋bi为实数；
（2）当b≠0时，a＋bi为虚数；
（3）当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数．其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
②两个复数 相等 （两复数对应同一点）
③复数的模：复数 的模，其计算公式
二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
（1）
（2）其中 ，叫z的模； 是 的共轭复数 ．
（3） ．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
2、复数的几何意义
（1）复数 对应平面内的点 ；
（2）复数 对应平面向量 ；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数 的模 表示复平面内的点 到原点的距离．
三、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数 都可以表示成 形式，其中 是复数 的模； 是以 轴的非
负半轴为始边，向量 所在射线（射线 ）为终边的角，叫做复数 的辐角． 叫
做复数 的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 的整数倍．规定在 范围内的辐角
的值为辐角的主值．通常记作 ，即 ．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式
也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
．
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐
角所得的差，即 ．
【常用结论】
①当 时， ．② ．
二、题型分类精讲
题型 一 复数的有关概念
策略方法 解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数
的实部为a，虚部为b．
(2)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝；③z∈R⇔z2≥0．
(3)复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋
＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0．
【典例1】（单选题）已知i为虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数a等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】根据复数的乘法运算求得复数z，根据纯虚数的概念列式计算，即得答案.
【详解】由题意得 ，
因为它为纯虚数，所以 ，解得 ，
故选：D.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）复数 的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．16
【答案】C【分析】利用虚数单位的性质可求 ，故可求其虚部.
【详解】因为 ，故 ，故 的虚部为2，
故选：C.
2．（2023秋·广东惠州·高三统考阶段练习）已知复数 满足 ，则 的虚部是（ ）
A．2 B．2i C．1 D．i
【答案】C
【分析】根据复数的运算化简 ，再根据虚部的定义求解.
【详解】因为 ，所以 ,
所以 的虚部是1.
故选:C.
3．（2023·湖南·校联考模拟预测）复数z满足 ，则z的实部是（ ）
A．－1 B．1 C．－3 D．3
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算可得 ，即可知z的实部是 .
【详解】由 可得 ，
所以z的实部是 ．
故选：C
4．（2023·辽宁辽阳·统考二模）复数 ，则复数 的实部和虚部分别是（ ）
A．3，2 B．3，2i C．1，2 D．1，2i
【答案】C
【分析】应用复数乘法运算化简复数，即可确定实部、虚部.
【详解】由题意 ，则复数 的实部和虚部分别是1和2.
故选：C
5．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）设复数 的实部与虚部互为相
反数，则 （ ）A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据复数的乘法运算化简复数z，根据实部与虚部互为相反数列式计算，即得答案.
【详解】 ，
由已知得 ，解得 ，
故选：D
6．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知复数 是纯虚数，则 的值为（ ）
A． B．12 C． D．3
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算化简 ，根据纯虚数的概念列式计算，可得答案.
【详解】由题意 ，
因为复数 是纯虚数，故 ，
解得 ，
故选：C
7．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）若复数 是纯虚数，则 （ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【答案】D
【分析】根据复数的特征，设 （ ），再根据复数的运算，利用复数相等，列式求解.
【详解】由题意设 （ ），
，即 ，
则 ，解得： .
故选：D题型二 复数的四则运算
策略方法 复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的
看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化．解题中要注
意把i的幂写成最简形式．
【典例1】（单选题）若复数 满足 （ 为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对已知等式化简直接求解复数
【详解】由 ，得 ，
，
故选：A
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）若复数 （ 是虚数单位），则z=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数乘法法则计算出结果.
【详解】 .
故选：B
2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知 为虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据复数除法法则直接计算.
【详解】由题意得， .
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由复数的除法运算即可得出答案.
【详解】 ．
故选: D.
4．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的四则运算求解即可.
【详解】由 得， ，所以 .
故选：A.
5．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的运算即可求解.
【详解】因为 ，则 ，
故选：C.6．（2023·全国·高三专题练习）若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数的除法运算即可得出答案.
【详解】 ．
故选: C.
7．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知 ，则 （ ）.
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】根据 即可得到 的值，进而可以用复数的四则运算法则进行计算.
【详解】 ，所以 ，
故选：B
8．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）若复数 所对应的点在第四象限，且满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意求出 ，再根据复数 所对应的点所在象限，即可求解.
【详解】因为复数 满足： ，即 ，
故 或 ，
因为复数 所对应的点在第四象限，
故复数 ，所以 .
故选:C.
题型三 复数的模长策略方法
【典例1】（单选题）已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】先由 化简计算求出复数 ，从而可求出其模.
【详解】由 ，
得 ，
所以 ，故选：B
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知复数 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．10
【答案】C
【分析】由复数的乘法公式和模的计算公式即可求解.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：C.
2．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）已知复数 满足 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的除法运算求出 ，再求出模作答.
【详解】依题意， ，
所以 .
故选：D
3．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）若 ， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．10
【答案】A
【分析】根据复数的乘法运算及求模公式得解.
【详解】 ，
所以 ，
故选：A．
4．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）若复数 ，则 （ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】D
【分析】先化简 ，再由复数的加法运算求出 ，由复数的模长公式求解即可.
【详解】因为 ，所以
所以 ，
所以 .
故选：D.5．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知 为虚数单位，且复数 满足 ，
则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的除法、乘方运算求出 ，再根据共轭复数的概念和模长公式可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：D
6．（2023·四川·校联考模拟预测） （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】先根据复数得除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可得解.
【详解】由 ，
得 .
故选：B.
7．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）已知复数 满足 （其中 为虚数单位），则
复数 的虚部为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简，再根据复数的定义判断即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以复数 的虚部为 .
故选：C
8．（2023·广东东莞·统考模拟预测）复数 满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据复数模的公式及复数的运算法则求得 ，利用共轭复数的概念得出答案.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ．
故选：A．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 ，则 （ ）
A． B．10 C． D．2
【答案】A
【分析】化简复数，再由复数模长公式即可得出答案.
【详解】因为 ，所以 ，所以 .
故选：A.
10．（2023·湖北武汉·统考三模）设复数 满足 为纯虚数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设复数 的代数形式，根据复数的除法运算化简复数 ，根据纯虚数的概念以及复数的模长公
式可求出结果.
【详解】设 ，
则
，
依题意得 ，即 ，
则 .
故选：A
11．（2023·江苏盐城·统考三模）已知 ， ，虚数 是方程 的根，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】将虚数z代入方程，利用复数相等解方程组即可得出答案.
【详解】因为虚数 （ ）是方程 的根，
则 ，即 ，由复数相等得出 ，解得 或 ，
因为虚数 中 ，所以 ，
所以 .
故选：B
12．（2023·福建漳州·统考模拟预测）复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据复数的模长公式即可化简求解.
【详解】设 ,由 得 ，所以
，
解得 ，所以 ，
故选：B
题型四 复数相等和共轭复数
策略方法 解决与集合的新定义有关问题的一般思路
(1)在只含有z的方程中，z类似于代数方程中的x，可直接求解；
(2)在z，，|z|中至少含有两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复
数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z．
(3)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反
数，即得原复数的共轭复数．复数z ＝a＋bi与z ＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，
1 2
d∈R)．【典例1】（单选题）已知 为虚数单位，复数 ，其中a， ，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【分析】根据复数表达的唯一性求解.
【详解】 ， ，
故选：B.
【典例2】（单选题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由复数的除法和共轭复数的定义求解.
【详解】若 ，
则 ，所以 .
故选：D
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知复数 ，若 的共轭复数为 ，则
（ ）
A． B．5 C． D．10
【答案】B
【分析】利用复数运算法则和模长的性质计算即可.
【详解】 .
故选：B2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知 ，则 的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】由复数相等的充要条件可得 的值.
【详解】因为 ，所以 ，
由复数相等的充要条件得 ，所以 .
故选：C.
3．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）已知复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】运用复数乘法运算及复数相等可求得a、b的值，再运用共轭复数及复数的模的运算公式即可求
得结果.
【详解】设 （a， ），则 ，
根据复数相等的定义，得 ，解得 或 ，
所以 ．
故选：B.
4．（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知复数 ， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】先根据复数除法法则化简复数 ，代入计算即可求解.
【详解】因为 ，则 ，所以 ，所以 .
故选：B.5．（2023·山西大同·统考模拟预测）复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的四则运算，求出 ，再根据共轭复数的定义，即可得出 ．
【详解】 ．则 ，
故选：B．
6．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得到 ，结合复数的运算法则，即可求解.
【详解】因为 ，可得 ，所以 .
故选：A.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知i是虚数单位，设复数z的共轭复数为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数运算法则求 ，在求其共轭复数即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
故选：D.
8．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）若复数 满足 ，其中 为虚数单位，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】设复数 ，则 ，根据复数的加减法与复数相等求得结果.
【详解】设复数 ，则 ，
则 ，则 ， ，
所以 ．
故选：C.
9．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知复数 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算化简复数 ，进而求其共轭复数，即可求解.
【详解】 ，
故 ，故 的虚部为 ，
故选：D.
10．（2023·江西·统考模拟预测）已知i为虚数单位，若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由复数的运算化简复数 ，再求共轭复数即可.
【详解】因为 ，所以 .
故选：B.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A【分析】根据复数的除法运算求出 ，再由共轭复数的概念得到 ，从而解出．
【详解】因为 ，所以 ，即 ．
故选：A．
12．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）若 ，其中 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的相等求得 的值，再根据复数的模的计算求得答案.
【详解】由 可得 ，
故 ，
故选：B
13．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 是复数 的共轭复数，则 （ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】C
【分析】化简结合已知可得 ，即可得出 的值，进而得出答案.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：C.
14．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知复数 满足 ，则 的共轭复
数的虚部为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】设 ，根据复数的模的公式及相等复数的定义求出参数，再根据共轭复数的定义及虚部的定义即可得解.
【详解】设 ，则 ，
则 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 的共轭复数的虚部为 .
故选：B.
15．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知复数 满足 （ 为虚数单位），则复数 的虚
部为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，则 ，代入 ，利用复数相等求解.
【详解】解：设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
则 ，解得 ，
所以复数 的虚部为3，
故选：A
16．（2023·山东烟台·统考三模）已知复数 满足 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D【分析】设 ，代入 ，利用复数相等求解.
【详解】解：设 ，则 ，
所以 ，
则 ，解得 或 ，
所以 ，
故选：D.
17．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知 （a， ，i为虚数单位），则复数
（ ）
A．2 B． C． D．6
【答案】B
【分析】由复数的乘法运算结合复数相等的定义求出 ， ，再由模长公式得出 .
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
所以 ．
故选:B．
18．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）复数 ， （ 为虚数单位），则（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据共轭复数、复数的乘方及复数的模一一计算可得.
【详解】因为 ， ，所以 ， ，故A错误；
， ，所以 ，故B正确；
，故C错误；
又 ，
所以 ，故D错误.
故选：B.
题型 五 复数的几何意义
策略方法 与复数几何意义相关的问题的一般解法
【典例1】在复平面中，复数 （ 为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D
【分析】利用复数的除法化简所求复数，利用复数的几何意义可得出结论.
【详解】因为 ，该复数在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）已知复数 ，其中 为虚数单位，
则复数 在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先根据复数的乘法运算求出 ，再根据复数的几何意义即可得解.
【详解】由 ，可得复数 在复平面内所对应的点所在的象限为第四象限．
故选：D．
2．（2023秋·四川内江·高三期末）复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的运算可化简 ，从而可求对应的点的位置.
【详解】 ，
所以该复数对应的点为 ，该点在第一象限，
故选：A.
3．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知复数z满足 ，则复数z在复平面内所对应的点位
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D【分析】利用复数除法求出z，即可判断.
【详解】因为 ，
所以点 位于第四象限.
故选：D.
4．（2023·广东汕头·统考三模）已知复数z的共轭复数 ，则复数z在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】由复数的运算求出复数z，再由复数几何意义即可解答.
【详解】由题意 ，
所以 ，则复数z在复平面内对应的点 ，为第四象限内的点.
故选：D
5．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）已知 ，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数四则运算化简复数z，然后由复数的几何意义可得.
【详解】因为 ，所以复数 在复平面内对应的点为 ，位于第一象限．
故选：A
6．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知复数 （ 是虚数单位），则 在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C【分析】先根据复数的除法运算得到 ，从而得到 ，再由复数的几何意义即可求解.
【详解】由题意得： ，所以 ，
由复数的几何意义得： 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第三象限，
故选：C.
7．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知复数 满足 （其中 为虚数单位），
则复数 在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据题意化简得到 ，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由复数 满足 ，
可得 ，
所以复数 在复平面内对应的点为 位于第二象限.
故选：B.
8．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若复数 ，则复数 在复平面内对应的点
在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】化简z，后由复数的坐标表示可得答案.
【详解】 ，则 ，则z的坐标表示为，则复数 在复平面内对应的点在第四象限.
故选：D
9．（2023·河南·襄城高中校联考三模）若复数 在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】化简复数为 ，结合题意，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题得 ，
因为z对应的点位于第二象限，所以 ，解得 ．
故选：A.
10．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知复数 与 在复平面内对应的点关于实轴对
称，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数对应点的对称关系得 ，应用复数除法化简目标式即得结果.
【详解】由 对应点为 ，则 对应点为 ，故 ，
所以 .
故选：D
11．（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知 ，则复数z在复平面上对应的点在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】设 ，根据复数相等得到方程，解出 ，再根据复数的几何意义即可得到答案.
【详解】设 ， ，
则 ，
即 ，解得 ,
故复数 在复平面上对应点 在第一象限，
故选：A.
12．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）复数 满足 在复平面内对应的点为 ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的几何意义计算即可.
【详解】由 在复平面内对应的点为 可得 ，
又 ，即 .
故选：D．
13．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）在复平面内，复数 对应的点为 ，则
（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】利用复数的几何意义及复数的除法法则，结合复数的模公式即可求解.【详解】因为复数z在复平面内对应的点为 ，
所以 .
所以 ，
所以 .
故选：B.
14．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）已知 ，其中a，b为实数，则在复平面内复
数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先求得在复平面内复数 对应的点的坐标，进而求得其所在象限.
【详解】由 ，可得 ，
则 ，解之得 ，则 ，
其在复平面内对应点的坐标为 ，该点位于第四象限.
故选：D
题型 六 复数的三角形式
策略方法
一般地，任何一个复数 都可以表示成 形式，其中 是复数 的模； 是
以 轴的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线 ）为终边的角，叫做复数 的辐
角． 叫做复数 的三角表示式，简称三角形式．【典例1】（单选题）把复数 化三角形式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的三角形公式 求解求解即可.
【详解】设复数的三角形式为 ,则 , ,可取 ,
从而复数 的三角形式为 .
故选:C.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）欧拉公式 （e为自然对数的底数， 为虚数单位）由瑞士
数学家Euler（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，
被称为“数学中的天桥”，则 （ ）
A． -1 B．1 C．- D．
【答案】A
【分析】根据题已知中欧拉公式 ，直接计算可得答案.
【详解】由题意得： ，
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）复数 的辐角主值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设出辐角为 ，利用公式计算出 ， ，结合辐角主值的取值范围求出答案.
【详解】设复数 的辐角为 ，
则 ，
所以 ， ，
因为 ，
所以当 时，满足要求，
所以辐角主值为 .
故选：A
3．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）欧拉是 世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作
出贡献，更把数学推至几乎整个物理领域，其中欧拉公式的诸多公式中， (
为自然对数的底数， 为虚数单位)被称为“数学中的天桥”，将复数､指数函数､三角函数联系起来了.当
时，可得恒等式（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接把 代入即可得．
【详解】把 代入可得 ，即 ．
故选：C．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 的辐角为 ， 的辐角为 ，则复数 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，根据辐角的定义得到方程组，解得即可；
【详解】解：设 ，
因为 的辐角为 ，所以
因为 的辐角为 ，所以
解得 ，所以
故选：B
5．（2023·吉林·统考模拟预测）若复数 （ ， ），则把这种形式叫做复数z的
三角形式，其中r为复数z的模， 为复数z的辐角，则复数 的三角形式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的三角形式的定义直接判断.
【详解】复数 的模为1，辐角为 ，
所以复数 的三角形式为 .
故选：A6．（2023·河南·统考模拟预测）欧拉公式 把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联
系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】由欧拉公式和复数除法运算可求得 ，由复数虚部定义求得结果
【详解】由欧拉公式知：
， ，
，
的虚部为 ．
故选：B
7．（2023·广东·校联考模拟预测）棣莫弗公式 （ 为虚数单位）是由法国数学
家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数 ，则 的值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用棣莫弗公式及三角函数的特殊值，结合三角函数的诱导公式即可求解.
【详解】依题意知， ，
由棣莫弗公式，得
，
所以 .
故选：C.8．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模）复数 与下列复数相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】应用复数的除法化简，结合复数的三角表示、各项的形式判断正误即可.
【详解】由题设， ，故A、C、D错误；
而 ，故B正确.
故选：B
9．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求 ，再求 ，根据对数对应的点所在的象限，求复数的辅角主值.
【详解】 ，复数对应的点是 ，位于第三象限，且
，所以 .
故选：B
10．（2023·全国·高三专题练习）棣莫弗公式 （其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 在复平面内所对应的
点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据棣莫弗公式及诱导公式计算即可．
【详解】由棣莫弗公式知，
，
复数 在复平面内所对应的点的坐标为 ，位于第三象限．故选：C．
