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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 26 讲 复数（精讲）
题型目录一览
①复数的有关概念
②复数的四则运算
③复数的模长
④复数相等和共轭复数
⑤复数的几何意义
⑥复数的三角形式
一、知识点梳理
一、复数的概念
①复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，a，b分别是它的实部和虚部， 叫虚数单位，满足
（1）当且仅当b＝0时，a＋bi为实数；
（2）当b≠0时，a＋bi为虚数；
（3）当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数．其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
②两个复数 相等 （两复数对应同一点）
③复数的模：复数 的模，其计算公式
二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
（1）
（2）其中 ，叫z的模； 是 的共轭复数 ．
（3） ．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
2、复数的几何意义
（1）复数 对应平面内的点 ；
（2）复数 对应平面向量 ；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数 的模 表示复平面内的点 到原点的距离．
三、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数 都可以表示成 形式，其中 是复数 的模； 是以 轴的非
负半轴为始边，向量 所在射线（射线 ）为终边的角，叫做复数 的辐角． 叫
做复数 的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 的整数倍．规定在 范围内的辐角
的值为辐角的主值．通常记作 ，即 ．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式
也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
．
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐
角所得的差，即 ．
【常用结论】
①当 时， ．②
二、题型分类精讲
题型 一 复数的有关概念
策略方法 解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数
的实部为a，虚部为b．
(2)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝；③z∈R⇔z2≥0．
(3)复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋
＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0．
【典例1】（单选题）已知i为虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数a等于（ ）
A． B． C． D．2
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）复数 的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．16
2．（2023秋·广东惠州·高三统考阶段练习）已知复数 满足 ，则 的虚部是（ ）
A．2 B．2i C．1 D．i
3．（2023·湖南·校联考模拟预测）复数z满足 ，则z的实部是（ ）
A．－1 B．1 C．－3 D．3
4．（2023·辽宁辽阳·统考二模）复数 ，则复数 的实部和虚部分别是（ ）
A．3，2 B．3，2i C．1，2 D．1，2i5．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）设复数 的实部与虚部互为相
反数，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
6．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知复数 是纯虚数，则 的值为（ ）
A． B．12 C． D．3
7．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）若复数 是纯虚数，则 （ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
题型二 复数的四则运算
策略方法 复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的
看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化．解题中要注
意把i的幂写成最简形式．
【典例1】（单选题）若复数 满足 （ 为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）若复数 （ 是虚数单位），则z=（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知 为虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习） （ ）A． B． C． D．
4．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知 ，则 （ ）.
A． B． C． D．0
8．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）若复数 所对应的点在第四象限，且满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
题型三 复数的模长
策略方法
【典例1】（单选题）已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．5
【题型训练】
一、单选题1．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知复数 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．10
2．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）若 ， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．10
4．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）若复数 ，则 （ ）
A． B． C．4 D．5
5．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知 为虚数单位，且复数 满足 ，
则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
6．（2023·四川·校联考模拟预测） （ ）
A．1 B． C． D．2
7．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）已知复数 满足 （其中 为虚数单位），则
复数 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·广东东莞·统考模拟预测）复数 满足 ，则 （ ）A． B．
C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 ，则 （ ）
A． B．10 C． D．2
10．（2023·湖北武汉·统考三模）设复数 满足 为纯虚数，则 （ ）
A． B． C． D．
11．（2023·江苏盐城·统考三模）已知 ， ，虚数 是方程 的根，则 （ ）
A． B． C．2 D．
12．（2023·福建漳州·统考模拟预测）复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
题型四 复数相等和共轭复数
策略方法 解决与集合的新定义有关问题的一般思路
(1)在只含有z的方程中，z类似于代数方程中的x，可直接求解；
(2)在z，，|z|中至少含有两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复
数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z．
(3)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反
数，即得原复数的共轭复数．复数z ＝a＋bi与z ＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，
1 2
d∈R)．
【典例1】（单选题）已知 为虚数单位，复数 ，其中a， ，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，【典例2】（单选题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知复数 ，若 的共轭复数为 ，则
（ ）
A． B．5 C． D．10
2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知 ，则 的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）已知复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
4．（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知复数 ， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2023·山西大同·统考模拟预测）复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知i是虚数单位，设复数z的共轭复数为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）若复数 满足 ，其中 为虚数单位，
则 （ ）A． B． C． D．
9．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知复数 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·江西·统考模拟预测）已知i为虚数单位，若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
12．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）若 ，其中 ，则 （ ）
A． B． C． D．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 是复数 的共轭复数，则 （ ）
A． B． C．4 D．2
14．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知复数 满足 ，则 的共轭复
数的虚部为（ ）
A．2 B． C．4 D．
15．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知复数 满足 （ 为虚数单位），则复数 的虚
部为（ ）
A．3 B． C． D．
16．（2023·山东烟台·统考三模）已知复数 满足 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
17．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知 （a， ，i为虚数单位），则复数（ ）
A．2 B． C． D．6
18．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）复数 ， （ 为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
题型 五 复数的几何意义
策略方法 与复数几何意义相关的问题的一般解法
【典例1】（单选题）在复平面中，复数 （ 为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）已知复数 ，其中 为虚数单位，
则复数 在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023秋·四川内江·高三期末）复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限3．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知复数z满足 ，则复数z在复平面内所对应的点位
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2023·广东汕头·统考三模）已知复数z的共轭复数 ，则复数z在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）已知 ，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知复数 （ 是虚数单位），则 在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知复数 满足 （其中 为虚数单位），
则复数 在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若复数 ，则复数 在复平面内对应的点
在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2023·河南·襄城高中校联考三模）若复数 在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．10．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知复数 与 在复平面内对应的点关于实轴对
称，则 （ ）
A． B． C． D．
11．（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知 ，则复数z在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）复数 满足 在复平面内对应的点为 ，
则（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）在复平面内，复数 对应的点为 ，则
（ ）
A．2 B．1 C． D．
14．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）已知 ，其中a，b为实数，则在复平面内复
数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型 六 复数的三角形式
策略方法
一般地，任何一个复数 都可以表示成 形式，其中 是复数 的模； 是
以 轴的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线 ）为终边的角，叫做复数 的辐角． 叫做复数 的三角表示式，简称三角形式．
【典例1】（单选题）把复数 化三角形式为（ ）
A． B．
C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）欧拉公式 （e为自然对数的底数， 为虚数单位）由瑞士
数学家Euler（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，
被称为“数学中的天桥”，则 （ ）
A． -1 B．1 C．- D．
2．（2023·全国·高三专题练习）复数 的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）欧拉是 世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作
出贡献，更把数学推至几乎整个物理领域，其中欧拉公式的诸多公式中， (
为自然对数的底数， 为虚数单位)被称为“数学中的天桥”，将复数､指数函数､三角函数联系起来了.当
时，可得恒等式（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 的辐角为 ， 的辐角为 ，则复数 等于（ ）A． B． C． D．
5．（2023·吉林·统考模拟预测）若复数 （ ， ），则把这种形式叫做复数z的
三角形式，其中r为复数z的模， 为复数z的辐角，则复数 的三角形式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·河南·统考模拟预测）欧拉公式 把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联
系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．
7．（2023·广东·校联考模拟预测）棣莫弗公式 （ 为虚数单位）是由法国数学
家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数 ，则 的值是
（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模）复数 与下列复数相等的是（ ）
A． B．
C． D．9．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）棣莫弗公式 （其中i为虚数单位）是由法国数
学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 在复平面内所对应的
点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
