文档内容
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 40 讲 圆与圆的位置关系及圆的综合性问题（精讲）
题型目录一览
①圆与圆的位置关系
②圆的公共弦问题
③圆的公切线问题
④圆的综合性问题
一、知识点梳理
一、两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆 的半径分别是 ，（不妨设 ），且两圆的圆心距为 ，则：
两圆相交； 两圆外切；
两圆相离； 两圆内切；
两圆内含（ 时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为 ， ，圆心距为 ，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
【常用结论】
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆 上一点 的圆的切线方程为 ．
（2）过圆 上一点 的圆的切线方程为（3）过圆 上一点 的圆的切线方程为
（4）求过圆 外一点 的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为 ，利用圆心到
切线的距离等于半径，列出关于 的方程，求出 值．若求出的 值有两个，则说明斜率不存在的情形不
符合题意；若求出的 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
二、题型分类精讲
题型 一 圆与圆的位置关系
策略方法 几何法判断圆与圆的位置的步骤
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长．
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r ＋r ，|r －r |的值．
1 2 1 2
(3)比较d，r ＋r ，|r －r |的大小，写出结论．
1 2 1 2
【典例1】已知圆 ，圆 ．试求 为
何值时，两圆 ：
(1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023高三专题练习）两圆 和 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
2．（2023高三专题练习）已知圆 与圆 ，则圆 与圆
的位置关系为（ ）A．相交 B．外切 C．外离 D．内含
3．（2023高三专题练习）已知圆 ： ，圆 ： ，若圆 与圆
内切，则实数a的值是（ ）
A． B．2 C． 或2 D．1或
4．（广西梧州市苍梧中学2023届高三5月份高考数学模拟试题）若圆 与圆
关于直线 对称，过点 的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（东北三省四城市联考暨沈阳市2023届高三二模数学试题）已知圆 和圆
，其中 ，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高三专题练习）已知圆 ： 与圆 ： 相外切，则 的
最大值为（ ）
A．2 B． C． D．4
7．（2023高三专题练习）已知点P，Q分别为圆 与 上一点，则 的最
小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
8．（广东省深圳市罗湖区部分学校2024届高三上学期开学模拟数学试题）“ ”是“圆 ：
与圆 ： 存在公切线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（黑龙江省大庆实验中学2023届高三下学期5月考前得分训练（三）数学试题）已知圆
和两点 ， ，若圆C上至少存在一点P，使得 ，则
实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（北京市通州区2023届高三模拟考试数学试题）在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C
满足 ， ，A为线段 中点，P为圆 任意一点，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．（湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高三上学期月考（三）数学试题）下列圆中与圆
相切的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023高三专题练习）已知圆 ，则下列说法正确的是（ ）
A．圆C的半径为18
B．圆C截x轴所得的弦长为
C．圆C与圆 相外切
D．若圆C上有且仅有两点到直线 的距离为1，则实数m的取值范围是13．（广东省江门市部分学校2023届高三下学期开学联考数学试题）已知圆 ，圆
，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则圆 与圆 相交
B．若 ，则圆 与圆 外离
C．若直线 与圆 相交，则
D．若直线 与圆 相交于 ， 两点，则
14．（2023高三专题练习）已知圆 和两点 ，若圆 上存在
点 ，使得 ，则 可能的取值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
15．（2023高三专题练习）已知圆 与圆 ： 相内切，则实数m的值为
．
16．（黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2023届高三三模数学试题）写出一个与两坐标轴和圆 ：
都相切的一个圆的标准方程为 ．
17．（山东省枣庄市2023届高三下学期第二次模拟考试数学试题）满足圆 与
相交的一个a值为 ．
18．（2023高三专题练习）已知圆 与圆 外切，此时直线
被圆 所截的弦长为 ．
19．（2023高三专题练习）若圆 上存在点P，且点P关于y轴的对称点Q在圆上，则r的取值范围是 .
20．（重庆市2024届高三上学期9月联考数学试题）已知圆 与圆 内切，且圆 与直线
相切，则圆 的圆心的轨迹方程为 ．
四、解答题
21．（2023高三专题练习）已知圆 ： ，圆 ： ，圆 与圆 、圆 外切，
求圆心 的轨迹方程
22．（2023高三专题练习）已知圆 与圆 外切.
(1)求实数 的值；
(2)若直线 与圆 交于A， 两点，求弦 的长.
题型二 圆的公共弦问题
策略方法 两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．
【典例1】已知圆C的圆心为 ，且与直线 相切．
(1)求圆C的方程；
(2)求圆C与圆 的公共弦的长．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023高三专题练习）过圆 与圆 交点的直线方程为（ ）.
A． B．
C． D．
2．（天一大联考三晋名校联盟2022-2023学年高三下学期顶尖计划联考数学试题）已知圆和 交于A，B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（重庆市第八中学校2023届高三下学期适应性月考（八）数学试题）圆 与
圆 的公共弦恰为圆 的直径，则圆 的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高三专题练习）已知圆 与圆 的公共弦所在直线恒过
点P，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高三专题练习）已知圆C过圆 与圆 的公共点．
若圆 ， 的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高三专题练习）已知圆 ： ，点 是直线 ： 上的动点，过点 引圆
的两条切线 、 ，其中 、 为切点，则直线 经过定点（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高三专题练习）已知圆 与圆 的公共弦所在直线恒过
点 ，且点 在直线 上，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题8．（2023高三专题练习）已知圆 ： 和圆 ： ，则（ ）
A．两圆的圆心的距离为25
B．两圆相交
C．两圆的公共弦所在直线方程为
D．两圆的公共弦长为
9．（2023高三专题练习）已知圆 和圆 的交点为 ， ，则
（ ）
A．圆 和圆 有两条公切线
B．直线 的方程为
C．圆 上存在两点 和 使得
D．圆 上的点到直线 的最大距离为
10．（2023高三专题练习）圆 和圆 的交点为A，B，则（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．线段AB中垂线方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆 上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
11．（安徽省A10联盟2023届高三最后一卷数学试题）已知 ，
，点 ， 分别在 ， 上，则（ ）
A．若 的半径为1，则B．若 ，则 与 相交弦所在的直线为
C．直线 截 所得的最短弦长为
D．若 的最小值为 ，则 的最大值为
三、填空题
12．（2023高三专题练习）圆 与圆 的公共弦所在
直线的方程为 ．
13．（天一大联考皖豫名校联盟2023届高三第三次考试数学试题）已知圆 与圆
的公共弦经过点M，则 ．
14．（天津市第一中学2022届高三下学期4月第四次月考数学试题）若圆 与圆
相交，且公共弦长为 ，则 .
15．（2023高三专题练习）过点 作圆 的两条切线,切点分别为 , ,则直线 的方程为
题型三 圆的公切线问题
策略方法 圆的切线问题
（1）圆的切线方程的求法
①点 在圆上，
法一：利用切线的斜率 与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于 ，即 ．
法二：圆心 到直线 的距离等于半径 ．
②点 在圆外，则设切线方程： ，变成一般式： ，因为与圆
相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出 ．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程
过圆 上一点 的切线方程是 ；
过圆 上一点 的切线方程是 ．
过圆 外一点 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为
过曲线上 ，做曲线的切线，只需把 替换为 ， 替换为 ， 替换为 ， 替换为
即可，因此可得到上面的结论．
【典例1】证明圆 与圆 内切，并求它们的公切线方程．
【题型训练】
一、单选题
1．（广西壮族自治区百色市贵百联考2024届高三上学期9月月考数学试题）圆 ，
圆 ，则两圆的一条公切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高三专题练习）圆 ： 与圆 ： 公切线的条数
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（黑龙江大庆市2023届高三三模数学试题）已知直线 是圆 的切线，并且点
到直线 的距离是2，这样的直线 有（ ）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．（2023高三专题练习）已知直线 与圆 相切，
则满足条件的直线l的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（黑龙江省哈尔滨市第六中学校2023届高三一模数学试题）已知圆心均在 轴的两圆外切，半径分别
为 ，则两圆公切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
6．（河北省石家庄市2023届高三质量检测（一）数学试题）“ ”是“圆 ： 与圆 ：
有公切线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（山西省部分学校2023届高三下学期质量检测试题）已知圆 ： 的圆心到直线
的距离为 ，则圆 与圆 ： 的公切线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
8．（2023高三专题练习）若圆 与圆 有且仅有3条公切线，
则m=（ ）
A．14 B．28 C．9 D．
9．（2023高三专题练习）已知圆 ： 与 ： 恰好有4条公切
线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
二、多选题
10．（新高考地区2022-2023学年高三下学期开学考数学试卷）与圆 和
都相切的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．（湖南省邵阳市第二中学2023届高三下学期高考全真模拟数学试题）已知圆 ，圆
，直线 ，则下列说法正确的是（ ）
A．圆 的圆心为
B．圆 与圆 有四条公切线
C．点 在圆 上，点 在圆 上，则线段 长的最大值为
D．直线 与圆 一定相交，且相交的弦长最小值为
12．（2023高三专题练习）已知圆 和圆 的交点为 ， ，则
（ ）
A．圆 和圆 有两条公切线
B．直线 的方程为
C．圆 上存在两点 和 使得
D．圆 上的点到直线 的最大距离为
三、填空题
13．（2023高三专题练习）圆 与圆 的公切线方程为 .14．（上海市曹杨第二中学2024届高三上学期开学考试数学试题）已知圆 和圆
，则过点 且与 ， 都相切的直线方程为 ．
15．（2023高三专题练习）已知圆 .若圆 与圆 有三条公
切线，则 的值为 .
16．（2023高三专题练习）已知圆 ，圆 圆
与圆 相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则 为 .
题型四 圆的综合性问题
策略方法 几何法解决直线与圆的综合问题
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
【典例1】已知直线 ，点 与点 关于原点对称，若直线 上存在点 满足 ，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023高三专题练习）过点 作圆C： 的两条切线，切点分别为A，B，则
直线 的方程为（ ）
A． B．C． D．
2．（广东省湛江市2024届高三上学期摸底联考数学试题）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大
镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．这是中国古代入民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文
化中的数学智慧．在平面直角坐标系 中，一条光线从点 射出，经 轴反射后的光线所在的直线
与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A． B． 或1 C．1 D．2
3．（浙江省嘉兴市2024届高三上学期9月基础测试数学试题）已知点 是直线 ： 和
： 的交点，点 是圆 ： 上的动点，则 的最
大值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高三专题练习）已知点 ，点 为圆 上一动点，则 的最大值是
（ ）
A． B． C． D．
5．（湖南省株洲市第二中学教育集团2023-2024学年高三上学期开学联考数学试题）如图，在 平面上
有一系列点 ， ，…， …，对每个正整数 ，点 位于函数 的图像
上，以点 为圆心的 都与 轴相切，且 与 外切.若 ，且 ， ，
的前 项之和为 ，则 （ ）A． B． C． D．
6．（安徽省六校教育研究会2024届高三上学期入学素质测试数学试题）已知 ， ，若动点
满足 ，直线 与 轴、 轴分别交于两点 ，则 的面积的最小值为
（ ）
A． B．4 C． D．
二、多选题
7．（河北省保定市2023届高三二模数学试题）已知直线 ，圆 的
圆心坐标为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 恒过点
B．
C．直线 被圆 截得的最短弦长为
D．当 时，圆 上存在无数对点关于直线 对称
8．（河南省菁师联盟2024届高三8月质量检测联考数学试题）平面区域 被直线
分成面积相等的两部分，则（ ）
A． B．
C． D．9．（2023高三专题练习）若两定点 ， ，动点 满足 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．点 的轨迹所围成区域的面积为
B． 面积的最大值为
C．点 到直线 距离的最大值为
D．若圆 上存在满足条件的点 ，则 的取值范围为
10．（辽宁省沈阳市东北育才学校2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试暨假期质量测试数学试题）
太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴
阳角，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美定义，若一个函数的图像能够将圆 的周长和面积
同时等分成两个部分，则称该函数为圆 的一个“太极函数”，给出下列命题，其中正确的命题为（ ）
A．函数 可以是某个圆的“太极函数”
B．正弦函数 可以同时是无数个圆的“太极函数”
C．圆 的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数
D．函数 是“太极函数”的充要条件为函数 的图像是中心对称图形
三、填空题
11．（2023高三专题练习）设点 是圆： 上的动点，定点 ，则
的最大值为 ．
12．（河南省部分学校2023-2024学年高三上学期一轮复习摸底测试卷数学（二））已知点
，点 是直线 上任意一点，且 ，则实数 的取值范围是 ．13．（2023高三专题练习）已知点 和 ，点M满足 ，直线 与点
M的轨迹相切，则直线l的倾斜角为 ．
14．（河南省洛阳市等三地部分名校2023-2024学年高三上学期开学联考数学试题）已知圆
，点 在直线 上，过点 作直线 与圆 相切于点 ，则
的周长的最小值为 .
15．（2023高三专题练习）已知 的圆心在曲线 上，且 与直线 相切，则
的面积的最小值为 .
