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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 26 练 复数（精练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的乘法可求 .
【详解】 ，
故选：D.
2．（2021·全国·统考高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为 ，故 ，故
故选：C.
3．（2021·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知得 ，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】 ，
.故选：B.
4．（2022·全国·统考高考真题）已知 ，且 ，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先算出 ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】
由 ,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得 ,即
故选:
5．（2022·全国·统考高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
故选 ：C
6．（2022·全国·统考高考真题）设 ，其中 为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．
【详解】因为 R， ，所以 ，解得： ．
故选：A.7．（2023·全国·统考高考真题） （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
【详解】
故选：C.
8．（2023·全国·统考高考真题）在复平面内， 对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为 ，
则所求复数对应的点为 ，位于第一象限.
故选：A.
9．（2023·全国·统考高考真题）设 ，则 （ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为 ，
所以 ，解得： ．
故选：C.
10．（2023·全国·统考高考真题） （ ）
A．1 B．2 C． D．5【答案】C
【分析】由题意首先化简 ，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得 ，
则 .
故选：C.
11．（2023·全国·统考高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出 ，再由共轭复数的概念得到 ，从而解出．
【详解】因为 ，所以 ，即 ．
故选：A．
12．（2023·全国·统考高考真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意首先计算复数 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
【详解】由题意可得 ，
则 .
故选：B.
13．（2021·全国·统考高考真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.
【详解】由题意可得： .
故选：C.
14．（2021·全国·统考高考真题）设 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于 、 的等式，解出这两个未知
数的值，即可得出复数 .
【详解】设 ，则 ，则 ，
所以， ，解得 ，因此， .
故选：C.
15．（2022·全国·统考高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用复数的除法可求 ，从而可求 .
【详解】由题设有 ，故 ，故 ，
故选：D
16．（2022·全国·统考高考真题）若 ．则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】因为 ，所以 ，所以 ．
故选：D.
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知 ，复数 是实数，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】由复数运算法则和实数定义可构造方程求得结果.
【详解】 为实数，
，解得： .
故选：A.
2．（2023·山东聊城·统考三模） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的除法和乘方运算可得答案.
【详解】 .
故选：D.
3．（2023·海南·统考模拟预测）已知复数 ，则 （ ）．
A．i B． C． D．
【答案】D
【分析】利用共轭复数的意义、复数的乘法及加减法运算求解作答.
【详解】因为 ，则 ，所以 .
故选：D
4．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出复数 ，再求出其共轭并代入计算作答.
【详解】由 ，得 ，则 ， ，
所以 .故选：D
5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 是虚数单位，复数 满足 ，
则复数 的共轭复数虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由复数的运算直接求解得到 ，再由共轭复数的概念求解即可.
【详解】由题知，
复数 的共轭复数为 复数 的共轭复数虚部为 ，
故选：B.
6．（2023·浙江·校联考二模）已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的乘法运算规则计算.
【详解】 ；
故选：B.
7．（2023·北京·统考模拟预测）若复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 .
故选：C
8．（2023·湖南岳阳·统考三模）设复数 满足 ，则复数 的虚部是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的乘除法规则和复数的实部虚部定义求解.
【详解】因为复数 满足 ，即 ，
所以 ，所以复数 的虚部是 ；
故选：D.
9．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知 是虚数单位，若 与 互为共轭复数，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 与 互为共轭复数，求出 和 ，再代入 计算即可.
【详解】因为 与 互为共轭复数，所以 ，
所以 .
故选：D.
10．（2023·江苏·校联考模拟预测）若复数 ，则 （ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算求解 ，再求其共轭复数得出结果.
【详解】由 得 ，
，所以 .
故选：D.11．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知复数 满足 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用题意算出 ，然后利用复数模的公式即可求解
【详解】由 可得 ，
所以
故选：D
12．（2023·湖南·校联考二模）设复数 （ 为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复数的四则运算及模的运算即可得解.
【详解】因为 ，
所以 ．
故选：A．
13．（2023·河南安阳·统考三模）已知 的实部与虚部互为相反数，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的乘法运算可得 ，结合题意列出方程，即可得答案.
【详解】由于 ,
的实部与虚部互为相反数，故 ，故选：A
14．（2023·山西晋中·统考三模）欧拉公式 是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公
式被誉为数学中的天桥．若复数 ， ，则 （ ）
A．-i B．i
C． D．
【答案】B
【分析】由欧拉公式求 的代数形式，再结合复数运算法则求 .
【详解】由欧拉公式可得：
， ，
则 ．
故选：B.
15．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知复数z满足 ，则复数z的虚部为
（ ）
A．1 B．-1 C．i D．-i
【答案】B
【分析】根据已知化简可得 ，即可得出答案.
【详解】由已知可得， ，所以 ，
所以，复数z的虚部为 .
故选：B.
16．（2023·广西桂林·校考模拟预测）已知复数 为纯虚数，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C【分析】先利用纯虚数的概念求 ，再求
【详解】因 为纯虚数，
所以 ，
解得 ，
所以 .
故选：C.
17．（2023·重庆·统考模拟预测）已知i是虚数单位，复数 在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】利用复数的乘方运算和除法运算求解作答.
【详解】 ，
所以复数 在复平面内所对应的点 位于第二象限.
故选：B
18．（2023·广西玉林·统考模拟预测）设复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得 ，再利用复数除法即可求得 的代数形式.
【详解】 ，则
，
故选：C.19．（2023·全国·模拟预测）已知复数 （ 为虚数单位），则 在复平面内对应的点位于第（ ）
象限.
A．四 B．三 C．二 D．一
【答案】A
【分析】利用复数的除法可求 ，从而可求其对应的点，故可判断其所处象限.
【详解】 ，
所以 在复平面内对应的点为 ，位于第四象限.
故选：A.
20．（2023·全国·模拟预测）已知复数 满足 （ 为虚数单位）， 是 的共轭复数，则
（ ）
A．5 B． C．10 D．
【答案】C
【分析】先根据复数的除法求出 ，再计算 .
【详解】由
得 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
21．（2023·重庆·统考模拟预测）已知复数 （ 是虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
则 .
故选：C
22．（2022·全国·高三专题练习）欧拉公式 （ 为虚数单位， ）是由瑞士著名数学家
欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为
“数学中的天桥”，根据此公式可知， 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义，以及弧度制即可求解.
【详解】解： ，又 ，为第二象限角，故
，故 在复平面内对应的点 位于第二象限.
故选：B.
23．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）若 ，其中 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的相等求得 的值，再根据复数的模的计算求得答案.
【详解】由 可得 ，
故 ，
故选：B
24．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知复数 满足 ，则 （ ）A．5 B． C．13 D．
【答案】B
【分析】设 ，利用复数的运算法则和复数相等，建立 的方程组，直接求出 ，从而
可求出结果.
【详解】设 ，则 ，所以 ，
解得 或 ，所以 .
故选：B.
25．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）若复数z满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】首先设复数 ，( )，根据条件化简求得 的关系式，再根据复数模的几何意义求
最值.
【详解】设 ，( )，
由 ，得 ，则 ，
复数 的轨迹是以原点为圆心， 为半径的圆，如图，
根据复数模的几何意义可知， 的几何意义是圆上的点到 的距离，如图可知， 的最小值是点 与 的距离 .
故选：B.
26．（2022·全国·高三专题练习）设 (其中 为虚数单位)，则 的共轭复数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先利用诱导公式将复数 化简，再根据复数代数形式的乘法运算，以及二倍角公式化简复数 ，
即可求出其共轭复数；
【详解】解：因为
所以
所以 的共轭复数是 ，
故选：C
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知 ， ，则实数 的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】根据复数与共轭复数的模的关系，化简复数 ，即可列方程求解实数 的值.【详解】解：因为 ，且 ，
所以 ，解得 .
故选：C.
2．（2023·新疆和田·校考一模）若复数z满足 为纯虚数，且 ，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，代入 后利用复数的定义求得 关系，然后由复数模的定义计算求得
，从而得结论．
【详解】设 ，则 ，
因为 为纯虚数，所以 所以 ， ，因为 ，所以 ，
解得 ，则 ，即z的虚部为 .
故选：A.
3．（2023秋·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知复数 满足 ，则复数 的虚部
是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算，结合i的性质，进行计算求得复数 ，可得答案.
【详解】由 可得 ，
则复数 的虚部是1,故选;D
4．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知复数 满足 ，且
，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据题意结合复数的乘法运算以及复数的相等可得 ，利用条件 确定a,b的正负，根据
复数的几何意义可求得答案.
【详解】由题意可知， ，
所以 ，解得 ，
因为 ,则 ，所以 ，所以 ，
即复数 在复平面内对应的点位于第三象限，
故选：C
5．（2023·全国·模拟预测）在复平面内，复数 对应的点在直线 上，则
（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】求出复数 对应的点代入直线方程可得 ，再利用复数的除法运算可得答案.
【详解】复平面内，复数 对应的点为 ，
又在直线 上，所以 ，解得 ，
所以 ，
则 .
故选：B.6．（2023·广东揭阳·校考二模）已知 （ 为虚数单位），则复数 在复平面上对应的点一定在
（ ）
A．实轴上 B．虚轴上
C．第一、三象限的角平分线上 D．第二、四象限的角平分线上
【答案】D
【分析】设 ，由 可解得 ，则 ，复数 在复平面上对应的点为 ，
即可判断
【详解】设 ，则 ，则 ，即 ， ，
∴ ，复数 在复平面上对应的点为 ，一定在第二、四象限的角平分线上，
故选：D
7．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 ，则 的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据复数i的性质计算可得 ，由此利用等比数列的前n项和公式计算 ，即可求得答案.
【详解】由于复数 ，故 ，
，
故 ，
故选：A.
8．（2023·全国·高三专题练习）欧拉公式 为虚数单位 是由瑞士著名数学家欧拉发现的，
它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知 为纯虚数，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先利用欧拉公式及纯虚数的概念求得 ， ，由此得到复数 对应的点为
，从而可得结论.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 为纯虚数，所以 ， ，故 ，
所以 ，
则复数 在复平面内对应的点为 ，则其在第四象限.
故选：D.
9．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）若复数 （a， ， 为其共轭复数），定义：
.则对任意的复数 ，有下列命题： ： ； ： ； ： ；
：若 ，则 为纯虚数.其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】A选项，利用复数模长公式计算出 ；
B选项，利用复数加法法则计算得到 ；
C选项，利用复数乘法法则计算得到 ；
D选项，利用复数除法法则计算得到 ，当 ，此时 不一定是纯虚数.【详解】 ， ， ，
则 ， ， ，
故 ， 正确；
， 正确；
，
，
则 ， 错误；
，
若 ，且 ，此时 为实数，
故 错误；
故选：B
10．（2023·全国·高三专题练习）若复数 （i为虚数单位，a， 且 ）为纯虚数，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算化简 ，根据其为纯虚数可得 且 ，即可求得答案.
【详解】由题意得
,
∵ 为纯虚数∴ 且 ，∴ ，
另解：设 （ ），则 ，
即 ， ，
∴ ，
故选：D.
