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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 36 讲 空间向量及其应用（精讲）
题型目录一览
①利用空间向量证线面平行、面面平行
②利用空间向量证线面垂直、面面垂直
③利用空间向量求异面直线夹角
④利用空间向量求线面角、面面角
⑤利用空间向量求点到线距离、点到面距离
一、知识点梳理
一、法向量的求解与简单应用
（1）平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，
记作 ，如果 ，那么向量 叫做平面 的法向量．
注：①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量 是平面的法向量，向量
是与平面平行或在平面内，则有 ．
第一步：写出平面内两个不平行的向 ；
第二步：那么平面法向量 ，满足 ．
（2）判定直线、平面间的位置关系
①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线 ， 的方向向量分别为 ， ．
若 ∥ ，即 ，则 ；
若 ，即 ，则 ．
②直线与平面的位置关系：直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 ．
若 ∥ ，即 ，则 ；
若 ，即 ，则 ．（3）平面与平面的位置关系
平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ．
若 ∥ ，即 ，则 ；若 ⊥ ，即 ，则 ⊥ ．
二、空间角公式
（1）异面直线所成角公式：设 ， 分别为异面直线 ， 上的方向向量， 为异面直线所成角的大小，
则 ．
（2）线面角公式：设 为平面 的斜线， 为 的方向向量， 为平面 的法向量， 为
与 所成角的大小，则 ．
（3）二面角公式：
设 ， 分别为平面 ， 的法向量，二面角的大小为 ，则 或 （需要根据具体情
况判断相等或互补），其中 ．
三、空间中的距离
（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接
计算．如图，设两条异面直线 的公垂线的方向向量为 ，这时分别在 上任取 两点，则向量在 上
的正射影长就是两条异面直线 的距离．则 即两异面直线间的距离，等于两异面
直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．
（2）点到平面的距离
为平面 外一点（如图）， 为平面 的法向量，过 作平面 的斜线 及垂线 ．
，
【常用结论】
用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求
出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表
示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱
所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算．
二、题型分类精讲
题型 一 利用空间向量证线面平行、面面平行
策略方法 利用空间向量证明平行的方法
线线平行 证明两直线的方向向量共线
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量
线面平行
与平面内某直线的方向向量平行
面面平行 ①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题【典例1】在正方体 中，若 为 中点， 为 中点.
求证：
(1) ；
(2) 平面 ；
(3)平面 平面
．
【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正四棱 的底面边长1，侧棱长4， 中点为
， 中点为 ．求证：平面 平面 .2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在八面体 中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面
∥平面QBC，二面角 与二面角 的大小都是 ， ， ．
证明：平面 ∥平面QAB．
3．（2023秋·辽宁沈阳·高三东北育才学校校考开学考试）如图，在四棱锥 中，底面 为矩
形， 平面 ， ， ， ， 分别是 ， 的中点.
(1)求证： 平面 ；
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱 中， 平面 ，D，E分别为棱AB，
的中点， ， ， .证明： 平面 .5．（2023秋·江西抚州·高三黎川县第二中学校考开学考试）在正四棱锥 中，已知 ，
， ， .
(1)证明： 平面 ；
6．（天津市南开区南大奥宇学校2022-2023学年高三上学期第四次月考数学试题）如图，直四棱柱
的底面为正方形，P，O分别是上、下底面的中心，E是AB的中点， .
(1)求证： 平面 ；
7．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）如图，在多面体ABCDEF中，四边形 与
均为直角梯形， 平面 ， ．(1)已知点G为AF上一点，且 ，求证：BG与平面DCE不平行；
8．（福建省漳州市2024届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）如图，正方体 的棱
长为2，E为棱 的中点.
(1)证明： 平面ACE；
9．（2023秋·江苏南京·高三统考开学考试）如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，
， ，点G是线段BF的中点．
(1)证明： 平面DAF；题型二 利用空间向量证线面垂直、面面垂直
策略方法 利用空间向量证明垂直的方法
线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零
证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量
线面垂直
表示
面面垂直 证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示
【典例1】如图，在直三棱柱 中，点 分别为线段 的中点，
．证明： 平面 ．
【典例2】如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 ，E是 的中点，已
知 ， ．
(1)求证： ；
(2)求证：平面 平面 ．
【题型训练】
一、解答题1．（2023秋·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）如图，在正方体 中， .
分别是棱 ， 的中点.
(1)证明： 平面 .
2．（2023·广东深圳·统考模拟预测）在正方体 中，如图 、 分别是 ， 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
3．（2023秋·广东江门·高三统考阶段练习）如图，在长方体 中， ， ，
点E在棱 上移动．
(1)证明： ；4．（2023秋·河南焦作·高三博爱县第一中学校考阶段练习）已知几何体 ，如图所示，其中四边
形 、四边形 、四边形 均为正方形，且边长为1，点 在棱 上.
(1)求证： .
5．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）如图，正三棱柱 中， 分别是棱 上的点，
.
(1)证明：平面 平面 ；
6．（2023·河南开封·校考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面
为 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；7．（2023·全国·高三专题练习）已知在直三棱柱 中，其中 为 的
中点，点 是 上靠近 的四等分点， 与底面 所成角的余弦值为 ．
(1)求证：平面 平面 ；
8．（2023秋·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）如图所示，在直三棱柱 中，
， ， ， ，点M，N分别是棱 ， 的中点．
(1)求证： 平面 ；
9．（2023·河北唐山·模拟预测）在长方体 中， 是棱 的中点．(1)求证：平面 平面 ；
10．（2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考阶段练习）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与
底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马 中，
侧棱 底面 ，且 ，过棱 的中点 ，作 交 于点 ，连接 .
(1)证明： 平面 ；
11．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）如图，已知直四棱柱 的底面 是菱形， ，
， 是 和 的交点， 是 的中点.
(1)证明： 平面 ;12．（2023·浙江金华·统考模拟预测）在四棱锥 中，面 面 ，
， 是线段 上的靠近 点的三等分点.
(1)求证： 面 ；
13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知直三棱柱 中，侧面 为
正方形， ，E，F分别为AC和 的中点，D为棱 上的动点. .
(1)证明： ；
14．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图，在三棱柱 中，底面 是等腰
三角形，且 ，又侧棱 ，面对角线 ，点 分别是棱
的中点， .(1)证明： 平面 ；
15．（2023·贵州遵义·统考三模）如图，棱台 中， ，底面
ABCD是边长为4的正方形，底面 是边长为2的正方形，连接 ，BD， .
(1)证明： ；
16．（2023·北京丰台·北京丰台二中校考三模）如图，在四棱锥 中， 平面 ，
， ， ， . 为 的中点，点 在 上，且 .
(1)求证：平面 平面 ；
题型三 利用空间向量求异面直线夹角
策略方法 用向量法求异面直线所成角的一般步骤【典例1】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝ ， BC＝1，
PA＝2，E为PD的中点． 求AC与PB所成角的余弦值．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图，四棱锥 中，底面 为正方形，
是正三角形， ，平面 平面 ，则 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．2．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）如图，在直三棱柱 中， 面 ，
，则直线 与直线 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·江西抚州·高三黎川县第二中学校考开学考试）在正方体 中， 是棱 上
一点， 是棱 上一点， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）直三棱柱 如图所示，
为棱 的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为 ，则异面直
线 和 所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在三棱锥 中， 是边长为2
的等边三角形， ，若三棱锥 的体积等于 时，异面直线 与 所成角的余弦值
为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面 是
菱形， 平面 ， ， ，点 是 的中点，点 是 上不与端点重合的动
点，则异面直线 与 所成角的正切值最小为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）四棱柱 中，侧棱 底面 ，
， ， ，侧面 为正方形，设点O为四棱锥 外接球的球
心，E为 上的动点，则直线 与 所成的最小角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．二、填空题
8．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥P－ABC中， 底面ABC，底面ABC为正三角形，PA＝AB，
则异面直线PB与AC所成角的余弦值为
9．（2023秋·河南漯河·高三漯河高中校考开学考试）如图，某空间几何体由一个直三棱柱和一个长方体组
成，若 ， ， ， ， ， 分别是棱 ， ， ， 的中点，
则异面直线 与 所成角的余弦值是 ．
10．（2023·江苏·高三专题练习）三棱柱 中，平面 平面 ，且 ，
， ，则异面直线 与 所成角的正弦值为 ．
11．（2023·江苏·高三专题练习）如图所示，已知两个正四棱锥 与 的高分别为1和2，
，则异面直线 与 所成角的正弦值为 ．
12．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知四面体ABCD满足 ， ， ，
且该四面体的体积为 ，则异面直线AD与BC所成的角的大小为 ．13．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”
的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如
图所示的曲池，它的高为 ， ， ， ， 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径
分别为 和 ，对应的圆心角为 ，则图中异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
14．（2023·高三课时练习）已知 平面 ，四边形 是矩形， 为定长，当 的长
度变化时，异面直线 与 所成角的取值范围是 ．
题型四 利用空间向量求线面角、面面角
策略方法 1.利用向量法求线面角的两种方法
2.利用向量计算二面角大小的常用方法【典例1】如图， 为圆柱底面的直径， 是圆柱底面的内接正三角形， 和 为圆柱的两条母
线，若 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求 与面 所成角正弦值；
(3)求平面 与平面 所成角的余弦值.
【题型训练】
一、解答题
1．（2023秋·河南焦作·高三博爱县第一中学校考阶段练习）已知几何体 ，如图所示，其中四边
形 、四边形 、四边形 均为正方形，且边长为1，点 在棱 上.(1)求证： .
(2)是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为 ?若存在，确定点 的位置；若不存在，请说
明理由.
2．（2023秋·江苏镇江·高三统考开学考试）已知直四棱柱 中，底面 为菱形，
， ， ，E为线段 上中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
3．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）如图，在多面体 中，四边形 为
正方形， 平面 ， ， ， 是线段 上的一动点，过点 和直线
的平面 与 ， 分别交于 ， 两点.(1)若 为 的中点，请在图中作出线段 ，并说明 ， 的位置及作法理由；
(2)线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出 的长；若
不存在，请说明理由.
4．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知四棱锥 中，底面 是矩形， ，
， 是 的中点．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，点 是 上的动点，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 ．
5．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）如图，在多面体ABCDEF中，四边形 与
均为直角梯形， 平面 ， ．(1)已知点G为AF上一点，且 ，求证：BG与平面DCE不平行；
(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 ，求AF的长及四棱锥D－ABEF的体积．
6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知三棱柱 中，
是 的中点， 是线段 上一点.
(1)求证： ；
(2)设 是棱 上的动点（不包括边界），当 的面积最小时，求直线 与平面 所成角的正
弦值.
7．（2023秋·广西南宁·高二校考开学考试）如图，在三棱锥 中，侧棱 底面 ，且
，过棱 的中点 ，作 交 于点 ，连接 .(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，三棱锥 的体积是 ，求直线 与平面 所成角的大小.
8．（2023秋·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）如图，在三棱柱 中，平面
平面 ，四边形 是矩形，四边形 是平行四边形，且 ， ，
，以 为直径的圆经过点F．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值．
9．（2023秋·江苏淮安·高三统考开学考试）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形， ，将
沿BD折起到 的位置，使 ．(1)求证：平面 平面ABD；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
10．（2023春·海南海口·高三统考期中）如图，四棱锥 的顶点P在底面ABCD上的射影为AB的
中点H， 为等边三角形， ， ，棱BC的中点为E.
(1)证明： ；
(2)若 ，求直线PE与平面PBD所成角的正弦值.
11．（2023·河南·校联考二模）如图所示，正六棱柱 的底面边长为1，高为 ，
为线段 上的动点.(1)求证： 平面 ；
(2)设直线 与平面 所成的角为 ，求 的取值范围.
12．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）在三棱柱 中，平面 平
面 ，侧面 为菱形， ， ， ， 是 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)点 在线段 上（异于点 ， ）， 与平面 所成角为 ，求 的值.
13．（2023秋·江西宜春·高三统考开学考试）如图，在几何体 中，菱形 所在的平面与矩形
所在的平面互相垂直.
(1)若 为线段 上的一个动点，证明： 平面 ；
(2)若 ， ，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长.
14．（2023秋·山东菏泽·高三校考阶段练习）在长方体 中， ， .点 是线段 上的动点，点 为 的中点.
(1)当 点是 中点时，求证：直线 平面 ；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长.
15．（2023秋·福建莆田·高三校考阶段练习）四棱锥 中，四边形 为梯形，其中 ，
， ，平面 平面 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，且三棱锥 的体积为 ，点 满足 ，求平面 与平面 所成的锐
二面角的余弦值．
16．（2023秋·天津河北·高三天津二中校考开学考试）如图，四边形 是正方形， 平面 ，
， ，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点.AI
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的大小；
(3)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
17．（2023秋·广西百色·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）四边形 为菱形， 平面 ，
， ， ．
(1)设 中点为 ，证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的大小．
18．（2023秋·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面ABCD为正方形，侧
面PAD是正三角形，侧面 底面ABCD，M是PD的中点.
(1)求证： 平面PCD；
(2)求平面BPD与平面 夹角的余弦值.19．（2023·福建宁德·福建省宁德第一中学校考一模）如图①在平行四边形 中， ， ，
， ，将 沿 折起，使平面 平面 ，得到图②所示几何体．
(1)若 为 的中点，求四棱锥 的体积 ；
(2)在线段 上，是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，如果存
在，求出 的值，如果不存在，说明理由．
20．（2023秋·浙江绍兴·高三浙江省上虞中学校考开学考试）如图，在三棱柱 中，侧面
是菱形， ， 是棱 的中点， ，点 在线段 上，且 .
(1)求证： 平面 .
(2)若 ，平面 平面 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
21．（2023秋·江苏·高三校联考开学考试）如图，直三棱柱 中， ，平面平面 ．
(1)求证： ；
(2)求二面角 的正弦值．
22．（2023秋·广西玉林·高三校联考开学考试）如图，在正四棱柱 中， ， .
点 、 、 、 分别在棱 、 、 、 上， ， ， .
AI
(1)求多面体 的体积；
(2)当点 在棱 上运动时（包括端点），求二面角 的余弦值的绝对值的取值范围.
23．（2023秋·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）在三棱台 中， 为 中
点， ， ， .(1)求证： 平面 ；
(2)若 ， ，平面 与平面 所成二面角大小为 ，求三棱锥 的体积.
24．（2024秋·广东·高三校联考阶段练习）如图，在四棱锥 中， 底面 ， ，
， ，点E在平面 上运动．
(1)试确定一点E，使得 平面 ，并说明点E的位置；
(2)若四棱锥的体积为6，在侧棱 上是否存在一点F，使得二面角 的余弦值为 ．若存在，
求 的长，若不存在，请说明理由．
25．（2023秋·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习）如图，四棱锥 中，底面四边形
是直角梯形， ， ，直线 与
所成的角为 ．(1)求证：平面 平面 ；
(2)点 为线段 上一点，若二面角 的大小为 ，求 的长．
题型 五 利用空间向量求点到线距离、点到面距离
策略方法
1.点到面的距离
如图所示，平面 的法向量为 ，点 是平面 内一点，点 是平面 外的任意一点，则点
到平面 的距离 ，就等于向量 在法向量 方向上的投影的绝对值，即
或
【典例1】正四棱柱 中， ， ， 为 中点， 为下底面正方形的中心．
求：(1)点 到直线 的距离；
(2)点 到平面 的距离．
【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， ， ， 两两垂直， ，
．
(1)求点 到直线 的距离；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
2．（2023·重庆·统考模拟预测）如图，已知长方体 的体积为4，点A到平面 的距离
为 ．(1)求 的面积；
(2)若 ，动点E在线段 上移动，求 面积的取值范围．
3．（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）在四棱锥 中， 底面 ，且
，四边形 是直角梯形，且 ， ， ， ， 为 中点， 在
线段 上，且 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线PB与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到PD的距离.
4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）三棱台 中， 平面 ，
，且 ， ， 是 的中点．
(1)求三角形 重心 到直线 的距离；(2)求二面角 的余弦值．
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，直四棱柱 的底面 为平行四边形， ，
，点P，M分别为 ， 上靠近 的三等分点．
(1)求点M到直线 的距离；
(2)求直线PD与平面 所成角的正弦值.
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知三棱柱 的棱长均为2， ， ．
(1)证明：平面 平面ABC；
(2)设M为侧棱 上的点，若平面 与平面ABC夹角的余弦值为 ，求点M到直线 距离．
7．（2023秋·山东济南·高三统考开学考试）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 底
面 ， ，点 是棱 的中点，点 是棱 上一点．(1)证明： ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求点 到平面 的距离．
8．（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）如图所示，在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱
底面 ， ，E是 的中点，作 交 于点F．
(1)求证： 平面 ；
(2)若平面 与平面 的夹角为 ，求点F到平面 的距离．
9．（2023秋·福建莆田·高三莆田一中校考开学考试）如图，在三棱柱 中，已知 侧面
， ， ， ，点 在棱 上.(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，试确定 的值，使得 到平面 的距离为 .
10．（2023秋·广东东莞·高三校联考阶段练习）如图所示，在四棱锥 中，侧面 是正三角形，
且与底面 垂直， 平面 ， ， 是棱 上的动点.
(1)当 是棱 的中点时，求证： 平面 ；
(2)若 ， ，求点 到平面 距离的范围.
11．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）斜三棱柱 的各棱长都为 ，点
在下底面 的投影为 的中点 .
(1)在棱 （含端点）上是否存在一点 使 ？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由；
(2)求点 到平面 的距离.
12．（2023·重庆·统考模拟预测）在多面体 中，四边形 是边长为4的正方形， ，
△ABC是正三角形．(1)若 为AB的中点，求证：直线 平面 ；
(2)若点 在棱 上且 ，求点C到平面 的距离．
13．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）斜三棱柱 的各棱长都为2， ，点 在
下底面ABC的投影为AB的中点O．
(1)在棱 （含端点）上是否存在一点D使 ？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；
(2)求点 到平面 的距离．
14．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知多面体 ，四边形 是等腰梯
形， ， ，四边形 是菱形， ，E，F分别为QA，BC的中点，
.(1)求证：平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
