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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 42 讲 直线与椭圆（精讲）
题型目录一览
①点与椭圆的位置关系
②直线与椭圆的位置关系
③椭圆的弦长问题、面积问题
④椭圆的中点弦问题
一、知识点梳理
一、点与椭圆的位置关系
点和椭圆
的关系
二、直线和曲线联立
椭圆 与直线 相交于 两点，设 ，
1.
，
椭圆 与过定点 的直线 相交于 两点，设为 ，如此消去 ，保留
，构造的方程如下： ，
注意：①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出
，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．
②韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，
角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形
式，这也是目前考试最常考的方式．
三、直线与椭圆的位置关系
设直线 ，椭圆 ，把二者方程联立得到方程组，消去 得到一个关于的方程 .
方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；
方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；
方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.
四、根的判别式和韦达定理
与 联立，两边同时乘上 即可得到
，为了方便叙述，将上式简记为 ．该式可以看成一
个关于 的一元二次方程，判别式为 可简单记 ．
遇到过轴上定点或斜率已知的情况可以设，这种情况下直线一般在题设中都存
同理 和 联立 ，为了方便叙述，将上式
简记为 ， ，可简记 ．
与C相离 ； 与C相切 ； 与C相交 ．
注意：（1）由韦达定理写出 ， ，注意隐含条件 ．
（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．
（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把 ， 互换位置即可．
五、弦长公式
设 ， 根据两点距离公式 ．
1.若 在直线 上，代入化简，得
；
若 所在直线方程为 ，代入化简，得
2.
3.构造直角三角形求解弦长， ．其中 为直线 斜率， 为直线倾斜角．
注意：（1）上述表达式中，当为 ， 时，
；
（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．
（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为 ，判别式为 ， 时，
，利用求根公式推导也很方便，使用此方
法在解题化简的时候可以大大提高效率．
六、已知弦 的中点，研究 的斜率和方程是椭圆 的一条弦，中点 ，则 的斜率为 ，
运用点差法求 的斜率；设 ， ， ， 都在椭圆上，
所以 ，两式相减得
所以
即 ，故
二、题型分类精讲
题型 一 点与椭圆的位置关系
策略方法 点与椭圆的位置关系问题的一般思路
点 在椭圆外 + >1;
点 在椭圆内 + <1;
点 在椭圆上 + =1.
【典例1】（单选题）直线 与椭圆 总有公共点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）点 与椭圆 的位置关系为（ ）
A．在椭圆上 B．在椭圆内 C．在椭圆外 D．不能确定2．（2023·江苏·高二专题练习）若点 在椭圆 上，则下列说法正确的是（ ）
A．点 不在椭圆上 B．点 不在椭圆上
C．点 在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系
3．（2023·江苏·高二专题练习）点 在椭圆 的外部，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）若直线 和圆 没有公共点，则过点 的直线与椭
圆 的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
5．（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知 为椭圆 的右焦点，
点 为C内一点，若在C上存在一点P，使得 ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 关于 轴､ 轴均对称，焦点在 轴上，且焦距为 ，若
点 不在椭圆 的外部，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，若椭圆上存在两点 、 关于直线 对称，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型二 直线与椭圆的位置关系
策略方法 直线与椭圆位置关系判断的步骤
(1)联立直线方程与椭圆方程．
(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程．
(3)当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相
离．
【典例1】（单选题）已知直线 ： 与椭圆 ： 有公共点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·四川南充·统考一模）已知直线 与椭圆 恒有公共点，则实数m的取值范
围（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·新疆昌吉·高二校考开学考试）若直线 和圆 没有交点，则过点
的直线与椭圆 的交点个数为（ ）
A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个
3．（2023秋·高二课前预习）已知 ，则直线 与椭圆 的位置关系是（ ）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种情况均有可能
4．（2023·四川达州·四川省开江中学校考模拟预测）已知直线 与椭圆 ，点
，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在椭圆C外，则直线l与椭圆C相离
B．若点A在椭圆C上，则直线l与椭圆C相切
C．若点A在椭圆C内，则直线l与椭圆C相交
D．若点A在直线l上，则直线l与椭圆C的位置关系不确定
5．（2023春·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）已知椭圆M： 的上顶点为A，过
点A且不与y轴重合的直线l与M的另一个交点为 （其中 ），过B作l的垂线，交y轴于点
C．若 ，则l的斜率 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·湖南常德·统考一模）已知椭圆E ，直线 与椭圆E相切，则椭圆
E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知交于点 的直线 ， 相互垂直，且均与椭圆 相
切，若 为 的上顶点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆 ，离心率为 ，过 的直线分别与 相切于 ，
两点，则直线 方程为（ ）A． 或 B．
C． D． 或
二、多选题
9．（2023·江苏·统考二模）在平面直角坐标系 中，已知直线 ： ，椭圆 ：
，则下列说法正确的有（ ）
A． 恒过点
B．若 恒过 的焦点，则
C．对任意实数 ， 与 总有两个互异公共点，则
D．若 ，则一定存在实数 ，使得 与 有且只有一个公共点
10．（2023春·河南驻马店·高二河南省驻马店高级中学校考期中）已知直线l：y=kx+m与椭圆
交于A，B两点，点F为椭圆C的下焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时， ，使得
B．当 时， ，
C．当 时， ，使得
D．当 时， ，
三、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）与椭圆 有相同的焦点且与直线 相切的椭圆的离心
率为 .
12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，过点 作椭圆 的切线，则切线方程为
.
13．（2023秋·高二课时练习）已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点， 为其过点 且斜率为1的弦，则 的值为 ．
14．（2023春·湖北武汉·高三武汉市黄陂区第一中学校考阶段练习） 为椭圆 上任意一
点，且点 到直线 和 的距离之和与点 的位置无关，则 的取值范围是
.
15．（2023·全国·高二课堂例题）已知椭圆 ： 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为
（ ）的直线与椭圆 相交于 两点．若 ，则 ＝ ．
16．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为 上的
动点．若 ，且点 到直线 的最小距离为 ，则 的离心率为 ．
17．（2023·陕西商洛·统考二模）已知椭圆 ， ， ，斜率为 的直线与
C交于P，Q两点，若直线 与 的斜率之积为 ，且 为钝角，则k的取值范围为 ．
18．（2023春·浙江·高二校联考期末）椭圆 过点 且上顶点到 轴的距离为1，
直线 过点 与椭圆 交于A， 两点且 中点在坐标轴上，则直线 的方程为 ．
四、解答题
19．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆Ω：9x2+y2＝9，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与Ω有
两个交点A，B，线段AB的中点为M.点K在椭圆Ω上， 分别为椭圆的两个焦点，求 的范围.
20．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆 上点P处的切线与x轴交于点M，A，B分别是长轴的左、右顶点．过M作x轴的垂线，与直线PA，PB分别交于C，D两点，证明：CM＝MD．
21．（2023秋·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）已知椭圆 ： 过点 ，
点 是 的一个焦点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知过点 的直线 交 轴于 点，交椭圆 于 两点，若 ，求直线 的方程.
22．（2023秋·天津和平·高三天津一中校考开学考试）已知椭圆 的离心率为 ，
左顶点A与上项点B的距离为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P在椭圆C上，且P点不在x轴上，线段 的垂直平分线与y轴相交于点Q，若 为等边三角
形，求点P的坐标．
23．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆 ，点 ，斜率不为0的直线 与椭圆 交于点 ，
与圆 相切且切点为 为 中点.
(1)求圆 的半径 的取值范围；
(2)求 的取值范围.
24．（2023秋·重庆南岸·高三重庆第二外国语学校校考阶段练习）已知圆 ，圆上
有一动点P，线段PF的中垂线与线段PE交于点Q，记点Q的轨迹为C．第一象限有一点M在曲线C上，
满足 轴，一条动直线与曲线C交于A、B两点，且直线MA与直线MB的斜率乘积为 ．(1)求曲线C的方程；
(2)当直线AB与圆E相交所成的弦长最短时，求直线AB的方程．
25．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）在xOy平面上，设椭圆 ，梯形
ABCD的四个顶点均在 上，且 .设直线AB的方程为
(1)若AB为 的长轴，梯形ABCD的高为 ，且C在AB上的射影为 的焦点，求m的值；
(2)设 ，直线CD经过点 ，求 的取值范围；
26．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知 是椭圆 的右顶点，过点
且斜率为 的直线 与椭圆 相交于 两点（点 在 轴的上方），直线 分别与直线
相交于 两点．当点 为椭圆 的上顶点时， ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 ，且 ，求实数 的取值范围．
27．（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知动圆P过点 ，且与圆N：
相切
(1)求圆心P的轨迹 的方程；
(2)A，C为轨迹 上两个动点且位于第一象限（不在直线 上），直线AN，CN分别与轨迹 交于B，D两点，若直线AD，BC分别交直线 与E，F两点，求证；
题型三 椭圆的弦长问题、 面积问题
策略方法 椭圆中的弦长问题
（1）弦长公式： ．
（2）涉及到面积的计算问题．
【典例1】（单选题）斜率为1的直线 与椭圆 相交于A，B两点，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【典例2】（单选题）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 与椭圆
交于 ， 两点（其中点 在点 的左侧），记 面积为 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 时，
C． 的最大值为 D．当 时，点 的横坐标为
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）斜率为1的直线l与椭圆 相交于A，B两点，则 的最大值为
（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知直线l是圆C： 的切线，且l与椭圆E：交于A，B两点，则|AB|的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
3．（2023·全国·高三专题练习）已知过点（0，1）的直线与椭圆 交于 、 两点，三角形
面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知 是椭圆 的左焦点，
过 作斜率为 的直线交椭圆 于 ， 两点，若线段MN的长等于椭圆 短轴长的 ，则椭圆 的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知 、 是椭圆 的左右焦点，点 为 上一
动点，且 ，若 为 的内心，则 面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·新疆巴音郭楞·高三校考开学考试）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直
线 与C交于A，B两点，若 面积是 面积的2倍，则 （ ）．
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，点 是椭圆第一象限上的点，直线 是椭圆在点 处的切线，直线 分别交两坐标轴于点 ．则 面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·云南红河·高三开远市第一中学校校考阶段练习）已知椭圆 的左､右焦点分别是 ，
，过 的直线 与椭圆C交于A，B两点，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 的左顶点和右焦点分别为A，F，点B，C为椭圆
上关于原点O对称的两点，且 ， ，则 的面积为（ ）
A． B．2 C． D．4
二、多选题
10．（2023秋·山东聊城·高三校联考期末）已知过点 的直线与椭圆 交于 、 两点，则弦
长 可能是（ ）
A．1 B． C． D．3
11．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： （ ）的左、右焦点为F，F，O为坐
1 2
标原点，直线 过F 交C于A，B两点，若 AFB的周长为8，则（ ）
2 1
△
A．椭圆焦距为 B．椭圆方程为
C．弦长 D．
12．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）直线 ， 与椭圆 共有四个交点，它们逆时针方向依次为 ，则（ ）
A．
B．当 时，四边形 为正方形
C．四边形 面积的最大值为
D．若四边形 为菱形，则
三、填空题
13．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆 ，过左焦点 作倾斜角为 的直线交椭圆于 、 两
点，则弦 的长为 ．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 ，斜率为
的直线l与椭圆 有两个不同的交点 ，则 的最大值为 .
15．（2023春·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市十二中校考阶段练习）已知直线 与椭圆
相交于 两点，椭圆的两个焦点分别是 ，线段 的中点为 ，则
的面积为
16．（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点 是椭圆C： 上
的一点， 是椭圆的左、右焦点，且 ，则椭圆C的方程是.若圆 的切线与椭圆C
相交于M点，则 的最大值是 .
17．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，经过左焦点F的直线和椭圆交于A，B两点，则
面积的最大值为 ．四、解答题
18．（2023秋·西藏林芝·高三校考阶段练习）椭圆 的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上，椭圆 经过点
且短轴长为2.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 且倾斜角为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，求线段 的长.
19．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线E： 的焦点关于其准线的对称点为 ，
椭圆C： 的左，右焦点分别是 ， ，且与E有一个共同的焦点，线段 的中点是
C的左顶点．过点 的直线l交C于A，B两点，且线段AB的垂直平分线交x轴于点M．
(1)求C的方程；
(2)证明： ．
20．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆 ，左右焦点分别为 ， ，直线 与椭
圆交于 ， 两点，弦 被点 平分．
(1)求直线 的方程；
(2)求 的面积．
21．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 的上顶点为 ，右焦点为 ，点 满
足 ．(1)判断点 是否在椭圆上，并给出理由；
(2)已知与线段 相交的直线 交椭圆于 ， （不同于点 ， ）两点，求四边形 面积的最
大值．
22．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，左､右焦点分别为
，过 且垂直于 轴的直线被椭圆 所截得的线段长为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 交于 两点，连接 并交椭圆 于另一点 ，若 的面积为 ，
求直线 的方程.
23．（2023秋·广东云浮·高三校考阶段练习）已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，
，离心率为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆 相交于 两点，且点 ，当 的面积最大时，求直线
的方程．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知点 ，点 和点 为椭圆 上不同的三个点.当
点 ，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形.
(1)求椭圆 标准方程；
(2)若 为原点，且满足 ，求 的面积.
25．（2023·全国·模拟预测）已知平面内动点M到两定点E，F的距离之和为4，且E，F两点间的距离为2．
(1)以点E，F所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求点M的轨迹C的方程．
(2)直线l过点F，交曲线C于A，B两点，AB的中点为 （异于坐标原点O）．若点Q的坐标之和
，求弦AB的长．
26．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）设椭圆 过点 ，
两点， 为坐标原点.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)是否存在圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点 ， ，且 ？若存
在，写出该圆的方程，并求 的取值范围，若不存在，请说明理由.
27．（2023春·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）已知椭圆 ： 的右焦点为
，过 的直线 交 于 ， 两点.
(1)若直线 垂直于 轴，求线段 的长；
(2)若直线 与 轴不重合， 为坐标原点，求 面积的最大值；
(3)若椭圆 上存在点 使得 ，且 的重心 在 轴上，求此时直线 的方程.28．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆 ，点 ，斜率不为0的直线 与椭圆 交于点 ，
与圆 相切且切点为 为 中点.
(1)求圆 的半径 的取值范围；
(2)求 的取值范围.
29．（2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆 过点
，且左焦点为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2) 内接于椭圆 ，过点 和点 的直线 与椭圆 的另一个交点为点 ，与 交于点 ，满
足 ，求 面积的最大值.
30．（2023秋·广东江门·高三校联考阶段练习）在直角坐标系xOy中，动点P到直线 的距离是它到点
的距离的2倍，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)直线 与曲线C交于A，B两点，求 面积的最大值．
31．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的下焦点 、上焦点为 ，离心率为 .
过焦点 且与 轴不垂直的直线 交椭圆 于 ， 两点.
(1)求 的值；
(2)求 （ 为坐标原点）面积的最大值.32．（2023秋·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知椭圆 的上顶点到右顶点的距离为
，点 在 上，且点 到右焦点距离的最大值为3，过点 且不与 轴垂直的直线 与 交于
两点.
(1)求 的方程；
(2)记 为坐标原点，求 面积的最大值.
33．（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）已知椭圆 ，连接E的四个顶点所
得四边形的面积为4， 是E上一点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设斜率为 的直线 与椭圆E交于A，B两点，D为线段 的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，
使得 ，求三角形 的面积．
34．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知椭圆 的离心率 ，
且经过点 .
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线 与椭圆E交于A，B两点，且椭圆E上存在点M，使得四边形 为平行四边形.
试探究：四边形OAMB的面积是否为定值？若是定值，求出四边形 的面积；若不是定值，请说明理
由.
35．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知椭圆C： 的左焦点为 ，且
椭圆上任意一点到F的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，M为椭圆C上一点且满足 ，求四边形
AOBM的面积.
36．（2023秋·广东·高三统考阶段练习）过椭圆 的右焦点 作两条相互垂直的弦 ， . ，
的中点分别为 ， .
(1)证明：直线 过定点；
(2)若 ， 的斜率均存在，求 面积的最大值.
37．（2023秋·江苏南京·高三南京外国语学校校考阶段练习）已知椭圆C： 的离心率为 ,上顶
点为 ，下顶点为 ， ，设点 在直线 上，过点 的直线 分别交椭圆
于点 和点 ，直线 与 轴的交点为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若 的面积为 的面积的2倍，求t的值.
38．（2023秋·四川成都·高三四川省成都列五中学校考阶段练习）已知椭圆 ： 的左、
右焦点分别为 ， ，过 的直线 与 交于 ， 两点， 的周长为8，且点 在 上．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 与圆 ： 交于C，D两点，当 时，求 面积的取值范围．
题型四 椭圆的中点弦问题
策略方法 中点弦问题常用“点差法”，即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有
x ＋x ，y ＋y ，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得
1 2 1 2
斜率．
【典例1】（单选题）已知椭圆 ： 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆 于
两点，若 的中点坐标为 ，则椭圆 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·贵州·统考模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ，过点 且斜率为1
的直线交椭圆于 两点.若 的中点坐标为 ，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知椭圆 四个顶点构成的四边形的
面积为 ，直线 与椭圆C交于A，B两点，且线段 的中点为 ，则椭圆C的方
程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知椭圆，点 为左焦点，点 为下顶点，平行于 的直线
交椭圆于 ， 两点，且 的中点为 ，则椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，若椭圆上存在两点 、 关于直线 对称，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·辽宁沈阳·校联考二模）已知椭圆 的离心率为 ，过点 的直线
与椭圆C交于A，B两点，且满足 ，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则 的最小
值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的上顶点为B，斜率为 的直线l交椭圆于
M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023秋·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的焦点分别为 ， ，
设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点 为线段 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．椭圆C的离心率为
C．直线l的方程为 D． 的周长为
8．（2023秋·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知椭圆的方程为 ，斜率为 的直线不经过原点（ 为坐标原点），且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线AB与OM垂直
B．若点M的坐标为 ，则直线AB的方程为
C．若直线AB的方程为 ，则点M的坐标为
D．若直线AB的方程为 ，则
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： ，若椭圆C上有不同的两点关于直线
对称，则实数m的取值范围是 .
10．（2023·全国·高三对口高考）直线 截椭圆 所得弦的中点M与椭圆中心连线
的斜率为 ．
11．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）已知椭圆 是椭圆上两点，线段 的垂直平分线与 轴
交于 ，则 的取值范围是 .
12．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知 为坐标原点，双曲线 ： （ ， ）的左，
右焦点分别为 ， ，过左焦点 作斜率为 的直线 与双曲线交于 ， 两点（ 在第一象限）， 是
的中点，若 是等边三角形，则直线 的斜率为 ．
13．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知椭圆C： 的焦距为2c，
左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为 ．若直线l与直线PF
的斜率之积等于 ，则C的离心率为 ．
四、解答题14．（2023·全国·高三专题练习）已知动点P与平面上点M ，N 的距离之和等于 ．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若经过点E 的直线l与曲线C交于A，B两点，且点E为AB的中点，求直线l的方程．
15．（2023秋·宁夏银川·高三校考期末）已知椭圆 的离心率为 ，其中左焦点
．
（1）求椭圆 的方程．
（2）若直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，且线段的中点 在圆 上，求 的值．
16．（2023·全国·高三对口高考）椭圆 的两个焦点为 ，点 在椭圆 上，且
, .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 过圆 的圆心 ，交椭圆 于 两点，且 关于点 对称，求直线
的方程.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点．线段 的中
点为 ．
（1）证明： ；（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ．证明： ．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，下顶点为A，不与坐标轴垂直的直线l与C交于
P，Q两点．
(1)若线段 的中点为 ，求直线l的斜率；
(2)若l与y轴交于点 ，直线 分别交x轴于点M，N，求证：M，N的横坐标乘积为定值．
19．（2023·天津·校考模拟预测）已知曲线 的方程为 ，曲线 是以 、 为焦
点的椭圆，点 为曲线 与曲线 在第一象限的交点，且 ．
(1)求曲线 的标准方程；
(2)直线 与椭圆 相交于A、B两点，若AB的中点 在曲线 上，求直线 的斜率 的取值范围．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线 上一动点 到两定点 ， 的距离之和为 ，
过点 的直线 与曲线 相交于点 ， ．
(1)求曲线 的方程；
(2)动弦 满足： ，求点 的轨迹方程；
21．（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，点 在椭圆C： 上，直线
l： 与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 ．
(1)求C的方程；
(2)若 ，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理
由．22．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆E： 的离心率为 ，点A，B分别为椭圆E
的左右顶点，点C在E上，且 面积的最大值为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝﹣4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD
平分线段MN．
23．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于
， 两点，线段 的中点为 ．
（1）证明： ；
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点,且 ．证明： ， ， 成等差数列，并求
该数列的公差．
24．（2023秋·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）椭圆 ， ， ，
， 四点中恰有三点在椭圆 上.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)椭圆 上两点 、 ，若直线 过点 ，且 ，线段 的中点为 ，求直线 的
斜率的取值范围.
