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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 02 不等式中的恒成立问题（精讲+精
练）
一、知识点梳理
1.结合图象务必理解掌握下面几个重要结论！
设函数 的值域为 或 ，或 或 中之一种，则
①若 恒成立（即 无解），则 ；
②若 恒成立（即 无解），则 ；
③若 有解（即存在 使得 成立），则 ；
④若 有解（即存在 使得 成立），则 ；
⑤若 有解（即 无解），则 ；
⑥若 无解（即 有解），则 ．
【说明】
（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．
（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的
取舍）
2.分离参数的方法
①常规法分离参数：如 ；
②倒数法分离参数：如 ；
【当 的值有可能取到，而 的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】③讨论法分离参数：如:
④整体法分离参数：如 ；
⑤不完全分离参数法：如 ；
⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
【注意】
（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数
或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．
（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，
再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】
3.其他恒成立类型一
① 在 上是增函数，则 恒成立．(等号不能漏掉)．
② 在 上是减函数，则 恒成立．(等号不能漏掉)．
③ 在 上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法)
4.其他恒成立类型二
① ，使得方程 成立 ．
② ，使得方程 成 ．
5.其他恒成立类型三
① ， ；② ， ；
③ ， ；
④ ， ．
【方法】处理 时，把 当常数；处理 时，把 当常数．
思考： 对 的四种取值情形；或 ；或 等又
如何处理呢？【同理！】
二、题型精讲精练
【典例1】正数 满足 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值范围__________.
【分析】由不等式 恒成立可得 ，利用基本不等式求 的最小值，由此
可求 的取值范围.
【详解】因为不等式 恒成立，所以 ，
由 ， ，
可得 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，解得 .所以 的取值范围为 .
故答案为： .
【典例2】已知不等式 的解集为 ，且对于 ，不等式恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由不等式的解集为 知可用 表示 ，代入 中并用参数分离与基本
不等式求得 的取值范围.
【详解】由不等式 的解集为 ，可知 为方程 的两个根，
故 且 ，即 ，
则不等式 变为 ，
由于 ，则上式可转化为 在 恒成立，
又 ，当且仅当 时等号成立，
故 .故选：B.
【题型训练】
1 . 基本不等式恒成立问题
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·上海·高三专题练习）已知P是曲线 上的一动点，曲线C在P点处的
切线的倾斜角为 ，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知 且 ，若 恒成立，则实数m的取值
范围是（ ）
A． B． } C． D．
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知实数 满足 ， 且 ，
若不等式 恒成立， 则实数 的最大值为 （ ）
A．9 B．12 C．16 D．25
5．（2023·全国·高三专题练习）当 不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知正数 满足 ，若 恒成立，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）正实数 满足 ，且不等式 恒成立，则实
数 的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知正数 ， 满足 ，若不等式恒成立，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知正数a，b满足 ，若 恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）设正实数 满足 ，不等式 恒成立，则 的
最大值为 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 对 恒成立，则实数 的值可
以为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
12．（2023·全国·高三专题练习）当 ， ， 时， 恒成立，则 的取值
可能是（ ）
A． B． C．1 D．2
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习） ， ，且 恒成立，则 的最大值为__．
14．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）已知 ，若不等式 恒成立，则
的最大值为________．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式 对任给 ， 恒成立，则实数a的取值范围是______.
16．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）若关于 的不等式 对任意 恒成立，则正实
数 的取值集合为______．
2 . 一元二次不等式恒成立问题
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）定义 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）对任意的 ，不等式
都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）对于任意实数 及 ，均有 ，
则实数 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
6．（2023·宁夏中卫·统考二模）已知点 在直线 上，若关于 的不等式
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对任意的 ，当 时，
恒成立，则a的最小值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）若对 ，使得 （ 且 ）恒成立，
则实数 的值是（ ）
A． B． C．2 D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，若 时，关于 的不等式 恒
成立，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
10．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 为
与 中较大的数， 恒成立，则a的取值范围为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围
是__________.
12．（2023·全国·高三专题练习）关于 的不等式 在 内有解，则 的取值范围为
________．
13．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是
________．
14．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 对任意 恒成立，实数x的取值范围是
_____.
15．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若关于 的不等式 在
上恒成立，则实数 的取值范围是____________.
16．（2023·广西·统考模拟预测）若不等式 对 恒成立，则a的取值范围是
____________．
17．（2023·高三课时练习）若 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是
________
18．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，函数 若对任意x∈［–3，+
），f(x)≤ 恒成立，则a的取值范围是__________．
3 . 一元二次不等式有解问题
一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若存在 ，使得不等式 成立，则实数k的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）若存在实数 ，使得 成立，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）设向量 满足 ， ，若 ， ，则向量 与
的夹角不等于（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）若正实数 、 满足 ，且不等式 有解，
则实数 的取值范围是（ ）．
A． 或 B． 或
C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）若关于 的不等式 的解集不为空集，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．（2023·全国·高三专题练习）关于 的不等式 在 内有解，则 的取值范围为
________．
9．（2023·全国·高三专题练习）若关于 的不等式 有解，则实数a的取值范围是
____________．
10．（2023·上海·高三专题练习）对数列 ， ，如果存在正整数 ，使得 ，则称数
列 是数列 的“优数列”，若 ， ，并且 是 的“优数
列”， 也是 的“优数列”，则 的取值范围是____________．
11．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）若函数 存在单调递减区间，则实
数 的取值范围是________.
12．（2023·全国·高三专题练习）若 ，使 成立，则实数 的取值范围是
______________．
