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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 19 等差数列中 Sn 的最值问题（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、等差数列的通项公式和前n项和公式
1.等差数列的通项公式
如果等差数列 的首项为 ，公差为 ，那么它的通项公式是 ．
2.等差数列的前 项和公式
设等差数列 的公差为 ，其前 项和 ．
注：数列 是等差数列⇔ （ 为常数）．
二、等差数列的前n项和的最值
1.公差 为递增等差数列， 有最小值；
公差 为递减等差数列， 有最大值；
公差 为常数列．
2.在等差数列 中
（1）若 ，则满足 的项数 使得 取得最大值 ；
（2）若 ，则满足 的项数 使得 取得最小值 ．
即若 ，则 有最大值（所有正项或非负项之和）；
若 ，则 有最小值（所有负项或非正项之和）．
二、题型精讲精练【典例1】（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到 ，从而
得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出 ，即可得到 的通项公式与前 项和，再根据二次函数的
性质计算可得．
【详解】（1）因为 ，即 ①，
当 时， ②，
① ②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以 为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，所以 ，
所以，当 或 时， ．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，即有 .
则当 或 时， ．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出 的最小值，适用于可以求出 的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
【题型训练-刷模拟】
一、单选题
1．（2023·四川泸州·统考三模）记 为等差数列 的前n项和，已知 ， ，则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前n项和为 ， ， ，则使
取得最大值时n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2023·全国·高三专题练习）已知无穷等差数列 的前n项和为 ，公差为 ，若 ，则
不正确的（ ）A．数列 单调递减 B．数列 没有最小值
C．数列{ }单调递减 D．数列{ }有最大值
4．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，
则 取最大值时 的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
5．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则
当 取最大值时， 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2023·全国·高三专题练习）设数列 为等差数列， 是其前n项和，且 ，则下
列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D． 与 均为 的最大值
7．（2023·四川成都·成都外国语学校校考模拟预测）已知等差数列 中， ，且公差 ，则
其前 项和取得最大值时 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）设 为等差数列 的前 项和，且 ，都有 ，若
，则（ ）
A． 的最小值是 B． 的最小值是
C． 的最大值是 D． 的最大值是
9．（2023·四川自贡·统考三模）等差数列 的前n项和为 ，公差为d，若 ， ，则下列四个命题正确个数为（ ）① 为 的最小值 ② ③ ， ④ 为 的最小值
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2023·全国·高三专题练习）数列 是递增的整数数列，若 ， ，则 的最
大值为（ ）
A．25 B．22 C．24 D．23
11．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）设 为等差数列 的前n项和，且 ，都有
，若 ，则（ ）
A． 的最小值是 B． 的最小值是
C． 的最大值是 D． 的最大值是
12．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列 中，前n项和为 ，若 ， ，则在 ， ，
…， 中最大的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知各项为正的等比数列 的公比为q，前n项的积为 ，且
，若 ，数列 的前n项的和为 ，则当 取得最大值时，n等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
14．（2023·全国·高三专题练习）等差数列 的首项为正数，其前n项和为 .现有下列命题，其中是假
命题的有（ ）
A．若 有最大值，则数列 的公差小于0B．若 ，则使 的最大的n为18
C．若 ， ，则 中 最大
D．若 ， ，则数列 中的最小项是第9项
15．（2023·全国·高三专题练习）对于数列 ，定义 为 的“优值”．现已
知数列 的“优值” ，记数列 的前 项和为 ，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D． 的最小值为
16．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项和为 ，且 .若存在实数 ， ，使得
，且 ，当 时， 取得最大值，则 的值为（ ）
A．12或13 B．11或12
C．10或11 D．9或10
二、多选题
17．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且 ，
成等比数列，则（ ）
A． B．
C．当 时， 是 的最大值 D．当 时， 是 的最小值
18．（2023春·河南·高三阶段练习）等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，若 ，则
（ ）
A． B．C．当 时， 取得最大值 D．当 时， 取得最大值
19．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）数列 是等差数列， ，则下列说法正确
的是（ ）
A． 为定值 B．若 ，则 时 最大
C．若 ，使 为负值的n值有3个 D．若 ，则
20．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则下列结
论正确的是（ ）
A．数列 是递减数列 B．
C．当 时， D．
21．（2023秋·山东济南·高三统考期中）已知等差数列 ，前 项和为 ，则下列结论
正确的是（ ）
A． B． 的最大值为
C． 的最小值为 D．
22．（2023·江苏盐城·校考模拟预测）等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，若 ，
则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则 最小
C． D．
23．（2023·全国·高三专题练习）设 是等差数列 的前 项和，若 ，且 ，
则下列选项中正确的是（ ）A． B． 和 均为 的最大值
C．存在正整数 ，使得 D．存在正整数 ，使得
三、填空题
24．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知数列 的通项公式为 ， 为 前 项和，则
最小值时， .
25．（2023春·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知 为等差数列 的前 项和.若 ，
，则当 取最小值时， 的值为 .
26．（2023·全国·高三专题练习） 是数列 的前n项和，当 时， 取得最小值，写出一个符合条
件的数列 的通项公式，an= .
27．（2023·全国·高三专题练习）首项为正数，公差不为0的等差数列 ，其前 项和为 ，现有下列4
个命题：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 中 最大；
④若 ，则使 的 的最大值为11．
其中所有真命题的序号是 ．
28．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）设等差数列 的前n项和为 且 ，当 取最
大值时， 的值为 ．
29．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）已知 是等差数列{ }的前n项和，若仅当 时 取到最小值，且 ，则满足 的n的最小值为 .
30．（2023·全国·高三专题练习）设数列 的前n项和为 ，且 ， ，则 的
最小值是 .
31．（2023秋·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知等差数列 的前n项和为 ，并且
，若 对 恒成立，则正整数 的值为 .
四、解答题
32．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求 ，并求 的最小值.
33．（2023·海南·校联考模拟预测）已知等差数列 是递减数列，设其前 项和为 ，且满足 ，
．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，求 的最大值及相应的 的值．
34．（2023春·青海西宁·高三校考开学考试）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；(2)若 成等比数列，求 的最小值．
35．（2023·辽宁丹东·统考二模）记 为数列 的前 项和，已知 ， ．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明： ．
36．（2023·贵州贵阳·校联考三模）设数列 的前 项和为 ，当 时，有
．
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)若 ， ，求 的最大值．
