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专题02运算能力课之分式方程难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2021·山东）若关于x的方程 的解为负数，则m的取值范围是
（ ）
A．m＜2 B．m＜2且m≠0 C．m＞2 D．m＞2且m≠4
【答案】B
【分析】
先将分式方程化为整式方程，再根据方程的解为负数得出不等式，且不等于增根，再
求解．
【详解】
解：∵解方程 ，
去分母得：mx−2（x＋1）＝0，
整理得：（m−2）x＝2，
∵方程有解，
∴x＝ ，
∵分式方程的解为负数，
∴ ＜0，
解得：m＜2，
当 ，原方程无解，
故 ，
∴m的取值范围是：m＜2且m≠0．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解的概念．
2．（2021·山西晋中市·八年级期末）关于x的分式方程 ＝1有增根，则m
的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．0
1【答案】C
【分析】
先根据解分式方程的步骤解分式方程，再根据方程的增根的定义求参数的值.
【详解】
解：去分母得：m+3＝x﹣2．
∴m＝x﹣5．
∵方程有增根．
∴x﹣2＝0．
∴x＝2．
∴m＝2﹣5＝﹣3．
故选C．
【点睛】
本题主要考查解含参数分式方程和增根问题，解决本题的关键是要熟练掌握解分式方
程的步骤和增根问题.
二、填空题
3．（2021·陕西八年级期末）若关于x的分式方程 ＝1﹣ 的解为非负数，则
m的取值范围是 ___．
【答案】m≤5且m≠3
【分析】
既然提到了方程的解，因此先求出分式方程的解，再根据解为非负数得不等式，解不
等式即可求得m的取值范围．
【详解】
方程两边都乘(x-2)得：3=x-2+m
解得：x=5-m
由题意得：5-m≥0
解得：m≤5
∵5-m≠2
∴m≠3
∴m≤5且m≠3
故答案为：m≤5且m≠3.
【点睛】
本题考查了分式方程的解法、解不等式等知识，关键是求得分式方程的解．
24．（2021·河南八年级期末）要使关于x的分式方程 解为正数，且使
关于x的一次函y＝（a+5）x+3不经过第四象限，则a的取值范围是________．
【答案】﹣5＜a＜2且a≠﹣4
【分析】
根据分式方程的解法得到x＝ ，由解为正数，可以求得符合要求的a的取值，再
根据关于x的一次函y＝（a+5）x+3不经过第四象限得到a+5＞0，从而可以解答本题．
【详解】
解： ，
∴x＝ ，
∵关于x的分式方程 解为正数，
∴ ＞0，且 ≠4，
∴a＜2且a≠﹣4，
又∵关于x的一次函数y＝（a+5）x+3不经过第四象限，
∴a+5＞0，
∴a＞﹣5，
∴a的取值范围是﹣5＜a＜2且a≠﹣4，
故答案为：﹣5＜a＜2且a≠﹣4．
【点睛】
本题考查一次函数的性质、分式方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用一次函
数的性质解答，注意分式方程的解要使得原分式有意义．
5．（2021·江苏常州市·八年级期末）若关于 的分式方程 有正整数解，则整
数 的值是_________．
【答案】 或
【分析】
先解分式方程，当 时，可得 再根据 为正整数，且 为
整数，逐一分析可得答案.
【详解】
3解： ，
当 时，
为正整数，且 为整数，
是 的因数，
当 时，
当 时， ，舍去，
当 时，
当 时， ，舍去，
所以 的值为： 或 ，
故答案为： 或
【点睛】
本题考查的是解分式方程，根据分式方程的解为正整数求解字母系数的值，正确分析
各个限制性的条件，理解题意是解题的关键.
三、解答题
6．（2021·重庆巴蜀中学八年级期中）解方程：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）无解；（2） ， ；（3） ，
【分析】
（1）方程两边都乘 得出 ，求出方程的解，再进行检
验即可；
（2）移项，方程两边除以3，再开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解
4即可；
（3）先求出 的值，再代入公式求出答案即可．
【详解】
解：（1）原方程可化为： ，
方程两边同时乘以 ，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ，
检验：当 时， ，所以 是原方程的增根．
所以原方程无解．
（2）
或
解得： ，
（3）
∵ ，
∴ ，
解得： ， ．
【点睛】
本题考查了解分式方程和解一元二次方程，能把分式方程转化成整式方程是解（1）的
关键，能选择适当的方法解一元二次方程是解（2）（3）的关键．
7．（2021·西安市铁一中学）“阅读陪伴成长，书香润泽人生．”我校为了开展学生
阅读活动，计划从书店购进A，B两类图书若本，每本A类图书的价格比每本B类图
书的价格多5元，用1200元购进的A类图书和用900元购进的B类图书册数相同．
5（1）求每本A类图书和每本B类图书的价格各为多少元？
（2）根据学校实际情况，需从书店一次性购买A，B两类图书共300册，购买时得知，
A类图书九折优惠，B类图书按原价出售，若该校此次用于购买A，B两类图书的总费
用不超过5100元，那么最多可以购买多少本A类图书？
【答案】（1）每本A类图书的价格是20元，每本B类图书的价格是15元；（2）最
多可以购买200本A类图书．
【分析】
（1）设每本A类图书的价格是x元，则每本B类图书的价格是（x−5）元．依据“用
1200元购进的A类图书与用900元购进的B类图书册数相同”列出方程并解答；
（2）设该校A类图书y本，则根据题中的已知条件“该校此次用于购买A、B两类图
书的总费用不超过5100元”列出不等式，并解答．
【详解】
解：（1）设每本A类图书的价格是x元，则每本B类图书的价格是（x−5）元，
根据题意可得： ，
解得：x＝20，
经检验x＝20是方程的解，所以x−5＝20−5＝15，
答：每本A类图书的价格是20元，每本B类图书的价格是15元；
（2）设该校A类图书y本，则B类图书（300−y），
根据题意可得：20×90%y＋15×（300−y）≤5100，
解得：y≤200，
答：最多可以购买200本A类图书．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用．利用分式方程解应用题时，一
般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等
关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
8．（2021·河南八年级期末）请阅读下列材料并回答问题：
在解分式方程 时，小明的解法如下：
解：方程两边同乘 ，得
．①
去括号，得 ．②
解得 ．
6检验：当 时， ．③
所以 是原分式方程的解．④
（1）你认为小明在哪里出现了错误___________；（只填序号）
（2）针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其它重要步骤，请你提出三条
解分式方程时的注意事项；
（3）写出上述分式方程的正确解法．
【答案】（1）①②；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）观察解方程过程，找出错误步骤即可；
（2）针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，写出三条注意
事项即可；
（3）根据解分式方程的步骤去分母，去括号。移项，合并同类项，系数化为1，检验
正确解答即可．
【详解】
解：（1）①②
（2）三条注意事项：
去分母时注意方程中的每项都要乘最简公分母
去括号时，注意正确运用去括号法则
解分式方程求出 要进行检验．
（3）正确解法为：
去分母，得 ．
去括号，得 ．
移项合并，得 ．解得 ．
检验：当 时， ．
所以 是分式方程的解．
【点睛】
本题主要考查了解分式方程，解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的步骤.
9．（2021·山东）解分式方程和不等式组
（1） ；
（2）解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
7【答案】（1） （2） ；1，0
【分析】
（1）先去分母转换为整式方程，然后求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到
分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出两解集的公共部分求出解集，即可
确定整数解．
【详解】
（1） ，
去分母得： ，
解得： ，
经检验 是原分式方程的解；
（2） ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
∴不等式组的所有整数解为1，0．
【点睛】
本题主要考查解分式方程，解一元一次不等式组，注意分式方程需要验根，求出不等
式组的解集是解题的关键．
10．（2021·江苏八年级期末）解方程：
（1） （2）
【答案】（1） ；（2）无解
【分析】
（1）将方程两边同时乘以分母的最简公分母约去分母化为整式方程求解，最后再检验；
（2）将方程两边同时乘以分母的最简公分母约去分母化为整式方程求解，最后再检验；
【详解】
（1） ，
解：方程两边同时乘以 可得：
8，
，
，
，
检验：当 时， ，
所以 是原方程的解．
（2）
解：方程两边同时乘以 可得：
，
，
，
检验：当 时， ， 是增根，所以原分式方程无解．
【点睛】
本题主要考查解分式方程的方法，解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的步骤.
11．（2021·河南八年级期末）（1）分解因式：a3b﹣2a2b2+ab³；
（2）解不等式组 ，并写出它的整数解；
（3）解分式方程： ．
【答案】（1）ab（a﹣b）2；（2）1＜x＜ ，2，3；（3）
【分析】
（1）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解
即可；
（3）方程两边都乘以x（x﹣3）得出（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝2x，求出方程的解，再进
行检验即可．
【详解】
解：（1）a3b﹣2a2b2+ab³
9＝ab（a2﹣2ab+b2）
＝ab（a﹣b）2；
（2） ，
解不等式①，得x＞1，
解不等式②，得x＜ ，
所以不等式组的解集是1＜x＜ ，
所以不等式组的整数解是2，3；
（3） ，
方程两边都乘以x（x﹣3），得（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝2x，
解得：x＝ ，
检验：当x＝ 时，x（x﹣3）≠0，所以x＝ 是方程的解，
即原方程的解是x＝ ．
【点睛】
本题考查因式分解、一元一次不等式组、分式方程，解题的关键是熟知相关知识点．
12．（2021·河南周口市·）某药店销售A，B两种口罩，每个A种口罩比B种进价多
0.5元，用240元购进A种口罩与用180元购进B种口罩的数量相同．
（1）求A，B两种口罩每个的进价；
（2）药店计划购进A，B两种口罩共10000个，其中A种口罩的进货量不多于3000个，
且B种口罩进货量不超过A种口罩进货量的3倍．设购进A种口罩m个．
①求m的取值范围；
②若A种口罩每个售价3元，B种口罩每个售价2元，药店决定从销售A种口罩的利
润中按每个捐款a（0.4＜a＜0.6）元给红十字会，作为慈善基金．设药店售完10000个
口罩并捐款后获得的利润为W元，求药店获得利润W最大时的进货方案．
【答案】（1）A口罩每个的进价2元，则B口罩每个的进价1.5元；（2）①m的取值
范围为2500≤m≤3000；②当0.4＜a＜0.5时，药店购A种口罩3000个，B种口罩7000
个；当a＝0.5时，药店进A种口罩和B种口罩在符合题意的购买范围内的整数均可；
当0.5＜a＜0.6时，药店购A种口罩2500个，B种口罩7500个
10【分析】
（1）设A口罩每个的进价x元，则B口罩每个的进价(x-0.5)元，根据“用240元购进
A种口罩与用180元购进B种口罩的数量相同”列分式方程解答即可；
（2）①根据题意列不等式解答即可；②根据题意得出W与a的函数关系式，再根据一
次函数的性质讨论解答即可．
【详解】
解：（1）设A口罩每个的进价x元，则B口罩每个的进价（x﹣0.5）元，根据题意，
得 ，
解得x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解并且符合题意．
∴B口罩每个的进价2﹣0.5＝1.5（元），
答：A口罩每个的进价2元，则B口罩每个的进价1.5元．
（2）①依题意得，10000﹣m≤3m，
解得m≥2500，
∵m≤3000，
∴m的取值范围为2500≤m≤3000；
②由①，得2500≤m≤3000；
依题意，得W＝（3﹣2﹣a）m+（2﹣1.5）（10000﹣m）＝（0.5﹣a）m+5000．
（Ⅰ）当0.4＜a＜0.5时，
∵0.5﹣a＞0，
∴W随m的增大而增大，
∴当m＝3000时，W取最大值；
（Ⅱ）当a＝0.5时，W的值为5000；
（Ⅲ）当0.5＜a＜0.6时，
∵0.5﹣a＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m＝2500时，W取最大值；
综上所述，当0.4＜a＜0.5时，药店购A种口罩3000个，B种口罩7000个；
当a＝0.5时，药店进A种口罩和B种口罩在符合题意的购买范围内的整数均可；
当0.5＜a＜0.6时，药店购A种口罩2500个，B种口罩7500个．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式
11以及一次函数解析式．
13．（2021·云南八年级期末）某汽车销售公司销售某品牌 款汽车，随着汽车的普及，
其价格也不断下降，今年12月份比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的
款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年12月份 款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的 款汽车，已知 款汽车每辆
进价为7.5万元， 款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万且不少于100
万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？哪种方案更省钱？
【答案】（1）今年12月份A款汽车每辆售价9万元（2）有4种进货方案，购进A款
汽车7辆、B款汽车8辆的方案更省钱
【分析】
（1）设今年12月份A款汽车每辆售价m万元，则去年同期A款汽车每辆售价（m＋
1）万元，由今年12月份的销售数量＝去年同期的销售数量，列出分式方程，即可得
出结果；
（2）设购进A款汽车x辆，则购进B款汽车（15−x）辆，由题意列出不等式，求解并
测算即可得出结果．
【详解】
解：（1）设今年12月份A款汽车每辆售价m万元，
则去年同期A款汽车每辆售价（m＋1）万元，
由题意得： ，
解得：m＝9，
经检验，m＝9是原方程的根且符合题意，
答：今年12月份A款汽车每辆售价9万元；
（2）设购进A款汽车x辆，则购进B款汽车（15−x）辆，
由题意得：100≤7.5x＋6（15−x）≤105，
解得： ≤x≤10，
∵x的正整数解为：7，8，9，10，
∴共有4种进货方案：
方案一，购进A款汽车7辆、B款汽车8辆，资金为：7.5×7＋6×8＝100.5（万元）；
方案二，购进A款汽车8辆、B款汽车7辆，资金为：7.5×8＋6×7＝102（万元）；
方案三，购进A款汽车9辆、B款汽车6辆，资金为：7.5×9＋6×6＝103.5（万元）；
12方案四，购进A款汽车10辆、B款汽车5辆，资金为：7.5×10＋6×5＝105（万元）；
∴购进A款汽车7辆、B款汽车8辆的方案更省钱．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识；找到合适的等量关系及
不等关系是解决问题的关键．
14．（2021·河南）甲、乙两个服装厂加工同种型号的防护服，甲厂每天加工的数量是
乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂少用4天．
（1）甲乙两厂每天各加工多少套防护服？
（2）已知甲乙两厂加工这种防护服每天的费用分别是150元和120元，疫情期间，某
医院急需3000套这种防护服，甲厂单独加工一段时间后另有别的任务，剩下的任务只
能由乙厂单独完成，如果总加工费用不超过6350元，那么甲厂至少要加工多少天？
【答案】（1）甲工厂每天加工75套防护服，乙工厂每天加工50套防护服；（2）甲
厂至少要加工29天．
【分析】
（1）设乙厂每天加工x套防护服，甲每天加工1.5x套，根据“甲厂所用的时间+4天=
乙厂所用的时间”列出方程求解；
(2)设甲厂至少要加工a天，乙厂加工了b天，再由“甲厂完成的工作量+乙厂完成的工
作量=3000套”及“甲的费用+乙的费用≤6360”建立方程和不等式求解.
【详解】
解：（1）设乙工厂每天加工x套防护服，则甲工厂每天加工1.5x套防护服，
依题意得： ，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×50＝75．
答：甲工厂每天加工75套防护服，乙工厂每天加工50套防护服．
（2）)设甲至少加工a天，乙厂加工了b天，由题意得：
由 式得： ，代入 中，
∴
解之得：
又∵a为整数
13∴a的最小值为29
故甲至少要加工29天.
答：甲至少要加工29天.
【点睛】
本题是分式方程，一元一次方程，一元一次不等式的实际应用题，关键是理清楚题目
意思，建立方程求解.
15．（2021·四川八年级期末）阅读材料：对于非零实数m，n，若关于x的分式
的值为零，则x＝m或x＝n．又因为 ＝ ＝
x+ ﹣（m+n），所以关于x的方程x+ ＝m+n的解为x＝m，x＝n．
1 2
（1）理解应用：方程x+ ＝2+ 的解为：x＝ ，x＝ ；
1 2
（2）拓展提升：若关于x的方程x+ ＝k﹣1的解满足x＝x，求k的值．
1 2
【答案】（1）2， ；（2）k=5或k=-3
【分析】
（1）根据题目所给的阅读材料，即可的得出答案；
（2）设x=x=t，可得x•x=4，即t2=4，解得t=±2，根据题意可得k-1=x•x=4或
1 2 1 2 1 2
k-1=x•x=-4，求出k的值即可得出答案．
1 2
【详解】
解：（1）根据题意可得，方程x+ ＝2+ ，
解为：x=2，x= ，
1 2
故答案为：2， ；
（2）由题意得，
设x=x=t，
1 2
∴x•x=4，即t2=4，
1 2
解得t=±2，
∵k-1=x+x=4或k-1=x+x=-4，
1 2 1 2
解得k=5或k=-3．
14【点睛】
本题主要考查了解分式方程及分式方程的解，正确理解题目所给材料的意义进行计算
是解决本题的关键．
16．（2021·贵州八年级期末）解分式方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）x＝﹣3；（2）无解
【分析】
(1)两边同时乘以2x(x+1),去分母转化为整式方程，求解即可；
（2）两边同时乘以（x-2）(x+2),去分母转化为整式方程，求解即可．
【详解】
解：（1）去分母得：3（x+1）＝2x，
去括号得：3x+3＝2x，
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，2x（x+1）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣3；
（2）去分母得：x（x+2）﹣（ ﹣4）＝8，
整理得：x（x+2）﹣x2+4＝8，
即2x＝4，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝2是增根，故分式方程无解．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，特别是注意验根是解题的关
键．
17．（2021·辽宁大连市·八年级期末）（1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1） ；（2）原方程无解
【分析】
（1）将原始转换为同分母分式，然后根据分式运算法则计算即可；
15（2）先去分母转换为整式方程，解出x的值，检验即可．
【详解】
（1）计算：
；
（2）解：方程两边乘 ，得，
，
，
，
，
，
检验：当 时，
∴ 是方程的增根，
∴原分式方程无解．
【点睛】
本题主要考查异分母分式的加减，解分式方程，注意分式方程需要验根．
18．（2021·江西南昌市·八年级期末）解分式方程： ．
【答案】
【分析】
首先进行去分母，将分式方程转化为整式方程，然后求出方程的解，最后需要对方程
的解进行检验，看是否能使原分式的分母为零．
【详解】
解：方程两边同乘以 ，得 ：
解得
检验：当 时， ．所以，原分式方程的解为 ．
16【点睛】
此题考查分式方程的解法，注意分式方程最后需要对方程的解进行检验，看是否能使
原分式的分母为零．
19．（2021·四川成都市·八年级期中）解方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）无解；（2）
【分析】
先将分式方程化为整式方程求解，然后进行验算．
【详解】
（1）方程两边同时乘以 得：
，
，
，
，
检验： 为增根，
原方程无解；
（2）方程两边同时乘以 得：
，
，
，
．
经检验， 为原方程的解．
【点睛】
本题考查解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程方法并注意检验．
20．（2021·山西晋中市·八年级期末）（1）解不等式组 并写出它的最小
整数解；
17（2）因式分解：5x2﹣10x+5．
（3）化简： ．
（4）解方程： ．
【答案】（1）﹣1＜x≤2，最小整数解为0；（2）5（x﹣1）2；（3） ；（4）原
方程无解
【分析】
（1）先解不等式组得﹣1＜x≤2，则可求最小整数解为0；
（2）先提取公因式，再用完全平方公式即可因式分解；
（3）先通分，因式分解，再运算即可；
（4）先去分母，再去括号，求解后对根进行检验即可求解方程．
【详解】
解：（1） ，
解不等式①得x≤2，
解不等式②得，x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
∴不等式组的最小整数解为0；
（2）5x2﹣10x+5
＝5（x2﹣2x+1）
＝5（x﹣1）2；
（3）
＝
＝
＝ ；
18（4） ，
方程两边同时乘以3（x﹣2），得3（5x﹣4）＝4x+10﹣（3x﹣6），
去括号，得15x﹣12＝4x+10﹣3x+6，
移项、合并同类项，得14x＝28，
解得x＝2，
检验，当x＝2时，3（x﹣2）=0，
∴原方程无解．
【点睛】
本题考查了解不等式组、因式分解、分式运算、解分式方程，解题关键是熟练运用相
关知识进行准确计算，注意：分式方程要检验．
21．（2021·重庆八年级期末）小奥根据学习函数的经验，对函数 的图象进行
了探究．下面是小奥的探究过程，请补充完整：
（1）函数 的自变量 的取值范围是 ；
（2）下表是 与 的几组对应值，则 的值为 ， 的值为 ；
… …
… …
（3）描点、连线：在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系 中，描出上表
中各对对应值为坐标的点（其中 为横坐标， 为纵坐标），并根据描出的点画出该
函数的图象：
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）见解析
【分析】
19（1）根据分式有意义的条件可知自变量 的取值范围；
（2）将函数值和自变量的值代入函数表达式中进行计算即可得出 的值；
（3）建立适当的平面直角坐标系 中，根据已知表格，描点，连线，画出函数的图
像．
【详解】
（1） 有意义，
故答案为：
（2）
当 时，即
解得
经检验 是原方程的解，
当 时，即
故答案为： ， ；
（3）建立如图的平面直角坐标系 中，根据已知表格，描点，连线，
函数图象如下：
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，解分式方程，根据函数表达式求自变量和函数值，根
20据列表，描点，连线画函数图像，掌握以上知识是解题的关键．
22．（2021·江苏常州市·八年级期末）甲、乙两小组为“见义勇为基金会”各捐款
元．已知甲小组的人数比乙小组的人数多 ，乙小组比甲小组人均多捐
元．甲乙两小组各有多少人？
【答案】甲小组30人，乙小组有25人．
【分析】
设乙小组有x人，则甲小组有1.2x人，根据“人均捐款钱数=捐款总数÷人数”和“乙
小组比甲小组人均多捐200元”列分式方程求解即可．
【详解】
解：设乙小组有x人，则甲小组有1.2x人，
根据题意，可列方程：
,
解之得：x=25，
经检验：x=25是该方程的实数根
则1.2x=30．
答：甲小组30人，乙小组有25人．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出分式方程成为解答
本题的关键．
23．（2021·四川省成都市第八中学校八年级月考）某超市准备购进甲、乙两种牛奶进
行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的
数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过
95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购
进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371
元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？
【答案】（1）甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45元、50元；（2）商场购进甲
种牛奶64件，乙种牛奶23件；或商场购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；或商场购
进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件；
【分析】
（1）设甲种牛奶进价为x元，则乙种牛奶进价为： 元；根据题意列分式方程并
21求解，即可得到答案；
（2）设该商场购进乙种牛奶数量为m件，则该商场购进甲种牛奶数量为 件；
根据题意，分别列一元一次不等式并求解，即可得到 的值，通过计算即可得到答案．
【详解】
（1）设甲种牛奶进价为x元，则乙种牛奶进价为： 元
根据题意，得：
∴
当 时， ，且
∴ 是方程 的解
∴
∴甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45元、50元；
（2）设该商场购进乙种牛奶数量为m件，则该商场购进甲种牛奶数量为 件
∵两种牛奶的总数不超过95件
∴
∴
∵销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元
∴
∴
∴
∴
∴商场购进甲种牛奶64件，乙种牛奶23件；或商场购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24
件；或商场购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件．
【点睛】
本题考查了分式方程、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程、一
元一次不等式的性质，从而完成求解．
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