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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 21 数列中的结构不良问题（精讲+精
练）
一、知识点梳理
一、数列中的结构不良问题
1．“结构不良问题”：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，
而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满
分．
2．数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于 型数列，其中 是等差数列， 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于 型数列，利用分组求和法；
（4）对于 型数列，其中 是公差为 的等差数列，利用裂项相消法求和．
3．常见的裂项公式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．二、题型精讲精练
【典例1】（2021·全国·统考高考真题）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，从下面
①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【详解】选①②作条件证明③：
[方法一]：待定系数法+ 与 关系式
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 也是等差数列，所以 ，解得 ；
所以 ， ，故 .
[方法二] ：待定系数法
设等差数列 的公差为d，等差数列 的公差为 ，
则 ，将 代入 ，
化简得 对于 恒成立．
则有 ，解得 ．所以 ．
选①③作条件证明②：
因为 ， 是等差数列，所以公差 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 是等差数列.
选②③作条件证明①：
[方法一]：定义法
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 ，所以 ，解得 或 ；
当 时， ，当 时， 满足等差数列的定义，此时 为等差数列；
当 时， ， 不合题意，舍去.
综上可知 为等差数列.
[方法二]【最优解】：求解通项公式
因为 ，所以 ， ，因为 也为等差数列，所以公差
，所以 ，故 ，当 时，
，当 时，满足上式，故 的通项公式为 ，所
以 ， ，符合题意.
【题型训练-刷模拟】一、解答题
1．（2023春·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知公差为正数的等差数列 的前 项和为
，________．请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：①
成等比数列，② ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
2．（2023春·江苏宿迁·高三江苏省泗阳中学校考阶段练习）设 为等差数列 的前n项和， 是正项
等比数列，且 .在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，回答下列
问题：
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)如果 ，写出 的关系式 ，并求 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
3．（2023·全国·高三专题练习）在①a 是a 与a﹣8的等差中项；②S，S+4，S 成等差数列中任选一个，
4 3 5 2 3 4
补充在下列横线上，并解答．
在公比为2的等比数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若_____．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和Tn．
4．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ， ，且．
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)选取数列 的第 项构造一个新的数列 ，求 的前 项和 ．
5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）在① ；② ；③
，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答所给问题.已知数列
的前n项和为Sn，且满足 .
(1)求 与 ；
(2)记 ，求数列 的前n项和Tn.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ， .请在① ；
② 成等比数列；③ ，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，求证： ．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，________________．
请在① ；② ， ， 成等比数列；③ ，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，
并解答下面问题．
(1)求数列 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
8．（2023·全国·高三专题练习）设数列 是等比数列，其前 项和为
(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求 的通项公式；
① ；② ；
(2)在（1）的条件下，若 ，求数列 的前 项和
9．（2023·全国·高三专题练习）从① ；② ；③ 三个选项中，任
选一个填入下列空白处，并求解.已知数列 ， 满足 ，且 ， ，______，求
数列 的前 项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
10．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）已知数列 的前 项和为 ， 且
， __________．请在 成等比数列; ， 这三个条件中任选一个补充
在上面题干中， 并解答下面问题．
(1)求数列 的通项公式;
(2)设数列 的前 项和 ， 求证： ．11．（2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考期末）在① ；②
；③ ， ，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．注：
如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
已知正项数列 的前n项和为 ，且______，
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，若数列 满足 ，求证： ．
12．（2023·全国·高三专题练习）设首项为2的数列 的前n项和为 ，前n项积为 ，且满足
______________．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题：
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
(1)求数列 的通项公式；
(2)求证：数列 的前n项和 ．
参考公式： ．
13．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）已知数列 的前n项和为 ，且
，___________．请在① ；② 成等比数列；③ ，这三个条
件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．
(1)求数列 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．.
14．（2023·全国·高三专题练习）在① ；② ， ；③ ， .这三个条件
中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整后的题目.
问题:已知 为等差数列 的前 项和，若__________.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
15．（2023·全国·高三专题练习）在①数列 的前n项和 ；② 且 ，
，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：
(1)已知数列 满足__________，求 的通项公式；
(2)已知正项等比数列 满足 ， ，求数列 的前n项和 ．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的首项为1，前 项和为 ，且满足______.
① ， ；② ；③ .
从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：
(1)求 ；(2)求数列 的前 项和 .
17．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知等差数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)求 与 ；
(2)在下列两个条件中选一个，求数列 的前30项和．
① ；② ．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（2023春·江苏盐城·高三校考阶段练习）已知数列 的前n项和为
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ① ；② ；③ 从上面三个条件中任选一个，求数列
的前 项和 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，且________．在①
，② 这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求 的前n项和 ．
20．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
问题：已知等差数列 为其前n项和，若______________．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求证：数列 的前n项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，数列 为等比数列且公比 ，满
足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 的前n项和为 ，若________，记数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
在① ，② ， ， 成等差数列，③ 这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，
并对其求解．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
22．（2023春·四川·高三校联考阶段练习）在① ，② 这两个条件中选一个合适的补充在
下面的横线上，使得问题可以解答，并写出完整的解答过程.
问题：在各项均为整数的等差数列 中， ，公差为 ，且______.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .23．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列 的前 项和为 ，已知 ， .
(1)求数列 的通项公式及 ；
(2)若___________，求数列 的前 项和 .
在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
24．（2023·全国·模拟预测）记公差为1的等差数列 的前 项和为 ，______．从下面①②③三个条
件中任选一个补充在上面问题中的横线处并作答．
① ；② ；③ ， ， 成等比数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
25．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知 是首项为1的等差数列，公差 是首
项为2的等比数列， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 的第 项 ，满足__________（在①②中任选一个条件）， ，则将其去掉，数列
剩余的各项按原顺序组成一个新的数列 ，求 的前20项和 ．
① ② ．26．（2023·全国·高三专题练习）已知公差为正数的等差数列 中， ， ， 构成等比数列，
是其前 项和，满足 .
(1)求数列 的通项公式及前 项和 ；
(2)若_________，求数列 的前 项和 .
在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
27．（2023·陕西汉中·高三西乡县第一中学校考阶段练习）已知数列 是公差不为零的等差数列，
且 ， ， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，在① ， ； ② ， ；③ ，
；这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.问题：若 ，且
______，求数列 的前n项和 .
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.）
28．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 ， 满足： ， ， .
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)若___________（从下列三个条件中任选一个），求数列 的前 项和 .① ；② ；③.
29．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）数列 的前n项和为 满足 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)在① ；② 这两个条件中任选一个作为条件，求数列 的前n项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
30．（2023春·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）已知等差数列 与正项等比数列 满足
，且 ， ， 既是等差数列，又是等比数列．
(1)求数列 和 的通项公式．
(2)在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并
完成求解．若__，求数列 的前 项和 ．
31．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，在① 且
；② ；③ 且 ， ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问
题中，并求解：
(1)已知数列 满足______，求 的通项公式；
(2)已知正项等比数列 满足 ， ，求数列 的前 项和 ．32．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）在① 为等差数列， ；②
；③ 是等差数列， ， ，这三个条件中任选一个，补充在下面
问题中，并加以解答.已知数列 的前 项和为 ，__________.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
