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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 21 数列中的结构不良问题（精讲+精
练）
一、知识点梳理
一、数列中的结构不良问题
1．“结构不良问题”：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，
而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满
分．
2．数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于 型数列，其中 是等差数列， 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于 型数列，利用分组求和法；
（4）对于 型数列，其中 是公差为 的等差数列，利用裂项相消法求和．
3．常见的裂项公式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．二、题型精讲精练
【典例1】（2021·全国·统考高考真题）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，从下面
①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【详解】选①②作条件证明③：
[方法一]：待定系数法+ 与 关系式
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 也是等差数列，所以 ，解得 ；
所以 ， ，故 .
[方法二] ：待定系数法
设等差数列 的公差为d，等差数列 的公差为 ，
则 ，将 代入 ，
化简得 对于 恒成立．
则有 ，解得 ．所以 ．
选①③作条件证明②：
因为 ， 是等差数列，所以公差 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 是等差数列.
选②③作条件证明①：
[方法一]：定义法
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 ，所以 ，解得 或 ；
当 时， ，当 时， 满足等差数列的定义，此时 为等差数列；
当 时， ， 不合题意，舍去.
综上可知 为等差数列.
[方法二]【最优解】：求解通项公式
因为 ，所以 ， ，因为 也为等差数列，所以公差
，所以 ，故 ，当 时，
，当 时，满足上式，故 的通项公式为 ，所
以 ， ，符合题意.
【题型训练-刷模拟】一、解答题
1．（2023春·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知公差为正数的等差数列 的前 项和为
，________．请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：①
成等比数列，② ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先设等差数列 的公差为 ，再根据等差数列的求和公式和等比中项的性质，根据
条件①②分别列出关于首项 与公差 的方程，解出 的值，即可计算出数列 的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列 的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前 项和 ．
【详解】（1）由题意，设等差数列 的公差为 ，
方案一：选择条件①
，
根据 成等比数列得 ,代入得 ，又 ，
化简整理，可得 ，
由于 ，所以 ，
， ．
方案二：选择条件②由 ，可得 ，又 ，
解得 ，
，
（2）由（1）可得 ，
则
．
2．（2023春·江苏宿迁·高三江苏省泗阳中学校考阶段练习）设 为等差数列 的前n项和， 是正项
等比数列，且 .在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，回答下列
问题：
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)如果 ，写出 的关系式 ，并求 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，根据所选条件得到方程，求
出 、 ，即可求出通项公式；（2）由（1）可得 ，即可得到 、 的关系，从而得到 ，再利用分组求和法
及等比数列求和公式计算可得.
【详解】（1）若选①， ，
设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
则 ，解得 或 （舍去），
则 ， .
若选②， ，
设等差数列 的公差为 ，等比数 的公比为 .
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 .
又因为 ，所以 ，
解得 ，所以 .
若选③， ，
设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .
因为 ，
则 ，解得 ，
则 ， .
（2）因为 ，所以 ，即 ，即 ，
所以
.
3．（2023·全国·高三专题练习）在①a 是a 与a﹣8的等差中项；②S，S+4，S 成等差数列中任选一个，
4 3 5 2 3 4
补充在下列横线上，并解答．
在公比为2的等比数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若_____．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和Tn．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）选①利用等差中项公式与等比通项公式可求解；选②利用等差中项公式与等比求和公式可
求解；
（2）求出 的通项结合裂项法求和即可．
（1）选①：因为a3，a4，a5﹣8成等差数列，
所以2a4＝a3+a5﹣8，
所以 ，
解得 ，
所以 ．
选②：因为S2，S3+4，S4成等差数列，
所以2（S3+4）＝S2+S4，即
所以 ，
解得 ，
所以 ；
（2）因为 ，
所以
所以
所以
4．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ， ，且
．
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)选取数列 的第 项构造一个新的数列 ，求 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等差数列的定义证明即可；
（2）先求得 的通项公式，再结合等比数列的求和公式求得 ．
【详解】（1）解：证明：∵ ，
∴ 由已知得 ，即 ．
∴ 数列 是以2为公差的等差数列．
（2）解：由（1）知数列 是以2为公差的等差数列，
又 ，首项为 ，
，
．
．
．
5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）在① ；② ；③
，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答所给问题.已知数列
的前n项和为Sn，且满足 .
(1)求 与 ；
(2)记 ，求数列 的前n项和Tn.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据 与 的关系，逐个条件进行列方程，计算求解即可.
（2）利用错位相减法进行计算求解即可.【详解】（1）选①，由①得， ， 时， ，得 ；
时， ，得 ，故 为首项是 ，公比是 的等比数列， ；
.
选②，由②得， ，得 ，
时， ；
时， ，整理得 ，
，故 为等比数列，首项为 ，公比 ，故 ，
.
选③， ，则 ， ，
则 ，得 ，故 为等比数列，首项为 ，公比 ，故 ，
.
（2）根据题意， ，得
，
，
两式相减，得
，
，6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ， .请在① ；
② 成等比数列；③ ，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】(1)详见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）选取一个条件利用等差等比数列的相关知识通过公式法即可求得通项公式.
（2）利用放缩和裂项相消即可证明不等式.
【详解】（1）由已知 ，所以
所以数列 是等差数列，公差 ，
若选①
又因为 ，所以 ，
解得 ，所以 .
若选②
又因为 成等比数列，所以
所以 ，解得
所以 .
若选③
又因为 ，所以
解得 ，所以（2）因为 ，由（1）知， ，所以
所以 ，所以
所以
又因为 ，所以
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，________________．
请在① ；② ， ， 成等比数列；③ ，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，
并解答下面问题．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，利用等差数列和等比数列公式分别计算三
种情况得到答案.
（2）确定 ，再利用错位相减法计算得到答案.
【详解】（1） ，所以 ，即 ，
所以数列 是首项为 ，公差为1的等差数列．
若选①：由 ，得 ，即 ，
所以 ，解得 ．所以 ，即数列 的通项公式为 ．
若选②：由 ， ， 成等比数列，得 ，
则 ，所以 ，所以 ．
若选③：因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ．
（2） ，则 ，
则 ， ，
两式相减得： ，
故 ．
8．（2023·全国·高三专题练习）设数列 是等比数列，其前 项和为
(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求 的通项公式；
① ；② ；
(2)在（1）的条件下，若 ，求数列 的前 项和
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）设等比数列的公比为 若选①，根据 求解即可；若选②，根据
两式相减可得公比，再代入 求得 即可；
（2）代入（1）中 可得 ，再根据等比数列的前 项和公式求解即可【详解】（1）设等比数列的公比为 ， ，
若选①， ， ，
时， ，
可得 ， ，
所以 ；
若选②， ，所以 ，
可得 ，所以 ， ， ；
（2） ， ，所以 ，
所以 是公比为 首项为 的等比数列，
故 .
9．（2023·全国·高三专题练习）从① ；② ；③ 三个选项中，任
选一个填入下列空白处，并求解.已知数列 ， 满足 ，且 ， ，______，求
数列 的前 项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】选① ，选② ，选③【分析】先根据递推公式可得 ，进而得到 .选①：化简可得 ，直接可得 ；
选②：化简可得 ，再代入裂项求和即可；选③： ，错位相减求和即可.
【详解】因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ， .
选①： ，
所以 ，
选②： ，
所以 ，
选③： ，所以 ，
，
两式相减，可得
10．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）已知数列 的前 项和为 ， 且
， __________．请在 成等比数列; ， 这三个条件中任选一个补充
在上面题干中， 并解答下面问题．(1)求数列 的通项公式;
(2)设数列 的前 项和 ， 求证： ．
【答案】(1)任选一条件，都有 ；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据 得到数列 是首项为 ， 公差为 1 的等差数列，然后利用等差数列
的通项公式或前 项和公式列方程求解即可；
（2）利用错位相减法得到 ，即可得到 ，然后根据 得到数列 是递增数列，
即可得到 .
【详解】（1）因为 ， 所以 ， 即 ，
所以数列 是首项为 ， 公差为 1 的等差数列， 其公差 ．
若选 ，
由 ， 得 ， 即 ，
所以 ， 解得 ，
所以 ， 即数列 的通项公式为 ；
若选 ， ， 成等比数列，
由 ， ， 成等比数列， 得 ，
则 ， 所以 ， 所以 ；若选 ，
因为 ，所以 ， 所以 ，
所以 .
（2）由题可知 ，所以 ，
，
两式相减得
，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以数列 是递增数列， ，故 .
11．（2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考期末）在① ；②
；③ ， ，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．注：
如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
已知正项数列 的前n项和为 ，且______，
(1)求数列 的通项公式；(2)设 ，若数列 满足 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）选择条件①，因式分解计算可得 ，再根据 与 的关系结合相减法即可求解数
列 的通项公式；选择条件②，直接根据 与 的关系结合相减法，可得递推关系式，确定列 是等
差数列，按照等差数列通项公式即可得 ；选择条件③，利用累乘法求解 ，再根据 与 的关系结合
相减法即可求解数列 的通项公式；
（2）由（1）得 ，则 ，直接按照裂项相消法求和即可证明
不等式.
【详解】（1）解：选择条件①，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，
当 时， ，
所以两式相减得： ，即 ，则 ，
当 时， ，所以 符合上式，
所以 ；
选择条件②，因为 ，
当 时， ，
所以两式相减得： ，整理得 ，因为 ，所以 ，
当 时， ，所以 或 （舍），
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，则 ；
选择条件③，因为 ，所以 ，
累乘得： ， ，
所以 ， ，又 符合式子，所以 ， ，
当 时， ，
所以两式相减得： ，即 ，
又 符合上式，所以 ；
（2）由（1）得： ，则 ，
所以
.
12．（2023·全国·高三专题练习）设首项为2的数列 的前n项和为 ，前n项积为 ，且满足
______________．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题：
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
(1)求数列 的通项公式；(2)求证：数列 的前n项和 ．
参考公式： ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】(1)选择①，由条件证明 为等差数列，结合等差数列通项公式求 的通项公式；
选择②，由条件，结合 关系，证明 ，利用累乘法求数列 的通项公式；
选择③，先证明 ，由此得 为常数，再求数列 的通项公式；
(2)求 ，利用裂项相消法求 ，由此完成证明.
【详解】（1）若选择条件①：因为 ，所以 ，又 ，
所以数列 是首项为2，公差为1的等差数列．
所以 ，所以 ．
若选择条件②：因为 ，所以 ．
当 时， ，整理得， ，
所以 ，
累乘得， ，
当 时， ，符合上式，
所以 ．
若选择条件③：因为 ，所以 ，即 ，所以 ，所以数列 为常数列，
又 ，所以 ，即 ．
（2）由（1）知： ，结合参考公式可得
所以
所以
.
13．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）已知数列 的前n项和为 ，且
，___________．请在① ；② 成等比数列；③ ，这三个条
件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．.
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】首先由 ，可得 为首项为 ，公差为1的等差数列.
对于（1），当选①②时，代入 ，可得数列 的通项公式，若选③，由 可得数列 的通项公式；
对于（2），由（1）可知 ，则 ，后利用错位相减法可得答案.
【详解】（1） ，所以 ，即 ，
所以数列 是首项为 ，公差为1的等差数列．
若选①：由 ，得 ，即 ，
解得 ．所以 ，即数列 的通项公式为 ， ．
若选②：由 成等比数列，得 ，
解得 ，所以 ， ．
若选③：因为 ，解得 ，
所以 ， ．
（2） ，则 ，
则 ， ，
两式相减得： ，
故 ， ．
14．（2023·全国·高三专题练习）在① ；② ， ；③ ， .这三个条件
中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整后的题目.
问题:已知 为等差数列 的前 项和，若__________.
(1)求数列 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前 项和 .
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，利用 与 关系可推导得到 ；若选②，利用等差数列通项公式可构造方程求得
公差 ，进而得到 ；若选③，利用等差数列求和公式可构造方程求得公差 ，进而利用等差数列通项公
式求得 ；
（2）由（1）可得 ，采用裂项相消法可求得 .
【详解】（1）若选条件①，当 时， ；
当 且 时， ；
经检验： 满足 ；
；
若选条件②，设等差数列 的公差为 ，则 ，
解得： ， ；
若选条件③，设等差数列 的公差为 ，则 ，
解得： ， .
（2）由（1）得： ，.
15．（2023·全国·高三专题练习）在①数列 的前n项和 ；② 且 ，
，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：
(1)已知数列 满足__________，求 的通项公式；
(2)已知正项等比数列 满足 ， ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）若选①， 时，利用 和 的关系可求出 ，检验 即可得出答案；若选②，由已
知可推得 是等差数列，根据已知求出公差，即可得出 的通项公式；
（2）由（1）知 ，进而根据已知可得 ， .代入整理裂项可得 ，
求和即可得出结果.
【详解】（1）若选①：数列 的前n项和 .
当 时， ，
当 时， ，上式仍成立，
∴ 的通项公式为 ．
若选②： 且 ， .
由 可得 ，所以 是 和 的等差中项，所以 是等差数列.
设 公差为 ，则由 ， 可得 ，所以 .
所以 的通项公式为 ．
（2）解：设 的公比为 .
由（1）知 ，
又 ，所以 ，
即 ，又 ，所以 ，
所以， 的通项公式为 .
则 ，
所以
．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的首项为1，前 项和为 ，且满足______.
① ， ；② ；③ .
从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：
(1)求 ；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)(2)
【分析】（1）当选①时，分 为奇数，偶数时，分别计算即可得到结果；当选②时，根据 与 的关系，
即可得到结果；当选③时，根据条件得到 是常数数列，从而得到结果；
（2）根据题意，由裂项相消法即可得到结果.
【详解】（1）选①
因为 ，所以当 为奇数时， ；
同理，当 为偶数时， .
所以 .
选②
因为 ，（*）所以当 时， ，（**）
（*）-（**），得 ，即 ，
所以数列 是首项为1的常数列，
所以 .
选③
因为 ，所以 ，所以数列 是首项为 的常数列，
所以 ，所以当 时， .
当 时，也符合上式.所以 .
（2）由（1）得， ，所以
17．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知等差数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)求 与 ；
(2)在下列两个条件中选一个，求数列 的前30项和．
① ；② ．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)选①， ；选②， .
【分析】（1）由条件得出 与d的方程组求解，即可由公式法得出结果；
（2）①由裂项相消法求和，②由分组求和法求和.
【详解】（1）由 得 ①，
由 得 ②，
联立①②解得 ，∴ ；
（2）选①， ，
∴数列 的前30项和 ；
选②， ，
∴数列 的前30项和 ；
18．（2023春·江苏盐城·高三校考阶段练习）已知数列 的前n项和为(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ① ；② ；③ 从上面三个条件中任选一个，求数列
的前 项和 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】(1)根据 的关系求通项公式；
(2)选①，利用错位相减法求和，选②，利用裂项相消求和，选③，利用并项求和以及等差数列前 项和公
式.
【详解】（1） ，
两式相减得 ，
数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
；
（2）由（1）可知 ，
若选①： ，
.两式相减得： ，
所以 .
若选②：
.
若选③：
当 为偶数时，
当 为奇数时， .
综上得： .
19．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，且________．在①
，② 这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求 的前n项和 ．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】(1)根据等差数列的通项公式与前 和公式结合已知条件求出首项和公差，进而即可求出通项公式；
(2)由(1)得 ，再利用分组求和法即可求得 .
【详解】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为d，若选择条件① ，
由题可得 ，解得 ，
若选择条件② ，
由题可得 ，解得 ，
.
（2）由(1)知，选择两个条件中的任何一个，都有 ，
则 ，
20．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）在① ；② ；③ 这三
个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
问题：已知等差数列 为其前n项和，若______________．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求证：数列 的前n项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）选①由 与 的关系求解即可；选②③由等差数列的通项公式与求和公式求解即可；（2）
由（1）可得 ，利用裂项相消法证明即可.
【详解】（1）若选①：在等差数列 中， ，
当 时， ，
也符合，
∴ ；
若选②：在等差数列 中，
，
，解得
；
若选③：在等差数列 中，
，解得
；
（2）证明：由（1）得 ，
所以21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，数列 为等比数列且公比 ，满
足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 的前n项和为 ，若________，记数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
在① ，② ， ， 成等差数列，③ 这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，
并对其求解．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，求出数列 的公比，进而判断数列 为等差数列，再求出通项作答.
（2）选①②③，分别求出数列 的通项，结合（1），利用分组求和法求解作答.
【详解】（1）因为 ， ， ， ，
令 得 ，又数列 为等比数列，即有 ，而 ，解得 ，则 ，
因此 ，即数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以 .
（2）若选①，由（1）知数列 是公比为2的等比数列，
由 得， ，解得 ，则 ，
因此 ，即有数列 的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项4为公比的等比数列，
所以 ．
选②，由（1）及 ， ， 成等差数列得 ，即 ， ，则 ，
因此 ，
即有数列 的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项4为公比的等比数列，
所以 ．
若选③，由（1）及 得 ，解得 ，则 ，
因此 ，
即有数列 的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项4为公比的等比数列，
所以 ．
22．（2023春·四川·高三校联考阶段练习）在① ，② 这两个条件中选一个合适的补充在
下面的横线上，使得问题可以解答，并写出完整的解答过程.
问题：在各项均为整数的等差数列 中， ，公差为 ，且______.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列通项公式的基本计算求解即可；（2）根据错位相减法计算求解即可.
【详解】（1）解：若选①，则 ， ，故不能选①，
若选②：依题意可得 ，解得
故 ．
（2）解：由（1）知， ，
则 ，
所以 ，
所以
，
故 ．
23．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列 的前 项和为 ，已知 ， .
(1)求数列 的通项公式及 ；
(2)若___________，求数列 的前 项和 .
在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1) ， ；
(2)见解析.
【分析】（1）根据等差数列前 项和公式和通项公式即可得到关于 的方程组，解出即可；（2）选①则 ，利用乘公比错位相减法即可求出 ；选①则 ，则用
裂项相消法即可求出 ；选③则 ，分奇偶讨论即可求出 .
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，首项为 ，则 ，
,解得 ，
所以 .
（2）选①：由（1）知, ,所以
, .两式相减得:
所以 .
选②：由（1） ,
所以 .
选③：由（1） ,则 ，
当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ，
所以 .24．（2023·全国·模拟预测）记公差为1的等差数列 的前 项和为 ，______．从下面①②③三个条
件中任选一个补充在上面问题中的横线处并作答．
① ；② ；③ ， ， 成等比数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）选①②，利用等差数列通项及前n项和，求出 即可；选③，利用等比中项列式求出 即
可作答.
（2）由（1）的结论，求出 ，再利用错位相减法求和作答.
【详解】（1）选条件①， ，则 ，即 ，而公差 ，因此 ，
所以 .
选条件②， ，则 ，而公差 ，解得
所以 .
选条件③， ， ， 成等比数列，即 ， ， 成等比数列，有
，解得 ，
所以 .
（2）由（1）知， ，，
则 ，
两式相减得，
所以 ．
25．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知 是首项为1的等差数列，公差 是首
项为2的等比数列， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 的第 项 ，满足__________（在①②中任选一个条件）， ，则将其去掉，数列
剩余的各项按原顺序组成一个新的数列 ，求 的前20项和 ．
① ② ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差和等比数列的通项公式，列出基本量方程组，即可求解；
（2）若选择①，得 ，可知剩下的项就是原数列的奇数项，代入等比数列求和公式，即可求
解；
若选择②， ，根据 ，讨论 为奇数和偶数两种情况，即可判断求解.
【详解】（1）设 的公差为 的公比为 ，因为 ，所以 ，
联立消 得 ，解得 或 与 矛盾，
故 ，代回计算得 ，
所以
（2）若选① ，则有 ，
所以 剩余的项就是原数列的奇数项，
相当于剩余的项 以2为首项，4为公比的等比数列，
所以 ；
若选② ，则有 ，
因为 ，
所以当 时，对应的 为整数，满足，
当 时，对应的 不为整数，不满足，
所以 剩余的项就是原数列的奇数项，
相当于剩余的项 以2为首项，4为公比的等比数列，
所以 ；
26．（2023·全国·高三专题练习）已知公差为正数的等差数列 中， ， ， 构成等比数列，
是其前 项和，满足 .(1)求数列 的通项公式及前 项和 ；
(2)若_________，求数列 的前 项和 .
在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1) ，
(2)答案见解析
【分析】（1）由题知 ，进而结合等差数列通项公式解方程即可得 ， ，再求解
通项公式与前 项和；
（2）选①：结合（1）得 ，进而根据分组求和的方法求解即可；
选②：结合（1）得 ，进而结合裂项求和的方法求解即可；
选③：结合（1）得 ，再根据错位相减法求解即可；
【详解】（1）解：设等差数列 的公差为 ，
依题意可得 ，则
解得 ， ，
所以，数列 的通项公式为 .
综上： ， ；
（2）解：选①由（1）可知：
∴
∵
∴
选②
由（1）可知：
∴
∵
选③
由（1）可知： ，∴
∵
则
于是得
两式相减得 ，
所以 .27．（2023·陕西汉中·高三西乡县第一中学校考阶段练习）已知数列 是公差不为零的等差数列，
且 ， ， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，在① ， ； ② ， ；③ ，
；这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.问题：若 ，且
______，求数列 的前n项和 .
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为d，根据 ， ， 成等比数列，由 求解；
（2）选①，由 ， ，得到 时， 求解；选②，由 ， ，
得到 时， ，两式相减求解；选③，由 ， ，得到 时，
，两式相减求解.进而得到 ，再利用分组求和求解.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为d，
因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，
解得 或 （舍去）.所以， .
（2）选①，由 ， ，
当 时， ，当 时等式也成立，
所以 ，
选②，由 ， ，①
当 时， ，②
②-①得 ，即 ，
所以 是首项为1，公比为2的等比数列，
当 时等式也成立，
所以 ，
选③，由 ， ，①
当 时
当 时， ，②
②-①得 ，即 ，又 ，
所以 是首项为1，公比为2的等比数列，
所以 ，
则 ，
，28．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 ， 满足： ， ， .
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)若___________（从下列三个条件中任选一个），求数列 的前 项和 .① ；② ；③
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以数列 是首项为1公比为 的等比数列；
（2）由（1）知 ，
又因为 ，
所以数列 为常数列.
若选条件①或③，均可得 ，
所以 ，所以 .
若选②，因为 ，所以 ，又因为 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 .
29．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）数列 的前n项和为 满足 ，已知 ．(1)求 ；
(2)在① ；② 这两个条件中任选一个作为条件，求数列 的前n项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)选①：
选②：
【分析】（1）利用 与 的关系求得 的通项公式；
（2）求出 的通项公式，利用分组求和求得 .
【详解】（1）由题意，当 时， ，解得 ，
当 时，由 , 可得 ,
两式相减，可得: ，整理得 ，
又 ，∴数列 是以1为首项， 为公比的等比数列，
∴ .
（2）选①：
由(1)可得， .
则.
选②：由(1)可得，
则
.
30．（2023春·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）已知等差数列 与正项等比数列 满足
，且 ， ， 既是等差数列，又是等比数列．
(1)求数列 和 的通项公式．
(2)在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并
完成求解．若__，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ，
(2)答案见解析【分析】（1）确定 ，得到 ，解得答案.
（2）若选择①， ，若选择②， ，若选择③，
，分别利用裂项相消法，错位相减法和裂项相消法计算得到答案.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，正项等比数列 的公比为 ，
根据题意 ，即 ，
解得 或 （舍），故 ， ，
（2）若选条件①： ，
；
若选条件②：
，
两式相减得：
整理得到： ；
若选条件③：，
.
31．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，在① 且
；② ；③ 且 ， ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问
题中，并求解：
(1)已知数列 满足______，求 的通项公式；
(2)已知正项等比数列 满足 ， ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，由已知可推得 ，进而得出数列 是常数列，从而得出 ；若选②，
由已知推得 ，进而根据 与 的关系，即可推得 ；若选③，根据等差中项的性质，可推
得数列 是等差数列.然后由已知求得 ，即可得出 .
（2）根据已知可求出 ，然后根据对数运算以及裂项化简可得 ，然后相
加即可得出 .
【详解】（1）若选① 且由 可得 .
又 ，
所以数列 是常数列，且 ，所以 .
若选②
由已知 可得， .
当 时，有 ；
当 时，有 ，
，
两式作差可得， ，
所以 .
又 满足，所以 .
若选③ 且 ，
由 可得， ，
所以，数列 是等差数列.
又 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 .（2）由（1）知， ，所以 .
设等比数列 公比为 ，
由已知可得 ，解得 ，
所以 .
所以 ，
所以 .
32．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）在① 为等差数列， ；②
；③ 是等差数列， ， ，这三个条件中任选一个，补充在下面
问题中，并加以解答.已知数列 的前 项和为 ，__________.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列通项公式和前n项和公式以及由递推关系求通项的方法代入即可求解；（2）
两次使用乘工笔错位相减即可求解.
【详解】（1）若选①，设 的公差为 ，由题意可得 解得 ，
所以 .
若选②，当 时， ，解得 ；
由题得 ，
所以当 时， ，
作差得 ，
即 ，
又 ，
所以 ，
所以 是公差为2的等差数列，
所以 .
若选③，设 的公差为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，当 时， ，
当 时， ，也满足，
所以 .
（2）由（1）可得 ，所以 .
所以 ，①
所以 ，②
①-②得 ，
令 ③
则 ，④
③-④得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
