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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 48 讲 用样本估计总体（精讲）
题型目录一览
①样本数字特征的计算及其应用
②频率分布直方图及其应用
③百分位数
一、知识点梳理
一、样本的数字特征
1.众数、中位数、平均数
（1）众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平．
（2）中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平
均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平．
（3）平均数： 个样本数据 的平均数为 ，反应一组数据的平均水平，公式
变形： ．
2.标准差和方差
（1）标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用 表示．假设样本数据是 ，
表示这组数据的平均数，则标准差 ．
（2）方差：方差就是标准差的平方，即 ．显然，在刻画样本数据
的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差．
（3）数据特征
标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；
标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小．二、频率分布直方图
1.频率、频数、样本容量的计算方法
①×组距＝频率．
②＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于 .
2.频率分布直方图中数字特征的计算
（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为 ，利用 左（右）侧矩形面积之和等
于 ，即可求出 ．
（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底
边中点的横坐标之和，即有 ，其中 为每个小长方形底边的中点， 为每个小长
方形的面积．
三、百分位数
1.定义
一组数据的第 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 的数据小于或等于这个值，且至少
有 的数据大于或等于这个值．
2.计算一组 个数据的的第 百分位数的步骤
（1）按从小到大排列原始数据．
（2）计算 ．
（3）若 不是整数而大于 的比邻整数 ，则第 百分位数为第 项数据；若 是整数，则第 百分位数为
第 项与第 项数据的平均数．
3.四分位数
我们之前学过的中位数，相当于是第 百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第
百分位数，第 百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位
数．
【常用结论】
均数、方差的性质：如果数据 的平均数为 ，方差为 ，那么
①一组新数据 的平均数为 ，方差是 ．
②一组新数据 的平均数为 ，方差是 ．③一组新数据 的平均数为 ，方差是 ．
题型 一 样本数字特征的计算及其应用
二、题型分类精讲
策略方法 利用样本的数字特征解决决策问题的依据
(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大
小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散
程度越小，越稳定．
(2)方差的简化计算公式：s2＝[(x＋x＋…＋x)－nx2]，或写成s2＝(x＋x＋…＋x)－x2，即方差等
于原数据平方的平均数减去平均数的平方．
【典例1】某稻谷试验田试种了 ， 两个品种的水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷
产量如下表，记 ， 两个品种各10亩产量的平均数分别为 和 ，方差分别为 和 ．
（单位： 7
60 63 50 76 71 85 63 63 64
） 5
7
（单位： ） 56 62 60 68 78 75 62 63 70
6
(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数；
(2)求 ， ， ， ；
(3)依据以上计算结果进行分析，推广种植 品种还是 品种水稻更合适．
【题型训练】
一、单选题
1．某校举行演讲比赛，9位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中
去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字
特征是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
2．每年的4月23日是世界读书日，某中学为了了解八年级学生的读书情况，随机调查了50名学生读书的
册数，统计数据如表所示：
册
0 1 2 3 4
数人 1
3 13 16 1
数 7
则这50名学生读书册数的众数、中位数是（ ）
A．3，3 B．2，2 C．2，3 D．3，2
3．有一组样本数据 ，则（ ）
A．这组样本数据的极差不小于4 B．这组样本数据的平均数不小于4
C．这组样本数据的中位数不小于3 D．这组样本数据的众数等于3
4．PM2.5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地6月1日至10日的PM2.5日均值（单位： ）的
折线图，则下列关于这10天中PM2.5日均值的说法错误的是（ ）
A．众数为30 B．中位数为31.5 C．平均数小于中位数D．极差为109
5．为了解某班学生数学学习的情况，连续进行了六次考试，甲同学与乙同学的考试成绩情况如下表，则
以下叙述正确的是（ ）
次数 1 2 3 4 5 6
10
甲同学成绩/分 135 108 136 136 116
4
12
乙同学成绩/分 116 123 120 121 132
4
A．甲同学成绩的极差低于乙同学成绩的极差
B．甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩
C．甲同学成绩的众数为136，乙同学成绩的中位数为122
D．甲同学成绩的波动幅度低于乙同学成绩的波动幅度
6．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A．平均数为2，方差为2.4 B．中位数为3，方差为1.6
C．中位数为3，众数为2 D．平均数为3，中位数为2
7．“说文明话、办文明事、做文明人，树立城市新风尚！创建文明城市，你我共同参与！”为宣传创文
精神，华强实验中学高一（2）班组织了甲乙两名志愿者，利用一周的时间在街道对市民进行宣传，将每
天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，则以下说法不正确的为（ ）
A．甲的众数小于乙的众数 B．乙的极差小于甲的极差
C．甲的方差大于乙的方差 D．乙的平均数大于甲的平均数
8．新能源汽车近年在我国发展迅猛，无论是外观还是性能都有了较大进步，下表显示的是 两款新能
源汽车连续五次的实际续航里程（二者测量条件相同），则下列结论错误的是（ ）
360 350 310 350 380
320 360 330 350 390
A．A款车型续航里程的众数为350
B． 款车型续航里程的极差为70
C．两款车型续航里程的平均数相等
D．A款车型比 款车型续航里程的方差较大
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．抽样调查具有花费少、效率高的特点
B．数据 ， ， ， ， ， 的中位数为 ，众数为 和
C．极差和标准差都能描述一组数据的离散程度D．数据 ， ， ， 的方差为 ，则数据 ， ， ， 的方差为
10．据中国汽车工业协会统计分析，2022年10月份，我国国产品牌乘用车销售了118.7万辆，市场占有率
延续良好势头，份额超过50%.下图是2021年1月份至2022年10月份这22个月我国国产品牌乘用车月度
销量及增速变化情况的统计图，则（同比：和去年同期相比）（ ）
A．2021年国产品牌乘用车月度平均销量超过60万辆
B．2022年前10个月国产品牌乘用车月度销量的同比增长率均为正数
C．2022年前9个月国产品牌乘用车月度销量的中位数为5月份的销量数据
D．2022年前10个月我国国产品牌乘用车月度销量的极差超过58.7万辆
11．举世瞩目的第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会点燃了国人激情，也将一股运
动风吹到了大学校园.为提升学生身体素质，倡导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡议全校学生参与
“每日万步行”健走活动.下图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的拆线统计图，则（ ）
A．这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600
B．这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数
C．这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差
D．这一星期内乙的日步数的下四分位数是1220012．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．
记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（ ）
A．可能取到数字4 B．中位数可能是2
C．极差可能是4 D．众数可能是2
三、填空题
13．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数与
众数的和是中位数的2倍，则丢失的数据可能是 .（答案不唯一，写出一个即可）
14．幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数．某机构从某
社区随机调查了10人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，
9.5，8.3，8.8，则这组数据的中位数是
15．国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高
质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242，且四个季度GDP的中位数与
平均数相等，则2020年GDP总额为 ；
16．我国关于人工智能领域的研究十分密集，发文量激增，在视觉、语音、自然语言处理等基础智能任务
实现全球领先，并且拥有一批追求算法技术极致优化的人工智能企业，如图是过去十年人工智能领域高水
平论文发表量前十国家及发表的论文数．现有如下说法：
①这十个国家的论文发表数量平均值为0.87；
②这十个国家的论文发表数量的中位数为0.4；
③这十个国家的论文发表数量的众数为0.4；
④德国发表论文数量约占美国的32%．
其中正确的是 ．（填序号）
17．如图是甲､乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图，下列说法正确的是 .①若甲､乙射击成绩的平均数分别为 ，则
②若甲､乙射击成绩的方差分别为 ，则
③乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数
④乙比甲的射击成绩稳定
题型 二 频率分布直方图及其应用
策略方法 频率、频数、样本容量的计算方法
(1)×组距＝频率．
(2)＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
【典例1】（单选题）南京大学开展数学建模选拔赛，对参赛的100名学生的得分情况进行统计，并绘制
了如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开的区间），根据图中信息，下列说法错误的是（ ）
A．图中的 值为0.020
B．得分在70分及以上的人数为75
C．这组数据的平均数的估计值为76（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
D．这组数据的中位数的估计值为78
【题型训练】一、单选题
1．某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了 人参与问卷调查，将他们的成绩进
行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在 的人数
为10，则 （ ）
A．60 B．80 C．100 D．120
2．某机构对 名网络购物者 年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在
内，其频率分布直方图如图所示，则这 名购物者消费金额的平均数约为（同一组中的数据用
该组区间的中点值作代表）（ ）
A． （万元） B． （万元）
C． （万元） D． （万元）
3．要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取 人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直
方图如图，现从成绩在 之间的学生中用分层抽样的方法抽取 人，应从 间抽取人数为 ，
则（ ）．A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图
如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频数和为64，最大频率为 ，设视力在 到
之间的学生人数为a，则a的值为（ ）
A．27 B．48 C．54 D．64
5．2023年考研成绩公布不久，对某校“软件工程”专业参考的200名考生的成绩进行统计，可以得到如
图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为 ， ， ， ，同一组中的
数据用该组区间的中间值作代表值，则下列说法中不正确的是（ ）A．这200名学生成绩的众数为370分
B．这200名学生成绩的平均分为377分
C．这200名学生成绩的70%分位数为386分
D．这200名学生成绩在 中的学生有30人
6．工厂为了了解某车间的生产效率，对该车间200名工人上月生产的产品数量（单位：件）进行抽样调查，
整理得到如图的频率分布直方图，则下列估计正确的为（ ）
①该车间工人上月产量的极差恰好为50件；
②车间约有120名工人上月产量低于65件；
③该车间工人上月产量的平均数低于64件；
④该车间工人上月产量的中位数低于63件．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
7．某校为了解学生体能素质，随机抽取了100名学生进行体能测试，并将这100名学生成绩整理得如下频
率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ）
A．图中
B．这100名学生中成绩在 内的人数为50
C．这100名学生成绩的中位数为70
D．这100名学生的平均成绩为68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）
8．某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意致匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为
左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法错误的是（ ）
A．在被抽取的学生中，成绩在区间 内的学生有160人
B．图中x的值为0.020
C．估计全校学生成绩的中位数约为86.7
D．这400名学生中成绩在80分及以上的人数占
二、多选题
9．实践育人是落实立德树人根本任务的重要环节，是培养担当民族复兴大任时代新人的有效途径．某研
究性学习小组为了解某校2000名学生参加2023年暑期社会实践的情况，通过分层抽样的方法抽取一个容
量为N的样本，对学生某一天社会实践的时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图
所示．己知样本中 的人数为20人，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．估计该样本数据的平均数为74
D．估计全校社会实践时间在60分钟以上的学生约为180人
10．从树人小学二年级学生中随机抽取100名学生，将他们的身商（单位：cm）数据绘制成频率分布直方图如图，则（ ）
A．
B．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高为124.5cm
C．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高的中位数为122.5cm
D．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高的众数为120cm
11．在一次考试中，某地抽取一组样本，将学生的考分按 ， ，…， 分成10组，得到
如下频率分布直方图:
根据频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）
A．规定分数不低于60分为及格，则及格率为0.6
B．样本的中位数为60
C．以频率作为概率，每组数据区间中点作代表，估计该地此次考试的平均分为60分
D．规定此次考试80%的考生定为合格等级，则合格等级的学生最低分为40分
三、填空题
12．某大学有男生 名．为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校 名男生的体重，并将这
名男生的体重（单位： ）分成以下六组： 、 、 、 、 、 ，
绘制成如下的频率分布直方图：该校体重（单位： ）在区间 上的男生大约有 人．
13．在某地区进行流行病学调查，随机调查了200位某种疾病患者的年龄，得到了如图的样本数据的频率
分布直方图，根据图中信息估计该地区这种疾病患者的年龄位于 的概率为 .
14．如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图（图中仅列出 ， 的数据）和频率分布直方图，
则 ．
15．设某组数据均落在区间 内，共分为 ， ， ， ， 五组，对应
频率分别为p，p，p，p，p．已知依据该组数据所绘制的频率分布直方图为轴对称图形，且
1 2 3 4 5，则该组数据的平均数为 ．
题型 三 百分位数
策略方法 百分位数有关问题的一般思路
计算一组 个数据的的第 百分位数的步骤
①按从小到大排列原始数据．
②计算 ．
③若 不是整数而大于 的比邻整数 ，则第 百分位数为第 项数据；若 是整数，则第 百
分位数为第 项与第 项数据的平均数．
【典例1】（单选题）某校高一年级 个班参加朗诵比赛的得分如下： ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，则这组数据的 分位数、 分位数分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【题型训练】
一、单选题
1．树人中学举办以“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”为主题的演讲比赛，其中9人比赛的成绩为：
85，86，88，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这9人成绩的第80百分位数是（ ）
A．89 B．90 C．92 D．94
2．一组数据按从小到大的顺序排列为2，4， ，13，16，17，若该组数据的中位数是极差的 ，则该组
数据的40百分位数是（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．9
3．一组数据按从小到大的顺序排列如下： ，经计算，该组数据中位数是16，若
分位数是20，则 （ ）
A．33 B．34 C．35 D．36
4．从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取一个数，这个数比m大的概率为 ，若m为上述数据中的第x百
分位数，则x的取值可能为（ ）
A．50 B．60 C．70 D．80
5．为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活动时间，研究人员随机调查了该地区1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组[30,40 ，第二组[40,50 ，第三组[50,60 ，
第四组[60,70 ，第五组[70,80 ，第六组[80,90]，经整理得到如图的频率分布直方图，则可以估计该地区学
生每天体育活动时间的第70百分位数位于的区间为（ ）
A．[50,60 B．[60,70
C．[70,80 D．[80,90]
6．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，31，37，m，42，49；乙组：24，n，33，44，48，52，
若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则 （ ）
A．60 B．65 C．70 D．71
7．某校举办歌唱比赛，将200名参赛选手的成绩整理后画出频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，
第40百分位数估计为（ ）
A．64 B．65 C．66 D．67
二、多选题
8．已知10个数据的第75百分位数是31，则下列说法正确的是（ ）
A．这10个数据中至少有8个数小于或等于31
B．把这10个数据从小到大排列后，第8个数据是31
C．把这10个数据从小到大排列后，第7个与第8个数据的平均数是31
D．把这10个数据从小到大排列后，第6个与第7个数据的平均数是319．某校组织了 名学生参与测试，随机抽取了 名学生的考试成绩 单位：分 ，成绩的频率分布直方
图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．图中 的值为
B．估计这 名学生考试成绩的众数为
C．估计这 名学生考试成绩的中位数为
D．估计这 名学生考试成绩的上四分位数约为
10．小明在今年“十一”假期随家人到杭州游玩，恰逢亚运盛会，在10月2日下午女子跳水1米板决赛开
赛前，小明随机调查了若干名前来观看本场比赛观众的年龄，并将调查所得数据制作成了如图所示的饼图，
则关于这组数据的说法正确的是（ ）
A．平均数约为38.6 B．中位数约为38.75
C．第40百分位数约为35.6 D．上四分位数约为42.6
三、填空题
11．某党支部理论学习小组抽取了10位党员在该学习平台的学习成绩如下：83，85，88，90，91，91，
92，93，96，97，则这10名党员学习成绩的 分位数为 ．
12．某校为了普及“一带一路”知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，
已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的
分位数是 .13．商场为改进服务质量，提升顾客购物体验，从2023年第三季度消费过的顾客中随机抽取部分人进行满
意度问卷调查．并将这部分人满意度的得分分成以下6组： ，统计结果如图所
示．那么该商场顾客满意度得分的第60百分位数为 ．
14．如图，是某一数据的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其75%分位数（上四分位数）的估计
值为 （保留2位小数）
15．军训中某人对目标靶进行8次射击，已知前7次射击分别命中7环、9环、7环、10环、8环、9环、6
环.若第8次射击结果不低于这8次射击环数的平均数且不高于这8次射击环数的75%分位数，则此人第8
次射击的结果可能是 环.（写出有一个符合题意的值即可）
