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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 27 立体几何中的折叠和探索性问题（精讲+精练）
一、知识点梳理
1.折叠问题
解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪
些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。
一般步骤：
①确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量；
②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面；
③利用判定定理或性质定理进行证明。
2.探索性问题
探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生
的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析
法、特殊化法和向量法来解决．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏
性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的。
二、题型精讲精练
【典例1】如图所示的五边形 中 是矩形， ， ，沿 折叠成四棱锥
，点 是 的中点， ．
(1)在四棱锥 中，可以满足条件① ；② ；③ ，请从中任选
两个作为补充条件，证明：侧面 底面 ；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．）
(2)在（1）的条件下求直线 与平面 所成角的正弦值．
【分析】（1）选条件①②，利用勾股定理得到 ，进而得到 底面 ，利用面面垂直的判
定定理即可得证；
选条件①③，利用正弦定理得到 ，进而得到 底面 ，利用面面垂直的判定定理即可得
证；
选条件②③，利用余弦定理和勾股定理得到 ，进而得到 底面 ，利用面面垂直的判定
定理即可得证；
（2）由（1）可得 平面 ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．
【详解】（1）证明：（1）方案一：选条件①②．
因为在四棱锥 中 ，点 是 的中点， ，所以 ，
又因为在 中， ，所以 ，
又因为 是矩形， ，所以 ， ，
由 可得 ，所以 ，
则由 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，又因为
侧面 ，所以侧面 底面 ；
方案二：选条件①③．
因为在四棱锥 中 ，点 是 的中点， ，所以 ，
又因为在 中， ，
所以由正弦定理得： ，即 ，所以 ，即 ，所以
，
则由 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，又因为
侧面 ，所以侧面 底面 ；
方案三：选条件②③．
因为在四棱锥 中 ，点 是 的中点， ，所以 ，又因为在 中， ，所以 ，
又因为 是矩形， ，所以 ，
又因为在 中， ，则 ，
设 ， ，
所以有 ，解得 或 （舍 ，所以 ，
由 可得 ，所以 ，
则由 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，又因为
侧面 ，所以侧面 底面 ；
（2）在（1）条件下知 平面 ，且 ，
故如图所示：以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，
建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，则 ，
，设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【典例2】如图，在四棱锥 中，平面 平面ABCD， ， ，
， ， ， ， ．
(1)求四棱锥 的体积；
(2)在线段PB上是否存在点M，使得 平面PAD？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
【分析】(1)先证明 平面ABCD,则 PG为四棱锥 的高,再应用体积公式
；
(2)先过点C作 交AB于点N，过点N作 交PB于点M,再证平面 平面CMN，最
后得出比值成立即可.
【详解】（1）取AD的中点G，连接PG，GB，如图所示．
在 中， ，G是AD的中点，所以 ．
又平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面PAD，
所以 平面ABCD，即PG为四棱锥 的高．
又 平面ABCD，所以 ．在 中，由余弦定理得
，故 ．
在 中， ， ， ，所以 ．
所以 ．
（2）过点C作 交AB于点N，则 ，
过点N作 交PB于点M，连接CM，则 ．
又因为 ， 平面PAD， 平面PAD，所以 平面PAD．
因为 ， 平面PAD， 平面PAD，所以 平面PAD．
又 ， ， 平面CNM，所以平面 平面CMN．
又 平面CMN，所以 平面PAD．
所以在PB上存在点M，使得 平面PAD，且 ．
【题型训练-刷模拟】
1 . 折叠问题
一、解答题
1．（2023·四川泸州·泸县五中校考三模）如图1，在梯形 中， ，且 ，
是等腰直角三角形，其中 为斜边.若把 沿 边折叠到 的位置，使平面 平面 ，
如图2.（1）证明： ；
（2）若 为棱 的中点，求点 到平面 的距离.
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形 中， 是等腰直角三角形，
是边长为2的正三角形，以 为折痕，将 向一方折叠到 的位置，使D点在平面 内的
射影在 上，再将 向另一方折叠到 的位置，使平面 平面 ，形成几何体 .
（1）若点F为 的中点，求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成角的正弦值.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图是矩形 和以边 为直径的半圆组成的平面图形，将此图形沿
折叠，使平面 垂直于半圆所在的平面，若点 是折后图形中半圆 上异于 ， 的点
（1）证明： ；
（2）若 ，且异面直线 和 所成的角为 ，求三棱锥 的体积．4．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC的中点，
将 、 分别沿DP、DQ折叠，使A、C两点重合于点M，连BM、PQ，得到图2所示几何体．
(1)求证： ；
(2)在线段MD上是否存在一点F，使 平面PQF，如果存在，求 的值，如果不存在，说明理由．
5．（2023·河南濮阳·濮阳一高校考模拟预测）如图①，在平面四边形 中， ，
， ．将 沿着 折叠，使得点 到达点 的位置，且二面角
为直二面角，如图②．已知 分别是 的中点， 是棱 上的点，且 与平面 所成
角的正切值为 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求四棱锥 的体积．6．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在直角梯形 中， ， ， ， ，
.现沿平行于 的 折叠，使得 且 平面 ，如图2所示.
(1)求 的长度；
(2)求二面角 的大小.
7．（2023·新疆阿克苏·校考一模）如图甲所示的正方形 中， ， ，
，对角线 分别交 ， 于点 ， ，将正方形 沿 ， 折叠使得 与
重合，构成如图乙所示的三棱柱 ．
(1)若点 在棱 上，且 ，证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．8．（2023春·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）如图甲所示的正方形 中，
对角线 分别交 于点 ，将正方形 沿 折
叠使得 与 重合，构成如图乙所示的三棱柱
(1)若点 在棱 上，且 ，证明： ∥平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
9．（2023·上海奉贤·校考模拟预测）如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面
ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且 .
(1)求证：直线EC与平面ABD没有公共点；
(2)求点C到平面BED的距离.
10．（2023·广东深圳·校考二模）如图1所示，等边 的边长为 ， 是 边上的高， ， 分别
是 ， 边的中点．现将 沿 折叠，如图2所示.(1)证明： ；
(2)折叠后若 ，求二面角 的余弦值.
11．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）在图1中， 为等腰直角三角形， ， ，
为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且 ，沿AC将 进行折叠，使点D
运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得 ．
(1)证明： 平面 ．
(2)求二面角 的余弦值．
12．（2023秋·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知矩形ABCD中， ， ，M，N分
别为AD，BC中点，O为对角线AC，BD交点，如图1所示．现将 和 剪去，并将剩下的部分
按如下方式折叠：沿MN将 折叠，并使OA与OB重合，OC与OD重合，连接MN，得到由
平面OAM，OBN，ODM，OCN围成的无盖几何体，如图2所示．(1)求证：MN⊥平面 ；
(2)求此多面体体积V的最大值．
13．（2023·全国·高三专题练习）如图（1）所示，在 中， ， ， ， 垂
直平分 ．现将 沿 折起，使得二面角 大小为 ，得到如图（2）所示的空间几何
体（折叠后点 记作点 ）
(1)求点 到面 的距离；
(2)求四棱锥 外接球的体积；
(3)点 为一动点，满足 ，当直线 与平面 所成角最大时，试确定点 的位置．
14．（2023·全国·高三专题练习）如图 所示，在边长为 的正方形 中，点 在线段 上，且
，作 ，分别交 于点 ，作 ，分别交 于点 ，
将该正方形沿 折叠，使得 与 重合，构成如图 所示的三棱柱 ．(1)在三棱柱 中，求证： 平面 ；
(2)试判断直线 是否与平面 平行，并说明理由．
2 . 探索性问题
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱台 的体积为 ，其中 .
(1)求侧棱 与底面 所成的角；
(2)在线段 上是否存在一点P，使得 ？若存在请确定点 的位置；若不存在，请说明理由.
2．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，在五棱锥 中， ，
， .(1)证明： ；
(2)若平面 平面 ，平面 平面 ，探索： 是否为定值？若为定值，请求出 的
值；若不是定值，请说明理由.
3．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长
为4的正方形， ，平面 平面ABCD，且 ， ，点G是EF的中点．
(1)证明： 平面ABCD；
(2)线段AC上是否存在一点M，使 平面ABF？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
4．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知四棱锥 中，四边形 为等腰
梯形， ， ， ， ， 为等边三角形．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)是否存在一点 ，满足 ，使直线 与平面 所成的角为 ？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．5．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考开学考试）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，
，三角形 为正三角形，且侧面 底面 . 分别为线段 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明
理由.
6．（2023秋·江西吉安·高三吉安三中校考开学考试）如图，在四棱锥 中，
，四边形 是菱形， 是棱 上的动点，且 ．
(1)证明: 平面 ．
(2)是否存在实数 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值是 ?若存在，求出 的值；若
不存在，请说明理由．
7．（2023春·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）如图，在等腰梯形 中，
，四边形 为矩形，且 平面 ， .(1)求证： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的平面角为 ，且满足 .
若不存在，请说明理由；若存在，求出 的长度.
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形，
D，E分别为 ， 的中点， ， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点F，使得平面 与平面 的夹角为 ，若存在，求出 的长；若不存在，
请说明理由．
9．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面ABCD为正方形，
侧面SAD为等边三角形， ， ．(1)证明：平面 平面 ；
(2)侧棱SC上是否存在一点P（P不在端点处），使得直线BP与平面SAC所成角的正弦值等于 ？若存
在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．
10．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面
为菱形， 为等边三角形，且 ， ，O为 的中点．
(1)若E为线段 上动点，证明： ；
(2)G为线段PD上一点，是否存在实数 ，当 使得二面角 的余弦值是 ？若存在，
求出 的值；若不存在，请说明理由．
11．（2023秋·福建三明·高三统考期末）如图，在三棱柱 中， 为等边三角形，四边形
为菱形， ， ， .(1)求证： 平面 ；
(2)线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 的夹角的正弦值为 ？若存在，求出点 的
位置；若不存在，请说明理由.
12．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图所示，等腰梯形 中， ，
， ，E为 中点， 与 交于点O，将 沿 折起，使点D到达点P
的位置（ 平面 ）.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，试判断线段 上是否存在一点Q（不含端点），使得直线 与平面 所成角的正弦值
为 ，若存在，求三棱锥 的体积，若不存在，说明理由.
