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专题 4.6 平面向量的数量积及其应用
【新高考专用】
题型一 平面向量的数量积
π
1．（2024·河南周口·模拟预测）已知△ABC中，AC=2√2，∠C= ，AD为BC上的高，垂足为D，点
4
E为AB上一点，且AE=2EB，则⃗AD⋅⃗CE=（ ）
4 4 8 8
A．− B． C．− D．
3 3 3 3
π
2．（2024·山西太原·一模）在△ABC中，BC=6，AB=4，∠CBA= ，设点D为AC的中点，E在BC
2
上，且⃗AE⋅⃗BD=0，则⃗BC⋅⃗AE=（ ）
A．16 B．12 C．8 D．−4
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知▱ABCD在平面直角坐标系中，⃗AB=(4,2),⃗DA=(0,−3)，则
⃗AC⋅⃗BD=
．
4．（2024·四川南充·模拟预测）已知点O是△ABC的重心，OA=2，OB=3，OC=3，则
⃗OA⋅⃗OB+⃗OA⋅⃗OC+⃗OB⋅⃗OC= ．
题型二 平面向量的夹角问题
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知向量 且 ，则向量 与 的夹角为（ ）
⃗a=(0,1),⃗b=(x,1) (⃗b−2⃗a)⊥⃗b ⃗a ⃗b
π π π π
A． B． C． D．
6 4 3 2
6．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知平面向量 满足 ，且 ， ，则向量 的
⃗a,⃗b ⃗a⋅(⃗a−⃗b)=2 |⃗a|=1 |⃗b|=2 ⃗a,⃗b
夹角为（ ）
π 2π π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 67．（2024·甘肃兰州·一模）等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点E是BC上靠近点C的三等分点，
．
cos⟨⃗AE,⃗BD⟩=
8．（2024·上海·模拟预测）已知向量 ， ， 满足 ， ，且 ，则
⃗a ⃗b ⃗c |⃗a|=|⃗b|=1 |⃗c|=√2 ⃗a+⃗b+⃗c=0⃗
cos⟨⃗a−⃗c,⃗b−⃗c⟩=
．
题型三 平面向量的模长
5π
9．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=1，|⃗b|=√3，且⃗a与⃗b的夹角为 ，则|2⃗a−⃗b|=
6
（ ）
1
A． B．√13 C．1 D．13
2
10．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）等边 的边长为3，若 ， ，则 （ ）
△ABC ⃗AD=2⃗DC ⃗BF=⃗FD |⃗AF|=
√19 √17 √15 √13
A． B． C． D．
2 2 2 2
11．（2024·浙江温州·二模）平面向量 满足 ， ， ，则 ．
⃗a,⃗b ⃗a=(2,1) ⃗a∥⃗b ⃗a⋅⃗b=−√10 |⃗b|=
π π
12．（2024·湖南长沙·三模）平面向量 ⃗a,⃗b,⃗c 满足：⃗a⊥⃗c， ⟨⃗a,⃗b⟩= ，⟨⃗b,⃗c⟩= ，且 |⃗a|=|⃗c|=3，
3 6
，则 .
|⃗b|=2 |⃗a+⃗b+⃗c|=
题型四 平面向量的垂直问题
13．（2024·重庆·模拟预测）已知|⃗a|=1,|⃗b|=2，且⃗a与⃗b不共线，若向量⃗a+k⃗b与⃗a−k⃗b互相垂直，则
实数k的值为（ ）
1 1 1
A．− B． C．± D．±2
2 2 2
14．（2024·河南新乡·模拟预测）已知向量 ，且 ，则 （ ）
⃗a=(m,−1),⃗b=(4,m2+9) ⃗a⊥(⃗a+⃗b) m=
A．4 B．3 C．2 D．115．（2024·山西晋中·模拟预测）已知向量 ， ，若 ，则 ．
⃗a=(1,3) ⃗b=(3,4) (⃗a−λ⃗b)⊥⃗b λ=
16．（2024·四川·模拟预测）已知向量
⃗a=(1,2)
，
⃗b=(−2,3)
，→
c=(t,1)
，若
(⃗a+⃗c)⊥(⃗c−⃗b)
，则
t=
．
题型五 平面向量的投影
17．（2024·四川成都·模拟预测）已知平面向量 ， ，则 在 上的投影向量为
⃗a=(−1,√3) ⃗b=(−√3,1) ⃗a ⃗b
（ ）．
A． B．( 3 √3) C． D．( √3)
(−3,0) − , (−3,√3) −1,
2 2 2
18．（2024·云南曲靖·二模）已知 是 的外心， ， ，则向量 在向量
O △ABC ⃗AB+⃗AC=2⃗AO |⃗OA|=|⃗AB| ⃗AC
⃗BC上的投影向量为（ ）
1 √2 3 √3
A．− ⃗BC B．− ⃗BC C． ⃗BC D． ⃗BC
4 4 4 4
19．（2024·广东肇庆·一模）已知单位向量 ， 满足 ，则向量 在向量 上的投影向量的
⃗a ⃗b |⃗a+⃗b|=|⃗a−⃗b| ⃗a+⃗b ⃗b
模为 .
20．（2024·河北张家口·三模）已知向量 ，若 ，则 在 上的投影向量为
⃗a=(2,1),⃗b=(2,0),⃗c=⃗a+λ⃗b ⃗a⊥⃗c ⃗c ⃗b
．
题型六 坐标法解决向量数量积问题
21．（2024·四川绵阳·模拟预测）某公园设计的一个圆形健身区域如图所示，其中心部分为一个等边三角
形广场，分别以等边三角形的三条边作为正方形的一条边构造三个正方形区域用于放置健身器材，其中每
个正方形有两个顶点恰好在圆上．若AB=2a，则⃗BD⋅⃗CE=（ ）A． B． C． D．
−4(2+√3)a2 −2(2+√3)a2 −2(3+√3)a2 −2(1+√3)a2
22．（2024·四川绵阳·模拟预测）如下图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边
上有10个不同的点 ， ，…， ，记 ，则
B C P P P M =⃗AB ⋅⃗AP (i=1,2,⋅⋅⋅,10)
3 3 1 2 10 i 2 i
M +M +⋅⋅⋅+M =（ ）
1 2 10
A．18 B．180 C．−18 D．−180
1
23．（2024·山东德州·模拟预测）在△ABC中，AB=AC=1,⃗AD=⃗DB,⃗CD⋅⃗CA= ，若M是△ABC
AB2
所在平面上的一点，则 的最小值为 .
⃗MA⋅(⃗MB+⃗MC)
24．（2024·全国·一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．在2022
年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设
计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）．已知正方形ABCD的边
长为4，中心为O，四个半圆的圆心均在正方形ABCD各边的中点（如右图）．若点P在四个半圆的圆弧
上运动，则⃗AC⋅⃗OP的取值范围是 .
题型七 向量在物理中的应用
25．（23-24高一下·安徽·期中）平面上三个力⃗F
1
,⃗F
2
,⃗F
3
作用于一点且处于平衡状态.
❑ |
|
F
⃗
1
|
=1N
，
|F
⃗
|=√3N
，⃗F 与⃗F 的夹角为150°，则|⃗F |=（ ）
1 2 3
2A．1N B．√3N C．√5N D．√7N
26．（23-24高一下·河北·期中）在水流速度10km/h的自西向东的河中，如果要使船以10√3km/h的速度
从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（ ）
A．北偏西30°，20km/h
B．北偏西60°，10√2km/h
C．北偏东30°，10√2km/h
D．北偏东60°，20km/h
27．（2024·全国·模拟预测）如图，某物体作用于同一点O的三个力F ，F ，F 使物体处于平衡状态，
1 2 3
已知F =1N，F =2N，F 与F 的夹角为120°，则F 的大小为 ．（牛顿N是物理的力学单位）
1 2 1 2 3
28．（2024·内蒙古赤峰·三模）如图所示，把一个物体放在倾斜角为30∘的斜面上，物体处于平衡状态，且
受到三个力的作用，即重力 ，垂直斜面向上的弹力 ，沿着斜面向上的摩擦力 .已知：
⃗G ⃗F ⃗F
1 2
，则 的大小为 .
|⃗F |=80√3N,|⃗G|=160N ⃗F
1 2
题型八 向量数量积与解三角形综合
29．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a2+c2−b2=ac，
ac=4，则⃗BA⋅⃗BC=（ ）
A．√3 B．−√3 C．2 D．−2
2π
30．（2024·福建泉州·模拟预测）已知平行四边形ABCD中，AB=2，BC=4，B= ，若以C为圆心的
3
圆与对角线BD相切，P是圆C上的一点，则 的最小值是（ ）
⃗BD⋅(⃗CP−⃗CB)A．8−2√3 B．4+2√3 C．12−4√3 D．6+2√3
31．（2024·西藏拉萨·二模）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD,AB=AD=2√3,BC=CD=2√2，
则⃗AB⋅⃗AC= .
32．（2024·湖北襄阳·模拟预测）在△ABC中，AB=AC，点D在线段BC上，AB⊥AD，BD=3，
CD=1，点M是△ABC外接圆上任意一点，则⃗AB⋅⃗AM最大值为 .
一、单选题
1．（2024·浙江宁波·一模）向量 ， 满足 ， ，则 （ ）
⃗a ⃗b |⃗a|=|⃗b|=1 ⃗a⊥⃗b |⃗a−3⃗b|=
A．√3 B．√7 C．√10 D．√13
2．（2024·山东青岛·二模）已知向量 ，则 在 上的投影向量为（ ）
⃗a=(−1,2),⃗b=(−3,1) ⃗a ⃗b
A．( 3 1) B．( 1 ) C．( √5 2√5) D．( 3√10 √10)
− , − ,1 − , − ,
2 2 2 5 5 10 10
3．（2024·四川成都·模拟预测）设向量 ， 满足 ，且 ，则
⃗a ⃗b (⃗a−⃗b)⊥(⃗a+2⃗b) 2|⃗a|=3|⃗b|≠0 cos<⃗a,⃗b>=
（ ）
1 3 1 3
A．− B．− C． D．
6 8 6 8
4．（23-24高三上·广东汕头·期末）设⃗a表示向东走了10 km，⃗b表示向南走了5 km，则⃗a+2⃗b所表示的意
义为（ ）
A．向东南走了10√2 km B．向西南走了10√2 km
C．向东南走了5√6 km D．向西南走了5√6 km5．（2024·广东·模拟预测）已知向量 ，若 ，则实数 的值为（ ）
⃗a=(x+3,4),⃗b=(x,−1) |⃗a+⃗b|=|⃗a−⃗b| x
A．4 B．−4或1 C．−1 D．4或−1
6．（2024·广东佛山·一模）已知单位向量 ， 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
⃗a ⃗b |⃗a+⃗b|=1
A． B．
⟨⃗a,⃗b⟩=150∘ |⃗a−⃗b|=3
C．向量⃗a+⃗b在向量⃗a上的投影向量为 √3 ⃗a D．⃗b⊥ ( ⃗a+ 1 ⃗b )
2 2
π
7．（2024·湖南·模拟预测）如图，在直角梯形ABCD中，AB ∥ CD,∠BAD= ,AB=AD=2，若
3
M,N分别是边AD，BC上的动点，满足⃗AM=λ⃗AD,⃗BN=(1−λ)⃗BC，其中λ∈(0,1)，若
⃗AN⋅⃗BM=−2，则λ的值为（ ）
1 2
A．1 B．3 C． D．
3 3
8．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为4的等边△ABC，动点P在以BC为直径的半圆上.若
1
⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AC,则 λ+ μ的取值范围是（ ）
2
[ 5] [1 ] [1 6] [1 5]
A． 1, B． ,1 C． , D． ,
2 2 3 5 2 4
二、多选题
9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．已知点A，B，C是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且⃗OC=x⃗OA+0.4⃗OB，则x=0.6( 5 )
B．已知向量⃗a=(1,2),⃗b=(1,1)，且⃗a与⃗a+λ⃗b的夹角为锐角，则λ的取值范围是 − ,+∞
3
C．已知点G为△ABC三条边的中线的交点，则⃗GA+⃗GB+⃗GC=0⃗
D．已知 ，则 在 上的投影向量的坐标为
⃗AB=(2√3,2),⃗AC=(−1,−√3) ⃗AB ⃗AC (√3,3)
10．（2024·新疆·三模）已知点O(0,0)，A(2,1)，B(1,2)，P(cosα,sinα)(0≤α<2π)，则下列结论正确
的是（ ）
π 3π
A．若α= ，则⃗AB⊥⃗BP B．若⃗AB∥⃗OP，则α=
2 4
1 24
C．若⃗AB⋅⃗OP=− ，sin2α= D．|⃗AP|的最大值为√5+1
5 25
11．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端
是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟
的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动
点，则（ ）
1
A．⃗DE=⃗AF− ⃗AD
2
3
B．⃗AC⋅⃗BD=
4
C．若P为EF的中点，则⃗CP在⃗EC上的投影向量为−√3⃗EC
D． 的最大值为
|⃗FE+⃗FP| √7
三、填空题
12．（2024·四川德阳·模拟预测）已知向量 ， 的模分别为2，1，且 ，则 .
⃗a ⃗b |⃗a−⃗b|=√3 |⃗a+⃗b|=
13．（2024·四川内江·一模）在平行四边形ABCD中，已知AB=2，BC=6，∠ABC=60°，点E在边AD
上，DE=2AE，BE与AC相交于点M，则∠EMC的余弦值为 ．1
14．（2024·天津·二模）已知菱形ABCD边长为1，且⃗AB⋅⃗AD=− ,E为线段AD的中点，若F在线段
2
5 1
CE上，且⃗BF=λ⃗BA+ ⃗BC，则λ= ，点G为线段AC上的动点，过点G作BC的平行线交边AB于点
6 3
，过点 做 的垂线交边 于点 ，则 的最小值为 .
M M BC BC N (⃗MG+⃗MN)⋅⃗MF
四、解答题
π
15．（2024·四川德阳·一模）平面向量⃗e ，⃗e 满足|⃗e |=|⃗e |=1,⟨⃗e ,⃗e ⟩= ,⃗a=⃗e +t⃗e ,⃗b=t⃗e +⃗e
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2
(1)若⃗b在⃗a上的投影向量恰为⃗a的相反向量，求实数t的值；
(2)若 为钝角，求实数t的取值范围．
⟨⃗a,⃗b⟩
16．（2024·天津河北·模拟预测）已知向量 ， ， ．
⃗a=(3,4) ⃗b=(1,x) ⃗c=(1,2)
(1)若 ，求 的值；
⃗a⊥⃗b |⃗b|
(2)若 ，求向量 与 的夹角的余弦值．
⃗c∥(⃗a−2⃗b) ⃗a−2⃗b ⃗a
17．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量 ， ， ，且 .
⃗a=(1,3) ⃗b=(m,2) ⃗c=(3,4) (⃗a−3⃗b)⊥⃗c
(1)求实数m的值；
(2)求 ；
|3⃗b−⃗c|
(3)求向量⃗a与⃗b的夹角θ.18．（23-24高一下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,3)，B(1,5)，P(1,2)，M为
直线OP上的动点．
(1)若四边形APBQ是平行四边形，求点Q的坐标；
(2)求⃗MA⋅⃗MB的取值范围．
19．（23-24高一下·辽宁·期末）在平面直角坐标系 xOy中，已知四边形 OABC是等腰梯形，
1
A（6，0），C（1，√3），点 M满足⃗OM= ⃗OA，点P在线段BC上运动（包括端点），如图所
2
示.
(1)当点 为线段 中点时，将 绕原点 沿逆时针方向旋转 到 的位置，求点 的坐
P BC ⃗OP O 75❑∘ ⃗OP P
1 1
标；
(2)求 ∠OCM的余弦值；
(3)是否存在实数 λ，使 （⃗OA−λ⃗OP）⊥⃗CM？若存在，求出实数 λ的取值范围；若不存在，请说明
理由.
