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专题 5.3 平面向量基本定理及坐标表示-重难点题型精讲
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数
，
，使 .若 ， 不共线，我们把{ ， }叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量 在给出基底{ ， }的条件下进行分解——平面内的任一向
量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.
2．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量
作正交分解.
(2)向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为 ， ，取{ ， }作为基
底.对于平面内的任意一个向量 ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得 =x +y .这样，
平面内的任一向量 都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量 的坐标，记作 =(x,y)①.其中x
叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上的坐标，①叫做向量 的坐标表示.
显然， =(1,0)， =(0,1)， =(0,0).
(3)点的坐标与向量的坐标的关系3．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和（差）的坐标表示
由于向量 =( , )， =( , )等价于 = + ， = + ，所以 + =( + )+( +
)=( + ) +( + ) ，即 + =( + , + ).同理可得 - =( - , - ).
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由 =(x,y)，可得 =x +y ，则 = (x +y )= x + y ，即 =( x, y).
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
4．平面向量数量积的坐标表示
(1)平面向量数量积的坐标表示
由于向量 =( , )， =( , )等价于 = + ， = + ，所以 =( + ) ( + )=
+ + + .又 =1， =1， = =0，所以 = + .
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)平面向量长度（模）的坐标表示
若 =(x,y)，则 或 .
其含义是：向量 的长度(模)等于向量 的横、纵坐标平方和的算术平方根.
如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为( , )，( , )，那么 =( - , - )，| |=
.
5．平面向量位置关系的坐标表示
(1)共线的坐标表示
①两向量共线的坐标表示
设 =( , )， =( , )，其中 ≠0.我们知道， ， 共线的充要条件是存在实数 ，使 = .如果
用
坐标表示，可写为( , )= ( , )，即 ，消去 ，得 - =0.这就是说，向量 ， ( ≠0)共线的充要条件是 - =0.
②三点共线的坐标表示
若A( , )，B( , )，C( , )三点共线，则有 = ，
从而( - , - )= ( - , - )，即( - )( - )=( - )( - )，
或由 = 得到( - )( - )=( - )( - )，
或由 = 得到( - )( - )=( - )( - ).
由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.
(2)夹角的坐标表示
设 ， 都是非零向量， =( , )， =( , )， 是 与 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表
示可得 = = .
(3)垂直的坐标表示
设 =( , )， =( , )，则 + =0.
即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.
【题型1 用基底表示向量】
【方法点拨】
用基底表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底
表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解.
【例1】（2022·黑龙江·高二开学考试）如果 表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，
{⃑e ,⃑e }
1 2
不能作为一个基底的是（ ）
A．⃑e ,⃑e +⃑e B．⃑e −2⃑e ,⃑e −2⃑e
2 1 2 1 2 2 1
C．⃑e −2⃑e ,4⃑e −2⃑e D．⃑e +⃑e ,⃑e −⃑e
1 2 2 1 1 2 1 2
【变式1-1】（2022·全国·高一课时练习）设 是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底
{⃑e ,⃑e }
1 2
的是（ ）
A．⃑e +⃑e 和⃑e −⃑e B．⃑e 和⃑e +⃑e
1 2 1 2 1 1 2
C．⃑e +3⃑e 和⃑e +3⃑e D．3⃑e −2⃑e 和4⃑e −6⃑e
1 2 2 1 1 2 2 1
【变式1-2】（2022·甘肃庆阳·高一期末）下列各组向量中，不能作为平面的基底的是（ ）
A．⃑e =(2,−1)，⃑e =(1,−2) B．⃑e =(4,−2)，⃑e =(−2,1)
1 2 1 2C．⃑e =(3,3)，⃑e =(−1,1) D．⃑e =(2,3)，⃑e =(−1,3)
1 2 1 2
【变式1-3】（2022·湖北武汉·高一期末）已知向量 在正方形网格中的位置如图所示，用基底
⃗a,⃗b,⃗c {⃗a,⃗b}
表示⃗c，则（ ）
A．⃗c=3⃗a−2⃗b B．⃗c=−3⃗a+2⃗b
C．→ → → D．
c=−2a+3b
⃗c=2⃗a+3⃗b
【题型2 平面向量基本定理的应用】
【方法点拨】
结合题目条件，利用平面向量基本定理进行转化求解即可.
【例2】（2022·福建·高二期中）△ABC中，D为BC中点，⃗AE=2⃗EC，AD交BE于P点，若
⃗AP=λ⃗AD，则λ=（ ）
2 3 4 5
A． B． C． D．
3 5 5 6
【变式2-1】（2022·广东深圳·高三阶段练习）在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，
1 2
且AE= AD，CF= CD，点G为线段EF的中点，记⃗BA=⃗m,⃗BC=⃗n，则⃗BG=（ ）
3 3
5 2 5 4
A． ⃗m+ ⃗n B． ⃗m+ ⃗n
6 3 3 3
4 5 2 5
C． ⃗m+ ⃗n D． ⃗m+ ⃗n
3 3 3 6
【变式2-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））在△ABC中，D为边BC的中点，E在边AC上，且
EC=2AE，AD与BE交于点F，若⃗CF=λ⃗AB+μ⃗AC，则λ+μ=（ ）
1 3 1 3
A．− B．− C． D．
2 4 2 4
【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，D，E分别是线段AB，BC上的点，且AD=3DB，
2
BE= BC，若⃑DE=x⃑AB+ y⃑AC，则x+ y=（ ）
31 1 1 1
A． B．− C．− D．
4 4 6 6
【题型3 平面向量的坐标运算】
【方法点拨】
(1)向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，
则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用.
(2)利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解.
【例3】（2023·广东·高三学业考试）已知向量 ，则 （ ）
⃗a=(1,−2)，⃗b=(3,5) 2⃗a+⃗b=
A．(4，3) B．(5，1)
C．(5，3) D．(7，8)
【变式3-1】（2022·北京·高二阶段练习）已知M(5，-1，2)，A(4,2，-1)，O为坐标原点，若
⃗OM=⃗AB，则点B的坐标应为（ ）
A．(-1,3，-3) B．(9,1，1)
C．(1，-3，3) D．(-9，-1，-1)
【变式3-2】（2022·广东·高一阶段练习）已知向量⃑a=(2,1)，⃑b=(1,−1)，则⃑a+⃑b=（ ）
A．(3,0) B．(3,1) C．(−1,2) D．(1,2)
【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知向量⃗a=（1，1），⃗b=（﹣1，1），⃗c=（4，2），若
→ → →，λ、μ∈R，则λ+μ＝（ ）
c=λa+μb
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【题型4 向量共线、垂直的坐标表示的应用】
【方法点拨】
向量共线、垂直的坐标表示的应用有两类：一是判断向量的共线（平行）、垂直；二是根据向量共线、垂
直来求参数的值；根据题目条件，结合具体问题进行求解即可.
【例4】（2022·山东·高三阶段练习）已知向量 ， ， ，则（ ）
⃗a=(2,−1) ⃗b=(−3,2) ⃗c=(1,1)A． B． C． D．
⃗a//⃗b (⃗a+⃗b)⊥⃗c ⃗a+⃗b=⃗c ⃗c=5⃗a−3⃗b
【变式4-1】（2022·广东·高三学业考试）已知向量 ，若 ，则 （ ）
⃗a=(2,1),⃗b=(x,−2) ⃗a//⃗b ⃗a+⃗b=
A．(－2，－1) B．(2，1) C．(3，－1) D．(－3，1)
【变式4-2】（2022·北京·高二阶段练习）己知平面向量 ， ， ，若 ，
⃗a=(-1,2) ⃗b=(3,-1) ⃗c=(t,t) (⃗a+⃗c)∥⃗b
则t=（ ）
5 1 5 7
A． B． C．- D．-
2 4 4 4
【变式4-3】（2022·甘肃·高三阶段练习（文））已知向量⃗a=(-1,3)，⃗b=(2,1)，⃗c=k⃗a+⃗b，若⃗b⊥⃗c，则
k=（ ）
1 1
A．-5 B．- C．5 D．
5 5
【题型5 向量坐标运算与平面几何的交汇】
【方法点拨】
利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向
量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.常用方法是建立平面直角坐
标系，借助向量的坐标运算转化为代数问题来解决.
【例5】（2022·黑龙江·高三阶段练习）如图所示，梯形ABCD中，AB//CD，且
AB=2AD=2CD=2CB=2，点P在线段BC上运动，若⃑AP=x⃑AB+ y⃑AD，则x2+ y2的最小值为（ ）
5 4 13 13
A． B． C． D．
4 5 16 4
【变式5-1】（2022·全国·高一课时练习）如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠DAB=90°，
1 1
AD=AB=4，CD=1，动点P在边BC上，且满足⃑AP=m⃑AB+n⃑AD（m，n均为正数），则 + 的最
m n
小值为（ ）3 3 7+4√3
A．1 B． C．− D．
4 4 4
【变式5-2】（2022·全国·高一）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=b=5，c=8，I
是△ABC内切圆的圆心，若⃑AI=x⃑AB+ y⃑AC，则x+ y的值为（ ）
20 10 3 13
A． B． C． D．
3 3 2 18
【变式5-3】（2022·新疆·高三阶段练习（文））在正方形ABCD中，M是BC的中点．若
⃑AC=λ⃑AM+μ⃑BD，则λ+μ的值为（ ）
4 5 15
A． B． C． D．2
3 3 8
【题型6 向量坐标运算与三角函数的交汇】
【方法点拨】
先运用平面向量的坐标运算的相关知识将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再
利用三角函数的相关知识求解即可.
【例6】（2022·河南南阳·高一阶段练习）已知向量
．
⃑a=(cosx,2sinα+√2sinx),⃗b=(sinx,2cosα−√2cosx)
(1)若 ⃑a//⃑b，求x+α的值；
π
(2)若α= ，函数f(x)=⃑a⋅⃑b，求f(x)的值域．
4
【变式6-1】（2022·广西河池·高一阶段练习）已知向量⃑AB=(sinθ,cosθ−2sinθ)，⃑CD=(1,2).
(1)已知C(3,4)，求D点坐标；
(2)若⃑AB⊥⃑CD，求tanθ的值.【变式6-2】（2022·浙江·高一期中）已知向量 ， ， ， ，
⃗a=(1,√3) ⃗b=(m,0) （m<0） ⃗c=(2cosθ,2sinθ)
7
θ∈[0,π].若 ⃗a+⃗b与 ⃗a−3⃗b垂直.
5
(1)求m的值及⃗a−⃗b与⃗a之间的夹角；
(2)设⃗c=λ⃗a+μ⃗b，求λ+μ的取值范围.
3x 3x x x
【变式6-3】（2022·广东·高一期中）已知△ABC，⃑AB=(cos ,−sin )，⃑AC=(cos ,sin )，其
2 2 2 2
π
中x∈(0, )．
2
(1)求|⃑BC|和△ABC的边BC上的高
ℎ
；
(2)若函数 的最大值是 ，求常数 的值．
f(x)=|⃑BC|2+λℎ 5 λ
