文档内容
4.5 简单的三角恒等变换
思维导图
知识点总结
1 半角公式
α √1-cosα α √1+cosα α √1-cosα
sin =± ,cos =± ,tan =±
2 2 2 2 2 1+cosα
(由降幂公式可得)
证明
由降幂公式sin2α=
1-cos2α
得sinα=±
√1-cos2α
，则sin
α
=±
√1-cosα
；
2 2 2 2
由降幂公式cos2α=
1+cos2α
得cosα=±
√1+cos2α
，则cos
α
=±
√1+cosα
；
2 2 2 2
α
sin
α 2 √1-cosα
tan = =± .
2 α 1+cosα
cos
2
解释
α α α
半角公式，利用cosα表示了sin 、cos 、tan .
2 2 2
2 万能公式α α α
2tan 1-tan2 2tan
2 2 2
sinα= ，cosα= ,tanα=
α α α
1+tan2 1+tan2 1-tan2
2 2 2
(由倍角公式可得)
证明
解释
α
万能公式，利用tan 表示了sinα、cosα和tanα.
2
3 和化积公式
α+β α-β α+β α-β
sinα+sinβ=2sin cos sinα-sinβ=2cos sin
2 2 2 2
α+β α-β α+β α-β
cosα+cosβ=2cos cos cosα-cosβ=-2sin sin
2 2 2 2
(由和差公式可得)
证明
4 积化和公式
1
sinα∙cosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]
2
1
cosα∙cosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]
2
1
sinα∙sinβ= [cos(α-β)-cos(α+β)]
2
(由和差公式可得)
证明
解释
积化和公式相当于和化积公式的逆运算.典型例题分析
考向一 公式直接应用
例1 利用公式 证明：
（1） ； （2） .
考向二 结合同角三角函数应用
例2 已知 ， ， ， 是第三象限角，求 的值.考向三 三角恒等变换的综合应用
例3 利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） .
考向四 二倍角公式与和差角公式
例4 已知 ， ，求 ， ， 的值.考向五 三角函数的证明问题
例5 求证：
（1） ；
（2） .
考向六 三角函数的应用问题
例6 求下列函数的周期，最大值和最小值：
（1） ； （2） .基础题型训练
一、单选题
1． （ ）
A． B． C． D．
2．在 中，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．下列各数 ， ， ， 中，
最大的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列化简结果正确的个数为（ ）
① ②③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知 为第三象限角，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 ，则函数 的最小正周期和最大值分别为（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
二、多选题
7．将函数 的图象向左平移 个单位后，所得图象关于 轴对称，则实数 的值可能
为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数 ，则（ ）
A． 的最大值是4
B． 的最小正周期是
C． 的图象关于直线 对称
D． 在区间 上单调递减
三、填空题9． ____．
10．已知 ，则 ______
11．在平面直角坐标系 中,已知角 的顶点和点 重合,始边与 轴的非负半轴重合,终边上一点 的坐
标为 ，则 __________．
12．已知 ，则 ______.（用含 的式子表示）
四、解答题
13．已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期和最大值；
（2）求函数 的单调减区间.
14．已知 ，且 .则 ______.
15．设函数
（1）求函数 的对称中心；
（2）求函数 在 上的单调递减区间．
16．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，锐角α、β的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，
它们的终边与单位圆分别交于A、B两点，已知A、B两点的横坐标分别为 和 ．(1)求 ， 的值．
(2)求 ， 的值．
提升题型训练
一、单选题
1．已知 ， 为锐角， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 ， ，则 =（ ）.
A． B． C． D．
3．设 ，若 ，则 （ ）．
A． B． C． D．4． （ ）
A．4 B． C． D．
5．已知 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ，则
A． B． C． D．
二、多选题
7．计算下列各式，结果为 的是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数 的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）
A．θ的值可为B．若 ，则k为奇数
C．若 ，则
D．若 ，则 的最大值要大于
三、填空题
9．已知 ， ，则 ______.
10．已知 ，则 的值为________．
11．化简(tan10°－ )· ＝________.
12．函数 的单调递增区间为__________．
四、解答题
13．证明下列各式.
（1） ；
（2） .
14．已知函数 的最大值是1.
（1）求常数a的值；
（2）求使 成立的x的取值集合.15．已知函数 ， ，再从条件① 、条件② 、
条件③ 这三个条件中选择一个作为已知．求：
(1) 的最小正周期；
(2) 在区间 的取值范围．
16．在锐角 中， ．
（1）求角A的大小；
（2）求 的最大值．
