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培优 02 二元一次方程组的实际应用类型（9 大题型）
题型1 二元一次方程组应用--分配问题
识别分配总量与比例关系是核心。设两个未知数分别代表不同分配对象的数量，根据"总量
不变"和"比例关系"建立两个方程。常见于人员分组、物资分配等场景，需注意未知数通常
为非负整数，解出后要验证是否符合实际意义。
1．（24-25七年级下·陕西铜川·阶段练习）盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，
一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配2个玩偶A和3个玩偶B，已知
每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）2025年1月7日西藏定日县发生6.8级地震，自治区应急、交通
等部门给予大力帮助．针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查，现安排甲、乙两
种货车从某医药公司仓库运输物资到地震灾区，两种货车的情况如表：
甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨
第一次 3 4 27
第二次 4 5 35
(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
(2)据了解，这次运输中，每辆车都装满，甲种货车拉每吨货物耗费100元，乙种货车拉每吨货物耗费150
元，有5辆车参与运货，其中甲种货车 辆．求货车所需总费用 与 之间的函数关系式；当所需总费用
为2350元，该如何安排拉货？
3．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）这个夏天，江苏的顶流话题非“苏超”莫属！朋友圈、抖音全被
刷屏，网友们边看球赛边玩梗．梭子蟹 大闸蟹、云雾茶 碧螺春、海鲜 汤包…… 年 月 日，
连云港主场迎战苏州，一场“舌尖上的德比”未踢先火，更因两地特色 被戏称为“蟹王争霸赛”．
为给赛事加码，连云港放出“宠粉大招”——广大球迷专属优惠：即日起至 月 日，凡持有 年江苏
省城市足球联赛购票凭证的球迷，凭购票记录和身份证，可享受在观赛当日及前、后 天内（十一假期不
含在内）连云港市域内景区、酒店优惠．
已知连云港某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天 元，双人间为每人每天 元．
凡球迷圆团体入住一律五折优惠．一个 人的团体在 月 日到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间
客房．
(1)如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费 元．求租住了三人间、双人间客房各多
少间？(2)一天 元的住宿费是否为最低？如果不是最低，请尝试设计一个方案，使得一天的住宿费用最低，
并求出最低费用．
4．（24-25七年级下·陕西延安·期中）某铁件加工厂用图①的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形
的边长相等）可以加工成图②的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）．两种长方体
容器与所需铁片的数量关系如下表：
1个竖式无盖容 1个横式无盖容
器 器
长方形铁片的数
4张 3张
量
正方形铁片的数
1张 2张
量
(1)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图②的竖式容器和横式容器，两种铁片刚好全
部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？
(2)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板
计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？
5．（24-25七年级下·重庆·期中）春节期间市场上对礼品盒的需求量激增．为了满足市场的需求，沙坪坝
区某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10
名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个．
(1)该工厂有男工、女工各多少名？
(2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那
么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？
6．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）2024年1月5日，第40届哈尔滨国际冰雪节开幕式在哈尔滨冰雪大
世界举行，掀起了哈尔滨冰雪旅游的高潮．因为天气的寒冷，保温杯的需求也在大量增加，某工厂主要加
工生产保温杯，已知一个保温杯是由一个杯身和两个杯底构成，用1张铁皮可做35个杯身或60个杯底．
(1)现有520张铁皮，用多少张做杯身，多少张做杯底才能使杯身与杯底恰好配套，同时可以制造多少个保
温杯？(2)现由工厂加工生产这批保温杯，生产到一半时，因产品的急需，又增添了一些人员前往加工生产，结果
每天生产的保温杯比原来多了 ，最后提前2天完成．请问原计划每天生产多少个保温杯？
7．（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践．
【素材1】某工厂计划日生产 件零件．
【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下：
工种 初级工 高级工
日生产量（件/人）
日薪酬（元/人）
【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划．
【问题】
(1)若工厂指派 名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？
(2)该工厂每日计划支付薪酬 元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？
(3)为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指
导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低）
的工人安排方案．
0 5
5
参与指导的高
8 6 4 2
级工人数
高级工人数 8
费用
8．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）工作人员从仓库领取如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和
底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．
正方形纸板 长方形纸板
次数
（张） （张）
第一
560 940
次
第二
420 1002
次
(1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录：①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误，请判断第几次的记录有误，并说明理由；
②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式和横式纸盒各多少个？
(2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为 ，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸
盒与横式纸盒个数的比值；
(3)拓展延伸：现在仓库里有 张正方形纸板和 张长方形纸板，如果这些纸板做出的竖式纸盒为 与横式
纸盒个数为 ，恰好使库存的纸板用完，则用 的代数式表示 的值．
题型2 二元一次方程组应用--营销问题
抓住进价、售价、利润、数量这四个关键量。设未知数表示不同商品的销量或进价，根
据"总销售额=单价×数量"和"总利润=单利×数量"或"总成本=进价×数量"建立方程组。注意
折扣、利润率等概念的准确计算。
9．（24-25六年级下·上海青浦·期末）某商店销售甲、乙两种商品．现有如下信息：
信息1：甲、乙两种商品零售单价之和是 元．
信息2：按零售单价购买甲商品3件和乙商品 件共需支付 元．
(1)根据情境中的信息，求出甲、乙两种商品的单价．
(2)恰逢“ ”活动，乙商品降价 销售，已知乙商品的成本为 元，求此时的盈利率．
10．（24-25七年级下·重庆·自主招生）某汽车专卖店销售 两款新能源汽车，上周出售1辆A款和3
辆B款，销售额为96万元；本周出售2辆A款和1辆B款，销售额为62万元．问．
(1)A、B两款分别价值多少钱？
(2)若A款价格上涨 ，B款上涨 ，则同时购买一辆A款和一辆B款的费用比涨价前多了 ，求
的值．
11．（24-25六年级下·上海闵行·期末）今年五一假期，学校号召大家开展丰富的小队活动．六（3）班小
海团队共16人（包含部分家长及学生）一起到某 景区游览，小海负责在网上进行预约，并提前购票．
网络提示购票信息有如下4条：
A．成人票：全价票，每张80元；
B．学生票：是全价票的一半；
C．团体票：20人及以上，按全价票的六折优惠；D．若退票，将扣除购票款的 ．
(1)小海团队若分别购买成人票和学生票，需付款1000元．问小海团队家长和学生各几名？
(2)小海支付1000元购票价后，碰到还没有购票的乐乐团队，他们是2名家长和4名学生．他们发现退票后
所有人都购买团体票更合算，请计算小海团队重新购票能节省多少元．
12．（2025·河北唐山·三模）国产动画《哪吒》系列电影的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象．某文
创店老板打算从批发商处购进“哪吒”“敖丙”和“太乙真人”三种手办，第一批只购进了“哪吒”和
“敖丙”两种手办进行试销．其进货单如图所示，其中部分数据被墨水覆盖，已知每套“敖丙”手办的进
价比每套“哪吒”手办贵5元．
(1)求出每套“哪吒”手办和每套“敖丙”手办的进价；
(2)受电影热度影响，第一批购进的两种手办全部售完，老板将第一批手办的销售额全部用于购进第二批手
办，已知三种手办都需要购进，且购进“哪吒”和“敖丙”手办的数量相等．但每套“哪吒”手办的进价
比原来提高20%，每套“敖丙”手办的进价比原来降低 ，每套“太乙真人”手办的进价不变，若购进
套“太乙真人”手办， 套“哪吒”手办．
①试推算 与 应满足的数量关系；
②若三种手办的售价不变，当“太乙真人”手办的数量不少于130套时，直接写出销售完第二批手办可获
得利润的最大值．
13．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐
成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆A型汽
车、5辆B型汽车的进价共计980万元；3辆A型汽车、7辆B型汽车的进价共计940万元．
(1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若端午节搞活动，该公司了解到A、B两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960
万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.6万元，销售1辆B型汽车可获利0.4万元，在（2）中的
购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？14．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务
奖品购买方案设计
素材 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知每支钢笔的单价为 元，每本笔记本的单
1 价为 元．
素材 某学校花费 元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，
2 购买的钢笔数量比笔记本少 支
学校花费 元后，文具店赠送 张（ ）兑换券（如图）用于商品兑
换．兑换后，笔记本数量与钢笔相同．
素材
3
问题解决
任务
【探究购买方案】在不使用兑换券的情况下，求购买的钢笔和笔记本数量
一
任务
【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案．
二
15．（24-25六年级下·上海·阶段练习）阅读下列材料：
问题：某饭店工作人员第一次买了13只鸡、5只鸭、9只鹅共用了925元．第二次买了2只鸡、4只鸭、3
只鹅共用了320元，试问第三次买了鸡、鸭、鹅各一只共需多少元？（假定三次购买鸡、鸭、鹅单价不
变）
解：设鸡、鸭、鹅的单价分别为x，y，z元．根据题意，得方程组：
上述方程组可变形为：
设 ， ，上述方程组可化为：
得： ，即 ．
答：第三次买鸡、鸭、鹅各一只共需 元．
阅读后，细心的你，可以解决下列问题：
(1)上述材料中， ；(2)选择题：上述材料中的解答过程运用了 思想方法来指导解题．
A．整体 B．数形结合 C．分类讨论
(3)某校体育组购买体育用品甲、乙、丙、丁的件数和用钱金额如下表：
甲 乙 丙 丁 用钱金额/元
第一次购买件
5 4 3 1 1882
数
第二次购买件
9 7 5 1 2764
数
根据表格中提供的数据信息填空，如果购买每种体育用品各一件，共需 元．
16．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”
两种毛绒玩具，据了解，4只“冰墩墩”和5只“雪容融”的进价共计1000元；2只“冰墩墩”和6只
“雪容融”的进价共计780元．
(1)“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元？
(2)若该专卖店计划恰好用4500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），专卖店共
有几种采购方案？请写出具体的购买方案；
(3)若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是200元，100元，则在（2）的条件下，请选
出利润最大的采购方案，并求出最大利润．
17．（24-25七年级下·浙江宁波·阶段练习）探究奖项设置和奖品采购的方案．
素材1：如图，某学校举办“中国传统文化”知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖的奖品．已知
一盒水笔比一本笔记本的单价高9元，10盒水笔和10本笔记本的总价为210元．
素材2：为提高今后参赛积极性，学校将原定的获奖级别及人数进行调整，如表：
一等 二等 三等
获奖级别
奖 奖 奖
调整前人数 单位：个
5 15 30
调整后人数 单位：个
m 20 n调整前后获奖总人数不变．调整前一、二、三等奖的平均分数分别为94分、80分、71分，调整后一、二、
三等奖的平均分数分别为90分、75分、70分．
素材3：调整后开始采购，学校有活动经费690元和30张“吉祥超市”的兑换券，一张兑换券兑换3盒水
笔或者7本笔记本 一张兑换券只能兑换一种商品
【任务1】分别求一盒水笔和一本笔记本的单价．
【任务2】求m，n的值．
【任务3】学校计划所需奖品全部在“吉祥超市”采购，请你设计一个最佳采购方案．
18．（24-25七年级上·山东滨州·期末）沾化冬枣主要生产于滨州市沾化区，2024年7月，拟定2024年地
理标志保护工程实施名单．一代冬枣的管理相对简单，适合大规模种植，而二代冬枣需要复杂的短枝嫁接
技术培育管理起来比较麻烦，成本高且产量少．滨城区一水果店都按整数斤进货一代、二代冬枣，进、售
冬枣的价格如下表：
单件类 成本价 销售价
别 （元/件） （元/件）
一代冬
5 7
枣
二代冬
12 25
枣
(1)该水果店购进一代、二代水果共500斤，共花费4600元，该商家购进一代、二代冬枣分别多少斤？
(2)因热销，第一次购进的冬枣全部售完，该水果店打算花费3000元购进一代、二代冬枣，购进一代、二
代冬枣的斤数是均不超过250斤的整十数，且两种冬枣都要采购．请问该水果店有几种购进方案？
(3)在（2）的基础上，你建议水果店采用哪种购进方案？为什么？（假设冬枣全部售完）
19．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）根据以下素材，探索完成任务；
生活中的数学问题
案 为了激发学生学习的积极性，李老师决定在某饮品店购买单价为8元和6元的饮
材1 品分别奖励在阶段性学习反馈中获得A+等级和A等级的学生；
李老师班第一次阶段性学习反馈中获得A+等级和A等级的学生共8人；一个月后
素
李老师班第二次阶段性学习反馈中获得A+等级和A等的学生共11人，其中获得
材2
A+等级的有5人：
该饮品店推出优惠活动方案：
素 活动1：累计购买6元及6元以上饮品10杯可赠送1杯6元饮品；
材3
活动2：一次性购买10杯以上（含10杯）单价为6元及6元以上的饮品的，单价
8元一杯的饮品可打m折．注：两种优惠活动不可同时使用，经计算，第二次阶段性学习反馈李老师用优惠
活动1和活动2的花费是相同的．
问题解决
问 第一次阶段性学习反馈后，李老师买奖品共花了 54 元，则获得 A+等级和 A 等
题1 级的学生各有多少人?
问
请求出m的值；
题2
问 若第二次阶段性学习反遗中李老师班获得A+等级和A等级的学生共11人，其中
题3 获得A+等级的有6人，选择哪个优惠活动更合算?请说明理由．
题型3 二元一次方程组应用--工程问题
将工作总量视为单位1，工作效率为核心变量。设两个未知数表示不同工程队或工作模式的
工作效率，根据"甲完成量+乙完成量=总工作量"和"工作时间关系"建立方程。注意合作时工
作效率相加，时间与效率成反比。
20．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然
环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建 ，雨天每天修建 ，他们连续
修建了 ，平均每天修建 ，那么这几天中有几天雨天（ ）
A．4天 B．6天 C．8天 D．10天
21．（24-25七年级下·山东德州·期末）现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共
同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排
的人是（ ）
组合 A与B B与C A与C B与D
所需时间 7天 9天 11天 14天
A．A B．B C．C D．D
22．（24-25九年级下·吉林松原·期中）长白山是吉林省的著名旅游景点．为方便外地游客到长白山旅游，
吉林省正在修建“沈阳-白山”的高铁线路，其中一个路段需要开凿一条全长 千米的穿山隧道．为缩短
工期，甲、乙两个工程小组分别从山体两侧同时施工．已知甲组比乙组平均每天多开凿2米，经过 天施
工，两组会合，完成了任务．求甲、乙两个小组平均每天各开凿多少米？
23．（24-25七年级下·广西崇左·期末）某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两
队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问：
(1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
(2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？
24．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）“呼和浩特盛乐国际机场”坐落于呼和浩特市和林格尔县巧
什营镇，是内蒙古自治区首座4F级国际民用机场，距呼和浩特市中心约 千米．为高效推进机场配套
建设，甲、乙两个工程队接力承担一段长为29000米的机场快速路修建任务，甲工程队每天修建100米，
乙工程队每天修建150米，两队接力施工共用260天完成，求甲、乙两个工程队各自修建机场快速路的长
度．
七年级学生盛盛和乐乐根据题意分别列出了下面尚不完整的方程组：
盛盛： 乐乐：
(1)请把盛盛和乐乐所列的方程组补充完整；
(2)请分别写出盛盛和乐乐所列方程组中未知数x，y表示的意义．
盛盛：x表示________，y表示________；
乐乐：x表示________，y表示________；
(3)请你从两位同学的方法中任选一种进行解答．
25．（24-25七年级下·河南许昌·期中）根据以下信息，探索完成任务：
如何设计招聘方案？
某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装 辆．每名熟
练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动
素材
汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安
装．
调研部门发现： 名熟练工和 名新工人每月可安装 辆电动汽车； 名熟
素材
练工和 名新工人每月可安装 辆电动汽车．
工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发 元工资，每名新工人每月发
素材3
元工资．
问题解决
任务一：
分析数量 每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
关系任务二：
如果工厂招聘 名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚
确定可行
方案 好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？
题型4 二元一次方程组应用--古代问题
先将文言文翻译为现代数学语言。识别问题中的等量关系，如"盈不足"问题中的分配差
异，"鸡兔同笼"中的头脚关系。设两个未知数，根据古代算法背后的数学原理建立方程组。
26．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度
之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？“意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余
尺：将绳子对折再量长木，长木还剩余 尺，问木长多少尺？设木长为 尺，绳子长为 尺，则下列符
合题意的方程组是（ ）
A． B． C． D．
27．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；
人出七，余三；问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人
出7钱，多余3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程
组为（ ）
A． B． C． D．
28．（2025·云南丽江·一模）《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；
行酒(劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行
酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．29．（24-25八年级上·全国·期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记录了这样一个题目：九百九十九文
钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文
钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦果、甜果各
有几个？设苦果有 个，甜果有 个，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
30．（25-26八年级上·全国·期末）我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的
问题，其大意如下：甲、乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我
的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊就一样多．”两个人在沟两边闲坐，心
里很烦躁，因为在地上画了半晌，也没算出来．请问甲、乙各有多少只羊．设甲有 只羊，乙有 只羊，
则符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
31．（2025·河北邯郸·三模）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客
不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若
2名客人共用1个盘子，则少2个盘子；若3名客人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有
多少？”则下列说法正确的是（ ）
A．设有x名客人，y个盘子，根据题意可得
B．设有x名客人，根据题意可得
C．有20名客人
D．有12个盘子
32．（25-26八年级上·全国·随堂练习）《九章算术》中有这样一个题：今有二马，一牛价过一万，如半马之价；一马，二牛价不满一万，如半牛之价，问牛，马价各几何？其意思为：今有2匹马，1头牛的总价
超过1万钱，其超出的钱数相当于 匹马的价格，1匹马，2头牛的总价不足1万钱，所差的钱数相当于
头牛的价格．问每头牛，每匹马的价格各是多少？设每匹马的价格为x万钱，每头牛的价格为y万钱，则
可列方程组为 ．
33．（2025·湖北襄阳·一模）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有甲乙二
人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”意思是：不知道
甲乙二人各有多少钱，如果把乙的钱给甲一半，则甲有50钱；如果把甲的钱 给乙，则乙也有50钱．问：
甲乙二人原来各有多少钱？答：甲原有 钱，乙原有 钱．
题型5 二元一次方程组应用--行程问题
掌握路程=速度×时间这个核心公式。设速度或时间为未知数，根据相遇、追及、往返等不
同情景建立方程。相遇问题用路程和，追及问题用路程差，注意顺逆流中速度的变化。
34．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时 千
米的速度下山，以每小时 千米的速度走平路，到达乙地共用 分钟；他返回时，以每小时 千米的速度
通过平路，以每小时 千米的速度上山，共用了 小时，甲、乙两地的距离是 ．
35．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲驾驶一艘小船在河中匀速行驶，已知顺水行驶120千米，
用时6小时；在同样的水流速度下，逆水行驶80千米用时8小时．则甲驾驶这艘小船在静止水面上行驶
150千米需要 小时．
36．（24-25八年级下·北京·期中）小宇的家离学校1800米．小宇早晨从家出发沿笔直的马路匀速步行去
学校上学，几分钟后，在家休假的爸爸发现小宇忘带跳绳，于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小宇，
爸爸追上小宇后以原速度沿原路回家．小宇拿到跳绳后以原速度的1.5倍快步赶往学校（小宇被爸爸追上
时交流的时间忽略不计）．在整个过程中，小宇与爸爸之间的距离 与小宇从家出发到学校的步行时
之间的函数关系如图所示．（1）小宇从家出发 分钟时，爸爸追上小宇；
（2）小宇从家到学校用时 分钟．
37．（24-25七年级下·广东广州·期中）列二元一次方程组解下列问题
(1)某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共
需420元，求每个篮球和每个足球的售价．
(2) 、 两地相距36千米，若甲、乙两人都从 地去 地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；
若甲、乙分别从 、 两地出发，相向而行，乙比甲早出发1.5小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、
乙两人的速度．
38．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一
台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着
走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，
接着B型机器人走20步，共需要27秒．
(1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？
(2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A
型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次
接力任务的时间可能是多少秒？
39．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球
从起跑线起跑，绕过 点跑回到起跑线（如下图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，
用时最少者获胜．结果甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学以2.5米/秒的速度顺利跑完全程．
事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是
我的1.2倍”．
请根据图文信息解决下列问题：(1)求甲的赛跑速度；
(2)在此次“托球赛跑”游戏中，哪位同学获胜？
40．（24-25七年级下·河南焦作·期末）数学活动：轮胎换位问题
户外骑自行车进行锻炼是我们日常生活中常见的一种锻炼方式，深受大众欢迎．在骑行的过程中，自行车
的轮胎与地面摩擦会有损耗，行驶一定的里程就要报废．
【问题解决】
问题一：如果前后轮没有压力差，前轮可以使用4000千米，后轮也可以使用4000千米，这对轮胎行驶的
里程数最大值是_________．
问题二：由于后轮受到的压力大，所以同样的轮胎放在后轮损耗会大一些，如果行驶到某里程数，将前后
轮交换一次，再使用到前后轮同时报废，可以使两个轮胎行驶的里程数最大．
（1）一对同样的新轮胎，安装在前轮可以使用5000千米，安装在后轮可以使用3000千米．设每个新轮胎
报废时的总磨损量为 ，则安装在前轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为_________，安装在后轮的轮胎每行
驶1千米的磨损量为_________．
（2）在（1）的条件下，设一对新轮胎交换位置前走了 千米，交换位置后走了 千米，则这对轮胎行驶
的里程数最大值是多少？行驶的里程数为多少时交换前后轮胎？
题型6 二元一次方程组应用--几何问题
运用几何图形的性质建立方程。常见于角度计算（如互补、互余）、长度计算（勾股定理、
周长公式）、面积计算等问题。设两个未知数表示几何量，根据图形特性列出方程组。
41．（24-25八年级上·陕西西安·期末）将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长
分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为 ， ，则 （ ）
A．12 B．16 C．20 D．40
42．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，在长方形 中放置9个形状、大小都相同的小长方形
（尺寸如图）
(1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽；
(2)求图中阴影部分的面积．
43．（24-25七年级下·山东济宁·期末）如图，已知直线 和直线 相交于点 ， 平分 ，
是 内部的一条射线．
(1)若 ， ，求证： ；
(2)若 比 大 ， 比 大 ，请结合二元一次方程组求 的度数．
44．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）阅读材料：
小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方
形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的
面积．
小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长
方形的面积公式得出每个小长方形的面积．解决问题：
(1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积；
(2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13
个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ；
(3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形 中放置8个形状、大小都相同的小
长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程．
45．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图， 的两边分别与 的两边平行，即 ，
．
(1)在图1中，射线 与 同向， 与 也同向；在图2中，射线 与 异向， 与 也异向；
在图3中，射线 与 同向， 与 异向．
请问：在上述三种情况下， 与 的关系怎样？请结合三个图分别进行说明．
(2)根据上述情况，归纳概括出一个结论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的
数量关系是______．
(3)在（1）（2）的探索归纳概括中，思考一下问题：若 和 的两边分别平行，其中 比 的2
倍少 ，求 和 的度数．46．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 ．现要把
一块长 、宽 的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，
才能使甲、乙两种作物的总产量的比是 ?某学习小组设计了两种方案，根据问题中涉及的长度和产量的
相等关系，可列出方程组求解．
方案一：按如图1的方式划分土地，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形 和长方形 ，求
的长度是多少?
方案二：按如图2的方式划分土地，分别在长方形 和长方形 土地中种植甲、乙两种作物，求
的长度是多少?
请你从以上两种方案中任选一种完成解答．
47．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）我们已经知道，通过不同方式计算几何图形的面积可以表示一些代
数恒等式．例如，利用图①可得： ．基于此，请解答下列问题：
【知识生成】
（1）如图②，用4个完全相同的长方形（它的长为 ，宽为 ）围成一个正方形，用两种不同的方式表示
图中阴影部分的面积．由此，可得到等式：______；
【类比应用】
（2）已知长方形的周长为6，面积为1，设该长方形的长为 ，宽为 ，求 的值．
【知识迁移】
（3）如图③所示，某校计划在一块面积为 的长方形空地 中划出长方形 和长
方形 ，在这两个长方形重叠部分的区域建一个长方形水池 （其中 ，
），并将长方形 和长方形 两个区域建为花园，且这两个花园的总周长为 ，
求 和 的长．48．（24-25七年级下·湖北随州·期末）阅读材料并回答问题
课本再现
据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 ．现要把一块长
探究2 、宽 的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．
怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是 ？
如图1，过长边上一点 ，作 交 于点 ，甲、乙两种作物的种植
区域分别为长方形 和长方形 ．设 ， ，依题意
列方程组 ，解得 ，
方案一
过长方形土地的长边上离一端______处，作这条边的
垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大一块土地种植______种作物，
较小一块土地种植______种作物．
如图2，过短边上一点 ，作 交 于点 ，甲、乙两种作物的种
植区域分别为长方形 和长方形 ．
……
方案二
(1)完成方案一中的三个填空；
(2)请你参考“方案一”的解答过程，按“方案二”完成后面的解答过程．题型7 二元一次方程组应用--方案问题
比较不同方案的优劣。设未知数表示关键决策变量，根据成本、效益等指标建立方程。通常
需要求解后比较不同方案的结果，选择最优解。注意约束条件的数学表达。
49．（2025·广东佛山·三模）中国初创企业 （深度求索）公司，其自主研发的人工智能（ ）
大语言模型 ，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响． 公
司为提升 服务能力，计划部署两种服务器：型号 和型号 ．这两类新型服务器的维护需求各有
不同，具体如表所示：
服务器类 每台所需技术 每台服务器成本
型 人员 （万元）
型号
3
型号 5
公司共有技术人员 人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为 万元．问 和
服务器的部署数量各是多少台？
50．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）毓秀学校在“读书日”期间购进了一批图书，需要用大小两种规格
的纸箱来装运.3个大纸箱和2个小纸箱一次可以装130本书，2个大纸箱和3个小纸箱一次可以装120本书．
(1)一个大纸箱和一个小纸箱一次分别可以装多少本书？
(2)如果一共购进100本书，每个纸箱恰好装满，且两种规格的纸箱都有，分别需要用多少个大、小纸箱？
51．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）2025年央视春晚节目《秧 》别出心裁，独树一帜，人机共舞
为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．
随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．
拟购买 、 两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台 型机器人、3台 型机器人，共需260万元；
若买3台 型机器人、2台 型机器人，共需360万元．(1)求 、 两种型号智能机器人的单价；
(2)该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买 、 两种型号智能机器人共10台．已知 型机器
人每台每天可分拣22万件； 型机器人每台每天可分拣18万件，则企业要购买 型和 型机器人各几台？
52．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）综合与实践
某市青少年宫计划组织240名学生前往科技馆参观学习，为践行低碳环保理念，租用新能源大巴和中型客
车两种车型（可以只租用其中一种车型）出行．两种车型的相关信息如下：
车型 载客量/（人/辆） 租金（元/辆） 碳排放量/（kg/辆）
新能源大巴 60 1000 18
中型客车 30 600 15
设租用新能源大巴x辆，中型客车y辆．
(1)组织方要求租用车辆恰好载客240人，请求出所有满足条件的租车方案．
(2)实际出发时，临时通知增加了若干位带队老师，结合租车行的现存车型的实际情况，将学生与老师都送
往科技馆．若组织方租车总花费为4800元，且组织方租车方案的碳排放总量为99kg，求组织方的租车方
案．
53．（24-25七年级下·湖南郴州·开学考试）综合与实践：清江蜜桔产自湖南省资兴市清江镇，清江镇位于
资兴市东江湖 级景区内，以果实大小适中、色泽鲜艳、酸甜适度、口感浓郁细嫩无渣为特色，该地方的
蜜桔是全国蜜桔当中的高档蜜桔．请阅读以下材料，完成学习任务：
材料一：清江镇某批发市场计划运输一批蜜桔到城区出售，现有 ， 两种型号的货
车，已知用2辆 型车和1辆 型车载满货物一次可运货10吨；用1辆 型车和2辆
型车载满货物一次可运货11吨．
材料二： 型车每辆需租金100元/次， 型车每辆需租金120元/次．
请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成2个任务：
(1)1辆 型车和1辆 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)若该批发市场现有34吨蜜桔，计划同时租用 型车 辆， 型车 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满
货物．请你帮该批发市场设计租车方案，选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
54．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）某商店分两次购进A、B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A、B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨
30%、20%．
购进的台数
购进所需要的费用（元）
A型 B型
第一次 10 20 3000
第二次 15 10 4500
(1)求第一次购进A、B型两种台灯每台进价分别是多少元？
(2)A、B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的
台灯全部售出后，获得的利润为1800元．
①A型台灯的售价为________元，B型台灯的售价为________元；
②若按照第二次购进A、B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的
利润为500元，求有哪几种购进方案？
55．（25-26八年级上·全国·期末）新考向 根据以下素材，探索完成任务．
如何设计采购方案．
素材1：为了迎接杭州亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．已知一个吉祥物钥匙扣的售
价比一套明信片的售价高20元．
素材2：小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣，共花费130元．
素材3：已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣
进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在本店购买吉祥物钥匙扣和明信片两种
商品若干（允许只购买一种商品），本次交易商家一共获得600元的销售额．
问题解决：
任务1：假设明信片的售价为x元/套，吉祥物钥匙扣的售价为y元/个，则 ______（用含x的代数式表
示）；
任务2：基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价；
任务3：【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在
这些购买方案中，哪种方案商家获利最高．
56．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）在技术和政策的推动下，越来越多的市民选择购买新能源汽车．
请根据下表信息，回答下列问题．
问题背景
某汽车4S店为满足市场需求，计划用240万元从厂家购进A，B两款新能源汽车若干辆，且分别在进价的基础上提价3万元和2万元作为定价售卖．
素材一 从厂家购进3辆A款新能源汽车与购进4辆B款新能源汽车的费用相同．
素材二 从厂家购进4辆A款新能源汽车和3辆B款新能源汽车共需125万元．
问题解决
任务一 求A，B两款新能源汽车每辆的进价；
任务二 要使这240万元正好用完（两种都要购买），请你设计出所有的购进方案；
在任务二的基础上，将购进的A，B两款新能源汽车按对应定价全部售出并获利最多，应选择哪
任务三
个购进方案？
题型8 二元一次方程组应用--数字问题
理解数位表示方法（如十位数字为a，个位数字为b，则数为10a+b）。设两个数位上的数
字为未知数，根据数字间的关系（和、差、倍数、位置调换）建立方程组。注意数字的取值
范围。
57．（25-26八年级上·全国·单元测试）佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描
述如下：
时刻
里程碑上 是一个两位数，数字之 十位数字与个位数字相比 时看到 比 看到的两位数中间
的数 和为9 的刚好颠倒 多了个0
则佳佳 时看到的两位数是（ ）
A．18 B．27 C．36 D．54
58．（25-26八年级上·全国·随堂练习）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方
——九宫图．将数字 ， ， ， ，0，1，2，3，4分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每
一竖列以及对角线上的数字之和都是同一个值，则 的值是 ．
2
m
n
59．（24-25九年级下·湖北武汉·自主招生）妈妈今年 岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子 岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的 时，妈妈恰
为 岁，那么儿子今年 岁．
60．（24-25七年级下·全国·期中）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的
一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁．
61．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过
一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下：
时刻
里程 是一个两位数，它的 也是一个两位数，十位与 是一个三位数，比
碑上 个位数字比十位数字 个位数字与 时所看到 时看到的两位数的数字中
的数 的 倍大 的正好互换了 间多了个
如果设小明 时看到的两位数的十位数字为 ，个位数字为 ．那么：
(1)小明 时看到的两位数为 ；
(2)小明 时看到的两位数为 ； 时看到的三位数为 ；
(3)请你列二元一次方程，求小明在 时看到里程碑上的两位数．
题型9 二元一次方程组应用--其它问题
针对浓度、年龄、比例等特殊问题。抓住核心关系，根据具体情境灵活设元建立方程组。
62．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）小明、小华和小红三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆
环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小红的得分是 分．
63．（24-25七年级下·浙江台州·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出
现了漏刻，小玉同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位 随着时
间 的改变而改变．它的水位可用公式 计算．已测得当 时，水位 ；当时，水位 ．
(1)求 ， 的值；
(2)当水位 时，求时间 的值．
64．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）2024年10月，第三届北斗规模应用国际峰会在湖南株洲举行，我
校为了着眼于培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，在峰会结束后举行了前往北斗峰会场
馆的研学活动，峰会场馆门票价格如下表：
购票人数/人 1600以上
每人门票价/元 58 50 48
学校计划七年级分成两批1-16班，17-32班去游览该场馆，其中1-16班的人数少于800人，如果第一批只
单独购买本批次学生门票，则需支付46284元：如果两个批次32个班联合起来作为一个团体购票，则只需
花费77088元，
(1)两个批次各去了多少人？
(2)研学活动的下午前往了悠移劳动教育实践基地，为了培养学习团队合作和了解中国传统文化，举行了划
龙舟的活动．在过程之中龙舟划到尽头就调转船头（调头时间忽略不计），返回起点码头，我们把龙舟看
做一个点整个过程总共划行了 ，龙舟在其间航行，顺水航行用了 ，逆水航行用了 ，求龙舟
在静水中的速度和水流速度分别是多少？（此问需利用方程解答）
65．（24-25七年级下·山东临沂·期末）新疆长绒棉品质优良，其纤维柔长，洁白光泽，弹性良好，可制成
高级纺织面料，防化与防原子辐射布、其他纺织品，及各类宝塔线、缝纫线、绣花线、针织线等．丝路纺
织厂与A，B两地有公路、铁路相连（距离如表所示）．
A地 B地
公路段路程（km） 10 20
铁路段路程（km） 120 110
这家纺织厂从A地购买一批每吨3.08万元的长绒棉运回工厂，制成每吨4.25万元的高级纺织面料运到B地．已知公路运价为0.5元/（吨·千米），铁路运价为0.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运输费5200
元，铁路运输费16640元．
(1)请计算这批纺织面料的销售额比原料费（只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少万元?
(2)如果工厂在运输过程中原料和产品均不产生损耗，在生产过程中原料的损耗率不变．工厂原计划用部分
长绒棉作原料，生产高级纺织面料，原料和产品一共144吨．若要增加m吨的产品，此时产品的销售款与
原料的进货款之差等于27.2万元．求m的值．
66．（24-25七年级下·福建福州·期末）某班级开展综合实践活动，用如图1所示的正方形和长方形卡纸
（正方形的边长与长方形的宽相等），制作成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体收纳盒，用于收
纳班级文具（制作时的接缝材料不计）．
(1)若该班级准备了正方形卡纸1100张，长方形卡纸2400张，求竖式与横式两种收纳盒各制作多少个，恰
好能将准备的卡纸全部用完；
(2)该班级某一天共使用了正方形卡纸60张，长方形卡纸a张，全部制作成上述两种收纳盒，且
，求这一天制作两种收纳盒时a的所有可能值．
67．（24-25七年级下·浙江金华·期末）运动会开幕式需要各代表队按正方形方阵（行数和列数相等）入场
展示．如图所示，正方形方阵分为实心方阵和空心方阵（每层都是正方形形状）两种形式．
(1)7列2层空心方阵有 人， 列2层空心方阵有 人．（用含 的代数式表示，其中 为大于4的正整数）
(2)某代表队可以排成 列2层空心方阵，也可以排成 列3层空心方阵，且 比 多1，求m，n的值．
(3)某代表队共有72人，请设计一个正方形方阵，要求全体成员都能参加．（写出一种方案即可）
68．（24-25七年级下·河南安阳·期末）活力课堂：为创新教学形式，激发学生学习热情，打造活力课堂，
本县某校李老师在数学课上设计了如下活动：
问题情境：在数学实践课上，老师让同学们利用一架天平和一个10g的砝码，探究如何称出1个乒乓球和1个纸杯的质量．
操作探究：下面是“智慧小组”的探究过程．
准备物品：①若干个大小相同的乒乓球（质量相同）．
②若干个大小相同的纸杯（质量相同）．
开始探究：设每个乒乓球的质量是xg，每个纸杯的质量是yg．
天平状 天平左边的总质量 天平右边的总质量
天平左边 天平右边
态 （g） （g）
记录 8个乒乓球和1个砝 14个纸
平衡 _______ _______
1 码 杯
记录
3个乒乓球 4个纸杯 平衡 _______ _______
2
解决问题：
（1）①补全表格；（用含x，y的式子表示）
②分别求出1个乒乓球的质量和1个纸杯的质量．
拓展设计：
（2）请补全下表，使得天平平衡时，乒乓球的个数为一次性纸杯个数的2倍．
天平左边 天平右边 天平状态
记录3 ________个乒乓球 砝码和________个纸杯 平衡
69．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，某工厂与 两地有公路和铁路相连．这家工厂从 地购买
原料运回工厂，制成产品运到 地．已知公路的运价为 元/（吨 ），铁路的运价为 元/（吨 ）．
(1)设一批原料有 吨，生产成的产品有 吨．填写下表（结果用含 的代数式表示）；
地 地
公路运费
____________
（元）铁路运费
____________ ____________
（元）
(2)第一批货购买了500吨原料，生产了300吨产品，原料从 地运回工厂运费67500元，制成产品运到
地运费39000元．求 的值．
(3)工厂从 地购买原料的单价为每吨1000元，产品售往 地的价格为每吨8000元．因需要需增补第二批
货物，已知第二批货物的销售款比原料费多260000元，运输单价与第一批货物相同，运输总费用为13300
元，问第二批货物的原料是多少吨？与第一批货物从原料到产品的成品率相比，成品率是提高了还是降低
了？
培优综合练
70．（24-25七年级下·重庆·期末）如果一个四位自然数 ，各个数位上的数均不为0，且满足
，那么称m为M的“同心数”；将M十位与百位数字调换得到N，记N的“同心数”为
n，令 ．例如 ，满足 ，则69为5351的“同心数”，将5351十位与百
位数字调换得到5531，满足 ，则5531的“同心数”为33，此时 ，若 ，
则其“同心数”m为 ；当 ，且 为整数时，M最大值与最小值的差为
71．（24-25七年级下·北京西城·期末）二十四节气中的夏至是一年中白昼最长的一天（通常在6月中下
旬）．一年中每天的正午时刻，夏至这天影长最短，某数学小组借助学校一栋教学楼的影子，研究夏至日
及其前后若干天的影长变化情况，他们在操场上设置了一条参照线，每天正午时刻测量该楼影子超过参照
线的长度，所得数据记为“相对影长 ”（单位： ）．下表记录了他们在6月9-27日连续三周工作日
测量得到的数据．
日期 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
29. 26. 22. 19. 16. 10. 7.
8.7
7 3 7 7 3 3 7
日期 19 20 21 22 23 24 25 26 27
8. 9. 10. 12.
7.0 6.3 7.3
3 5 7 7回答下列问题：
(1)他们发现表中9-20日记录的相对影长逐渐减小，查阅资料后决定用如下方法估算14日、15日的相对影
长数据：近似地认为13-16日这四天中，14日、15日的数据都是它前一天和后一天数据的平均数．请按此
方法估算14日、15日的数据；
(2)为了更加清楚地看出相对影长与日期之间的关系，如图，他们用横轴表示日期，用纵轴表示相对影长，
描出表中17-20日、23-26日的各对值所对应的点（不完整）．
①请在图中补全23-26日的各对值所对应的点；
②他们发现图中17-20日的散点大致落在一条呈下降趋势的直线附近，23-26日的散点大致落在一条呈上升
趋势的直线附近，根据学习趋势图的经验，他们分别画出了这两条直线，因为夏至日的相对影长最小，所
以他们推测该年夏至日的相对影长与这两条直线的交点对应的相对影长相等，按此方法可推测该年夏至日
的相对影长约为________ （结果保留小数点后一位）．
72．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（新定义）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字
互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可
以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如 ，对调百位与十
位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三
位数的和为 ， ，所以 ．
(1)计算： ， ．
(2)若s，t都是“相异数”，其中 ， （ ， 都是正整数），规定：
，当 时，求k的最大值．73．（24-25八年级下·福建厦门·期末）本学期青少年宫在学校开设了多项特色课程，丰富了学生的校园生
活．期末时，青少年宫计划购买A，B两款盲盒作为礼物送给参加剪纸班的47名学生．这两款盲盒的销售
信息如表三：
表三
盲盒种
单价（元／个） 优惠方案
类
A款盲盒 20 优惠方案一：A款盲盒满30份及以上打八五折
优惠方案二：B款盲盒满18份及以上打八折
优惠方案三：总费用满800元立减100元
B款盲盒 15
（备注：方案三不与方案一、方案二叠加使用）|
目前47名学生都参与了选择盲盒意向调查，每人只能在A，B两款中选一款，其中30人已作明确选择，剩
余17人可以接受任意一款．若按这30人的选择下单，由于不满足优惠条件，总费用为540元．
(1)在已作明确选择的30名学生里，选A款和B款盲盒的分别有多少人？
(2)若剩余17人中选择A款盲盒有 人，购买这两款盲盒的总费用为 元，求 的最小值．
74．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）如图，直线 分别交 轴， 轴于点 ， ，且 ，
满足 ．
(1)直接写出 _____， _____， _____；
(2)如图1，点 为 轴上一动点，若 ，求点 的坐标．
(3)如图2，已知 ，平移 到 （其中 、 、 的对应点分别是 、 、 ），设
， ，且满足 ，请直接写出点 的坐标是_____75．（24-25七年级下·天津河西·期末）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻
方——九宫格，其规则是将数字填在正方形格子中，使每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都
相等．例如图①就是一个幻方．
（I）图②是一个未完成的幻方，则 的结果为 ；（II）图③中的 为 （用含 的式子表示）
76．（23-24七年级下·北京·期中）对于平面直角坐标中的任意两点 ， ，若点 到两坐标轴的距离之和
等于点 到两坐标轴的距离之和，则称 ， 两点为 和合点 ，如图 中的 ， 两点即为“和合点”．
(1)已知点 ， ， ， ．
①在上面四点中， 与点 为“和合点”的是 ；
②若点 ， 过点 作直线 轴，点 在直线 上， 、 两点为“和合点”， 则点 的坐
标为 ；
③若点 在第二象限，点 在第四象限， 且 、 两点为“和合点”， 、 两点为
“和合点”， 求 ， 的值．
(2)如图2，已知点 ， ，点 是线段 上的一动点， 且满足 过点作直线 轴，若在直线 上存在点 ，使得 ， 两点为“和合点”，直接写出 的最大值．
77．（2023·河南商丘·三模）某火锅店为吸引客户，推出两款双人套餐，下表是近两天两种套餐的收入统
计：
数量
收入
套
套餐
餐
第一
次 次
天 元
第二
次 次 元
天
(1)求这两款套餐的单价；
(2) 套餐的成本约为 元， 套餐的成本约为 元，受材料和餐位的限制，该火锅店每天最多供应 个
套餐，且 套餐的数量不少于 套餐数量的 ，求火锅店每天在这两种套餐上的最大利润；
(3)火锅店后续推出增值服务，每个套餐可选择再付 元即可加料，即在鱼豆腐、面筋、川粉和蘑菇中任选
两种涮菜．小明是这个火锅店的常客， 年他共花费 元购买两个套餐，其中 套餐不加料的数量
占总数量的 ，则小明选择 套餐加料的数量为______个．
78．（24-25七年级下·山西大同·期末）综合与实践
青少年正处于生长发育的黄金阶段．某校食堂为保证学生科学饮食，计划结合青少年每日摄入营养比例设
计一个健康饮食餐盒．
材料搜集：材料1，青少年每餐摄入食物比例整理如下表．
食物 主食 肉蛋类 蔬菜 水果
占比
材料2，学生每餐最少摄入3种颜色的非淀粉类蔬菜．
方案设计：综合与实践小组设计了如图所示的长方形餐盒，其中主食格、菜格、水果格、肉蛋格参考材料
1中数据设计，另外增加了汤格和餐具格，其中，菜格平均分为三块区域．已知 ， ，
．设 ， ．问题解决：请根据题意完成下列解答，
(1)填空： _________ ， _________．
(2)列方程就是“拉出一个量，将之算两次”，即对一个“量”讲“两个故事”，并把两个“故事”用“
”号连接起来．请将下列各“量”分别用“两个故事”表示（用含 ， 的式子表示）．
第二个“故
“量” 第一个“故事” 用“ ”连接
事”
________ ______
（ ）
的面积 _____
．．．．．．
(3)请求出 ， 的值．
