文档内容
4.5 简单的三角恒等变换
思维导图
知识点总结
1 半角公式
α √1-cosα α √1+cosα α √1-cosα
sin =± ,cos =± ,tan =±
2 2 2 2 2 1+cosα
(由降幂公式可得)
证明
由降幂公式sin2α=
1-cos2α
得sinα=±
√1-cos2α
，则sin
α
=±
√1-cosα
；
2 2 2 2
由降幂公式cos2α=
1+cos2α
得cosα=±
√1+cos2α
，则cos
α
=±
√1+cosα
；
2 2 2 2
α
sin
α 2 √1-cosα
tan = =± .
2 α 1+cosα
cos
2
解释
α α α
半角公式，利用cosα表示了sin 、cos 、tan .
2 2 2
2 万能公式
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】α α α
2tan 1-tan2 2tan
2 2 2
sinα= ，cosα= ,tanα=
α α α
1+tan2 1+tan2 1-tan2
2 2 2
(由倍角公式可得)
α
2tan
2sinαcosα 2tanα 2
证明 sin2α=2sinαcosα= = ，则sinα= ；
sin2α+cos2α 1+tan2α α
1+tan2
2
α
1-tan2
cos2α-sin2α 1-tan2α 2
cos2α=cos2α-sin2α= = ，则cosα= ；
sin2α+cos2α 1+tan2α
1+tan2
α
2
α
2tan
2tanα 2
tan2α= ，则tanα=
.
1-tan2α α
1-tan2
2
解释
α
万能公式，利用tan 表示了sinα、cosα和tanα.
2
3 和化积公式
α+β α-β α+β α-β
sinα+sinβ=2sin cos sinα-sinβ=2cos sin
2 2 2 2
α+β α-β α+β α-β
cosα+cosβ=2cos cos cosα-cosβ=-2sin sin
2 2 2 2
(由和差公式可得)
证明
[α+β α-β] [α+β α-β]
sinα+sinβ=sin + +sin -
2 2 2 2
α+β α-β α+β α-β α+β α-β α+β α-β
=sin cos +cos sin +sin cos -cos sin
2 2 2 2 2 2 2 2
α+β α-β
=2sin cos .
2 2
其他类似证明.
4 积化和公式
1
sinα∙cosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]
2
1
cosα∙cosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]
2
1
sinα∙sinβ= [cos(α-β)-cos(α+β)]
2
(由和差公式可得)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】证明
x+ y x- y x+ y x- y 1
由和化积公式sinx+sin y=2sin cos 可得sin cos = (sinx+sin y) (*)
2 2 2 2 2
x+ y x- y
令α= ，β= ，则x=α+β，y=α-β，
2 2
1
则公式(*)变成sinα∙cosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)].
2
其他类似证明.
解释
积化和公式相当于和化积公式的逆运算.
典型例题分析
考向一 公式直接应用
例1 利用公式 证明：
（1） ； （2） .
证明：（1）
.
（2）
.
考向二 结合同角三角函数应用
例2 已知 ， ， ， 是第三象限角，求 的值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解：由 ， ，得
.
又由 ， 是第三象限角，得
.
所以
.
考向三 三角恒等变换的综合应用
例3 利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） .
分析：和、差角公式把 的三角函数式转化成了 ， 的三角函数式.如果反过来，从右到左使用公
式，就可以将上述三角函数式化简.
解：（1）由公式 ，得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
（2）由公式 ，得
.
（3）由公式 及 ，得
.
考向四 二倍角公式与和差角公式
例4 已知 ， ，求 ， ， 的值.
分析：已知条件给出了 的正弦函数值.由于 是 的二倍角，因此可以考虑用倍角公式.
解：由 ，得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，
所以 .
于是
；
；
.
考向五 三角函数的证明问题
例5 求证：
（1） ；
（2） .
证明：（1）因为
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】将以上两式的左右两边分别相加，得 ，
即 .
（2）由（1）可得 . ①
设 ， ，
那么 ， .
把 ， 的值代入①，即得 .
考向六 三角函数的应用问题
例6 求下列函数的周期，最大值和最小值：
（1） ； （2） .
分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是 ，利用和角公式将其展开，可化为
的形式.反之，利用和（差）角公式，可将 转化为
的形式，进而就可以求得其周期和最值了.
解：（1）
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因此，所求周期为 ，最大值为2，最小值为-2.
（2）设 ，则 .
于是 ， ，
于是 ，
所以 .
取 ，则 ， .
基础题型训练
一、单选题
1． （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两角差的余弦公式即可求解.
【详解】 ．
故选：A.
2．在 中，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先利用平方关系求出 ，再利用两角和的余弦公式将 展开计算.
【详解】在 中，由 ，得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，得 ，
∴
.
故选：C.
【点睛】本题主要考查两角和的余弦公式的应用，属于基础题.
3．下列各数 ， ， ， 中，
最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由两角和正弦公式，二倍角公式一、诱导公式等化简函数值，然后由三角函数性质判断．
【详解】观察发现 ，而 ， ， ，
故选：D．
4．下列化简结果正确的个数为（ ）
① ②
③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】直接由诱导公式及和差角的正弦、余弦、正切公式以及倍角公式依次判断即可.
【详解】 ，①正确；
，②正确；
，③正确；
，④错误；正确的
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】有3个.
故选：C.
5．已知 为第三象限角，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦的二倍角公式，结合同角的三角函数关系式、正弦和余弦的二倍角公式、正弦的两角差
公式进行求解即可.
【详解】
由 为第三象限角， 所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ．
故选：D
【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了正弦、余弦二倍角公式，考查了两角差的正弦
公式的应用，考查了数学运算能力.
6．已知函数 ，则函数 的最小正周期和最大值分别为（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】C
【解析】利用二倍角的正、余弦公式化简函数f（x），通过周期公式及三角函数的性质求解即可.
【详解】因为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴T ，
函数的最大值为： ．
故选：C.
【点睛】本题考查二倍角的余弦函数正弦函数的应用，三角函数的周期与最值的求法，属于基础题．
二、多选题
7．将函数 的图象向左平移 个单位后，所得图象关于 轴对称，则实数 的值可能
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】利用辅助角公式可得 ，根据图象平移有 ，确定平移后的解析
式，根据对称性得到 的表达式，即可知可能值.
【详解】由题意，得： ，图象向左平移 个单位，
∴ 关于 轴对称，
∴ ，即 ，
故当 时， ；当 时， ；
故选：BD
8．若函数 ，则（ ）
A． 的最大值是4
B． 的最小正周期是
C． 的图象关于直线 对称
D． 在区间 上单调递减
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】BC
【分析】由三角恒等变换可得 ，根据余弦函数的性质即可求其最值、最小正周期，
以及对称轴、单调减区间，进而判断各选项的正误.
【详解】 ，
∴ 最大值为 ，最小正周期为 ，A错误，B正确；
由 关于 对称，令 ，则 ，当 时 ，C正确；
由 在 递减，令 ，有 ，易知
，D错误.
故选：BC
三、填空题
9． ____．
【答案】
【分析】利用两角差的正弦公式即可得到化简结果
【详解】
又
故答案为： 或
10．已知 ，则 ______
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和角的变换的应用求出结果．
【详解】由于 ，
则 ，所以 ，
．
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，角的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力，
属于基础题型．
11．在平面直角坐标系 中,已知角 的顶点和点 重合,始边与 轴的非负半轴重合,终边上一点 的坐
标为 ，则 __________．
【答案】
【分析】由三角函数的定义与两角和的正切公式求解，
【详解】由题可得 ，所以 ，
故答案为：
12．已知 ，则 ______.（用含 的式子表示）
【答案】
【分析】已知式通分后逆用两角和的正弦公式，再由商数关系求得
【详解】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
.
故答案为： ．
四、解答题
13．已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期和最大值；
（2）求函数 的单调减区间.
【答案】（1） ；（2） ..
【分析】（1）应用二倍角公式，将函数化为正弦型三角函数，即可求解；
（2）根据正弦函数的单调递减区间结合整体代换，即可求出结论.
【详解】（1） ，
最小正周期为 ，最大值为 ；
（2）由 ，
，
单调递减区间是 .
【点睛】本题考查二倍角公式化简函数，考查三角函数的性质，属于中档题.
14．已知 ，且 .则 ______.
【答案】 /
【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得 的值，再利用二倍角的正切公式可求得结果.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
15．设函数
（1）求函数 的对称中心；
（2）求函数 在 上的单调递减区间．
【答案】（1）对称中心为 ， ；（2）递减区间 .
【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，利用三角函数的图象与性质求得对称中
心．
（2）根据三角函数的图象与性质求得函数的单调减区间．
【详解】解：（1）因为
所以 ，
令 ， ，
求得 ．所以对称中心为 ，
（2）令 ，求得 ，
即函数的减区间为 ，又 ，所以函数的单调递减区间为
【点睛】本题主要考查了三角函数图象与性质，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对三角函数基础公
式的应用，属于基础题．
16．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，锐角α、β的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】它们的终边与单位圆分别交于A、B两点，已知A、B两点的横坐标分别为 和 ．
(1)求 ， 的值．
(2)求 ， 的值．
【答案】(1) ， ；
(2) ， .
【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义求出 ，再利用平方关系求解作答.
（2）利用（1）的结论，利用二倍角的正余弦公式、和角的正余弦公式求解作答.
【详解】（1）依题意， ，而 为锐角，
所以 ， .
（2）由（1）知， ， ， ，
于是 ， ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
提升题型训练
一、单选题
1．已知 ， 为锐角， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知求出 ，再利用差的正切公式可求.
【详解】因为 ， 为锐角，所以 .所以 ， ，
又 ，
则 .
故选：C.
2．已知 ， ，则 =（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】利用两角差的正弦公式和余弦的倍角公式对已知等式化简，列方程组求解.
【详解】 ， ，
， ，
由 ，解得 .
故选：B
3．设 ，若 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】结合余弦二倍角公式化简即可求解
【详解】结合题干，由 可得 ，
即 ，所以 或 ，
故选：D．
【点睛】本题考查二倍角余弦公式的使用，属于基础题
4． （ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数基本关系式，诱导公式和辅助角公式直接求解.
【详解】 .
故选：D.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．已知 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】把已知两等式平方后作和，结合同角三角函数平方关系和两角和差余弦公式可化简求得结果.
【详解】由 得： ，
由 得： ，
两式相加得： ，即 ，
.
故选： .
【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值的问题，涉及到同角三角函数平方关系的应用；关键是
能够通过平方运算配凑出符合两角和差余弦公式的形式.
6．已知 ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据诱导公式以及两角差的正弦和正切公式求解即可.
【详解】由已知, ,得 ,所以 ,显然 ,
所以 ,所以 .
故选：B
【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和两角和公式,考查推理论证能力以及数形结合思想.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】二、多选题
7．计算下列各式，结果为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】运用诱导公式、辅助角公式、二倍角公式、和差角公式及切化弦化简计算即可.
【详解】对于A项， ，故A项成立；
对于B项， ，故B项不成立；
对于C项， ，故C项不成立；
对于D项， ，故D项成立.
故选：AD.
8．函数 的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）
A．θ的值可为
B．若 ，则k为奇数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．若 ，则
D．若 ，则 的最大值要大于
【答案】BCD
【分析】由图象确定函数的周期求得 ，再由零点求得 ，从而得函数解析式，然后由结合正弦函数性质、
辅助角公式，判断各选项．
【详解】选项A， ， ， 是 的零点，由图象得 ，得 ，
（以下只要取 即可），A错；
选项B， ，则 ， ， ，故k为奇数，B对；
选项C，由 ，可得 ，即 对称轴为 ， ，
为其对称轴，C对；
选项D，当 ， 时， ，
设
，
易知 的最大值是 ，
所以 的最大值为 ，大于 ，D对．
故选：BCD．
三、填空题
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9．已知 ， ，则 ______.
【答案】
【分析】利用二倍角展开，化简，再与 联立即可解出．
【详解】
【点睛】本题考查解三角函数，注意隐含条件 的使用．属于基础题
10．已知 ，则 的值为________．
【答案】
【分析】利用二倍角公式,和同角三角函数的关系，运用弦化切，代入可求得值.
【详解】原式 ,又∵ ，
∴原式 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查同角三角函数的关系，和运用二倍角公式化简求值问题，关键在于将齐次式转化为正切
的式子，属于基础题.
11．化简(tan10°－ )· ＝________.
【答案】-2
【详解】(tan10°－ )·
＝(tan10°－tan60°)·
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】＝ ·
＝ ·
＝ · ＝ · ＝－2.
12．函数 的单调递增区间为__________．
【答案】
【分析】先化简 ，然后根据正弦函数的单调性和题意的范围即可求得答案
【详解】 ，
由 解得 ，
又∵ ，∴ ，即 的单调递增区间为 ，
故答案为：
四、解答题
13．证明下列各式.
（1） ；
（2） .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】将等式右边用两角和与差的余弦公式展开计算可得左边.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】证明：（1） .
（2）
.
【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，是基础题.
14．已知函数 的最大值是1.
（1）求常数a的值；
（2）求使 成立的x的取值集合.
【答案】（1） （2）
【分析】（1）对 进行整理化简，然后根据最大值得到 的值；（2）根据（1）将不等式转化为
，从而解得解集.
【详解】解：（1）根据三角函数的两角和与差公式可得：
由于函数的最大值是1，所以
即
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由（1）知，
由 得： ，即
因此 ，
即 ，
故x的取值集合是 .
【点睛】本题考查三角恒等变形，根据函数的最值求参数的值，解正弦不等式，属于简单题.
15．已知函数 ， ，再从条件① 、条件② 、
条件③ 这三个条件中选择一个作为已知．求：
(1) 的最小正周期；
(2) 在区间 的取值范围．
【答案】(1)选① ；选② ；选③
(2)选① ；选② ；选③
【分析】无论选择哪个条件，首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数 进行化简变形，
（1）根据函数关系式直接写出周期；
（2）利用整体思想结合三角函数的性质，用x的范围，求出 或 的范围，即可得到函数 的
值域．
【详解】（1）解：若选①，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
最小正周期为 ；
若选②，
，
最小正周期为 ；
若选③，
，
最小正周期为 ；
（2）选①，因为 ，所以 ，
所以 取值范围为
选②，因为 ，所以
所以 取值范围为
选③，因为 ，所以
所以 取值范围为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】16．在锐角 中， ．
（1）求角A的大小；
（2）求 的最大值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）利用诱导公式、降幂公式和二倍角公式化简可得 ,进而求解即可；
（2） ,进而利用和角公式展开,整理可得 ,由 的范围,进而
求得最值.
【详解】解:（1）因为 ,即 ,
所以 ,即 ,
所以 ,
所以
（2）由（1）,
,
因为锐角 ,所以 ,即 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ,
当 ,即 时, 取得最大值为
【点睛】本题考查利用诱导公式、降幂公式和二倍角公式化简求值,考查和角公式的应用,考查三角函数的
最值问题.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
