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专题 7.1 等差数列及求和
题型一 基本量的计算
题型二 等差中项及等差数列项的性质
题型三 等差数列的判定与证明
题型四 等差数列前 项和的性质
题型五 求等差数列前 项和的最值
题型六 根据等差数列前 项和的最值求参数
题型七 含绝对值的等差数列的前 项和
题型八 等差数列的简单应用
题型一 基本量的计算
例1．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，
， ，则 的公差为__________.
【答案】
【分析】设 的公差为 ，由已知可得出 ，求解即可得出答案.
【详解】设 的公差为 ，
由题意得 .
则 ，所以 .
故答案为： .
例2．（2023·青海海东·统考模拟预测）设等差数列 的前n项和为 ，若
，则 （ ）
A．44 B．48 C．55 D．72
【答案】A
【分析】利用基本量法可得 ，故可求 的值.
【详解】设 的公差为d，则 ，即 ，
则 ，
故选：A.练习1．（2023春·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考期中）记 为等差数列 的
前n项和．若 ，则 _______．
【答案】666
【分析】根据条件列出方程组可求出公差和首项，进而可求结果.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
则由 得 ，解得 ，
又 ，所以 ，由 可得 ，
所以 .
故答案为：666.
练习2．（2023春·广东珠海·高三珠海市斗门区第一中学校考期中）设 为等差数列
的前n项和，若 ，则 （ ）
A． B． C．10 D．12
【答案】B
【分析】根据等差数列求和公式求解.
【详解】由 ,
解得 ，
故选：B
练习3．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ， ，
则 （ ）
A．54 B．71 C．80 D．81
【答案】D
【分析】设等差数列 的公差为 ，根据题意求得 ，结合等差数列的求和公式，即
可求解.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
因为 ，可得 ，解得 ，
所以 .
故选：D.
练习4．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且
， ， ，则2023是数列 的（ ）A．第566项 B．第574项 C．第666项 D．第674项
【答案】D
【分析】由题意可证得数列 是等差数列，再由等差数列的通项公式和前n项和公式代
入求解即可求出 的通项公式，令 ，解方程即可得出答案.
【详解】由 ，得 ，
即 ，所以数列 是等差数列，
设公差为d，则由 和 可得： ，
解得 ，所以 ．
由 ，得n=674．
故选：D．
练习5．（2023·北京海淀·高三专题练习）设等差数列 的前 项和为 ，若
，则公差 __________； __________．
【答案】
【分析】根据 ，利用数列通项和前n项和的关系，求得
即可.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
解得 代入即得 ，
故答案为：1，4
题型二 等差中项及等差数列项的性质
例3．（2023秋·甘肃天水·高二统考期末）已知等差数列 中 ，
，若 ，则 _______．
【答案】
【分析】根据下标和性质求出 、 ，即可求出公差 ，再根据 计算可
得.
【详解】因为 ，又 ，所以 ，又 ， ，所以 ，
所以公差 ，
所以 ，即 ，解得 .
故答案为：
例4．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）在等差数列 中，若
，则 __________.
【答案】24
【分析】由等差中项的性质即可求解.
【详解】因为在等差数列 中，有 ，所以由
，
得 ， ，又 ，所以 .
故答案为：24
练习6．（2023春·高三课时练习）在等差数列 中， 是方程 的根，
则 ＝________.
【答案】3
【分析】先利用韦达定理，再利用等差数列的性质，即可得到结论.
【详解】由 是方程 的根得 ＝3.
又数列 为等差数列，∴ ＝ ＝3.
故答案为：3
练习7．（2023春·高三课时练习）设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之
和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．
【答案】 11 7
【分析】根据奇数项和与偶数项和的关系即可求解.
【详解】设等差数列 的项数为 ，
＝ ＝ ，
＝ ＝ ，
所以 ，解得 ，所以项数 ，，即 为所求中间项．
故答案为：①11；②7.
练习8．（2023·全国·高三专题练习）设 为正项等差数列 的前 项和．若 ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由等差数列的求和公式和等差中项公式，求得 且
，
化简 ，结合基本不等式，即可求
解.
【详解】由等差数列的前 项和公式，可得 ，可得
，
又由 且 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：D.
练习9．（2023·广西玉林·统考模拟预测）“ ”是“数列 为等差数列”的
（ ）．
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】举特例结合等差数列的性质，即可得出答案.
【详解】设 ，则 ， ， ，所以 ，但数列
不是等差数列；
若数列 为等差数列，根据等差数列的性质可知， 成立.所以，“ ”是“数列 为等差数列”的必要不充分条件.
故选：C.
练习10．（2023·全国·高二题练习）记 为等差数列 的前n项和，若 ，
，则 ______．
【答案】
【分析】根据等差数列的性质和求和公式带入即可求解.
【详解】由 ①， ②，
② ①得 ，
得 ，
又 ，
则 ，
故 ．
故答案为：
题型三 等差数列的判定与证明
例5．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列 满足 ， .
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题 ，利用累乘法即可求解 ，进而可得
，进而可证等差；
（2）由（1）得 ，由裂项求和即可求解.
【详解】（1）由题可得 ，
所以当 时，，
易知 满足 ，所以 .
所以 ，
所以 是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可得 ，
所以
.
所以 .
例6．（2023·全国·高二专题练习）在数列 中 4， ，．求
证：数列{ }是等差数列；
【答案】证明见解析
【分析】根据等差数列的定义，即可证明.
【详解】 的两边同时除以 ，得 2，
∴数列{ }是首项为4，公差为2的等差数列
练习11．（2023春·广东佛山·高三佛山市荣山中学校考期中）已知数列 满足 ，
.
(1)设 ，证明： 是等差数列；
(2)设数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由等差数列的定义即可证明；（2）由（1）可算得 ，用裂项相消法即可求解
【详解】（1）因为
所以数列 是以1为公差的等差数列
（2）因为 ，所以
由 得
故
所以 ，
练习12．（2023春·江西南昌·高三南昌市铁路第一中学校考阶段练习）已知等差数列
前 项和为 ，且 .
(1)若 ，求证：数列 是等差数列.
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题得关于 的方程，解出得到其通项，并计算出其前 项的和，则得到
的通项，利用定义计算 的值即可.
（2）分 和 讨论即可.
【详解】（1）由题意， ，解得 ，
数列 的通项公式为 ，
，，
数列 是以 为首项，1为公差的等差数列;
（2）
当 时， ，数列 的前 项和 ，
当 时， ，数列 的前 项和
，
.
练习13．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）已知数列{an}满足 .
(1)证明：数列 是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项的积为Tn，证明： .
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）设 ，变形得 ，利用等差数列的定义可得 成等差
数列，结合等差数列的通项公式即可求解；
（2）由（1），得 ，进而 ，利用裂项相消
求和法即可证明.
【详解】（1）令 ，又 ，
，
等式两边同时乘以 ，得 成等差数列，
即 成等差数列，且首项为 ，公差为1，.
（2） ，
.
.
练习14．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知数列 的前n项和为 ，
.
(1)若 ，证明：数列 为等差数列.
(2)若 ， ，求 的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)33
【分析】（1）用等差数列的定义进行证明；
（2）利用第1问的结论求出 的解析式，进而求得数列 的通项公式，解不等式即可.
【详解】（1）（1）由已知， ， ， ，
所以 ，
故数列 为公差为1等差数列
（2）因为 ，不满足条件，此时 ， ，
由（1）知数列 为首项为1公差为1等差数列，所以 ，故 ，
当 时， ，
由 ，故 ，即 ，
因为 ，所以 .故满足 的n最小值为33.练习15．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知数列 中， ，且
.
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)记数列 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等差数列的定义即可求解；
（2）根据（1）的结论及等差数列的通项公式，利用裂项相消法即可求数列 的前 项
和.
【详解】（1）∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ， .
∴ 是首项为2，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知， 是首项为2，公差为1的等差数列，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
.
题型四 等差数列前 项和的性质
例7．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）（多选）已知数列 的前n项和是
，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 是等差数列B．若 ， ，则 是等比数列
C．若 是等差数列，则 ， ， 成等差数列
D．若 是等比数列，则 ， ， 成等比数列
【答案】ABC
【分析】求出通项公式判断AB；利用数列前n项和的意义、结合等差数列推理判断C；举
例说明判断D作答.
【详解】对于A， ， 时， ，解得 ，因此 ，
， 是等差数列，A正确；
对于B， ， ，则 ，而 ， 是等比数列，
B正确；
对于C，设等差数列 的公差为 ，首项是 ，
，
，
因此 ，则 ， 成等差数列，C正确；
对于D，若等比数列 的公比 ，则 不成等比数列，D
错误.
故选：ABC
例8．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考阶段练习）两个等差数列 ， 的前n
项和分别为 和 ，已知 ，则 ______．
【答案】
【分析】根据题意，由等差数列前 项和的性质有 即可得
到结果.
【详解】由题意可知， ，
所以 .故答案为: .
练习16．（2023春·广东梅州·高三丰顺县丰顺中学校联考期中）等差数列 的前n项和
记为 ，且 ， ，则 =（ ）
A．70 B．90 C．100 D．120
【答案】D
【分析】根据等差数列前n项和的性质可得 成等差数列，即可求得 的
值.
【详解】在等差数列 中， 成等差数列，
所以 ，则 ，即 .
故选：D.
练习17．（2023春·湖北咸宁·高三鄂南高中校考阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，
且 ，则 =（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意根据等差中项的性质判断数列为等差数列，利用等差数列前n项和片段和
的性质即可求得答案.
【详解】由 可得 ，
故数列 为等差数列，
又 ，故 也成等差数列，
即 ，
故选：D
练习18．（2023秋·河南商丘·高三校联考期末）已知等差数列 的前 项和为 ，若数
列 的前 项和为 ，则 ______.
【答案】135
【分析】根据等差数列的性质：数列 成等差数列，且公差为等差数列
的公差的9倍，根据等差数列前 项和公式与首项和公差的关系，分别求出等差数列
的首项和公差，进而求解即可.
【详解】设等差数列 的公差为 ，首项为 ，由题意知：数列 成等差数列，且公差
，
记数列 为 ，其前 项和为 ，
则 ，
又因为数列 的前 项和为 ，
所以 ，解得： ，
所以 ， ，解得： ，
所以 .
故答案为： .
练习19．（2023春·全国·高三合肥市第六中学校联考开学考试）设等差数列 的前 项
和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．18 B．36 C．40 D．42
【答案】B
【分析】确定 为等差数列，得到 ，代入数据计算得到答案.
【详解】 ，故 为等差数列，
故 ，故 ，解得 .
故选：B
练习20．（2023春·高三课时练习）已知 ， 分别是等差数列 ， 的前n项和，
且 ，则 ______．
【答案】 /
【分析】利用等差数列的性质和前n项和公式即可求得.
【详解】 为等差数列，故 ，故 .
故答案为：
题型五 求等差数列前 项和的最值
例9．（2023春·高三课时练习）在数列 中，若 ，前 项和 ，则
的最大值为______．
【答案】66
【分析】根据 得到 ，根据二次函数的性质计算最值即可.
【详解】 =21，解得 ，故 ，属于二次函数，
对称轴为 ，故当 或 时取得最大值，
， ， ，
故 的最大值为66.
故答案为：66.
例10．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知等差数列{ }的前n项和为
，满足 ，且 ，则当 取得最小值时，n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】根据等差数列的通项公式与前n项和公式可得 ，根据前n项和的性质确定取
最值情况即可.
【详解】设等差数列{ }的公差为 ，因为 ，即 ，所以
，
因为 ，解得 ，所以 ，则 ，
这是关于 的二次函数，开口向上，在 处取得最小值，由于 ，最靠近 的正
整数为 ，所以当 时， 取得最小值.
故选：D．
练习21．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知等差数列 的前 项和为 ，若， ，则 取最大值时 的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【分析】利用等差数列的性质得出 即可求解.
【详解】 等差数列 ， ， ，
， ，则 取最大值时， .
故选：A.
练习22．（2023春·高三课时练习）在等差数列 中， ，则 取最大值时
n的值是________．
【答案】7或8/8或7
【分析】根据等差数列的通项公式和前 项和公式求解.
【详解】因为数列 是等差数列，设公差为 ，
所以 ．
由 可知， ，
且 ，即 ，
所以 ，
令 ，解得 ，且 ，
所以当n的值是7或8时， 取最大值.
故答案为：7或8.
练习23．（2023春·四川凉山·高三宁南中学校考阶段练习）记 为等差数列 的前n项
和，已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知求得公差 ，得等差数列前 项和 ，结合二次函数知识得最小值．
【详解】设公差为 ，
则 ， ，
，
所以 时， 取得最小值 ．
故选：A．
练习24．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知等差数列 的公差不等于0.其前n为项和为 ，若 ， ， ，则 的最大值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】A
【分析】根据等差数列的下标性质，结合等差数列前n为项和公式进行求解即可.
【详解】设等差数列 的公差为d，则 ， ，
，因 ，即 ，显然 ，否则
，矛盾，于是得 ，又 ，否则 ，公差 ，矛盾，
因此， ，解得 ，而 ，则公差 ，
，由 ， ，于是有等差数列 是递减数列，其前4
项都是非负的，从第5项起为负，当 或 时， ，所
以 的最大值为18.
故选：A
【点睛】关键点睛：根据等差数列的单调性和下标性质是解题的关键.
练习25．（2023·四川自贡·统考三模）等差数列 的前n项和为 ，公差为d，若
， ，则下列四个命题正确个数为（ ）① 为 的最小值 ② ③
， ④ 为 的最小值
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据等差数列的前n项和公式以及等差数列的性质，即可得 ， ，从而
确定 ，即可逐项判断得答案.
【详解】等差数列 中， ，则 ，故②正确；
又 ，所以 ，故 ，则 ，
故③正确；
于是可得等差数列 满足 ，其为递增数列，则 ，
又 ，所以 为 的最小值，故①正确，④不正确；
则四个命题正确个数为 .
故选：C.
题型六 根据等差数列前 项和的最值求参数例11．（2022秋·江苏泰州·高三泰州中学校考期末）（多选）已知等差数列 的前 项
和为 ，当且仅当 时 取得最大值，则满足 的最大的正整数 可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】由题意可得 ，公差 ，且 ， ，分别求出 ，讨论
的符号即可求解．
【详解】因为当且仅当 时， 取得最大值，
所以 ，公差 ，且 ， ．
所以 ， ，
，
故 时， ．
当 时， ，则满足 的最大的正整数 为 ；
当 时， ，则满足 的最大的正整数 为 ，
故满足 的最大的正整数 可能为 与 ．
故选：BC．
例12．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）已知等差数列 的前n项
和为 ， ，则 的取值范围为___________.
【答案】
【分析】根据等差数列的性质可得公差 ，由 可得 ，从而可得
，再根据等差数列的通项公式与分式变形，结合函数思想即可求得 的取值
范围.
【详解】设等差数列 的公差为 ，所以 ，由于
，所以 ，
且 ，即 ，则 ，由 得 ，故 ，
即 的取值范围为 .
故答案为： .
练习26．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知 是等差数列， 是 的前n项和，
则“对任意的 且 ， ”是“ ”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．充要条件
【答案】B
【分析】根据充分必要的定义判断．
【详解】因为对任意的 且 ， ，当n＝2时， ，
当n＝4时， ，所以 成立；充分性成立
当 成立时，可推出等差数列 的公差大于零，但“对任意的 且 ，
”未必恒成立，练习如， ，当n＝1时， 不成立，必要性不成立．
故选：B．
练习27．（2023春·广西钦州·高三钦州一中校考期中）已知数列 为等差数列，若
， ，且数列 的前 项和有最大值，那么 取得最小正值时 为
（ ）
A．11 B．12 C．7 D．6
【答案】A
【分析】根据已知条件，判断出 ， 的符号，再根据等差数列前 项和的计算公
式，即可求得.
【详解】因为等差数列的前 项和有最大值，故可得 ，
因为 ，故可得 ，即 ，
所以 ，可得 ，
又因为 ，故可得 ，所以数列 的前6项和有最大值，
且 ，
又因为 ， ，
故 取得最小正值时n等于 .
故选：A.
练习28．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）（多选）已知等差数列 的前n项和为 ，
当且仅当 时， 取得最大值，则满足 的最大的正整数k一定不等于（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】AD
【分析】由题意可得 ，公差 ，且 ， ，分别求出 ，讨论
的符号即可求解．
【详解】因为当且仅当 时， 取得最大值，所以 ，公差 ，且 ，
．
所以 ，所以 ，
则满足 的最大的正整数k一定不等于12.
， ，
故 时， ．
当 时， ，则满足 的最大的正整数 为 ；
当 时， ，则满足 的最大的正整数 为 ，
故满足 的最大的正整数 可能为 与 ，一定不等于12与15.
故选：AD．
练习29．（2023·全国·高三专题练习）记 为等差数列 的前n项和，且满足：①
；②对 ， ．写出一个同时满足上述两个条件的数列 的
通项公式 ______．
【答案】 （答案不唯一，满足 ， 且公差 即可）
【分析】由条件①得出 ，由条件②得出当n＝8时， 取得最小值，得出只需数列
的前8项均为负数，第9项及之后均为正数，则满足 ， 且公差 即可．
【详解】由 ，得 ，即公差 ，所以数列 单调递增，
又对 ， ，即当n＝8时， 取得最小值，
故只需数列 的前8项均为负数，第9项及之后均为正数即可，
结合 可知，满足条件的一个数列 的通项公式可以为 （答案不唯一，满
足 ， 且公差 即可），
故答案为： （答案不唯一，满足 ， 且公差 即可）．
练习30．（2023·全国·高三专题练习）记数列 的前n项和为 ，对任意 ，有
．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若当且仅当 时， 取得最大值，求 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用数列 ，结合等差数列的定义，即可证明；
（2）由条件转化为 ，再转化为关于首项的不等式，即可求解.
【详解】（1）因为 ①，则 ②
①－②可得
，
故 为等差数列．
（2）若当且仅当 时， 取得最大值，
则有 ,得 则 ， ，
故 的取值范围为 ．
题型七 含绝对值的等差数列的前 项和
例13．（2023·湖南·校联考二模）记 为等差数列 的前 项和， ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的值．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列 的首项和公差分别为 、 ，依题意得到方程组，解得 、
，即可得解；
（2）由（1）可得
，根据等差数列求和公式计算可得.
【详解】（1）设等差数列 的首项和公差分别为 、 ，
由题意可知 ，
化简得 ，解得 ，
所以 ．
（2）由（1）知：当 时， ；当 时， ，
所以
．
例14．（2023春·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）已知数列 的通项公式为
， 则 _________．
【答案】
【分析】分析数列 的取值规律，结合等差数列求和公式求解.
【详解】因为 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以当 时， ，
所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，
故答案为：
练习31．（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知在等差数列 中，
， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 是数列 的前 项和，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，由已知条件可得出关于 、 的方程组，解出
这两个量的值，即可求出数列 的通项公式；
（2）化简数列 的表达式，利用等差数列的求和公式可求得 的值.
【详解】（1）解：设等差数列 的公差为 ，则 ，解得
，
所以， .
（2）解： .
因此， .
练习32．（2022秋·北京·高三北京市广渠门中学校考阶段练习）已知等差数列 的公差
为 ，数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)请直接写出 的结果.【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用等差数列的性质，列方程求出基本量，即可求解；
（2）利用等差数列和等比数列的前 项和公式，分组求和即可得到答案；
（3）根据绝对值和等差数列前 项和的性质，对 进行分段，即可求得答案
（1）
为等差数列， ，
得到公差 ，进而得到 ，
（2）
，所以，
（3）
令 ，得 ，又 ，
，整理得，
练习33．（2023·全国·高三专题练习）数列 中， ， ，且满足
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列的通项公式求解，
（2）分类讨论后由等差数列前n项和公式求解【详解】（1）由题意， ，
是等差数列且 ，
， ．
（2） ，令 ，得 ．
当 时， ；当 时， ；当 时， ．
当 时，
，
当 时， ．
．
练习34．（2023秋·河北沧州·高三统考期末）在等差数列 中， ， ，
为数列 的前n项和， ，则 的最小值为__________．
【答案】
【分析】根据题意先求出等差数列的通项公式，再分类求 ，最后根据函数的单调性求得
最小值.
【详解】由已知得 ，即 ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，当 时， ．
当 时， ，
设 ．∵ 在 上单调递减， 上单调递增，
又 ，∴当 时，只需比较 和 ， ， ，
∵ ，∴ ．
故答案为： .
练习35．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知等差数列 的前n项和为
，其中 ， ．
(1)求数列 的通项；
(2)求数列 的前n项和为 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比数列的性质列方程求出 的公差即可求
解；
（2）由等差数列的求和公式求出 ，讨论当 时， ， ；当 时，
， ，写成分段的形式即可.
【详解】（1）设 的公差为 ，
则 ，解得 ，
所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
当 时， ，此时 ，
，
当 时， ，此时 ，
，
综上所述： .
题型八 等差数列的简单应用例15．（2023春·北京昌平·高三北京市昌平区前锋学校校考期中）从冬至日起，小寒、大
寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度
依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为 尺，前九个节气日
影长度之和为 尺，则谷雨这一天的日影长度为（ ）
A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺
【答案】A
【分析】根据题意，分别设十二个节气为 ，再运用等差中项求解.
【详解】设冬至，小寒，大寒，立春，雨水，惊蛰，春分，清明，谷雨，立夏，小满，芒
种这十二个节气为： ，且其公差为 ，
依题意有： ， ，
，公差 ，
则 ，
所以谷雨这一天的日影长度为 尺，
故选：A
例16．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）林业部门规定：树龄500年以
上的古树为一级，树龄300~500年之间的古树为二级，树龄100~299年的古树为三级，树
龄低于100年不称为古树．林业工作者为研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量
生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数，由经验知树干截面近似圆形，年轮宽
度依次构成等差数列．现为了评估某棵大树的级别，特测量数据如下：树干周长为3.14米，
靠近树芯的第5个年轮宽度为0.4cm，靠近树皮的第5个年轮宽度为0.2cm，则估计该大树
属于（ ）
A．一级 B．二级 C．三级 D．不是古树
【答案】C
【分析】由条件抽象出等差数列的基本量，再结合等差数列的前 项和，求 .
【详解】设树干的截面圆的半径为 ，树干周长 ，
，从内向外数： ， ， ，∴
年，所以为三级.
故选:C
练习36．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模） 基站建设是众多“新基建”的工程之一，
截至 年 月底， 地区已经累计开通 基站 个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进 网络建设．已知 年 月该地区计划新建 个 基站，以后每个月比上一
个月多建 个，则 地区到 年 月底累计开通 基站的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析可知 年 月及之后该地区每个月建设的 基站数量为等差数列，且公
差为 ，利用等差数列的求和公式可求得结果.
【详解】由题意得， 年 月及之后该地区每个月建设的 基站数量为等差数列，且
公差为 ，
则到 年 月底要经过 个月，预计 地区到 年 月底累计可开通
个 基站．
故选：D．
练习37．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）2022年10月16日上午10时，举世瞩目的中
国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕，某单位组织全体人员在报告
厅集体收看，已知该报告厅共有16排座位，共有432个座位数，并且从第二排起，每排比
前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（ ）
A．12 B．26 C．42 D．50
【答案】C
【分析】根据题意，把各排座位数看作等差数列，设等差数列通项为 ，首项为 ，公差
为 ，前 项和为 ，由已知 求出 ，再根据等差数列通项公式求出 即可．
【详解】根据题意，把各排座位数看作等差数列，
设等差数列通项为 ，首项为 ，公差为 ，前 项和为 ，则 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故选：C．
练习38．（2023春·河南洛阳·高三校联考阶段练习）张大爷为了锻炼身体，每天坚持步行，
用支付宝APP记录每天的运动步数.在11月的30天中，张大爷每天的运动步数都比前一天
多相同的步数，经过统计发现前10天的运动步数是6.9万步，前20天的运动步数是15.8
万步，则张大爷在11月的运动步数是_________万步.
【答案】
【分析】由题分析知张大爷每天的步行步数成等差数列，利用等差数列及等差数列前 项
和公式的性质求解.
【详解】设张大爷在11月的30天的运动步数构成数列 ，且 的前n项和为 ，则数列 是等差数列， 成等差数列，
所以 ，
即 ，
解得 ，
所以张大爷在11月份的运动步数是 万步.
故答案为： .
练习39．（2023·安徽马鞍山·统考二模）由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今
已2000多年.龙被视为中华古老文明的象征，大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅磗，因
而广受喜爱.某团队耗时4个多月做出一长达200米、重约25公斤，“龙身”共有180节
“鱗片”的巨龙风筝.制作过程中，风箏骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用
的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定骨架材质按图中规律排列（即
相邻两碳质骨架之间的竹质骨架个数成等差数列），则该“龙身”中竹质骨架个数为（
）
A．161 B．162 C．163 D．164
【答案】B
【分析】设有 个碳质骨架，由条件列关系式求碳质骨架的个数，此可得结论.
【详解】设有 个碳质骨架， ，
由已知可得 ，
如果只有 个碳质骨架，则骨架总数少于 ，
所以 ，
所以 ，且 ，又
解得 ，
所以共有碳质骨架18个，故竹质骨架有162个，
故选：B.
练习40．（2023春·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）我国古代数学家提出的
“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它是世界数学史上光辉的一页，定理涉及的是整除问题.现有如下一个整除问题：将1至2023这2023个数中，能被3除余1且被5除余2的数
按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则此数列的项数为（ ）
A．133项 B．134项 C．135项 D．136项
【答案】C
【分析】由 ， 变形得到 的通项公式，从而得到不等
式组，求出此数列的项数.
【详解】由题意得：能被3除余1数为1，4，7，10,……，故 ，
，
被5除余2的数为2，7，12，17，……，故 ， ，
由 ， ； ， ，
故 ， ，
由 ，得 ，
又 ，故此数列共有135项，
故选：C
