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专题 4.8 导数中的零点问题
题型一 讨论零点的个数
题型二 已知零点个数求参数
题型三 存在零点求参数
题型四 证明零点个数
题型五 隐零点
题型一 讨论零点的个数
例1．（2023春·安徽六安·高二六安二中校联考期中）已知 ， ，
a是参数，则下列结论正确的是（ ）
A．若 有两个极值点，则 B． 至多2个零点
C．若 ，则 的零点之和为0 D． 无最大值和最小值
【答案】ACD
【分析】求导，把两个极值点问题转化为导数方程有两个解问题，分离参数数形结合即可
求解a的范围，判断A，求导，判断函数 的单调性，再结合零点存在性定理，直接判
断即可判断B；问题等价于直线y＝a与函数 图象的交点的横坐标之和是否为
0，由函数 的奇偶性容易判断C，结合函数的的单调性及图象变化趋势判断D.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，
若 有两个极值点，则 有两个不同的解，
分参得， 有两个不同的解，
记 ，则 ，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
又 ，作出函数 的图象，要使 有两个不同的解，
则直线 与函数 有两个不同的交点，
由图知， ，故A正确；
对于B，当 时， ， ，
结合A选项知，存在 ， ，使得 ，
又 ，所以 ，
又 ，x趋向负无穷大时，函数 无限趋向于负无穷大，
x趋向正无穷大时，函数 无限趋向于正无穷大，
且 ，
由零点存在性可知， 有三个零点，故选项B错误；
对于C， 的根即为 的根，
亦即直线y＝a与函数 图象的交点的横坐标，
又函数 为偶函数，
所以直线y＝a与函数 图象的交点的横坐标之和为0，故选项C正确；
对于D，当 时，由选项A知， ，则 ，
函数 在R上单调递增，且x趋向负无穷大时，函数 无限趋向于负无穷大，
x趋向正无穷大时，函数 无限趋向于正无穷大，此时函数 无最大值和最小值；
当 时，由选项B知，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递
减，且x趋向负无穷大时，函数 无限趋向于负无穷大，
x趋向正无穷大时，函数 无限趋向于正无穷大，此时函数 无最大值和最小值；
综上，函数 无最大值和最小值，故选项D正确；
故选：ACD
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基
本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体
现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
例2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知函数 ，
，m∈R．
(1)设 的导函数为 ，试讨论 的零点个数；
(2)设 ， 当 时，若
恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2) ．
【分析】（1）分离参数得 ，将零点问题转换为交点问题，求得
的导数，根据其单调性画出大致函数图象，分类讨论m的取值与函数交点
个数的关系即可；
（2）简化不等式，根据不等式特征构造函数，求导新函数的导数判断其单调性，根据新函
数单调性将外函数的大小比较简化成内函数的大小比较，再求解内函数的大小关系即可求
得实数m的取值范围.
【详解】（1） ，令 ，
函数 的零点即为 的方程的根，令 ，
，
当x＜－3或x＞1时， ， 单调递增，
当－3＜x＜1时， ， 单调递减，
且 ， ，
x→∞时， ，x→＋∞时， ，且当 或 时 ，
当 时 ，则 的大致图象如图所示：
由数形结合可知，当m＝－2e或 时， 有一个零点；
当－2e＜m≤0或 时， 有两个零点；
当 时， 有三个零点；
当m＜－2e时， 无零点．
（2）当 时，若 成立，
即 对 恒成立，
即 对 恒成立，
亦即 对 恒成立，
设函数 ，
∴ 对 恒成立，
又 ，
设 ，
∴ ，
∴当 时， ，此时点 在 上单调递减，
当 时， ，此时 在 上单调递增，
∴ ，
∴ 在R上单调递增，又 ，∴ 在 上恒成立，
令 ，则 ，
①当m≤1时， 在 上恒成立，
∴ ，此时满足已知条件，
②当m＞1时，由 ，解得x＝m，
当 时， ，此时 在 上单调递减；
当 时， ，此时 在 上单调递增；
∴ 的最小值 ，解得1＜m≤e，
综上，m的取值范围是 ．
练习1．（2023春·甘肃武威·高三武威第六中学校考期中）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间和极值：
(2)若 ，讨论函数 的零点个数．
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；极小值为 ，无极大值
(2)答案见解析
【分析】（1）求导后，根据 正负可得单调区间；根据极值点定义可求得极值；
（2）将问题转化为 与 的交点个数问题，结合（1）中结论作出函数图象分析可得
结果．
【详解】（1）∵ 定义域为 ， ，
又 恒成立，
∴当 时， ；当 时， ；
的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
所以极小值为 ，无极大值．
（2）当 时， ，当 时， ，结合（1）中结论作出函数图象如图：的零点个数等价于 与 的交点个数；
当 时， 与 有且仅有一个交点；
当 时， 与 有两个不同交点；
当 时， 与 有且仅有一个交点；
当 时， 与 无交点；
综上所述：当 时， 有唯一零点；
当 时， 有两个不同零点；
当 时， 无零点．
练习2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知 .
(1)若 ，证明： 存在唯一零点；
(2)当 时，讨论 零点个数.
【答案】(1)见解析
(2) 有2个零点，
【分析】（1）求导，利用导数判断 在 单调递减，进而由零点存在性定理即可
求解，
（2）分类讨论，结合导数求解单调性，由零点存在性定理即可求解.
【详解】（1） ，
，
由于 ，所以 进而 ，
所以 在 单调递减，
又 ，所以 存在唯一零点
（2） ， ，则 ， ，
当 时，
，此时 在 单调递减， ， 所以 在在
没有零点，
当 时，令 ，
所以 在 单调递增，又
故当 时， ，故 在 单调递减，又 ，
当 时， ，故 在 单调递增，因此当 时，
只有一个零点0，
当 时， ，所以 在 单调递减，
，
故 使得 ，且当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，而
，
所以当 此时 无零点，当 ， 只有一个零点，
综上可知： 时， 有2个零点，
【点睛】本题主要考查了导数的综合运用以及函数的零点，属于较难题.判断函数
零点个数的常用方法：
(1) 直接法： 令 则方程实根的个数就是函数零点的个；
(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间 上是连续不断的曲线，且 再结
合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3)
数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个
数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定
函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点
存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.
练习3．（2023春·河南郑州·高三河南省实验中学校考期中）已知函数 ．(1)若 时， 恒成立，求 的取值范围；
(2)记 ，讨论函数 与 的交点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，求导得 ，分 与 讨论，即可得到结果；
（2）根据题意，记 ，将函数交点问题转化为 零点问题，求导讨
论即可得到结果.
【详解】（1） ， ． ， ，
当 时， ， 单调递增， ，不等式成立，
当 时， ． ， ， 单调递减， ，这
与题设矛盾．
综上， 的取值范围为 ．
（2）记 ，则 ， ．
记 ，则 ， 单调递增，且有唯一零点 ，
于是 在 单调递减， 单调递增， 在 处取得最小值 ．
当 ，即 时， ，
故 在 上单调递增， 在 上有唯一零点 ;
当 ，即 时， ，
设 ，则 ，
故 在 上为增函数，故 即 ， ，
故 有两个零点，且 ，
于是 在 单调递增， 单调递减， 单调递增，
又 ，则 ， ，
，
，则由零点存在定理可得 在 存在唯
一零点， 在 存在唯一零点，故此时有三个零点．
综上可得： 时，有一个交点； 时，有三个交点．练习4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的图象在点 处的
切线与 轴垂直．
(1)求实数 的值．
(2)讨论 在区间 上的零点个数．
【答案】(1)
(2) 在区间 上的零点个数为2
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得 ，解得即可；
（2）由（1）知 ，求出函数的导函数，令 ，利用导数说明
的单调性，即可得到 在 上的零点情况，当 时，将 变形得
，令 ，利用导数说明 的单调性，即可判断其
零点个数，从而得解.
【详解】（1）因为 ，则 ，
由题意得，函数 的图象在点 处的切线斜率为 ，
即 ，解得 ．
（2）由（1）知 ， ， ，
令 ，则 ．
当 时， ， ，此时 ， 单调递增，
，故函数 单调递减，
所以 ，故函数 在 上无零点．
当 时，将 变形得 ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
易知当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，又 ， ，，
故存在 ，使 ，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，又 ，故 ，又 ，
故函数 在 上没有零点，在 上有1个零点．
综上所述， 在区间 上的零点个数为2．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的
单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零
点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
练习5．（2023春·北京海淀·高三北京交通大学附属中学校考期中）已知函数
与函数 ．
(1)若 ， 的图像在点 处有公共的切线，求实数a的值；
(2)设 ．
①求函数 的极值；
②试判断函数 零点的个数．
【答案】(1)
(2)①答案见解析；②答案见解析.
【分析】（1）因为 的图像在点 处有公共的切线，，因此则在该点处的导数
值相等，得到参数a的值．
（2）①设 ，分别对参数a进行分类讨论：i. 时， 在
上单调递增， 无极值；
ii. 时，用列表法求出函数 的极小值 .②根据单调性结合极值正负分类
讨论函数零点个数.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ， .
所以点 同时在函数 的图像上，
因为 ，所以 ， ，
由已知，得 ，所以 ，即 .
（2）①因为 ，
所以 .
i.当 时，因为 ，且 所以 对 恒成立，
所以 在 上单调递增， 无极值；
ii.当 时，
令 ，解得 （舍）.
列表得：
x
- 0 +
极小
减函数 增函数
值
所以当 时， 取得极小值，且 .
综上，当 时，函数 在 上无极值；
当 时，函数 在 处取得极小值 .
②当 时， 在 上单调递增， 函数 零点的个数为
1；
当 时， 在 上单调递, 在 上单调递增,
函数 在 处取得极小值 .
设 单调递增,
单调递减,
又 ,
当 时， 趋近于0时 趋近于正无穷大，
函数 零点的个数为2;
当 时， 趋近于正无穷大时 趋近于正无穷大，
函数 零点的个数为2;
当 时， 在 上单调递, 在 上单调递增, 函数 在 处取得极
小值 ,
函数 零点的个数为1;
当 或 时，函数 零点的个数1; 当 或 时,函数 零点的个数2;题型二 已知零点个数求参数
例3．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数 .
(1)若点 在曲线 上，且点 是函数 图象的对称中心，求过
点 的 的切线方程；
(2)若 ，且 有三个不同的零点 ，且 ，求 的取值
范围.
【答案】(1) 和
(2)
【分析】（1）根据点在曲线上和对称中心得到 ，求导得到导函数，设切点得到切
线方程，将点代入切线方程得到答案.
（2）确定当 时，方程 有两个不同的解，变换得到 ，构造函数，
求导得到单调区间，计算最值为 ，解得答案.
【详解】（1） ，则 ，
设 ， ，
故 ，解得 ，
即 ，则 .
函数 在 处的切线方程为 ，
即 ，
将点 代入切线方程得 ，
整理得 ，即 ，解得 或 .故过点 的函数 的图象的切线方程为： 和 .
（2）根据题意：当 时，方程 有两个不同的解，故 ，
等号两边同时取对数得， ，令 ，
则 ，令 ，得 ， ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
，又当 无限趋近于负无穷大时， 为正数，无限趋近于正无穷大，
当 无限趋近于0时， 也无限趋近于正无穷大，
故要使 有两个零点，只需 ，
即 ，所以 ，解得 ，又 ，
故实数 的取值范围 .
【点睛】关键点睛：本题考查了切线方程，利用导数求参数范围，意在考查学生的计算能
力，转化能力和综合应用能力，其中，将函数的零点问题通过构造函数的方法转化为函数
的最值问题是解题的关键.
例4．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个零点，求a的最大整数值．
【答案】(1)答案见解析；
(2) .
【分析】（1）求出函数 的导数 ，再分类讨论求解 为正为负时的不等式作答.
（2）利用（1）中信息结合已知，确定 ，再利用零点存在性定理探讨有两个零点的条
件，得 ，进而确定 ，分析 的情况作答.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ，①当 ，即 时， 恒成立，此时 在 上单调递减；
②当 ，即 时，由 解得， ，
由 解得， ，由 解得 或
，
此时 在 上单调递增，在 和 上单调递减；
③当 ，即 时，由 解得 或 (舍)，
由 解得 ，由 解得 ，
此时 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时，函数 在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增，在 和
上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由（1）知，当 时， 在 上单调递减，
此时 在 上至多有一个笭点，不待合题意，
由于 是整数，必有 ，
当 时，由（1）知 在 上单调递增，在 上单调递减，
取 ，有 ，当 时， ，
若 在 上有两个零点，则 ，
因为 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，即 在
上单调递增，
又 ，则存在唯一的 ，使得 ，
当 时， ，此时 ，
若 ，则 ，令 ，则 在 上单调递增，
又 ， ，
当 时， ，此时 ，因此 ，则当 时，
成立，
所以 的最大整数值为 .
练习6．（2023春·四川乐山·高三四川省峨眉第二中学校校考期中）若函数 有两个
实根，则 的取值范围是______．
【答案】
【分析】参数分离，构造新函数，求解新函数的值域，运用几何解释求解.
【详解】 ，原问题等价于直线 与曲线 有2个交点，
，当 时， 单调递增，当 时，
单调递减，
在 处， 取得极小值也是最小值， ，当 时， ，
，当 时， ，当 趋于 时， 趋于 ；
函数的大致图像如下：
所以，k的取值范围是 ；
故答案为： .
练习7．（2023·河南·模拟预测）若函数 在 上存在两个零点，则a的
取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分离参数，利用导数研究 函数的单调性及最值，数形结合得解.
【详解】函数 在 上存在两个零点，
即 在 上有2个解，
即 与 的图象在 上有2个交点，
，由 可得 ，函数单调递增，
故 时， ，函数单调递减，
所以 ， ，
由 时， 知， ，即 ，可得 ，
作出 图象，如图，
由图象可知，当 时满足条件.
故选：A
练习8．（2023春·山东青岛·高三青岛市即墨区第一中学统考期中）若 ，
（0<a<1）有两个不相等零点 ，则a的范围是______．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用导数探讨函数的性质，结合零点存在性定理求解作答.
【详解】函数 的定义域为R， ， ， ，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
而函数 在R上有两个零点，则函数 在 上必有唯一零点，
，显然函数 在 上单调递减，又函数 在 上的值域为 ，而 ，则 在 上无
最大值，
，当 ，即 时， 恒成立，
函数 在 上单调递增， ，此时 在 上无零点，
当 时， ，则 ，使得 ，即
，
单调递增， 单调递减，
，
由指数函数爆炸性增长知， ，当 时， ，即当 时， ，
于是 ，解得 ，因此 ，
所以a的范围是 .
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、
最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
练习9．（2023·河南郑州·模拟预测）已知函数 ．
(1)若a＝1，求函数 的极值；
(2)若函数 在区间 上有且只有一个零点，求实数a的范围．
【答案】(1) ，无极大值
(2) 或 .
【分析】（1）求导，判断函数的单调性，即可求得函数的极小值；
（2）将 在区间 上有且仅有一个零点，由 转化为函数
在区间 上没有零点，通过导数分情况讨论a的取值范围，判断函数单调性，解不等式，
求得参数范围.
【详解】（1）由题可得，函数 的定义域为 ， .
若 ， ，
当 ， ， 在 上单调递减；
当 ， ， 在 上单调递增.所以 ，无极大值.
（2） ，易知 ，
所求问题等价于函数 在区间 上没有零点，
因为 ，
当 ， ，所以 在 上单调递减，
当 ， ，在 上单调递增.
①当 ，即 时，函数 在区间 上单调递增，所以 ，
此时函数 在区间 上没有零点，满足题意.
②当 ，即 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递
增，
要使 在 上没有零点，只需 ，即 ，解得 ，
所以 .
③当 ，即 时，函数 在区间 上单调递减，
在 区间 上满足 此时函数 在区间 上没有零点，满足题意.
综上所述，实数 的范围是 或 .
练习10．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调区间；
(2)若 有3个零点，求 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先求出函数的定义域，从而根据函数的解析式，求出函数的导函数，分析导
函数符号在不同区间上的取值，
根据导函数符号与原函数的单调性之间的关系即可求出所求区间．
（2）由条件，根据函数的单调性结合零点存在性定理可求 的取值范围.
【详解】（1） 的定义域为 ，
若 ，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
若 ，则 恒成立， 在 上单调递增.
综上，当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间
（2）因为 有3个零点，所以 ，
又 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ，
所以 ， ，
解得 ，
此时 ， ，
故函数 在区间 上各有一个零点，
即函数 在区间 上各有一个零点，满足要求；
所以 的取值范围为 .
题型三 存在零点求参数
例5．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 ，求证：函数 存在零点．
【答案】(1) 的单调递增区间是 ，单调递减区间是
(2)证明见解析
【分析】（1）对 进行求导，对 的符号进行判断即可求出对应的单调区间；
（2）对 进行求导，然后分 ， ， 和 四种情况进行讨论单调
性，结合零点存在定理即可求证
【详解】（1）由题可知 ，定义域为 ，
则 ，令 ，解得 （舍）或 ，故可得当 ， ， 单调递减；
当 ， ， 单调递增；
所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
（2）易知 ，则 ，
令 ，则 ，
①当 时， ，故 在 上单调递减，
又 ，
故 在区间 上一定有一个零点；
②当 时， ，令 ，解得
令 ，故可得 ，故 在区间 上单调递增，
令 ，故可得 或 ，故 在 单调递减，
，
故 在区间 上一定有一个零点，
③当 时， ，令 ，解得 ，显然 存在零点；
④当 时，令 ，解得 ，
令 ，故可得 ，故 在区间 上单调递增，
令 ，故可得 ，故 在 单调递减，
又因为 ，故 在区间 上一定存在一个零点，
综上所述，对任意的 一定存在零点．
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，当导函数含
有参数时，要对参数进行分类讨论，在确定导函数 的正负时，难点在于分类讨论时标
准的确定，主要是按照 是否有根，根的大小进行分类求解的．
例6．（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知 ，若关于 的方程
存在正零点，则实数 的值可能为（ ）
A． B． C．e D．2【答案】CD
【分析】将式子变形为 ，构造函数 ，和
，即可利用导数求解单调性，即可求最值.
【详解】依题意， ，令
，
故问题转化为 有解.
设 ，则 ，
故当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
故 ，而 ，所以 存在唯一零点 ，
即 在 有解，即 ，
令 ，则 ，
故当 时， ，当 时， ，
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，解得 ，故实数 的取值范围为 ，
故选：CD.
练习11．（2023春·天津滨海新·高三校考期中）设函数 （其中 为
自然对数的底数），若函数 至少存在一个零点，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】求得 ，求得函数的单调性与最小值 ，结
合题意得到 ，即可求解.
【详解】由函数 ，可得 ，
令 ，可得 ，
当 时，可得 ；当 时，可得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时，函数 求得极小值，也是最小值 ，
因为 至少1个零点，所以 ，即 ，
所以实数 的范围 .
练习12．（2023春·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学校考期中）若函数
在区间 上存在零点，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据零点定义，转化为 与 在 上有交点，求出 值域即
可得解.
【详解】因为函数 在区间 上存在零点，
即 与 在 上有交点，
又 ， 在 上单调递增，
故 时，则 ，
设 ，则 ，
由 可得 ，
即 与 在 上有交点，则 .
故答案为：
练习13．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数 ， .
(1)若 的图象在 处的切线与直线 垂直，求 的值及切线方程；
(2)若 ，函数 在其定义域上存在零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）由切线与直线 垂直可得到切线的斜率为3，再由切线的几何意义
即可求 的值及切线方程.（2）观察 的表达式可令 求得函数 只有唯一零点为 ，问题
可转化为方程 在 上有解，分参即可求解.
【详解】（1）解：（1） ， ，
∵ 的图象在 处的切线与直线 垂直，
∴ ，解得 ，
∴ ，∴ ，
故所求切线方程为 ，即 .
（2）（2）由 ， ，可知其定义域为 ，令 ，则
.
又 ，所以 .
令 ，即可转化为 有解.
设 ，则由 可得 ， 可得
则 在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ，所以 有唯一的零点 .
若 在区间 上存在零点，
则 在 上有解，整理得 .
设 ，
由 得 ，由 得
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又当 时， ，则 ，
所以 ，得 ，
故实数 的取值范围是 .
练习14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是偶函数．
(1)求实数k的值．
(2)当 时，函数 存在零点，求实数a的取值范围．(3)函数 （ 且 ），函数 有2个零点，
求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）函数 是偶函数，所以 ，计算可得；
（2）依题意问题转化为 在 上有实数解，求出
的值域即可得解；
（3）因为函数 与 的图像有两个公共点，所以关于 的方程
有两个解，所以 ，换元，研究二
次函数图像及性质即可得出实数 的取值范围.
【详解】（1）因为函数 是偶函数，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，得
（2）由（1）可知 ，则 ，
当 时，函数 存在零点，即关于x的方程 在
上有实数解，即关于x的方程 在 上有实数解．
令 ， ，
因为 ，则 ，所以 ，则 ，
所以 ，即 ，所以 ，
故实数a的取值范围为 ．
（3）函数 有2个零点，即关于x的方程
有2个不相等的实数根，化简上述方程得 ，即 ，
所以 ，所以 ．
令 ，得关于t的方程 ．
记 ．
①当 时，函数p（t）的图像开口向上，图像恒过点 ，方程（*）只有一个正
实根，不符合题意．
②当 时，函数p（t）的图像开口向下，图像恒过点 ，因为 ，
要满足题意，则方程（*）应有两个正实根，即 ，解得 或
，又 ，所以 ．综上，m的取值范围是 ．
【点睛】方法点睛:
（1）构造新函数法：求函数F（x）的零点，考虑将函数F（x）变形成两个新函数的差，
即 ，将原问题转化为函数f（x）与g（x）图像的交点问题．
（2）参变分离法：求函数f（x）的零点，由 分离变量得出 ，将原问题等价
转化为直线 与曲线 的交点问题．
练习15．（2023·四川遂宁·统考三模）已知函数 存
在零点，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将问题转化为 有实数根，构造函数
，利用导数求解 的最值，利用基本不等式
求解 的最值，即可求解.
【详解】 有零点，
则 有实数根，即 有实数根，
记 ，则 有实数根，
由于 ， ，
故当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，所以当 时， 取极大值也是最大值，
所以 ，
对于 ,所以 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，此时 取最小值4，
要使 有实数根，则需满足 ，此时 ，
故选：A
【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数
形结合求解．
题型四 证明零点个数
例7．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知函数 ．
(1)过点 作曲线 的切线，求切线的方程；
(2)当 时，证明：曲线 的图象与直线 的图象仅有一个交点．
【答案】(1)
(2)见证明
【分析】（1）由导数的几何意义计算即可；
（2）利用零点存在性定理分类讨论即可.
【详解】（1）由题意可得： ，设切点为 ，
则根据导数的几何意义有：
，化简得 ，
解之得 ，
切线方程为：
（2）问题等价于函数 只有一个根，
有 ，
令 ，则 ，
若 ，此时 恒成立，即 单调递增，
而 ， ，
显然 在 上存在唯一零点，符合题意；
若 时，此时 有两个根 ，
即 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
即 的极大值为
，极小值为
不妨设 ，
令 得 ，令 得
即 在 上单调递增，在 和 上单调递减，
即 的极小值为 ，极大值为 ，
且 时， ，则
而 ，
故 且 ，又 ，
此时 只有一个零点.
综上，当 时，曲线 的图象与直线 的图象仅有一个交点，得证．
例8．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数 ，其中 为非零常数．(1)讨论 的极值点个数，并说明理由；
(2)若 ，证明： 在区间 内有且仅有1个零点．
【答案】(1)当 时，函数 无极值点，当 时，函数 只有一个极值点；理由
见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求 进行求导，分 和 两种情况讨论其单调性，即可得到极值点
的情况；
（2）由（1）可得到 在 内有唯一解，结合其单调性可得 是 的唯一极
值点，接着推出 ， ，即可求证
【详解】（1）由已知， 的定义域为 ，
①当 时， ，从而 ，所以 在 内单调递减，无极值点；
②当 时，令 ，
∵ ，∴ 在 上单调递减，
，
所以存在唯一的 ，使得 ，
∴当 时， ，即 ，此时 单调递增；
当 时， ，即 ，此时 单调递减，
所以当 时， 在 上有且仅有一个极值点，
综上所述，当 时，函数 无极值点；当 时，函数 只有一个极值点
（2）由（1）知 ， 在 上单调递减，
由 得 ， ，
所以 即 在 内有唯一解，不妨设为 ，
所以当 ， ；当 ， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 是 的唯一极值点，
令 ，则当 时， ，故 在 内单调递减，
从而当 时， ，所以 ，
从而当 时， ，且，
又 ，故 在 内有唯一的零点
练习16．（2023·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）（多选）已知函数 ，
下列说法正确的是（ ）
A． 在 处的切线方程为
B．
C．若函数 的图象与 的图象关于坐标原点对称，则
D． 有唯一零点
【答案】ABD
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程判断A；计算 即可判断B；利用对称关
系求出解析式判断C；利用导数探讨单调性结合零点存在性定理判断D作答.
【详解】对于A，函数 ，求导得 ，有 ，
所以 在 处的切线方程为 ，即 ，A正确；
对于B，函数 ，有 ，
而 ，所以 ，B正确；
对于C，函数 ，函数 的图象与 的图象关于坐标原点对称，
所以 ，C错误；
对于D，函数 的定义域为R，求导得 ，令 ，
，当 时 ，当 时， ，则函数 在 上递增，
在 上递减，
于是 ，函数 在 上单调递增，而 ，
由零点存在性定理知 在 内存在唯一零点，所以 有唯一零点，D正确.
故选：ABD练习17．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知函数 ，
，且曲线 在点 处的切线斜率均不小于2．
(1)求a的值；
(2)求证：函数 在区间 内存在唯一的零点．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题意，利用导数的几何意义可得 ，再次利用导数研究函
数 的性质可得 ，结合 即可求解；
（2）由（1），根据求导公式和求导法则可得 ，利用
导数证明不等式 、 在 上恒成立，结合放缩法证明 在
上恒成立，得函数 在 上单调递增，根据零点的存在性定理即可证明.
【详解】（1） ，则 ，
因为曲线 在 处的切线斜率均不小于2，
所以 ，得 ，
设 ，则 ，
令 ，令 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，所以 ，又 ，
所以 ；
（2）由（1）知， ，
所以 ，
则 .
设 ，则 在 上恒成立，
所以函数 在 上单调递增，得 ，
即 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
所以 ①.设 ，则 在 上恒成立，
所以函数 在 上单调递增，得 ，
即 ，得 ，当 时， ，
所以 ②.
由①②得， 在 上恒成立，
则函数 在 上单调递增.
又 ，
得 ，所以函数 在 内有唯一的零点.
即证.
【点睛】在证明不等式的时候，若直接证明比较困难，可将不等式中的部分项进行放大或
缩小，然后证明放缩后的不等式成立，再根据不等式的传递性证明原不等式成立，这种方
法就是放缩法证明不等式.
练习18．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数 ， .
(1)若函数 ，求 的最小值；
(2)证明：函数 在 上有唯一零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析．
【分析】（1）求出导函数 ，由导函数确定单调性后可得最小值；
（2）对 的值分段讨论， 时，由证明 ， 时，直接证明
， 时，利用导数确定单调性，然后由零点存在定理得证．
【详解】（1）由题意 ，
，
，所以 ，所以 ， 是减函数，
所以 ；
（2） ，
设 ，则 ， 是增函数，所以 时， ，即 ，从而 ，
由 ，解得 ，
所以 时， ，即 ， 无零点；
时， ， ，所以 ， 无零
点；
时， ，
， ，所以 ， 单调递减，
又 ， ，
所以 在 上有唯一零点，也即在 上有唯一零点．
【点睛】难点点睛：一般证明零点问题，可用导数确定函数的单调性，然后利用零点存在
定理得出结论，本题的难点在于给定区间上，导函数 的正负难以确定，即 无
法求解，因此对 进行分段，区间的两段直接证明函数值为正或负，而中间一段利用导数
确定单调性，再由零点存在定理得证，分段时可根据部分函数的单调性结合特殊值进行，
如题中 ， ．通过画函数 和 的图象证明的方法有些不恰当，图象不能
代替文字的证明．
练习19．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）已知函数 在 处的
切线方程为 ．
(1)若a；
(2)证明 有两个零点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义即可求解；
（2）根据题意将问题等价转化为函数 与 有两个交点，令
，对函数求导，判断函数的单调性，然后利用的最值即可证明.【详解】（1）对函数求导可得 ，则 ，
因为 在 处的切线方程为
∴ ，∴
（2）由（1）知，
要证 有两个零点，即证方程 有两个不等实根，即证函数
与 有两个交点
令 ， ，∴ 单调递增，又 ，
∴当 时， ，∴ ，函数 与 无交点．
当 时， ，
当 时， ，
令 ，
当 时， ．
当 时，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
又∵ ， ，∴ ， ，
即当 时， ，当 时， ，
综上，当 时， ， ， 单调递增，
当 时， ， ， 单调递减．
又 时 ，且当 时， ，
∵ ， ，∴函数 与 有两个交点，
即函数 有两个零点．
【点睛】研究函数的性质是高考压轴题的核心思想，但是直接构造函数或者简单的拆分函
数依然复杂，这时需要依赖对函数变形，通过恒等变形发现简单函数再进行构造研究，会
起到事半功倍的效果.
练习20．（2023春·北京海淀·高三101中学校考期中）已知函数
，其中 ．
(1)当 时，求函数 的极小值；
(2)求函数 的单调区间；
(3)证明：当 时，函数 有且仅有一个零点．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，求出函数的单调区间，再根据极小值的定义即可得解；
（2）求导，再分 ， 和 三种情况讨论，即可得解；
（3）由（2）得当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
则函数 的极大值为 ，再利用导数证明极大值 即可得证.
【详解】（1）当 时， ，
，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 的极小值为 ；
（2） ，
令 ，得 ，
当 时， ，则函数 在 上单调递增，当 时， 或 时， ， 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 或 时， ， 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
综上所述，当 时， 的单调增区间为 ，无单调减区间；
当 时， 的单调增区间为 ，减区间为 ；
当 时， 的单调增区间为 ，减区间为 ；
（3）由（2）得当 时，
在 上单调递增，在 上单调递减，
则函数 的极大值为 ，
极小值为 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以当 时， ，
又当 时， ，当 时， ，
如图，作出函数 的大致图象，由图可得函数 有且仅有一个零点．
题型五 隐零点
例9．（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）函数 在
区间 上的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据导数与函数的单调性、最值的关系以及零点的存在性定理求解.
【详解】对函数 求导可得， ，
记 ,则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
所以在 上， ，所以 ，所以 单调递增，
注意到 ，
所以必存在 使得 ，
于是 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，
所以在区间 上必存在一个零点.
综上，函数 在区间 上有两个零点.
故选:B.
例10．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）设函数 在区间 上
的导函数为 ，且 在 上存在导函数 （其中 ）．定义：若区间 上 恒成立，则称函数 在区间 上为凸函数．
已知函数 的图像过点 ，且在点 处的切线斜率为 ．
(1)判断 在区间 上是否为凸函数，说明理由；
(2)求证：当 时，函数 有两个不同的零点．
【答案】(1) 在区间 上是凸函数，理由见解析；
(2)证明见解析
【分析】（1）求出 ，可得函数解析式，根据凸函数的定义即可判断出结论；
（2）判断函数 的单调性，结合零点存在定理，即可证明结论.
【详解】（1）由 ，得 ，
而 ，依题意， ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
因为 ，
∴ 在区间 上为凸函数.
（2）证明：由（1）知 在区间 内单调递减，又 ，
∴ ，使得 ，
当 时， ：当 时， ，
∴ 在 内单调递增，在 内单调递减，
因为 ， ， ，
∴ 在 及 内各有一个零点，即 在 内有两个不同的零点.
【点睛】方法点睛：（1）根据凸函数的定义，对函数二次求导，结合三角函数性质判断导
数正负即可；（2）证明 时，函数 有2个零点，利用函数的单调性结合零点存在定理即可判断.
练习21．（2023春·山东日照·高三统考期中）设函数 .
(1)讨论 的导函数 的零点的个数；
(2)证明：当 时， .
【答案】(1) ，没有零点； 时，一个零点
(2)证明见解析
【分析】（1）求出 ，分 ，和 讨论，结合零点存在定理，即可
得出零点的个数；
（2）根据（1）的结论，可推得 在 时， 取得最小值 .由 ，
即 ，两边取对数化简 .代入化简求得
，变形根据基本不等式，即可得出 ，得出证
明.
【详解】（1） 的定义域为 ，且 .
① 时， 在 上恒成立，此时 没有零点；
② 时，由于 单调递增， 在 上单调递增，
在 单调递增.
由于 ，
.
令 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .根据零点存在定理以及 的单调性可知， 只有一个零点.
综上： ，没有零点； 时，一个零点.
（2）由（1）知，当 时，导函数 在 上存在唯一的零点 .
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增.
故在 时， 取得最小值 .
由 ，即 ，
从而有 .
所以
，
当且仅当 时，即 时等号成立，
所以，当 时， .
练习22．（2023春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）已知函数 ，其中
.
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，进而得出切线的方程；
（2）根据 在区间 上的单调性，结合零点存在定理求得 有唯一的根 ，
且 ，利用函数的单调性求出 的最小值，结合 的范围即可证得结论.【详解】（1）因为 ，且 ， ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 ；
（2）证明：由（1），知 ， ，
易知 在区间 上单调递增，且 ，
， ，
所以，存在 ，使得 ，即 有唯一的根，记为 ，
则 ，对 两边取对数，
得 ，整理得 ，
因为 时， ，函数 单调递减，
时， ，函数 单调递增，
所以 ， ，
令 ， ， ，
则 在 上单调递减，从而 ，
所以 ．
练习23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求函数 的极值点；
(2)若函数 的图象与 的图象有3个不同的交点，试求 的取值范围.
【答案】(1)极小值点 ，无极大值点
(2)
【分析】（1）先求函数的定义域，再对函数求导，然后分 和 讨论导数的正负，
从而可求出函数的极值点，
（2）将问题转化为 有3个不相等的零点，然后对函数求导，分 ， 和 三种情况，讨论导数的正负，确定函数图象与 轴的交点个
数，从而可求出 的范围
(1)
的定义域是 ，求导得
当 时， ，函数 没有极值点
当 时，令 得 ，在 上 ， 单调递减，在 上，
， 单调递增.
所以函数 有极小值点 ，无极大值点，
综上，当 时， 没有极值点，当 时， 有极小值点 ，无极大值点，
(2)
问题等价于 有3个不相等的零点，
函数的定义域是 ，求导得 ，
记 ，
当 时，在 上 ， ， 单调递增，不可能有3个零点
当 ，同样可得 ， . 在 上单调递增，不
可能有3个零点.
当 时，令 ，得 ， ，
由韦达定理 ， ，所以
在 上 ， ， 单调递增，
在 ， ， 单调递增，
在 上 ， ， 单调递减，
因为 ， ，
所以
在区间 考察 的取值.
因为 ，记
求导得这里证明一下，当 时， ，
因为 ， ，
所以 在 上单调递增，
，即 ，
在 单调递增的区间 上， ， ，
所以存在唯一的 使得 ，
注意到 ，所以 ，
由 ，所以在单调递增的区间 上有唯一的零点 ，
综上所述，函数 的图像与 的图像有3个不同的交点时，实数 的取值范围是
.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的极值点，利用导数解
决函数零点问题，解题的关键是将问题转化为 有3个不相等的零点，然
后利用导数判断函数图象与 轴的交点情况即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较
难题
练习24．（2022春·浙江·高三统考学业考试）已知函数 ，其中
.
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)证明：函数 存在唯一零点；
(3)设 ，证明： .
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）由题可得 ，解不等式即得；
（2）根据函数的单调性及零点存在定理证明；
（3）由题可得 ，然后根据函数的单调性，利用作差法结合二次函数的性质证明.
【详解】（1）因为 ，由 ，可得 ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 ；
（2）证明：因为函数 ，其中 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
，
所以由零点存在定理，得 在 内有唯一零点，即函数 存在唯一零点；
（3）证明：若 ，则 ，
所以 ，又 ， ，
所以
，
令 ，
又 ，所以 的图象开口向上，
对称轴 ，
所以 在 上单调递增，
所以
，
即 ，
所以 .
练习25．（2023春·江苏无锡·高三江阴市华士高级中学校联考期中）已知函数
， .(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，对a进行讨论，利用导函数的正负即可求出 的单调性；
（2）方法一：将问题转化为 恒成立，令 ，求导利
用导函数的正负和零点存在定理，分析其单调性，根据隐零点的的关系求出最小值，转化
为 ，再次换元，令 ，求导分析单调性并得到最值，即可求出a；
方法二：利用 将问题转化为 恒成立，换元后得到新的函数，求
导分析其单调性，并对a进行讨论，即可求解；
【详解】（1）解： 的定义域为 ， ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递减；
当 时，令 解得 ，所以 在 上单调递增；
令 解得 ，所以 在 上单调递减，
综上所述：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
（2）已知 在 恒成立，化简得
法一：令 ， 定义域为 ，
则 ，
①当 时， 恒成立，则 单调递增， 的值域为R，不符合题意；
②当 时， ，也不符合题意；
③当 时，令 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增.
当 时， ，又 ，
根据零点存在定理以及函数的单调性可知 ，有 ，即 有唯一解，
有 ，此时 ；
当 时， ，又 ，
根据零点存在定理以及函数的单调性可知 ，有 ，即 有唯一解
，
有 ，此时 .
综上所述，对 ， 都有唯一解 ，有 ，此时 .
又当 时， ，即 ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，即 ，所以 在 上单调递增.
所以 ，
故只需 .
令 ，上式即转化为 ，设 ，则 .
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，所以 在 上单调递减.
所以，当 时， 有最大值 ，所以 ，
所以 .
又 ，所以 ，所以 .
由 ，解得 ．
综上所述 .
法二： 恒成立，
令 ， 故 在 上单调递增，
所以 ，问题转化为 在 恒成立，
设 ，
当 时， 恒成立， 在 上单调递增，又 ，所以 时， ，不符合题意；
当 时， 在 上单调递减， 上单调递增，
所以 ，
当 时，都有 均不符合题意，
当 时， ，此时 在 恒成立，
综上所述：
