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专题 4.8 导数中的零点问题
题型一 讨论零点的个数
题型二 已知零点个数求参数
题型三 存在零点求参数
题型四 证明零点个数
题型五 隐零点
题型一 讨论零点的个数
例1．（2023春·安徽六安·高二六安二中校联考期中）已知 ， ，
a是参数，则下列结论正确的是（ ）
A．若 有两个极值点，则 B． 至多2个零点
C．若 ，则 的零点之和为0 D． 无最大值和最小值
【答案】ACD
【分析】求导，把两个极值点问题转化为导数方程有两个解问题，分离参数数形结合即可
求解a的范围，判断A，求导，判断函数 的单调性，再结合零点存在性定理，直接判
断即可判断B；问题等价于直线y＝a与函数 图象的交点的横坐标之和是否为
0，由函数 的奇偶性容易判断C，结合函数的的单调性及图象变化趋势判断D.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，
若 有两个极值点，则 有两个不同的解，
分参得， 有两个不同的解，
记 ，则 ，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
又 ，作出函数 的图象，要使 有两个不同的解，
则直线 与函数 有两个不同的交点，
由图知， ，故A正确；
对于B，当 时， ， ，
结合A选项知，存在 ， ，使得 ，
又 ，所以 ，
又 ，x趋向负无穷大时，函数 无限趋向于负无穷大，
x趋向正无穷大时，函数 无限趋向于正无穷大，
且 ，
由零点存在性可知， 有三个零点，故选项B错误；
对于C， 的根即为 的根，
亦即直线y＝a与函数 图象的交点的横坐标，
又函数 为偶函数，
所以直线y＝a与函数 图象的交点的横坐标之和为0，故选项C正确；
对于D，当 时，由选项A知， ，则 ，
函数 在R上单调递增，且x趋向负无穷大时，函数 无限趋向于负无穷大，
x趋向正无穷大时，函数 无限趋向于正无穷大，此时函数 无最大值和最小值；
当 时，由选项B知，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递
减，且x趋向负无穷大时，函数 无限趋向于负无穷大，
x趋向正无穷大时，函数 无限趋向于正无穷大，此时函数 无最大值和最小值；
综上，函数 无最大值和最小值，故选项D正确；
故选：ACD
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基
本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体
现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
例2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知函数 ，
，m∈R．
(1)设 的导函数为 ，试讨论 的零点个数；
(2)设 ， 当 时，若
恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2) ．
【分析】（1）分离参数得 ，将零点问题转换为交点问题，求得
的导数，根据其单调性画出大致函数图象，分类讨论m的取值与函数交点
个数的关系即可；
（2）简化不等式，根据不等式特征构造函数，求导新函数的导数判断其单调性，根据新函
数单调性将外函数的大小比较简化成内函数的大小比较，再求解内函数的大小关系即可求
得实数m的取值范围.
【详解】（1） ，令 ，
函数 的零点即为 的方程的根，令 ，
，
当x＜－3或x＞1时， ， 单调递增，
当－3＜x＜1时， ， 单调递减，
且 ， ，
x→∞时， ，x→＋∞时， ，且当 或 时 ，
当 时 ，则 的大致图象如图所示：
由数形结合可知，当m＝－2e或 时， 有一个零点；
当－2e＜m≤0或 时， 有两个零点；
当 时， 有三个零点；
当m＜－2e时， 无零点．
（2）当 时，若 成立，
即 对 恒成立，
即 对 恒成立，
亦即 对 恒成立，
设函数 ，
∴ 对 恒成立，
又 ，
设 ，
∴ ，
∴当 时， ，此时点 在 上单调递减，
当 时， ，此时 在 上单调递增，
∴ ，
∴ 在R上单调递增，又 ，∴ 在 上恒成立，
令 ，则 ，
①当m≤1时， 在 上恒成立，
∴ ，此时满足已知条件，
②当m＞1时，由 ，解得x＝m，
当 时， ，此时 在 上单调递减；
当 时， ，此时 在 上单调递增；
∴ 的最小值 ，解得1＜m≤e，
综上，m的取值范围是 ．
练习1．（2023春·甘肃武威·高三武威第六中学校考期中）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间和极值：
(2)若 ，讨论函数 的零点个数．
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；极小值为 ，无极大值
(2)答案见解析
【分析】（1）求导后，根据 正负可得单调区间；根据极值点定义可求得极值；
（2）将问题转化为 与 的交点个数问题，结合（1）中结论作出函数图象分析可得
结果．
【详解】（1）∵ 定义域为 ， ，
又 恒成立，
∴当 时， ；当 时， ；
的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
所以极小值为 ，无极大值．
（2）当 时， ，当 时， ，结合（1）中结论作出函数图象如图：的零点个数等价于 与 的交点个数；
当 时， 与 有且仅有一个交点；
当 时， 与 有两个不同交点；
当 时， 与 有且仅有一个交点；
当 时， 与 无交点；
综上所述：当 时， 有唯一零点；
当 时， 有两个不同零点；
当 时， 无零点．
练习2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知 .
(1)若 ，证明： 存在唯一零点；
(2)当 时，讨论 零点个数.
【答案】(1)见解析
(2) 有2个零点，
【分析】（1）求导，利用导数判断 在 单调递减，进而由零点存在性定理即可
求解，
（2）分类讨论，结合导数求解单调性，由零点存在性定理即可求解.
【详解】（1） ，
，
由于 ，所以 进而 ，
所以 在 单调递减，
又 ，所以 存在唯一零点
（2） ， ，则 ， ，
当 时，
，此时 在 单调递减， ， 所以 在在
没有零点，
当 时，令 ，
所以 在 单调递增，又
故当 时， ，故 在 单调递减，又 ，
当 时， ，故 在 单调递增，因此当 时，
只有一个零点0，
当 时， ，所以 在 单调递减，
，
故 使得 ，且当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，而
，
所以当 此时 无零点，当 ， 只有一个零点，
综上可知： 时， 有2个零点，
【点睛】本题主要考查了导数的综合运用以及函数的零点，属于较难题.判断函数
零点个数的常用方法：
(1) 直接法： 令 则方程实根的个数就是函数零点的个；
(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间 上是连续不断的曲线，且 再结
合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3)
数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个
数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定
函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点
存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.
练习3．（2023春·河南郑州·高三河南省实验中学校考期中）已知函数 ．(1)若 时， 恒成立，求 的取值范围；
(2)记 ，讨论函数 与 的交点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，求导得 ，分 与 讨论，即可得到结果；
（2）根据题意，记 ，将函数交点问题转化为 零点问题，求导讨
论即可得到结果.
【详解】（1） ， ． ， ，
当 时， ， 单调递增， ，不等式成立，
当 时， ． ， ， 单调递减， ，这
与题设矛盾．
综上， 的取值范围为 ．
（2）记 ，则 ， ．
记 ，则 ， 单调递增，且有唯一零点 ，
于是 在 单调递减， 单调递增， 在 处取得最小值 ．
当 ，即 时， ，
故 在 上单调递增， 在 上有唯一零点 ;
当 ，即 时， ，
设 ，则 ，
故 在 上为增函数，故 即 ， ，
故 有两个零点，且 ，
于是 在 单调递增， 单调递减， 单调递增，
又 ，则 ， ，
，
，则由零点存在定理可得 在 存在唯
一零点， 在 存在唯一零点，故此时有三个零点．
综上可得： 时，有一个交点； 时，有三个交点．练习4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的图象在点 处的
切线与 轴垂直．
(1)求实数 的值．
(2)讨论 在区间 上的零点个数．
【答案】(1)
(2) 在区间 上的零点个数为2
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得 ，解得即可；
（2）由（1）知 ，求出函数的导函数，令 ，利用导数说明
的单调性，即可得到 在 上的零点情况，当 时，将 变形得
，令 ，利用导数说明 的单调性，即可判断其
零点个数，从而得解.
【详解】（1）因为 ，则 ，
由题意得，函数 的图象在点 处的切线斜率为 ，
即 ，解得 ．
（2）由（1）知 ， ， ，
令 ，则 ．
当 时， ， ，此时 ， 单调递增，
，故函数 单调递减，
所以 ，故函数 在 上无零点．
当 时，将 变形得 ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
易知当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，又 ， ，，
故存在 ，使 ，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，又 ，故 ，又 ，
故函数 在 上没有零点，在 上有1个零点．
综上所述， 在区间 上的零点个数为2．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的
单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零
点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
练习5．（2023春·北京海淀·高三北京交通大学附属中学校考期中）已知函数
与函数 ．
(1)若 ， 的图像在点 处有公共的切线，求实数a的值；
(2)设 ．
①求函数 的极值；
②试判断函数 零点的个数．
【答案】(1)
(2)①答案见解析；②答案见解析.
【分析】（1）因为 的图像在点 处有公共的切线，，因此则在该点处的导数
值相等，得到参数a的值．
（2）①设 ，分别对参数a进行分类讨论：i. 时， 在
上单调递增， 无极值；
ii. 时，用列表法求出函数 的极小值 .②根据单调性结合极值正负分类
讨论函数零点个数.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ， .
所以点 同时在函数 的图像上，
因为 ，所以 ， ，
由已知，得 ，所以 ，即 .
（2）①因为 ，
所以 .
i.当 时，因为 ，且 所以 对 恒成立，
所以 在 上单调递增， 无极值；
ii.当 时，
令 ，解得 （舍）.
列表得：
x
- 0 +
极小
减函数 增函数
值
所以当 时， 取得极小值，且 .
综上，当 时，函数 在 上无极值；
当 时，函数 在 处取得极小值 .
②当 时， 在 上单调递增， 函数 零点的个数为
1；
当 时， 在 上单调递, 在 上单调递增,
函数 在 处取得极小值 .
设 单调递增,
单调递减,
又 ,
当 时， 趋近于0时 趋近于正无穷大，
函数 零点的个数为2;
当 时， 趋近于正无穷大时 趋近于正无穷大，
函数 零点的个数为2;
当 时， 在 上单调递, 在 上单调递增, 函数 在 处取得极
小值 ,
函数 零点的个数为1;
当 或 时，函数 零点的个数1; 当 或 时,函数 零点的个数2;题型二 已知零点个数求参数
例3．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数 .
(1)若点 在曲线 上，且点 是函数 图象的对称中心，求过
点 的 的切线方程；
(2)若 ，且 有三个不同的零点 ，且 ，求 的取值
范围.
【答案】(1) 和
(2)
【分析】（1）根据点在曲线上和对称中心得到 ，求导得到导函数，设切点得到切
线方程，将点代入切线方程得到答案.
（2）确定当 时，方程 有两个不同的解，变换得到 ，构造函数，
求导得到单调区间，计算最值为 ，解得答案.
【详解】（1） ，则 ，
设 ， ，
故 ，解得 ，
即 ，则 .
函数 在 处的切线方程为 ，
即 ，
将点 代入切线方程得 ，
整理得 ，即 ，解得 或 .故过点 的函数 的图象的切线方程为： 和 .
（2）根据题意：当 时，方程 有两个不同的解，故 ，
等号两边同时取对数得， ，令 ，
则 ，令 ，得 ， ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
，又当 无限趋近于负无穷大时， 为正数，无限趋近于正无穷大，
当 无限趋近于0时， 也无限趋近于正无穷大，
故要使 有两个零点，只需 ，
即 ，所以 ，解得 ，又 ，
故实数 的取值范围 .
【点睛】关键点睛：本题考查了切线方程，利用导数求参数范围，意在考查学生的计算能
力，转化能力和综合应用能力，其中，将函数的零点问题通过构造函数的方法转化为函数
的最值问题是解题的关键.
例4．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个零点，求a的最大整数值．
【答案】(1)答案见解析；
(2) .
【分析】（1）求出函数 的导数 ，再分类讨论求解 为正为负时的不等式作答.
（2）利用（1）中信息结合已知，确定 ，再利用零点存在性定理探讨有两个零点的条
件，得 ，进而确定 ，分析 的情况作答.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ，①当 ，即 时， 恒成立，此时 在 上单调递减；
②当 ，即 时，由 解得， ，
由 解得， ，由 解得 或
，
此时 在 上单调递增，在 和 上单调递减；
③当 ，即 时，由 解得 或 (舍)，
由 解得 ，由 解得 ，
此时 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时，函数 在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增，在 和
上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由（1）知，当 时， 在 上单调递减，
此时 在 上至多有一个笭点，不待合题意，
由于 是整数，必有 ，
当 时，由（1）知 在 上单调递增，在 上单调递减，
取 ，有 ，当 时， ，
若 在 上有两个零点，则 ，
因为 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，即 在
上单调递增，
又 ，则存在唯一的 ，使得 ，
当 时， ，此时 ，
若 ，则 ，令 ，则 在 上单调递增，
又 ， ，
当 时， ，此时 ，因此 ，则当 时，
成立，
所以 的最大整数值为 .
练习6．（2023春·四川乐山·高三四川省峨眉第二中学校校考期中）若函数 有两个
实根，则 的取值范围是______．
【答案】
【分析】参数分离，构造新函数，求解新函数的值域，运用几何解释求解.
【详解】 ，原问题等价于直线 与曲线 有2个交点，
，当 时， 单调递增，当 时，
单调递减，
在 处， 取得极小值也是最小值， ，当 时， ，
，当 时， ，当 趋于 时， 趋于 ；
函数的大致图像如下：
所以，k的取值范围是 ；
故答案为： .
练习7．（2023·河南·模拟预测）若函数 在 上存在两个零点，则a的
取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分离参数，利用导数研究 函数的单调性及最值，数形结合得解.
【详解】函数 在 上存在两个零点，
即 在 上有2个解，
即 与 的图象在 上有2个交点，
，由 可得 ，函数单调递增，
故 时， ，函数单调递减，
所以 ， ，
由 时， 知， ，即 ，可得 ，
作出 图象，如图，
由图象可知，当 时满足条件.
故选：A
练习8．（2023春·山东青岛·高三青岛市即墨区第一中学统考期中）若 ，
（0
