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专题 7.5 数列的其他应用
题型一 分段递推数列求通项公式
题型二 公共项数列
题型三 插项数列
题型四 数列中的新定义问题
题型五 数列的结构不良
题型六 递推数列的实际应用
题型一 分段递推数列求通项公式
例1．（2023·江西南昌·统考三模）已知数列 满足 ， 其中
，则数列 的前 项和 为______.
【答案】
【分析】根据递推公式将偶数项转化为奇数项，再运用递推公式求出奇数项的通项公式，
再求和.
【详解】由递推公式 ，得 ，
即 ， ，
数列 是首项为 ，公比 等比数列， ， ，
；
故答案为： .
例2．（2023春·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）（多选）已知数列 满足 ，
，则（ ）
A．
B．当 为偶数时，C．
D．数列 的前 项和为
【答案】BCD
【分析】根据已知递推出 可判断A；令 ，由已知可得 ，
可得 ，令 ， 由已知可得 ，
，所以 可判断BC；计算出前 项中的奇数项和、
偶数项和可判断D.
【详解】对于A，因为 ， ， ， ，
，故A错误；
对于B，令 ， 由已知可得 ， ，
所以 ，又 ，
所以 ， ，
令 ，所以 ，当 为偶数时， ，故B正确；
对于C，由B可知， ，令 ， 由已知可得 ，
，
所以 ，综上 ，故C正确；
对于D，前 项中的奇数项和 ，
前 项中的偶数项和 ，
所以数列 的前 项和为 ，故D正确.
故选：BCD.
练习1．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 满足 ， ，
记 ，求数列 的通项公式．【答案】
【分析】推导出数列 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列
的表达式，根据数列 的递推公式可得出数列 的表达式，然
后对 为偶数和奇数两种情况讨论，可得出数列 的通项公式.
【详解】解：因为数列 满足 ， ，则 ，
因为 ，所以， ，
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以， ，
因为 ，
所以， .
所以，当 为偶数时，设 ，则 ，所以， ；
当 为奇数时，设 ，则 ，
此时， .
综上所述， .
练习2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知数列 满足 ，
数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数列 的递推公式依次写出 ，即可发现规律；
（2）由（1）可写出数列 的表达式，根据裂项求和的方法可求出前n项和 ．
【详解】（1）由题意知， ， ， ， ， ，…，
， ，从而
．
（2）由（1） ，所以
．
练习3．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）已知数列 满足，
， ，令 .
(1)写出 ， ，并求出数列 的通项公式；
(2)记 ，求 的前10项和.
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】（1）由递推关系既可求得 ， ，再由数列 的通项公式代入到 ，可
求得数列 的通项公式；
（2）将数列 的通项公式代入到 ，可求得 ，由分组求和方法计算即可得出
的前10项和
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
，
又 ，所以， ， ，当 ， 时， ；
当 ， 时， ，
当 时， ，即 ，
则 ， ，
数列 是以 为首项，3为公比的等比数列，
故 .
（2）由（1）可得 ，
记 的前项和为 ，
则
.
练习4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知数列 的首项为
,数列 的前 项和小于实数 ，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先分奇偶求出通项公式，再应用裂项相消法即可得前n项和，则得M的最小值.
【详解】当 时， ，即 .
所以当 为奇数时， 是常数列.又 ，
所以当 为奇数时， ，即 ，
当 为偶数时， ，
所以当 时， .
设 ，则
故 的前 项和为，当 趋向于无穷大时，前 和趋向于 .
所以 的最小值为 .
故选：C.
练习5．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列 满足：①
；② .则 的通项公式 ______；设 为 的前 项
和，则 ______.（结果用指数幂表示）
【答案】
【分析】当 为奇数时令 可得 ，当 为偶数时令
，可得 ，即可得到 是以 为首项， 为公比的
等比数列，从而求出通项公式，再利用分组求和法计算可得.
【详解】当 为奇数时 ，令 ，则 ，
当 为偶数时 ，令 ，则 ，
则 ，
当 时 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
所以 ，则 ，
当 为奇数时，由 ，则 ，所以 ，
当 为偶数时，由 ，则 ，所以 ，
所以 ，
所以故答案为： ，
题型二 公共项数列
例3．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考阶段练习）数列 的通
项公式分别为 和 ，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合
中元素的个数为（ ）
A．167 B．168 C．169 D．170
【答案】C
【分析】利用列举法可知，将集合 中的元素由小到大进行排序，构成的数列记为 ，
可知数列 为等差数列，求出数列 的通项公式，然后解不等式 ，即可得出
结论.
【详解】由题意可知，数列 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，
数列 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，
将集合 中的元素由小到大进行排序，构成数列 、 、 、 ，
易知数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，则 ，
由 ，可得 ，
因此，集合 中元素的个数为 .
故选：C.
例4．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列 是公差为3的等差数列，数列 是
公比为2的等比数列，且满足 ． 将数列 与 的公
共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列 ．
(1)证明：
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用基本量代换列方程组求出 ，得到 ， 的通项公式，进而判断
出 是数列{ }的项，即可证明；（2）利用错位相减法求和.【详解】（1）由 ，得 ，
由 ，得 ，
解得，
因为数列{ }的公差为3，数列{ }的公比为2，
所以
不是数列{ }的项， 是数列{ }的第1项．
设 ，则
所以 不是数列{ }的项．
因为 ，
所以 是数列{ }的项．
所以
（2）由（1）可知， ．
=
所以
所以 ．
练习6．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）将数列 与 的公共项
由小到大排列得到数列 ，则数列 的前n项的和为__________．
【答案】
【分析】找到数列 与 的公共项，组成数列 ，可得数列 是首项为4，公
比为4的等比数列，结合等比数列的前n项和公式即可求得答案.【详解】由题意令 ，即2不是数列 与 的公共项；
令 ，即4是数列 与 的公共项；
令 ，即8不是数列 与 的公共项；
令 ，即16是数列 与 的公共项；
依次类推，可得数列 ： ，
即 是首项为4，公比为4的等比数列，
故数列 的前n项的和为 ，
故答案为：
练习7．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，将数列 与数列 的公共项
从小到大排列得到新数列 ，则 __________.
【答案】
【分析】分析可知 是正奇数列，根据题意求得 ，然后利用裂项相消法可
求得 的值.
【详解】因为数列 是正奇数列，
对于数列 ，当 为奇数时，设 ，则 为
偶数；
当 为偶数时，设 ，则 为奇数，
所以， ，则 ，
因此， .
故答案为： .
练习8．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）已知等差数列
的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；(2)若数列 由 与 的公共项按从小到大的顺序排列而成，求数列 落在区间
内的项的个数．
【答案】(1)
(2)22
【分析】（1）根据等差数列通项公式和前 项和公式列式计算即可；
（2）计算得出 的通项公式，分析可得 表示全体正奇数的平方从小到大组成的数列，
据此推断出数列 落在区间 内的项的个数.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ．
由 可得 得
解得
所以 ．
（2）因为 ，所以 表示所有正整数的完全平方数从小到大组成的数
列，
而 表示全体正奇数从小到大组成的数列，所以 表示全体正奇数的平方从小到大组
成的数列，
因为 ，所以 落在区间 内的项的个数为22项．
练习9．（2023·全国·高三专题练习）记 为公比不为1的等比数列 的前 项和，
， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，若由 与 的公共项从小到大组成数列 ，求数列 的前 项
和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等比数列的公比为 ，由 求出 ，再由等比数列
求和公式求出 ，即可得解；
（2）由（1）可得 ，即可得到数列 的特征，令 ，求出 的取值，即可得到 为以 为首项， 为公比的等比数列，再由等比数列求和公式计算可得.
【详解】（1）解：设等比数列的公比为 ，
因为 ，即 ，即 ，所以 ，
又 ，即 ，解得 ，
所以 .
（2）解：由（1）可得 ，
则数列 为 、 、 、 、 ，偶数组成的数列，
又 ，令 ，则 为正偶数，
所以 ， ， ， ， ，
所以 为以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
练习10．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数
学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数值剩二，七七数之剩二，问物几
何？”根据这一数学思想，所以被 除余 的自然数从小到大组成数列 ，所有被 除余
的自然数从小到大组成数列 ，把 和 的公共项从小到大得到数列 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意数列 、 都是等差数列，从而得到数列 是等差数列，依次对
选项进行判断可得答案.
【详解】根据题意数列 是首项为2，公差为3的等差数列， ，
数列 是首项为2，公差为5的等差数列， ，
数列 与 的公共项从小到大得到数列 ，故数列 是首项为2，公差为15的等
差数列， .
对于A， ， ， ，错误
对于B， ， ， ，正确.
对于C， ， ， ，，错误.
对于D， ， ， ，
，错误.
故选：B.
题型三 插项数列
例5．（2023·全国·高三专题练习）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可以形成
一个新的数列，再把所得数列按照同样的方法可以不断构造出新的数列．现将数列1，3进
行构造，第1次得到数列1，4，3；第2次得到数列1，5，4，7，3；依次构造，第
次得到数列1， ．记 ，若 成立，
则 的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】根据规律确定 的关系式，进而可得 ，即有 的通项公式，
求解 即可得结果．
【详解】由 ， ，
，
， ，
则 ，则 ，则 ，
当 时， ．当 时， ．
故选：C．
例6．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，且
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列
的前 项和 ．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）根据递推关系求出等比数列的公比，由等比数列的通项公式求解；
（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1） ，
当 时， ，
两式相减可得， ，
故等比数列 的公比为 ，
，
，
故数列 的通项公式为 ．
（2）由 得： ， ，
故 ，即 ，
，
，
得：
，
故 ．
练习11．（2023秋·江苏盐城·高三江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列 的通项公式
，在数列 的任意相邻两项 与 之间插入 个4，使它们和
原数列的项构成一个新的数列 ，记新数列 的前n项和为 ，则 的值为______．
【答案】370
【分析】依题意，确定前60项所包含数列 的项，以及中间插入4的数量即可求和.
【详解】因为 与 之间插入 个4，
， ， ， ， ，
其中 ， 之间插入2个4， ， 之间插入4个4， ， 之间插入8个4， ， 之间
插入16个4，， 之间插入32个4，由于 ， ，
故数列 的前60项含有 的前5项和55个4，
故 .
故答案为：370.
练习12．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列 满足
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)在数列 的任意 与 项之间，都插入 个相同的数 ，组成数列 ，
记数列 的前 项的和为 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件证明数列 为等比数列，利用累加法求数列 的通项公式；
（2）数列 中在 之前共有 项，由此确定前 项的值，
再分组，结合等比求和公式可求得答案.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，又 ，
所以数列 为首项为1，公比为 的等比数列，
所以 ，
所以当 时，
，
所以 ，
所以当 时， ，又 也满足该关系，
所以数列 的通项公式为 ；
（2）数列 中在 之前共有 项，
当 时， ，当 时练习13．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)保持 中各项先后顺序不变，在 与 之间插入 个1，使它们和原数列的项构成
一个新的数列 ，记 的前n项和为 ，求 的值（用数字作答）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 ，得到 ，求得 ，结合
时，求得 ，进而得到数列 的通项公式；
（2）根据题意，得到新数列 的前100项，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）解：由数列 的前n项和为 ，且 ，
当 时， ，
所以 ，
当 时， ，不符合上式，
所以数列 的通项公式为 ．
（2）解：保持数列 中各项先后顺序不变，在 与 之间插入 个1，
则新数列 的前100项为3，1， ，1，1， ，1，1，1， ，1，1，1，1， ，
， ，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，
则
．
练习14．（2023春·辽宁锦州·高三校考期中）记 为各项均为正数的等比数列 的前n
项和， ，且 ， ， 成等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)在 和 之间插入n个数，使得这 个数依次组成公差为 的等差数列，求数列的前n项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列、等比数列的性质计算基本量即可得通项公式；
（2）根据等差数列的性质计算得 ，利用错位相减法计算和式即可.
【详解】（1）设数列 的首项为 ，公比为q，则 ①，
因为 ， ， 成等差数列，则 ，即 ②，
因为 ，所以由②式可得 ，解得 或 （舍），
代入①式可得 ，
（2）由题可得 ，即 ，所以 ，
则 ，所以 ①，
则 ②，
故①－②得：
所以 .
练习15．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知数列 的前 项和 ， ，且
.数列 满足 ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)将数列 中的项按从小到大的顺序依次插入数列 中，在任意的 ， 之间插入
项，从而构成一个新数列 ，求数列 的前100项的和.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据 与 的关系，可得出 ，变形可得 .然后根据等比数列的通项公式，即可得出 .由已知可得 ，累乘法即可得出 ；
（2）设100项中，来自于数列 中的有 项.根据已知可推得 ，然后根据等差数
列以及等比数列的前 项和公式，即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，当 时，
有 ，
，
两式相减得： .
又因为 ，
所以， ，满足上式.
所以， .
又 ，
所以 是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，即 .
又 ，
所以 ，所以 .
又 ，
所以，当 时，有
，
，
，
，
，
两边同时相乘可得，
，
所以， .（2）设100项中，来自于数列 中的有 项.
若第100项来自于 ，则应有 ，
整理可得， ，该方程没有正整数解，不满足题意；
若第100项来自于 ，则应有 ，
整理可得， .
当 时，有 不满足，
，故 ，
所以，数列 中含有10项数列 中的项，含有90项数列 中的项.
所以，
.
题型四 数列中的新定义问题
例7．（2023·全国·高三对口高考）对于数列 ，定义 为数列 的一阶差分数列，
其中
(1)若数列 的通项公式 ，求 的通项公式；
(2)若数列 的首项是1，且满足 ，证明数列 为等差为数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据 及 的通项公式直接计算可得；
（2）依题意可得 ，再结合等差数列的定义证明即可.
【详解】（1）依题意 ，且 ，
（2）因为 ，所以 ，所以 ．
，且 ，
故 是首项为 ，公差为 的等差数列.例8．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（多选）所有的有理数都可以写成两个整数的比，
例如 如何表示成两个整数的比值呢？ 代表了等比
数列 的无限项求和，可通过计算该数列的前 项的和，再令 获得答案.此时
，当 时， ，即可得 .则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 为无限循环小数
C． 为有限小数
D．数列 的无限项求和是有限小数
【答案】AD
【分析】按照题中所给方法求解可判断A；取 验证可判断BC；利用等比数列求和公
式求和，然后可得 的无限项求和，可判断D.
【详解】对于选项A， ， 代表了等比数列 的
无限项求和，该数列的前 项的和为 ， ， ，所以
，故选项A成立；
对于选项B：令 与条件矛盾，故选项B不成立；
对于选项C：令 与条件矛盾，故选项C不成立；
对于选项D：数列 的前 项和为 时， ，所以数列
的无限项求和为 ，是有限小数，故选项D成立.
故选：AD
练习16．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）若数列 满足 ，则称数列为“平方递推数列”．已知数列 中， ，点 在函数 的
图象上，其中n为正整数，
(1)证明：数列 是“平方递推数列”，且数列 为等比数列；
(2)设 ，定义 ，且记 ，求数列 的前n
项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明
(2)由 的新定义和 ，可得出 表达式，再分段求前n项和 即可.
【详解】（1） 点 在函数 的图象上， ，
是“平方递推数列”．
因为 ，
对 两边同时取对数得 ，
∴数列 是以1为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知 ，
由数列 的通项公式得，
当 时， ；当 时， ．
又由 ，得
当 且 时， ；
当 且 时，
，
综上，
练习17．（2023·湖北武汉·统考三模）将 按照某种顺序排成一列得到数列 ，对
任意 ，如果 ，那么称数对 构成数列 的一个逆序对.若 ，则恰有2个逆序对的数列 的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据逆序对的定义，分数列 的第一个数为 ，数列 的第二个数为 ，数
列 的第三个数为 ，数列 的第四个数为 ，四种情况讨论即可.
【详解】若 ，则 ，
由 构成的逆序对有 ，
若数列 的第一个数为 ，则至少有 个逆序对，
若数列 的第二个数为 ，
则恰有2个逆序对的数列 为 ，
若数列 的第三个数为 ，
则恰有2个逆序对的数列 为 或 ，
若数列 的第四个数为 ，
则恰有2个逆序对的数列 为 ，
综上恰有2个逆序对的数列 的个数为 个.
故选：B.
练习18．（2023·北京·人大附中校考三模）已知数列 满足：对任意的 ，总存在
，使得 ，则称 为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是（ ）
①若 ，则 为“回旋数列”；
②设 为等比数列，且公比q为有理数，则 为“回旋数列”；
③设 为等差数列，当 ， 时，若 为“回旋数列”，则 ；
④若 为“回旋数列”，则对任意 ，总存在 ，使得 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，结合题意中的“回旋数列”，
对每项进行验证或者举特练习即可
【详解】①由 可得 ，
由 可得 ，取 即可，则 为“回旋数列”，故①正确；
②当 时， ， ，
由 可得 ，故当 时，很明显 不成立，故 不是“回旋数列，②
错误”；
③ 是等差数列，故 ， ，
因为数列 是“回旋数列”，所以 ，即 ，
其中 为非负整数，所以要保证 恒为整数，
故 为所有非负整数的公约数，且 ，所以 ，故③正确；
④由①可得当 时， 为“回旋数列”，
取 ， ，显然不存在 ,使得 ，故④错误
故选：B
练习19．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）（多选）在数列 中， （
， 为非零常数），则称 为“等方差数列”， 称为“公方差”，下列对
“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A． 是等方差数列
B．若正项等方差数列 的首项 ，且 是等比数列，则
C．等比数列不可能为等方差数列
D．存在数列 既是等差数列，又是等方差数列
【答案】BC
【分析】根据等方差数列定义判断A，由等方差数列定义及等比数列求 判断B，根据等
方差数列定义及等比数列的通项公式判断C，由等差数列及等方差数列定义，利用反证法
判断D.
【详解】设 ，则 不为非零常数，所以 不是等方差数列，故
A错误；
由题意 ，则 ，
由 是等比数列，得 ，解得 或 （舍去），
当 时， 满足题意，故B正确；
设数列 为等比数列，不妨设 ，则 ，所以 ，若 为常数，则 ，但此时 ，不满足题意，故C正确；
若数列 既是等差数列，又是等方差数列，
不妨设 ，（ 为非零数）， ，
所以 ，即 ，所以 ，即 ，
所以 为常数列，这与 矛盾，故D错误.
故选：BC.
练习20．（2023·江苏苏州·校联考三模）（多选）若数列 满足：对任意的
，总存在 ，使 ，则称 是“ 数列”.
则下列数列是“ 数列”的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据“ 数列”定义判断A、D；利用特殊值判断B是否满足要求；由 的个位
数上奇偶性判断C.
【详解】A：由 ，要 且 ，
所以，只需 ，显然对任意的 ，总存在 ，满足“ 数列”.
B：由 ，显然 ，不满足“ 数列”.
C：对于任意 ， ，个位数为 均为奇数，所以 必为偶数，显然
不成立，不满足.
D：由 ，
，
故对任意的 ，总存在 ，满足“ 数列”.
故选：AD
题型五 数列的结构不良
例9．（2023·江西·统考模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ， ，
．(1)求 的通项公式及 ；
(2)设__________，求数列 的前 项和 ．
在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个补充在第（2）
问中，并求解．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1) ，
(2)答案见解析
【分析】（1）设公差为 ，依题意得到关于 、 的方程组，解得 、 ，即可求出通项
公式与前 项和；
（2）根据所选条件得到 的通项公式，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设公差为 ，由 可得 ，
所以 ，解得 ，所以 的通项公式为 ，
则 .
（2）若选① ；
则
，
所以 ；
若选② ；则 ，
则 ；
若选③ ，则 ，
所以 .
例10．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知正项数列 的前 项和为 ，在①，且 ；② ；③
， ，这三个条件中任选一个，解答下列问题：
(1)证明数列 是等比数列，并求其通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 恒成立，求
的最小值.
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)证明见解析， ；
(2)
【分析】（1）由 与 的关系或等比数列的定义及通项公式求解即可；
（2）由裂项相消法求出 后，再由 恒成立进行求解即可.
【详解】（1）若选择条件①：因为 ，
所以 ，又 ，所以 ，即 ，
又 ，所以数列 是首项为3，公比为3的等比数列，所以 ；
若选择条件②：因为 ，所以当 时，有 ，
两式相减，得 ，即 （ ），
又 ，所以 ，所以数列 是首项为3，公比为3的等比数列，
所以 ；
若选择条件③：由 ，得 ，即 ，
又 ，所以数列 是首项为3，公比为3的等比数列，所以 ；
（2）由（1）知， ，
则
，
因为数列 为递增数列，所以 的最小值为 ，又 恒成立，则 ，解得 ，
故 的最小值为 .
练习21．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，在①
且 ；② ；③ 且 ， ，这三
个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：
(1)已知数列 满足______，求 的通项公式；
(2)已知正项等比数列 满足 ， ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，由已知可推得 ，进而得出数列 是常数列，从而得出
；若选②，由已知推得 ，进而根据 与 的关系，即可推得 ；若
选③，根据等差中项的性质，可推得数列 是等差数列.然后由已知求得 ，即可得出
.
（2）根据已知可求出 ，然后根据对数运算以及裂项化简可得
，然后相加即可得出 .
【详解】（1）若选① 且
由 可得 .
又 ，
所以数列 是常数列，且 ，所以 .
若选②由已知 可得， .
当 时，有 ；
当 时，有 ，
，
两式作差可得， ，
所以 .
又 满足，所以 .
若选③ 且 ，
由 可得， ，
所以，数列 是等差数列.
又 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 .
（2）由（1）知， ，所以 .
设等比数列 公比为 ，
由已知可得 ，解得 ，
所以 .
所以 ，
所以 .
练习22．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知数列 的各项均为正数，记 为
的前 项和.
(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；
① ；② ；
③ .
(2)在（1）的条件下，若 ，求 .
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）不管选哪个组合都可以由递推公式及等差数列的性质计算即可；
（2）结合（1）的条件得出 ，从而求得 ，利
用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）证明：若选择①②，证明③成立.
由 ，得 ，
故数列 是等差数列，
设数列 的公差为 ，故 ，
，所以 ，
所以 ，所以 ，
故 ，所以
，
故 .
若选择①③为条件，证明②成立.
由 ，得 ，
故数列 是等差数列，
设数列 的公差为 ，
，
因为 ，即 ，
整理可得 ，所以 ，
所以 ，故 .
若选择②③为条件，证明①成立.由题意可得 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以数列 是等差数列，则数列 的公差为 ，
所以 ，
所以当 时， ，当 时上式也成立，
故数列 的通项公式为 .
又 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
故 .
（2）解：由（1）可知，数列 是首项 ，公差 的等差数列，
所以 ，
所以 ，
所以
练习23．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）在①
；② 这两组条件中任选一组，补充下面横线
处，并解答下列问题.
已知数列 的前n项和是 ，数列 的前n项和是 ，___________.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求 .
【答案】(1)选条件①：故数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 ；
选条件②：数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 ；
(2)选条件①： ；选条件②：所以 ．
【分析】（1）选条件①：由 ， 可得 ，根据等比数列通
项公式即可求解 ；选条件②：由 ， ，可得
，利用迭代法可求 ，借助已知条件可得 ；（2）选条件①：利用错位相减求和法求和后即可证明；选条件②：利用裂项相消求和法求
和后即可证明.
【详解】（1）选条件①：由 ，可得 ，
两式相减可得 ，所以 ，
在 中，令 ，可得 ，所以 ，
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列， ，
故数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 ；
选条件②：由 ，可得 ，
两式相减可得 ，即 ，
所以 ，
在 中，令 ，可得 ，所以 ，
所以由 ， ， ， ，
所以 ，从而有 ，
所以 ， ，
故数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 ；
（2）选条件①：由（1）知 ，
，
，
，
两式相减可得
，
所以 ，即 ；
选条件②：由（1）知 ，所以 ．
练习24．（2023秋·云南昆明·高三统考期末）已知 是数列 的前 项和，①
， ，② ，且 ，③ ，
请从①②③中选择一个条件进行求解.
注：如果选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 的前 项和为 ，是否存在正整数 ，使 恒成立？若存在，
求出 的最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在， 的最大值为
【分析】（1）对①②：根据前 项和与通项之间的关系，结合等比数列分析运算；对③：
根据等比数列分析运算；
（2）利用裂项相消法求 ，根据数列单调性结合恒成立问题运算求解.
【详解】（1）若选①： ， ，
当 时，则 ，即 ；
当 时，则 ，可得 ，
整理得 ，
故数列 是以首项 ，公比 的等比数列，则 ；
若选②： ，且 ，
令 ，则 ，
可得 ，两式相减得 ，即 ，
注意到 ，
故数列 是以首项 ，公比 的等比数列，则 ；
若选③： ， ，即 ，
故数列 是以首项 ，公比 的等比数列，则 .
（2）存在， 的最大值为 .由（1）可知： ，则 ，
所以 ，
可知 为递增数列，则 ，
所以 ，解得 ，
且 为正整数，则 的最大值为 .
练习25．（2023春·北京海淀·高三中央民族大学附属中学校考期中）已知数列 中，
， ，其中 ．
从①数列 的前 项和 ，② ，③ 且 ，这三个条件
中一个，补充在上面的问题中并作答.
注：若选作多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求证：数列 是等差数列；
(3)设数列 ，求数列 的通项公式及前20项和 ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3) ， .
【分析】（1）选①，利用 与 的关系求出 即可；选②③，判断等比数列，再利用等
比数列定义求出通项公式作答.
（2）由（1）的结论求出 ，再利用等差数列定义判断作答.
（3）由（2）的结论，利用裂项相消法求和作答.
【详解】（1）选①，当 时， ，当 时， ，
满足上式，
所以数列 的通项公式是 .
选②，依题意，数列 为等比数列，其首项为1，公比为2，
所以数列 的通项公式是 .
选③，由 ， ， 知， ，则数列 为等比数列，公比为 ，有 ，解得 ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）由（1）知， ，显然 ，
所以数列 是以1为公差的等差数列.
（3）由（2）知， ，
.
题型六 递推数列的实际应用
例11．（2023·全国·高三专题练习）农历是我国古代通行历法，被誉为“世界上最突出和
最优秀的智慧结晶”.它以月相变化周期为依据，每一次月相朔望变化为一个月，即“朔望
月”，约为29.5306天.由于历法精度的需要，农历设置“闰月”，即按照一定的规律每过
若干年增加若干月份，来修正因为天数的不完美造成的误差，以使平均历年与回归年相适
应设数列 满足 ，其中 均为正整数，且 ，
， ， ， ， ，…，那么第n级修正是“平均一年闰 个月”，
已知我国农历为“19年共闰7个月”，则它是（ ）
A．第3级修正 B．第4级修正 C．第5级修正 D．第6级修正
【答案】C
【分析】根据题意依次求出 ，再判断哪一个等于 即可.
【详解】因为数列 满足 ， ， ，…，其中 均为正整数：
， ， ， ， ， ，…，
所以 ， ， ，
，，
所以“ 年共闰 个月”为第5级修正，
故选：C
例12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子
问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21 该数列的特点是前两项为1，从第三
项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列 称为斐波那契
数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛
的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记 为该数列的前 项和，则下列结论正
确的是（ ）
A． B． 为偶数
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据递推关系计算出 的值可判断选项A；根据数列中项的特点可判断选项B；
由 可得 ，再化简可判断选项C；由 ，
化简整理可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：由题意知： ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，
故选项A正确；
对于B：因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，
此数列中数字的特点为：奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组，呈奇奇偶的
顺序排列，而 （组） （个），故 为奇数，选项B错误；
对于C：由题意知： ，所以
，故选项C正确；
对于D： ，
故选项D正确，
故选：ACD.练习26．（2022秋·福建漳州·高三统考期末）（多选）被誉为“闽南第一洞天”的风景文
化名胜——漳州云洞岩，有大小洞穴四十余处，历代书法题刻二百余处.由于岩石众多，造
就了云洞岩石头上开凿台阶的特色山路，美其名曰：天梯，其中有一段山路需要全程在石
头上爬，旁边有铁索可以拉，十分惊险.某游客爬天梯，一次上1个或2个台阶，设爬上第
个台阶的方法数为 ，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据题意可得 ，结合数列的性质和选项计算，依次判断即可.
【详解】A：一次上1个或2个台阶，则 ， …
设爬上第 个台阶的方法数为 ，由上观察可得 ，故A正确；
B： ，故B正确；
C：结合A分析知： ，故C错误；
D： ，
，
可得 ，故D正确.
故选：ABD.
练习27．（2021秋·重庆·高三校联考阶段练习）阿司匹林（分子式 ，分子质量
180）对血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的发病风险.对于急性
心肌梗死疑似患者，建议第一次服用剂量300 ，嚼碎后服用以快速吸收，以后每24小
时服用200 .阿司匹林口服后经胃肠道完全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解为主要代谢产
物水杨酸（分子式 ，分子质量138），降解过程生成的水杨酸的质量为阿司匹林质
量的 ，水杨酸的清除半衰期（一般用物质质量衰减一半所用的时间来描述衰减情况，这
个时间被称作半衰期）约为12小时.（考虑所有阿司匹林都降解为水杨酸）
(1)求急性心肌梗死疑似患者第1次服药48小时后第3次服药前血液中水杨酸的含量（单位
）；
(2)证明：急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230 .【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设 是 小时后第 次服药前血液中水杨酸的含量，先求出 ，再表示
出递推关系式 ，即可求解；
（2）先由（1）中递推关系式构造得到等比数列 ，求得 ，再求得刚服
药后 即可求解.
【详解】（1）设 是 小时后第 次服药前血液中水杨酸的含量，
易知每24小时，水杨酸的含量变为原来的 ，
则 ，
时， ，
；
（2）由（1）知 ， ，
则 是以首项为 ，公比为 的等比数列，
故 ， ，
，
故急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230mg.
练习28．（2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）某地出现了虫害，农业科学
家引入了“虫害指数”数列{I}，{I}表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程
度越高．为了治理害虫，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采
取以下两个策略之一：
策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足：I ＝1.02I﹣0.2．
+1
策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：I ＝1.08I﹣0.46．
+1
当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除．
(1)设第一周的虫害指数Ⅰ∈[0，8]，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？
1
(2)设第一周的虫害指数Ⅰ＝3，如果每周都采用最优策略，虫害的危机最快将在第几周解
1除？
【答案】(1)分类讨论，答案见祥解；
(2)第9周.
【分析】（1）分 三种情况讨论即可；
（2）根据题意， 时，选择策略B，根据策略B的数列，求出数列 的通项公式，根
据条件列出不等式，解之即可求解.
【详解】（1）策略A： ，
策略B： ，
当 ，可得 ，
当 时，两者相等，
当 时，用策略B将使第二周的虫害的严重程度更小；
当 时，用策略A将使第二周的虫害的严重程度更小；
（2）由（1）可知：当 时，选择策略B，
所以当 时，选择策略B，
因为 ，所以数列 是递减数列，
，也即 ，
由等比数列的通项公式可得： ，
正整数范围内解不等式 ，得
所以虫害的危机最快在第9周解除．
练习29．（2023·浙江·校联考三模）某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏
数的增长率为 ，且每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依
次为 为 的前 项和，则 ___________.（结果保留成整数）（参考数据：
）
【答案】
【分析】由题意，可得 ,从而可推出数列 是等比数列 ，根据分组
求和及等比数列的求和公式可得答案.
【详解】因为每年存栏数的增长率为10%，每年年底卖出100头，
故可知 ，且 ，则 ，
∴数列 是以200为首项，1.1为公比的等比数列，
则 ，故 .
∴ ,
则 .
故答案为: .
练习30．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，有标号为1，2，3的三根柱子，在1号
柱子上套有n个金属圆片，从下到上圆片依次减小．按下列规则，把金属圆片从1号柱子
全部移到3号柱子，要求：①每次只能移动一个金属圆片；②较大的金属圆片不能在较小
的金属圆片上面．
若 ，则至少需要移动______次；
将n个金属圆片从1号柱子全部移到3号柱子，至少需要移动______次．
【答案】 7
【分析】从 的情况开始逐一进行分析，找到规律后利用数列的递推关系求解.
【详解】（1）当 时，只需把金属圆片从1号柱子移到3号柱子，用符号（13）表示，
共移动一次．
当 时，移动的顺序为（12）（13）（23），共移动3次．
当 时，把上面的两个金属圆片作为一个整体，则归结为 的情形，
移动的顺序是（13）（12）（32）；（13）；（21）（23）（13），共移动7次．
（2）记把n个金属圆片从1号柱子移到3号柱子，最少需要移动 次，则由（1）知 ，
， ．
当移动n个金属圆片时，可按下列3个步骤进行：
①将上面 个金属圆片从1号柱子移到2号柱子；
②将第n个金属圆片从1号柱子移到3号柱子；
③将上面 个金属圆片从2号柱子移到3号柱子．
就把移动n个金属圆片的任务转化为移动2次 个金属圆片与移动1次第n个金属圆片
的任务．而移动 个金属圆片需要移动2次 个金属圆片和移动1次第 个金属圆
片；移动 个金属圆片需要移动2次 个金属圆片和移动1次第 个金属圆片……
如此继续，直到转化为移动1个金属圆片的情形．根据这个过程，可得递推公式：，且 ，从而当 时，有 ,∴ 是以
2为公比，2为首项的等比数列，故 ，即 ．
故答案为: ；
