文档内容
专题 6.3 复数
题型一 复数的分类
题型二 复数的几何意义
题型三 复数模的计算
题型四 复数模的几何意义
题型五 复数的四则运算
题型六 的幂运算
题型七 待定系数法求复数
题型八 复数的三角表示（选学）
题型一 复数的分类
例1．（2023春·江苏盐城·高三江苏省响水中学校考期中）已知复数 为纯
虚数，则实数m的值为（ ）
A． B．1 C．1或 D． 或0
例2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 是虚数单位，复数 满
足 ，则复数 的共轭复数虚部为（ ）
A． B． C． D．
练习1．（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）设 ，则“ ”是“
为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
练习2．（2022·高三单元测试）（多选）设 是复数，则下列命题中是真命题的是（ ）
A．若 ，则 不一定是实数 B．若 ，则 是虚数
C．若 是虚数，则 D．若 是纯虚数，则练习3．（2023春·陕西宝鸡·高三统考期中）当实数 取什么值时，复数
是下列数？
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数.
练习4．（江苏省无锡市等4地2023届高三三模数学试题）已知 为虚数单位，复数 满足
，则 的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．2
练习5．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期中）（多选）已知非零复数 ，
则下列运算结果一定为实数的是（ ）
A． B． C． D．
题型二 复数的几何意义
例3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知复数 在复平面内对应的点落
在第一象限，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例4．（2023春·全国·高三专题练习）已知 为实数，若复数 为纯虚
数，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
练习6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知复数 与 在复平面内
对应的点关于实轴对称，则 （ ）
A． B． C． D．
练习7．（2023·北京·高三专题练习）在复平面内， 是原点，向量 对应的复数是 ，将 绕点 按逆时针方向旋转 ，则所得向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
练习8．（江苏省南通市2023届高三高考前练习数学试题）若 ，复数 与 在复平
面内对应的点分别为 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．4
练习9．（2023·湖北·统考模拟预测）若复数 所对应的点在第四象限，且满足
，则 （ ）
A． B． C． D．
练习10．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）在复平面中，点O为坐标原点，
记 ， ， 表示的复数分别为 ，记z为 所表示的复数，则
（ ）
A．25 B．8 C．5 D．
题型三 复数模的计算
例5．（2023春·内蒙古赤峰·高三校考阶段练习）若复数z满足 ， ______．
例6．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）i是虚数单位，已知 ，写
出一个满足条件的复数 ．______．
练习11．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知复数
，且 为纯虚数，则 （ ）
A． B． C．1 D．
练习12．（2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）已知 为虚数单位，复数 ，则
______.练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 满足 ，写出一个满足条件的复
数 ______．
练习14．（2023·全国·模拟预测）已知复数 ，则a＝（ ）
A．1 B．0 C．2 D．±1
练习15．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知 ， 为虚数单位，若复数 ，
，则 ______．
题型四 复数模的几何意义
例7．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知复数 满足 ，则 （ 为虚数
单位）的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
例8．（2023·山东烟台·统考二模）若复数z满足 ，则 的最小值为
（ ）．
A．3 B． C．2 D．
练习16．（2023春·湖北襄阳·高三宜城市第一中学校联考期中）已知复数 满足
，则在复平面中 对应的点所构成的图形的面积为__________.
练习17．（2023春·四川成都·高二统考期中）已知 ，则 （ 为虚数单位）的
最大值为（ ）
A． B．
C． D．
练习18．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知复数z满足 ，z在
复平面内对应的点为 ，则（ ）
A． B． C． D．练习19．（2023春·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考期中）在复平面内，已知复数
满足 （ 为虚数单位），记 对应的点为点 ，z对应的点为点 ，则
点 与点 之间距离的最小值_________________
练习20．（2023·山西太原·太原五中校考一模）复平面内复数 满足 ，则 的
最小值为（ ）
A．1 B． C． D．3
题型五 复数的四则运算
例9．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若复数 为纯虚数，则实数
（ ）
A． B． C．6 D．
例10．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
练习21．（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知复数z 满足
，则 （ ）
A．1 B． C． D．
练习22．（2023·云南保山·统考二模）如果复数 （其中 为虚数单位，b为实数）为
纯虚数，那么 的模长等于（ ）
A． B．2 C．1 D．
练习23．（2023·江西·统考模拟预测）已知i为虚数单位，若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．练习24．（2023·宁夏银川·校联考二模）规定运算 ，若复数 满足
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
练习25．（2023·江苏·统考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．5
题型六 的幂运算
例11．（2023·山东·模拟预测）若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
例12．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知 为虚数单位，
，则复数 在复平面上所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
练习26．（2021春·高三课时练习）计算： ＝________.
练习27．（2022秋·江西宜春·高三校联考期末）已知 （i是虚数单位），则
（ ）
A． B．1 C．0 D．i
练习28．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知复数 ，则
（ ）
A． B．1 C． D．练习29．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 ，则在复平面内，复
数z所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
练习30．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知复数 （ 是虚数单位），则
（ ）
A． B． C． D．
题型七 待定系数法求复数
例13．（2023·浙江·校联考二模）已知复数 满足 （ 为虚数单位），则
（ ）
A． B． C． D．
例14．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）若复数 满足 ，
其中 为虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．
练习31．（2023春·湖南·高二校联考期中）已知复数 对应的点在复平面第一象限内，
是 的共轭复数，那么同时满足 和 的复数是（ ）
A． B．
C． D．
练习32．（2023·江西九江·统考三模）已知复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
练习33．（2023·河南·模拟预测）已知复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．1或练习34．（2023·江西南昌·统考三模）若虚数z使得 是实数，则z满足（ ）
A．实部是 B．实部是 C．虚部是 D．虚部是
练习35．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）若复数z满足
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
题型八 复数的三角表示（选学）
例15．（2023·全国·高一专题练习）复数 与下列复数相等的是（ ）
A． B．
C． D．
例16．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）在复平面内，把与复数
对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转 ，则所得向量对应的复数为______（用代数形
式表示）．
练习36．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列复数的三角形式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
练习37．（2022春·高三课时练习）把复数 化三角形式为（ ）
A． B．C． D．
练习38．（2022春·高三课时练习）求复数 的辐角的主值为________.
练习39．（2022春·高三课时练习）已知复数 对应的向量绕原点逆时
针旋转 后得到的向量对应的复数为 ，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
练习40．（2022春·高三单元测试）在复平面内，把复数 对应的向量绕原点逆时针旋
转 后所得向量对应的复数为 ，绕原点顺时针旋转 后所得向量对应的复数为
(1)求复数 ；
(2)若复数 ，求复数 .
