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专题 4.4 导数在研究函数极值和最值的应
用
题型一 函数极值（点）的辨析
题型二 最值与极值的辨析
题型三 求已知函数的极值（点）和最值
题型四 根据极值（点）求参数
题型五 根据最值求参数
题型六 函数（导函数）图象与极值（点）的关系
题型七 利用导数解决实际问题
题型一 函数极值（点）的辨析
例1．（2023春·吉林长春·高二长春市实验中学校考阶段练习）（多选）函数 的导函
数 在区间 上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 在 处有极小值
B．函数 在 处有极小值
C．函数 在区间 内有4个极值点
D．导函数 在 处有极大值
【答案】BD
【分析】根据导函数的图象、极值点、极值的知识求得正确答案.
【详解】A选项， 在 左右两侧的 ，所以 不是 的极值点，A选项
错误.
B选项， 在 左右两侧，左侧 ，右侧 ，
所以函数 在 处有极小值，B选项正确.C选项，根据图象可知， 有 个极值点， 左右两侧的 ，
所以 不是 的极值点，C选项错误.
D选项， 的图象在 左右两侧，左侧单调递增，右侧单调递减，
所以 在 处有极大值，D选项正确.
故选：BD
例2．（2023·全国·高三专题练习）若函数 存在一个极大值 与一个极小值
满足 ，则 至少有（ ）个单调区间.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.
【详解】若函数 存在一个极大值 与一个极小值 ，则 至少有3个单调
区间，
若 有3个单调区间，
不妨设 的定义域为 ，若 ，其中 可以为 ， 可以为 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，（若 定义域为 内不
连续不影响总体单调性），
故 ，不合题意，
若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，有
，不合题意；
若 有4个单调区间，
例如 的定义域为 ，则 ，
令 ，解得 或 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
故函数 存在一个极大值 与一个极小值 ，且 ，满足题
意，此时 有4个单调区间，
综上所述： 至少有4个单调区间.
故选：B.练习1．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）若 是 上的连续可导函数，
，且 时， ， 时， ，则 是 的（ ）
A．极大值点 B．极小值点 C．最大值点 D．最小值点
【答案】B
【分析】根据极值点的定义，结合条件，即可判断选项.
【详解】由条件可知， 是 上的连续可导函数, ,
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
根据极值点的定义，可知， 是 的极小值点，但不一定是函数在 上的最小值
点.
故选：B
练习2．（2023春·河南洛阳·高三校考阶段练习）对于定义在 上的可导函数 ，
为其导函数，下列说法正确的是（ ）
A．使 的 一定是函数的极值点
B． 在 上单调递增是 在 上恒成立的充要条件
C．若函数 既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大
D．若 在 上存在极值，则它在 一定不单调
【答案】D
【分析】ABC均可以举出反练习，D可以通过极值点和极值的定义进行判断.
【详解】A选项， 的 不一定是函数的极值点，比如 在 处导函数的
值为0，但 不是 的极值点，A说法错误；
在 上单调递增，可能会在某点导函数等于0，比如 为单调递增函数，
在 处导函数值为0，故 在 上单调递增不是 在 上恒成立的充
要条件，B说法错误；
若函数 既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大，比如 ，
在 处取得极大值 ，在 处取得极小值2，极小值大于极大值，故C说法错误；
根据极值点和极值的定义可以判断，若 在 上存在极值，则它在 一定不单调，D说
法正确.
故选：D练习3．（2023春·河北石家庄·高三校联考期中）已知函数 的导函数为 ，函数
的图象如图所示，则 在 ________处取得极大值，在 ________处取得
极小值.
【答案】
【分析】结合图象说明当 或 时， ，当 或 时，
，且 ，由此确定函数的极值点.
【详解】由图象可得当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
又 ， ，所以 ，
所以 时函数取极小值，当 时函数取极大值.
故答案为： ； .
练习4．（2023春·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）若函数 的定义域为R
且可导，则“ 在 处的导数为0”是“当 时， 取到极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【分析】先验证充分性，不妨设 ，在 处有 ，但 为单调递增
函数， 不是极值点；再验证必要性，即可得结果．
【详解】充分性：不妨设 ，则 ，
在 处有 ，
但是 ， 为单调递增函数，故 不是极值点，故充分性不成立；
必要性：由当 时， 取到极值，得 ，
即 在 处的导数为0，故必要性成立．
所以“ 在 处的导数为0”是“当 时， 取到极值”的必要不充分条件.
故选：B
练习5．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）以函数 的图象上相邻四个极
值点为顶点的四边形对角线互相垂直，则 ______.
【答案】 /
【分析】作出函数 的图象，取点 、 、 、
，可知四边形 为菱形，可得出 ，可得出关于 的等式，即可解
得 的值.
【详解】作出函数 的图象如下图所示：
函数 的最小正周期为 ，
不妨取点 、 、 、 ，
则 且 ，又因为 ，则四边形 为菱形，
所以， ，即 ，解得 .
故答案为： .
题型二 最值与极值的辨析
例3．（2023·高三校考课时练习）下列有关函数的极值与最值的命题中，为真命题的是（
）．
A．函数的最大值一定不是这个函数的极大值
B．函数的极大值可以小于这个函数的极小值C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值
D．函数在开区间上不存在极大值和最大值
【答案】B
【分析】设 ， ，求出其最大值和极大值可判断A和D；若函数 在
上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减时，在
上单调递增时，可以出现极大值小于这个函数的极小值，说明B正确；根据极小值一
定不是端点值，最小值可能是端点值，可判断C.
【详解】对于A，设 ， ， ，当 时， ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 在 时取得极大值 ，也是最大值，故A不正确；
对于B，若函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，在
上单调递减时，在 上单调递增，此时函数 在 时取得极大值 ，在
时取得极小值 ，这里 可以小于 ，故B正确；
对于C，函数在某一闭区间上的最小值可能是端点值，而极小值一定不是端点值，故C不
正确；
对于D，由A可知，函数 在开区间 上存在极大值和最大值.故D不正确；
故选：B
例4．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）定义在 上的可导函数
的导函数的图象如图所示，则以下结论正确的是（ ）
A． 是函数 的一个零点 B． 是函数 的极大值点
C． 的单调递增区间是 D． 无最小值
【答案】C
【分析】由图象可得出函数的单调区间，进而得出函数的极值点、最值点，即可得出答案.
【详解】对于A项，由已知图象，仅可得出函数的单调性以及极值点，并不能得出函数的
值，故A项错误；
对于B项，由已知图象可知，
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，所以 是 的极小值点，无极大值点，故B项错误；
对于C项，由B可知， 在 上单调递增，故C正确；
对于D项，由B可知， 在 处取得唯一极小值，也是最小值，所以D错误.
故选：C.
练习6．（2022秋·江西南昌·高三校联考期末）设 是区间 上的连续函数，且在
内可导，则下列结论中正确的是（ ）
A． 的极值点一定是最值点
B． 的最值点一定是极值点
C． 在区间 上可能没有极值点
D． 在区间 上可能没有最值点
【答案】C
【解析】根据连续函数的极值和最值的关系即可判断．
【详解】根据函数的极值与最值的概念知， 的极值点不一定是最值点， 的最值点
不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项
A，B，D都不正确，若函数 在区间 上单调，则函数 在区间 上没有极值
点，所以C正确．
故选：C.
【点睛】本题主要考查函数的极值与最值的概念辨析，属于容易题．
练习7．（2023春·河北邯郸·高三武安市第三中学校考阶段练习）函数图象连续的函数
在区间 上（ ）
A．一定存在极小值 B．一定存在极大值 C．一定存在最大值 D．极小值一定比极大
值小
【答案】C
【分析】根据函数最值和极值的定义即可得解.
【详解】由函数的最值与极值的概念可知 在 上一定存在最大值．
故选：C．
练习8．（2023·全国·高三专题练习）定义在闭区间 上的连续函数 有唯一的
极值点 ，且 ，则下列说法正确的是
A．函数 的最大值也可能是 B．函数 有最小值，但不一定是
C．函数 有最小值 D．函数 不一定有最小值【答案】C
【分析】根据函数的极值与最值的定义即可求解.
【详解】∵定义在闭区间 上的连续函数 有唯一的极值点 ，且
，
∴函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增，
∴当 时，函数 有极小值，也为最小值．
故选：C．
练习9．（2023·全国·高三专题练习）设 ，在 上，以下结论正确的
是 （ ）
A． 的极值点一定是最值点 B． 的最值点一定是极值点
C． 在 上可能没有极值点 D． 在 上可能没有最值点
【答案】C
【分析】结合极值点、最值点的概念对所给选项进行分析即可.
【详解】由已知， ，由 ，得 或 时；由
，
得 时，所以 在 上单调递增，在 ， 上单调递减.
对于选项A，取 ，易知 的极值点为 ，
且 ，而 ，所以 不是最小值点，故A错误；
对于选项B，取 ，则 在 上单调递减，故 是最值点，但
不是极值点，故B错误，C正确；
对于选项D，由连续函数在闭区间上一定存在最值，知选项D错误.
故选：C
【点睛】本题考查函数的极值点、最值点概念的辨析，考查学生对极值点、最值点的理解，
是一道容易题.
练习10．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列结论中不正确的是（ ）.
A．若函数 在区间 上有最大值，则这个最大值一定是函数 在区间 上的
极大值
B．若函数 在区间 上有最小值，则这个最小值一定是函数 在区间 上的
极小值C．若函数 在区间 上有最值，则最值一定在 或 处取得
D．若函数 在区间 内连续，则 在区间 内必有最大值与最小值
【答案】ABC
【分析】根据极值与最值的关系判断即可.
【详解】若函数 在区间 上有最值，则最值可能在极值点或区间端点处取得，故
A，B，C都不正确；函数在闭区间上一定有最值，故D正确.
故选：ABC.
题型三 求已知函数的极值（点）和最值
例5．（2023春·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考期中）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)求函数 的极值．
【答案】(1)见解析
(2)极小值 ，极大值
【分析】（1）根据导数与函数单调性的关系及导数法求函数单调性的步骤即可求解；
（2）根据函数的极值的定义及导数法求函数的极值的步骤即可求解.
【详解】（1）由题意可知， 的定义域为 .
因为 ，所以
令 即 ，解得 ，
令 即 ，解得 或 ，
所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和 .
（2）由（1）可知，当 变化时， 的变化情况如下表：
0 0
极大
递增 递减 极小值 递增
值
所以 的极小值为 ，
极大值为 .
例6．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知 为函数 的极值点，则在区间 上的最大值为（ ）（注： ）
A．3 B．
C．5 D．
【答案】B
【分析】由 以及极值点的知识求得 ，求得 的单调区间，进而求得 在
区间 上的最大值.
【详解】 ，由于 是 的极值点，
所以 ，
此时 ，
所以 在区间 递减；在区间 递增.
所以 是 极小值点， 符合题意.
， ，
由于 ，
所以 在区间 上的最大值为 .
故选：B
练习11．（2023春·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）已知函数 ，
.
(1)求 的值，并写出该函数在点 处的切线方程；
(2)求函数 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值是 ，最小值是1.
【分析】（1）求出 ，根据导数的几何意义得出切线的斜率，求出 ，
即可得出答案；
（2）根据导函数得出导函数的单调性，结合端点值，即可得出函数的最值.【详解】（1）由已知可得 ，所以 ，
则根据导数的几何意义可知，函数在点 处的切线的斜率为 .
又 ，所以函数在点 处的切线的方程为 .
（2）当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增.
所以， 在 处取得唯一极小值，也是最小值 .
又 ， ，
所以，函数在区间 上的最大值是 ，最小值是1.
练习12．（2023春·北京海淀·高三北理工附中校考期中）已知函数 .
(1)求 的极值；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值；
(3)若曲线 在点 处的切线互相平行，写出 中点的坐标(只需直接写出结果).
【答案】(1)极大值 ，极小值
(2)最大值为28，最小值为－4
(3)
【分析】（1）求导，结合函数的单调性及极值的定义求解；
（2）函数的极值与端点处的函数值比较可得最值；
（3）根据导数的几何意义得 ，由此求解即可．
【详解】（1） ,
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以，当 时， 取极大值 ；当 时， 取极小值 .
（2）由（1）知，当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；当
时， 单调递增，
当 时， 取极大值 ；当 时， 取极小值 ．
又 ，
所以， 在区间 上的最大值为28，最小值为－4．（3）设 ，
由题意 ，即 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 中点的坐标为 .
练习13．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数 ， ，则
函数 的最小值为______.
【答案】 /0.5
【分析】对 求导，然后令 ，判断 的单调性，得到 的值
域，从而判断 的单调性，即可确定函数 的最小值.
【详解】因为 ，
所以 ，
记 ， ，
则 ，因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
故当 时，函数 有最小值为 ，
故答案为：
练习14．（2023春·黑龙江鸡西·高三鸡西市第四中学校考期中）（多选）函数
，已知 在 时取得极值，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．函数 在 处有极大值为0
C．函数 在 处有极大值为0
D．函数 在区间 上单调递减【答案】ABD
【分析】求出函数的导数，根据给定的极值点求出a，再判断单调性、求出极值即可判断
作答.
【详解】函数 定义域为R，求导得：函数 ，
因为 在 时取得极值，则 ，解得 ，
此时 ，
当 或 时， ，当 时， ，
因此 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 在 处有极大值，则 ，A正确；
， ，B正确；
函数 在 处有极小值，C错误；
函数 在区间 上单调递减，D正确.
故选：ABD
练习15．（2023春·四川绵阳·高三校考期中）已知 ，曲线
在点 处的切线斜率为5．
(1)求a的值；
(2)求函数 的极值．
【答案】(1)
(2) 极大值为－3，无极小值
【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解；
（2）根据（1）的结论及利用导数法求函数的极值的步骤即可求解.
【详解】（1）因为 ，
所以 .
因为曲线 在点 处的切线斜率为5．所以 ，解得 ,
故a的值为 .
（2）由（1）知， ,所以 ，
由题意可知， 的定义域为 ，
所以 .
令 ，则 ，解得 或 ，
当 变化时， ， 的变化情况如下:
单调递增 极大值为 单调递减
由此表可知，当 时， 取得极大值为 ,无极小值.
题型四 根据极值（点）求参数
例7．（2023春·北京·高三北师大二附中校考期中）已知函数
，当 时， 有极小值．写出符合上述要求的一组a，
b的值为a= _______ ，b=_______ ．
【答案】 4（不唯一） 5（不唯一）
【分析】由极小值的概念及求导法则即可求解.
【详解】当 时， 无极小值，故 ，
，
由 可得 或 ，
当 时，由 时， 有极小值可知 ，即 ，
当 时，由 时， 有极小值可知 ，即 .
所以 的一组取值可取 ，
故答案为：4；5（答案不唯一，满足 或 即可）.例8．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）若函数
有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】计算 ，再将问题转化为 在 有2个不同的两侧异号的实
数根，从而利用二次函数的根的分布即可得解.
【详解】函数 的定义域为 ，
因为 有两个不同的极值点，
所以 在 上有2个不同的零点，
且零点两侧异号，
所以 在 有2个不同的实数根 ，
且根据二次函数的性质可知这两根的两侧函数值异号，
所以 ，解得 .
故选：C.
练习16．（2023春·北京·高三汇文中学校考期中）已知函数 在 处有极
大值，则 ______.
【答案】
【分析】求出导函数 ，由 求得 值，然后对所得结果加以检验即可．
【详解】由已知 ，
可得 ，
令 ，解得 或 ，
由 可得， ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，当 时， ，函数 在 上单调递增，
不是极大值点，舍去；
由 可得， ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以 是函数 的极大值点．
综上 ．
故答案为： ．
练习17．（2023·山西阳泉·统考二模）（多选）已知 在 处取得极
大值3，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据原函数极值点即为导函数零点可得 ，即可知 ，再根据极大值
为3可解得 或 ；易知当 时， 在 处取得极小值，与题意不符，当
时，函数 在 处取得极大值，符合题意，可得 ， ，即
，即可判断出结论.
【详解】由题意可得 ，
且 是函数 的极大值点，即 ，可得 ，
又极大值为3，所以 ，解得 或 ；
当 时， ，此时 ，
时， ， 时，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
此时函数 在 处取得极小值，与题意不符，即 舍去；
当 时， ，此时 ，
时， ， 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
此时函数 在 处取得极大值，符合题意，
所以 ， ，即 ，所以A正确，B错误；
此时 ，所以 ， ，即C错误，D正确.
故选：AD练习18．（2023·江西九江·统考三模）已知函数 有两个极值点 ， ，
且 ，则 ______.
【答案】
【分析】根据函数有两个极值点得到 是方程 的两个不相等的实数根，然后分
离变量，构造函数 ，对函数求导，利用函数的单调性即可求解.
【详解】 ， 是 的两个零点，
即是方程 的两个不相等的实数根，
， 是方程 的两个不相等的实数根.
令 ，则 .
当 或 时， ；
当 时， ，
在 和 上单调递减，在 上单调递增，
且当 时， ；当 时， .
，且 .
由 ，得 ，
， ，由 ，即 .
故答案为： .
练习19．（2023春·北京东城·高三北京二中校考期中）已知函数 有两个极
值点，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【分析】由 有两个极值点可得 有两个不同的实数根，令 ，用导数
研究 的图像即可求解
【详解】由题意， 有两根，且两根的两边导函数值异号，又 ，令 ，则 有两个不同的实数根，
令 ，则 ，
令 有 ，故当 时， ， 单调递减；当 时，
， 单调递增.
且当 时 ，当 时 ，且 ， ，
故作出 图象.
可得当 有两根时
故答案为：
练习20．（2023春·山东潍坊·高三统考期中）已知函数 在 取得极值，
则 _____________
【答案】0
【分析】对函数求导，结合 求参数a，注意验证 是否取得极值.
【详解】 ，
由题意 ，此时 ，故 ，
所以 上 ， 上 ，
即 上 递减， 上 递增，则 取得极小值，
所以 .
故答案为：
题型五 根据最值求参数
例9．（2023春·山东聊城·高三山东省聊城第三中学校考期中）已知函数在 上的最大值为2，则 ______．
【答案】
【分析】直接对函数求导，利用函数在区间 上单调性和条件，求出 值，从而求出结
果.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 在上 恒成立，即 在区间 上单调递减，
所以 ，得到 ，故 ，
所以 .
故答案为： .
例10．（2023秋·陕西西安·高三长安一中校考期末）若函数 在 上
有最小值，则实数 的取值范围是_______.
【答案】
【分析】求导得到导函数，确定函数的单调区间，计算 ，得到 ，
解得答案.
【详解】 ， ，取 得到 ，
当 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减；
当 时， ，函数单调递增；
，取 ，则 或 ，
函数 在 上有最小值，则 ，
解得 ，即 .
故答案为：
练习21．（2023春·天津滨海新·高三校考期中）已知函数 在区间
上的最大值为28，则实数 的取值范围为__________．
【答案】
【分析】利用导函数求函数的极值，再结合条件即求.【详解】∵ ，
∴ ，
令 ＝0，得 ＝-3， ＝1，
当x变化时 及 的变化情况如下表．
x (-∞，-3) -3 (-3，1) 1 (1，+∞)
+ 0 - 0 +
2
↗ ↘ -4 ↗
8
当x＝-3时， 取极大值28；
当x＝1时， 取极小值-4.
而f(2)＝3<f(-3)＝28，
如果 在区间[k，2]上的最大值为28，
则k≤-3.
故答案为：k≤-3
练习22．（2023春·天津红桥·高三天津市瑞景中学校考期中）函数
的最大值为1，则实数 的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】利用导数可判断 在 上的单调性，可得 ，据此可得答案.
【详解】 ， .
则 在 上单调递减，在 上单调递增，则
.
故选：D
练习23．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考期中）若函数 在
区间 上存在最大值，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的极大值点，依题意可得
，即可求出参数的取值范围.【详解】因为 ，所以 ，
由 ，得 或 ，则 在区间 和 上单调递增，
由 ，得 ，则 在区间 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
要使函数 在区间 上存在最大值，又 ，
则 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
故答案为：
练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知 和 有相同的最大值（
），求 的值；
【答案】
【分析】分别用导数法求出 与 的最大值，由最大值相等建立等式即可求解.
【详解】解： 的定义域为 ，且 ， ，
当 时， ， 递增；当 时， ， 递减；
所以 ，
的定义域为 ，且 ，
当 时， ， 递增；当 时， ， 递减；
所以 ，
又 和 有相同的最大值，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 .
练习25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的最小值为0．
求实数 的值；
【答案】
【分析】求导函数 ，导函数为增函数，由题意 在定义域内有实数解 ，即
，而 ，由此得出关于 的方程 ，引入新函数 ，利用导数证明此方程只有唯一解，从而可得结论.
【详解】 ，显然 在定义域内是增函数， 有最小值，
则 有实数解 ， 时， ， 单调递减，
， ， 单调递增，
则有 ， ，
， ，
令 ， ，
时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增，
所以 ，因此由 得 .
题型六 函数（导函数）图象与极值（点）的关系
例11．（2023春·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）（多选）定义在 上
的函数 的导函数 的图象如图所示，函数 的部分对应值如下表．下列关于函
数 的结论正确的是（ ）
x 0 2 4 5
1 3 1 3 2
A．函数 的极大值点的个数为2
B．函数 的单调递增区间为
C．当 时，若 的最小值为1，则t的最大值为2
D．若方程 有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是
【答案】AD
【分析】由导函数图象得原函数的单调性可判断AB；由单调性结合函数值表可判断CD.
【详解】由图知函数 在区间[-1,0]上单调递增，在区间[0,2]上单调递减，在区间[2,4]上
单调递增，在区间[4,5]上单调递减，所以在 处有极大值，故A正确；单调区间不能写成并集，故B错误；因为函数 ，且 在区间[2,4]上单调递增，
所以存在 使得 ，易知，当 时， 在区间 的最小值为1，
故C不正确；由函数值表结合单调性作出函数草图可知D正确.
故选：AD
例12．（2023春·吉林长春·高三长春吉大附中实验学校校考阶段练习）已知函数 ，
的导函数 ， 的图象如图所示，则 的极值情况为（ ）
A．2个极大值，1个极小值 B．1个极大值，1个极小值
C．1个极大值，2个极小值 D．1个极大值，无极小值
【答案】B
【分析】根据图象判断 的正负，再根据极值的定义分析判断即可
【详解】由 ，得 ，令 ，
由图可知 的三个根即为 与 的交点的横坐标，
当 时， ，
当 时， ，即 ，
所以 为 的极大值点， 为 的极大值，
当 时， ，即 ，
所以 为 的极小值点， 为 的极小值，故选：B
练习26．（2022春·河北·高三唐山一中校联考期中）设 是定义在R上的连续可导函数，
其导函数记为 ， 函数 的图象如图所示，给出下列判断：
① 在 上是增函数； ② 共有2个极值点；
③ 在 上是单调函数； ④ .
其中正确的判断共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据图象，判断函数 的导数的符号，从而可求函数 的单调性及极值．
【详解】解：当 时， ，由图象可得 ，则 ，
为增函数；
当 时， ，由图象可得 ，则 ， 为减函数；
当 时， ，由图象可得 ，则 ， 为减函数；
当 时， ，由图象可得 ，则 ， 为增函数，
又 是定义在R上的连续可导函数，所以当 时 ， 为减函数；
故 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，所以 的
极大值为 ，极小值为 ，由函数在 上单调递减，所以 ，
无法判断 与 的大小关系；
故选：B．
练习27．（2022春·广东佛山·高三顺德市李兆基中学校考期中）（多选）已知函数f (x)的
定义域为R，导数为 ，如图是函数 的图象，则下列说法正确的有（ ）A．函数f (x)的单调递减区间是
B．函数f (x)的单调递增区间是
C．x＝0是函数f (x)的零点
D．x＝－2时函数f (x)取极小值
【答案】BD
【分析】根据 的图像，分析出各个区间的导函数的符号即可判断每个区间的单调
性.
【详解】由图可知，当 ， ，即 是单调递减的，
当 时， ， 是单调递增的，
时， ， 是单调递增的，
∴ 在x=-2时取极小值，故A错误，B正确，D正确，
对于C，不能判定是 的零点，故错误；
故选：BD.
练习28．（2022春·福建宁德·高三福建省福安市第一中学校考阶段练习）已知函数 的
导函数的图像如下图所示，
①函数 在 上单调递增；
②函数 在 上单调递减；
③当 时，函数 取得极小值；
④当 时，函数 取得极大值．则上述结论中，正确结论的序号为（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】C
【分析】根据导函数的图像判断导函数的正负，从而可求出函数的单调区间和极值
【详解】由导函数的图像可知，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
在 时，函数 取得极大值，
所以①④正确，②③错误，
故选：C
练习29．（2022·高二单元测试）（多选）已知函数 的定义域为 ，其导函数为
， 的部分图象如图所示，则（ ）
A． 在 上单调递增
B． 的最大值为
C． 的一个极大值点为
D． 的一个减区间为
【答案】CD
【分析】根据导函数的图像与 大小比较可得 的单调性，进而分析出极值进行分析即
可．
【详解】对A，由 的部分图像并不能确定 在 恒成立，故A错误；
对B，由图只能得出 的部分区间单调性，最大值不一定为 ，故B错误；
对C，由图可知 ，且 在 左右两侧左正右负，故 为 的一个极大
值，故C正确；
对D，当 时， ，所以在 上单调递减，故D正确．
故选：CD．
练习30．（2022春·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知函数 的定义域为 ，部分对应值如下表， 的导函数 的图象如图所示．则函数
的零点个数不可能为（ ）个．
x -1 0 4 5
1 2 2 1
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据给定导函数图象可得函数 的单调区间及极大、极小值情况，再由极小值
的范围判断作答.
【详解】由导函数 的图象知，函数 在 ， 上都单调递增，在 ，
上都单调递减，
，函数 有最大值 ，函数 在 处取得极小值 ，
显然 ，
函数 的零点个数即是直线 与函数 的图象交点个
数，
当 时，直线 与函数 的图象有4个交点，C可能；
当 时，若 ，直线 与函数 的图象有2个交点，A可能；
若 ，直线 与函数 的图象有3个交点，B可能；
若 ，直线 与函数 的图象有4个交点，C可能，
所以函数 的零点个数不可能为5个，即D不可能.
故选：D
题型七 利用导数解决实际问题
例13．我国是一个人口大国，产粮､储粮是关系国计民生的大事.现某储粮机构拟在长100
米，宽80米的长方形地面建立两座完全相同的粮仓（设计要求：顶部为圆锥形，底部为圆
柱形，圆锥高与底面直径为 ，粮仓高为50米，两座粮仓连体紧靠矩形一边），已知稻谷容重为600千克每立方米，粮仓厚度忽略不计，估算两个粮仓最多能储存稻谷（ ）（
取近似值3）
A．105000吨 B．68160吨 C．157000吨 D．146500吨
【答案】A
【分析】根据题意，由圆柱圆锥的体积计算公式得到两座粮仓总的容积 的表达式，然后
求导即可得到其最大值.
【详解】由于粮仓高50米，顶部为圆锥形，底部为圆柱形，圆锥高与底面直径为 ，
设粮仓顶部圆锥形的高为 米，底面直径为 米，圆柱的高为 米，两座粮仓总的
容积为
.若靠矩形长边建造，则 ，所以 ；
若靠矩形宽边建造，则 ，所以 .
因为 ，当 时， 在 单调递增，
所以 时， 取最大值 ，
两个粮仓最多能储存稻谷 吨.
故选：A.
例14．（2023春·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考期中）某网球中心在10000平方米
土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场的建设面积为1000平方米．当该中心建设
块球场时，每平方米的平均建设费用（单位：元）可近似地用函数关系式
来刻画，此外该中心还需为该工程一次性向政府缴纳环保费用
1280000元．
(1)请写出当网球中心建设 块球场时，该工程每平方米的综合费用 的表达式，
并指出其定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）；
(2)为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建多少个球场？
【答案】(1) ，其定义域为
(2) 个
【分析】（1）根据题意得到 ，得出每平方米的平均环保费用为 元，进而得到每平方米的综合费用的表达式为 和定义域；
（2）由（1）知 ，求得 ，得出函数
的单调性与极小值（最小值），即可求解.
【详解】（1）解：由某网球中心在10000平方米土地上，欲建数块连成片的网球场，
每块球场的建设面积为1000平方米，可得 ，
因为每平方米的平均环保费用为 元，
每平方米的平均建设费用可近似地用函数关系式 来刻画，
所以每平方米的综合费用的表达式为 ，
其中函数 的定义域为 .
（2）解：由（1）可知 ，
可得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 时，函数 取得极小值，即为最小值，
所以为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建 个球场.
练习31．（2022春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）工厂生产某种产品，
每日的成本C（单位：元）与日产量 （单位：吨）满足函数关系式 ，每
日的销售额R（单位：元）与日产量 满足函数关系式： ，
已知每日的利润 ，且当 时 ．
(1)求 的值；
(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．
【答案】(1)
(2)当日产量为90吨时每日的利润可以达到最大值14300元
【分析】（1）由题意列出利润y与日产量 满足函数关系式，由当 时 ，求
出 的值；（2）由利润y与日产量 满足函数关系式，利用导数研究函数单调性，求出最大值及取最
大值的条件.
【详解】（1）由题意可得，
因为 时 ，所以 ．
解得 .
（2）当 时， ，
，由 可得： ， （舍）
所以当 时， ，原函数是增函数，当 时， ，原函数是减函
数，所以当 时， 取得最大值14300．
当 时， ．
所以当日产量为90吨时每日的利润可以达到最大值14300元．
练习32．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市第八中学校校考期中）用铁皮围成一
个容积为8 的有盖正四棱柱形水箱，需用铁皮的面积至少为_____ ．（注：铁皮厚度
不计，接缝处损耗不计）
【答案】24
【分析】设该正四棱柱形水箱底面边长为 m，需用铁皮的面积为 ，则
，利用导数求函数最值即得.
【详解】设该正四棱柱形水箱底面边长为 m，则高为 m，设需用铁皮的面积为 ，
则 ，
由 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在区间 单调递减，在区间 单调递增，
当 m时，函数 取得最小值，最小值为24 ，
即需用铁皮的面积至少为 ．
故答案为： .
练习33．（2023·重庆·统考模拟预测）某几何体的直观图如图所示，是由一个圆柱体与两
个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为2，高为4．现要加工成一个圆柱，使得圆柱的两个底面的圆周落在半球的球面上，则圆柱的最大体积为______．
【答案】
【分析】设加工成的圆柱底面半径为 ，圆柱的高为 ，圆柱的体积用含有h
的代数式表示，利用导数求其最大值即可.
【详解】设加工成的圆柱的底面半径为 ，高为 ，轴截面如图，
则 ，
则加工后所得圆柱的体积 ，
所以
可得当 时， ，当 时， ，
即函数在 上单调递增，在 上单调递减，
则当 时， 取得最大值为 .
故答案为：
练习34．（2023春·吉林长春·高三长春吉大附中实验学校校考阶段练习）第14届全运会于
2021年在陕西西安举行，其中水上项目将在西安奥体中心游泳跳水馆进行，为了应对比赛，大会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为2m，其容积为 ，如果池底每平方
米的维修费用为150元，设入水处的较短池壁长度为x，且据估计较短的池壁维修费用与池
壁长度成正比，且比练习系数为 ，较长的池壁总维修费用满足代数式 ，
则当泳池的维修费用最低时x值为______．
【答案】
【分析】由题可知泳池的维修费用由池壁维修费用决定后，可得池壁维修费用表达式，利
用导数知识可得答案.
【详解】由题可知池底面积为 为定值，即池底维修费用为定值，则泳池维修
费用由池壁维修费用决定.
又 表示较短池壁长，则 ，则池壁维修费用表达式为：
.
设 ， ，则 ，
令 ，则 ，
，
得 在 上单调递减， 上单调递增，即 .
故答案为： .
练习35．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）一艘渔船在进行渔
业作业的过程中，产生的主要费用有燃油费用和人工费用，已知渔船每小时的燃油费用与
渔船速度的立方成正比，已知当渔船的速度为10海里/小时时，燃油费用是600元/小时，
人工费用是4050元/小时，记渔船的航行速度为v（海里/小时），满足0≤v≤30，记渔船航
行一个小时的主要费用为q元（主要费用=燃油费+人工费），渔船每航行1海里产生的主
要费用为p元.
(1)用航行速度v（海里/小时）表示出航行一小时的主要费用q元；
(2)用航行速度v（海里/小时）表示出航行1海里产生的主要费用p元；
(3)求航行1海里产生的主要费用p（元）的最小值，及此时渔船的航行速度v（海里/小
时）的大小.
【答案】(1)
(2)
(3)当航行速度为15海里/小时时，航行1海里产生的主要费用p有最小值405元【分析】（1）设 ，代入数据计算得到 ，得到 的解析式.
（2）确定 ，计算得到答案.
（3）求导得到单调区间，计算最值得到答案.
【详解】（1）设渔船每小时的燃油费用为y元，由题设可设 ，
又当渔船的速度为10海里/小时时，燃油费用是600元/小时，
得 ， ，
航行一小时的主要费用为： ；
（2） ；
（3） ，则 ；
由 ，得到 ， ，得到 ，
可得函数 的增区间为 ，减区间为 ，
故当 时， ，
即当航行速度为15海里/小时时，航行1海里产生的主要费用p有最小值405元.
