文档内容
专题 4.4 导数在研究函数极值和最值的应
用
题型一 函数极值（点）的辨析
题型二 最值与极值的辨析
题型三 求已知函数的极值（点）和最值
题型四 根据极值（点）求参数
题型五 根据最值求参数
题型六 函数（导函数）图象与极值（点）的关系
题型七 利用导数解决实际问题
题型一 函数极值（点）的辨析
例1．（2023春·吉林长春·高二长春市实验中学校考阶段练习）（多选）函数 的导函
数 在区间 上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 在 处有极小值
B．函数 在 处有极小值
C．函数 在区间 内有4个极值点
D．导函数 在 处有极大值
【答案】BD
【分析】根据导函数的图象、极值点、极值的知识求得正确答案.
【详解】A选项， 在 左右两侧的 ，所以 不是 的极值点，A选项
错误.
B选项， 在 左右两侧，左侧 ，右侧 ，
所以函数 在 处有极小值，B选项正确.C选项，根据图象可知， 有 个极值点， 左右两侧的 ，
所以 不是 的极值点，C选项错误.
D选项， 的图象在 左右两侧，左侧单调递增，右侧单调递减，
所以 在 处有极大值，D选项正确.
故选：BD
例2．（2023·全国·高三专题练习）若函数 存在一个极大值 与一个极小值
满足 ，则 至少有（ ）个单调区间.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.
【详解】若函数 存在一个极大值 与一个极小值 ，则 至少有3个单调
区间，
若 有3个单调区间，
不妨设 的定义域为 ，若 ，其中 可以为 ， 可以为 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，（若 定义域为 内不
连续不影响总体单调性），
故 ，不合题意，
若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，有
，不合题意；
若 有4个单调区间，
例如 的定义域为 ，则 ，
令 ，解得 或 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
故函数 存在一个极大值 与一个极小值 ，且 ，满足题
意，此时 有4个单调区间，
综上所述： 至少有4个单调区间.
故选：B.练习1．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）若 是 上的连续可导函数，
，且 时， ， 时， ，则 是 的（ ）
A．极大值点 B．极小值点 C．最大值点 D．最小值点
【答案】B
【分析】根据极值点的定义，结合条件，即可判断选项.
【详解】由条件可知， 是 上的连续可导函数, ,
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
根据极值点的定义，可知， 是 的极小值点，但不一定是函数在 上的最小值
点.
故选：B
练习2．（2023春·河南洛阳·高三校考阶段练习）对于定义在 上的可导函数 ，
为其导函数，下列说法正确的是（ ）
A．使 的 一定是函数的极值点
B． 在 上单调递增是 在 上恒成立的充要条件
C．若函数 既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大
D．若 在 上存在极值，则它在 一定不单调
【答案】D
【分析】ABC均可以举出反练习，D可以通过极值点和极值的定义进行判断.
【详解】A选项， 的 不一定是函数的极值点，比如 在 处导函数的
值为0，但 不是 的极值点，A说法错误；
在 上单调递增，可能会在某点导函数等于0，比如 为单调递增函数，
在 处导函数值为0，故 在 上单调递增不是 在 上恒成立的充
要条件，B说法错误；
若函数 既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大，比如 ，
在 处取得极大值 ，在 处取得极小值2，极小值大于极大值，故C说法错误；
根据极值点和极值的定义可以判断，若 在 上存在极值，则它在 一定不单调，D说
法正确.
故选：D练习3．（2023春·河北石家庄·高三校联考期中）已知函数 的导函数为 ，函数
的图象如图所示，则 在 ________处取得极大值，在 ________处取得
极小值.
【答案】
【分析】结合图象说明当 或 时， ，当 或 时，
，且 ，由此确定函数的极值点.
【详解】由图象可得当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
又 ， ，所以 ，
所以 时函数取极小值，当 时函数取极大值.
故答案为： ； .
练习4．（2023春·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）若函数 的定义域为R
且可导，则“ 在 处的导数为0”是“当 时， 取到极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【分析】先验证充分性，不妨设 ，在 处有 ，但 为单调递增
函数， 不是极值点；再验证必要性，即可得结果．
【详解】充分性：不妨设 ，则 ，
在 处有 ，
但是 ， 为单调递增函数，故 不是极值点，故充分性不成立；
必要性：由当 时， 取到极值，得 ，
即 在 处的导数为0，故必要性成立．
所以“ 在 处的导数为0”是“当 时， 取到极值”的必要不充分条件.
故选：B
练习5．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）以函数 的图象上相邻四个极
值点为顶点的四边形对角线互相垂直，则 ______.
【答案】 /
【分析】作出函数 的图象，取点 、 、 、
，可知四边形 为菱形，可得出 ，可得出关于 的等式，即可解
得 的值.
【详解】作出函数 的图象如下图所示：
函数 的最小正周期为 ，
不妨取点 、 、 、 ，
则 且 ，又因为 ，则四边形 为菱形，
所以， ，即 ，解得 .
故答案为： .
题型二 最值与极值的辨析
例3．（2023·高三校考课时练习）下列有关函数的极值与最值的命题中，为真命题的是（
）．
A．函数的最大值一定不是这个函数的极大值
B．函数的极大值可以小于这个函数的极小值C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值
D．函数在开区间上不存在极大值和最大值
【答案】B
【分析】设 ， ，求出其最大值和极大值可判断A和D；若函数 在
上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减时，在
上单调递增时，可以出现极大值小于这个函数的极小值，说明B正确；根据极小值一
定不是端点值，最小值可能是端点值，可判断C.
【详解】对于A，设 ， ， ，当 时， ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 在 时取得极大值 ，也是最大值，故A不正确；
对于B，若函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，在
上单调递减时，在 上单调递增，此时函数 在 时取得极大值 ，在
时取得极小值 ，这里 可以小于 ，故B正确；
对于C，函数在某一闭区间上的最小值可能是端点值，而极小值一定不是端点值，故C不
正确；
对于D，由A可知，函数 在开区间 上存在极大值和最大值.故D不正确；
故选：B
例4．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）定义在 上的可导函数
的导函数的图象如图所示，则以下结论正确的是（ ）
A． 是函数 的一个零点 B． 是函数 的极大值点
C． 的单调递增区间是 D． 无最小值
【答案】C
【分析】由图象可得出函数的单调区间，进而得出函数的极值点、最值点，即可得出答案.
【详解】对于A项，由已知图象，仅可得出函数的单调性以及极值点，并不能得出函数的
值，故A项错误；
对于B项，由已知图象可知，
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，所以 是 的极小值点，无极大值点，故B项错误；
对于C项，由B可知， 在 上单调递增，故C正确；
对于D项，由B可知， 在 处取得唯一极小值，也是最小值，所以D错误.
故选：C.
练习6．（2022秋·江西南昌·高三校联考期末）设 是区间 上的连续函数，且在
内可导，则下列结论中正确的是（ ）
A． 的极值点一定是最值点
B． 的最值点一定是极值点
C． 在区间 上可能没有极值点
D． 在区间 上可能没有最值点
【答案】C
【解析】根据连续函数的极值和最值的关系即可判断．
【详解】根据函数的极值与最值的概念知， 的极值点不一定是最值点， 的最值点
不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项
A，B，D都不正确，若函数 在区间 上单调，则函数 在区间 上没有极值
点，所以C正确．
故选：C.
【点睛】本题主要考查函数的极值与最值的概念辨析，属于容易题．
练习7．（2023春·河北邯郸·高三武安市第三中学校考阶段练习）函数图象连续的函数
在区间 上（ ）
A．一定存在极小值 B．一定存在极大值 C．一定存在最大值 D．极小值一定比极大
值小
【答案】C
【分析】根据函数最值和极值的定义即可得解.
【详解】由函数的最值与极值的概念可知 在 上一定存在最大值．
故选：C．
练习8．（2023·全国·高三专题练习）定义在闭区间 上的连续函数 有唯一的
极值点 ，且 ，则下列说法正确的是
A．函数 的最大值也可能是 B．函数 有最小值，但不一定是
C．函数 有最小值 D．函数 不一定有最小值【答案】C
【分析】根据函数的极值与最值的定义即可求解.
【详解】∵定义在闭区间 上的连续函数 有唯一的极值点 ，且
，
∴函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增，
∴当 时，函数 有极小值，也为最小值．
故选：C．
练习9．（2023·全国·高三专题练习）设 ，在 上，以下结论正确的
是 （ ）
A． 的极值点一定是最值点 B． 的最值点一定是极值点
C． 在 上可能没有极值点 D． 在 上可能没有最值点
【答案】C
【分析】结合极值点、最值点的概念对所给选项进行分析即可.
【详解】由已知， ，由 ，得 或 时；由
，
得 时，所以 在 上单调递增，在 ， 上单调递减.
对于选项A，取 ，易知 的极值点为 ，
且 ，而 ，所以 不是最小值点，故A错误；
对于选项B，取 ，则 在 上单调递减，故 是最值点，但
不是极值点，故B错误，C正确；
对于选项D，由连续函数在闭区间上一定存在最值，知选项D错误.
故选：C
【点睛】本题考查函数的极值点、最值点概念的辨析，考查学生对极值点、最值点的理解，
是一道容易题.
练习10．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列结论中不正确的是（ ）.
A．若函数 在区间 上有最大值，则这个最大值一定是函数 在区间 上的
极大值
B．若函数 在区间 上有最小值，则这个最小值一定是函数 在区间 上的
极小值C．若函数 在区间 上有最值，则最值一定在 或 处取得
D．若函数 在区间 内连续，则 在区间 内必有最大值与最小值
【答案】ABC
【分析】根据极值与最值的关系判断即可.
【详解】若函数 在区间 上有最值，则最值可能在极值点或区间端点处取得，故
A，B，C都不正确；函数在闭区间上一定有最值，故D正确.
故选：ABC.
题型三 求已知函数的极值（点）和最值
例5．（2023春·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考期中）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)求函数 的极值．
【答案】(1)见解析
(2)极小值 ，极大值
【分析】（1）根据导数与函数单调性的关系及导数法求函数单调性的步骤即可求解；
（2）根据函数的极值的定义及导数法求函数的极值的步骤即可求解.
【详解】（1）由题意可知， 的定义域为 .
因为 ，所以
令 即 ，解得 ，
令 即 ，解得 或 ，
所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和 .
（2）由（1）可知，当 变化时， 的变化情况如下表：
0 0
极大
递增 递减 极小值 递增
值
所以 的极小值为 ，
极大值为 .
例6．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知 为函数 的极值点，则在区间 上的最大值为（ ）（注： ）
A．3 B．
C．5 D．
【答案】B
【分析】由 以及极值点的知识求得 ，求得 的单调区间，进而求得 在
区间 上的最大值.
【详解】 ，由于 是 的极值点，
所以 ，
此时 ，
所以 在区间 递减；在区间 递增.
所以 是 极小值点， 符合题意.
， ，
由于 ，
所以 在区间 上的最大值为 .
故选：B
练习11．（2023春·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）已知函数 ，
.
(1)求 的值，并写出该函数在点 处的切线方程；
(2)求函数 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值是 ，最小值是1.
【分析】（1）求出 ，根据导数的几何意义得出切线的斜率，求出 ，
即可得出答案；
（2）根据导函数得出导函数的单调性，结合端点值，即可得出函数的最值.【详解】（1）由已知可得 ，所以 ，
则根据导数的几何意义可知，函数在点 处的切线的斜率为 .
又 ，所以函数在点 处的切线的方程为 .
（2）当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增.
所以， 在 处取得唯一极小值，也是最小值 .
又 ， ，
所以，函数在区间 上的最大值是 ，最小值是1.
练习12．（2023春·北京海淀·高三北理工附中校考期中）已知函数 .
(1)求 的极值；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值；
(3)若曲线 在点 处的切线互相平行，写出 中点的坐标(只需直接写出结果).
【答案】(1)极大值 ，极小值
(2)最大值为28，最小值为－4
(3)
【分析】（1）求导，结合函数的单调性及极值的定义求解；
（2）函数的极值与端点处的函数值比较可得最值；
（3）根据导数的几何意义得 ，由此求解即可．
【详解】（1） ,
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以，当 时， 取极大值 ；当 时， 取极小值 .
（2）由（1）知，当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；当
时， 单调递增，
当 时， 取极大值 ；当 时， 取极小值 ．
又 ，
所以， 在区间 上的最大值为28，最小值为－4．（3）设 ，
由题意 ，即 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 中点的坐标为 .
练习13．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数 ， ，则
函数 的最小值为______.
【答案】 /0.5
【分析】对 求导，然后令 ，判断 的单调性，得到 的值
域，从而判断 的单调性，即可确定函数 的最小值.
【详解】因为 ，
所以 ，
记 ， ，
则 ，因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
故当 时，函数 有最小值为 ，
故答案为：
练习14．（2023春·黑龙江鸡西·高三鸡西市第四中学校考期中）（多选）函数
，已知 在 时取得极值，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．函数 在 处有极大值为0
C．函数 在 处有极大值为0
D．函数 在区间 上单调递减【答案】ABD
【分析】求出函数的导数，根据给定的极值点求出a，再判断单调性、求出极值即可判断
作答.
【详解】函数 定义域为R，求导得：函数 ，
因为 在 时取得极值，则 ，解得 ，
此时 ，
当 或 时， ，当 时， ，
因此 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 在 处有极大值，则 ，A正确；
， ，B正确；
函数 在 处有极小值，C错误；
函数 在区间 上单调递减，D正确.
故选：ABD
练习15．（2023春·四川绵阳·高三校考期中）已知 ，曲线
在点 处的切线斜率为5．
(1)求a的值；
(2)求函数 的极值．
【答案】(1)
(2) 极大值为－3，无极小值
【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解；
（2）根据（1）的结论及利用导数法求函数的极值的步骤即可求解.
【详解】（1）因为 ，
所以 .
因为曲线 在点 处的切线斜率为5．所以 ，解得 ,
故a的值为 .
（2）由（1）知， ,所以 ，
由题意可知， 的定义域为 ，
所以 .
令 ，则 ，解得 或 ，
当 变化时， ， 的变化情况如下:
单调递增 极大值为 单调递减
由此表可知，当 时， 取得极大值为 ,无极小值.
题型四 根据极值（点）求参数
例7．（2023春·北京·高三北师大二附中校考期中）已知函数
，当 时， 有极小值．写出符合上述要求的一组a，
b的值为a= _______ ，b=_______ ．
【答案】 4（不唯一） 5（不唯一）
【分析】由极小值的概念及求导法则即可求解.
【详解】当 时， 无极小值，故 ，
，
由 可得 或 ，
当 时，由 时， 有极小值可知 ，即 ，
当 时，由 时， 有极小值可知 ，即 .
所以 的一组取值可取 ，
故答案为：4；5（答案不唯一，满足 或 即可）.例8．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）若函数
有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】计算 ，再将问题转化为 在 有2个不同的两侧异号的实
数根，从而利用二次函数的根的分布即可得解.
【详解】函数 的定义域为 ，
因为 有两个不同的极值点，
所以 在 上有2个不同的零点，
且零点两侧异号，
所以 在 有2个不同的实数根 ，
且根据二次函数的性质可知这两根的两侧函数值异号，
所以 ，解得 .
故选：C.
练习16．（2023春·北京·高三汇文中学校考期中）已知函数 在 处有极
大值，则 ______.
【答案】
【分析】求出导函数 ，由 求得 值，然后对所得结果加以检验即可．
【详解】由已知 ，
可得 ，
令 ，解得 或 ，
由 可得， ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，当 时， ，函数 在 上单调递增，
不是极大值点，舍去；
由 可得， ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以 是函数 的极大值点．
综上 ．
故答案为： ．
练习17．（2023·山西阳泉·统考二模）（多选）已知 在 处取得极
大值3，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据原函数极值点即为导函数零点可得 ，即可知 ，再根据极大值
为3可解得 或 ；易知当 时， 在 处取得极小值，与题意不符，当
时，函数 在 处取得极大值，符合题意，可得 ， ，即
，即可判断出结论.
【详解】由题意可得 ，
且 是函数 的极大值点，即 ，可得 ，
又极大值为3，所以 ，解得 或 ；
当 时， ，此时 ，
时， ， 时，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
此时函数 在 处取得极小值，与题意不符，即 舍去；
当 时， ，此时 ，
时， ， 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
此时函数 在 处取得极大值，符合题意，
所以 ， ，即 ，所以A正确，B错误；
此时 ，所以 ， ，即C错误，D正确.
故选：AD练习18．（2023·江西九江·统考三模）已知函数 有两个极值点 ， ，
且 ，则 ______.
【答案】
【分析】根据函数有两个极值点得到 是方程 的两个不相等的实数根，然后分
离变量，构造函数 ，对函数求导，利用函数的单调性即可求解.
【详解】 ， 是 的两个零点，
即是方程 的两个不相等的实数根，
， 是方程 的两个不相等的实数根.
令 ，则 .
当 或 时， ；
当 时， ，
在 和 上单调递减，在 上单调递增，
且当 时， ；当 时， .
，且 .
由 ，得 ，
， ，由 ，即 .
故答案为： .
练习19．（2023春·北京东城·高三北京二中校考期中）已知函数 有两个极
值点，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【分析】由 有两个极值点可得 有两个不同的实数根，令 ，用导数
研究 的图像即可求解
【详解】由题意， 有两根，且两根的两边导函数值异号，又 ，令 ，则 有两个不同的实数根，
令 ，则 ，
令 有 ，故当 时， ， 单调递减；当 时，
， 单调递增.
且当 时 ，当 时 ，且 ， ，
故作出 图象.
可得当 有两根时
故答案为：
练习20．（2023春·山东潍坊·高三统考期中）已知函数 在 取得极值，
则 _____________
【答案】0
【分析】对函数求导，结合 求参数a，注意验证 是否取得极值.
【详解】 ，
由题意 ，此时 ，故 ，
所以 上 ， 上 ，
即 上 递减， 上 递增，则 取得极小值，
所以 .
故答案为：
题型五 根据最值求参数
例9．（2023春·山东聊城·高三山东省聊城第三中学校考期中）已知函数在 上的最大值为2，则 ______．
【答案】
【分析】直接对函数求导，利用函数在区间 上单调性和条件，求出 值，从而求出结
果.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 在上 恒成立，即 在区间 上单调递减，
所以 ，得到 ，故 ，
所以 .
故答案为： .
例10．（2023秋·陕西西安·高三长安一中校考期末）若函数 在 上
有最小值，则实数 的取值范围是_______.
【答案】
【分析】求导得到导函数，确定函数的单调区间，计算 ，得到 ，
解得答案.
【详解】 ， ，取 得到 ，
当 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减；
当 时， ，函数单调递增；
，取 ，则 或 ，
函数 在 上有最小值，则 ，
解得 ，即 .
故答案为：
练习21．（2023春·天津滨海新·高三校考期中）已知函数 在区间
上的最大值为28，则实数 的取值范围为__________．
【答案】
【分析】利用导函数求函数的极值，再结合条件即求.【详解】∵ ，
∴ ，
令 ＝0，得 ＝-3， ＝1，
当x变化时 及 的变化情况如下表．
x (-∞，-3) -3 (-3，1) 1 (1，+∞)
+ 0 - 0 +
2
↗ ↘ -4 ↗
8
当x＝-3时， 取极大值28；
当x＝1时， 取极小值-4.
而f(2)＝3
