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培优 01 各种统计量的计算与决策（5 大题型）
题型1 平均数与加权平均数的计算
区分算术平均数（各数据和÷个数）与加权平均数（各数据×其权数后求和，再除以权数和）。
关键是识别“权”的含义（如频数、比例），确保计算中每个数据与对应权数相乘，最后验证
结果合理性。
1．在计算100个数的平均数时，将其中的一个数100错看成了1000，则此时计算出来的平均数比实际结
果多（ ）
A．9 B．10 C．19 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了平均数.由已知可得，因看错数，总数增加了900，由此可得平均数多多少.
【详解】解：在计算100个数的平均数时，将其中的一个数100错看成了1000，相当于总数增加了900，
则此时所算得的平均数比实际结果多 .
故选：A.
2．张先生计划端午节假期与家人一同前往南召县景区游玩，为了选择一个最合适的景区，他对南召的五
朵山、宝天曼、石头村、百尺潭四个景区进行了调查与评估，并依据自然风光、特色美食、乡村民宿三个
方面进行评分（10分制）,四个景区的评分如下表所示：特色美
景区 自然风光 乡村民俗
食
五朵山 10 7 7
宝天曼 9 7 8
石头村 6 8 9
百尺潭 8 6 6
张先生按照自己认为的重要程度，把三个方面分别按照 、 、 的比重计算总评分数以确定要去
的景区，则他最终选择的景区是（ ）
A．五朵山 B．石头村 C．宝天曼 D．百尺潭
【答案】A
【分析】本题考查了加权平均数的计算，加权平均数公式为： （其中
分别为 的权）．数据的权能反映数据的相对“重要程度”，对于同样的一组数
据，若权重不同，则加权平均数很可能是不同的．
分别求出每个景区的加权平均数，比较即可.
【详解】解：五朵山：
宝天曼：
石头村：
百尺潭：
∵ ，
∴他最终选择的景区是五朵山，
故选：A
3．某班有50名学生，其中30名男生的平均身高为m厘米，20名女生的平均身高为n厘米，则全班50名
学生的平均身高为 厘米．
【答案】
【分析】本题考查了平均数，掌握平均数的计算公式是解题的关键；
根据平均数的计算公式求解即可．
【详解】全班50名学生的平均身高为： （厘米）．故答案为： ．
4．某车间工人日加工零件数的情况如图所示，则这些工人日加工零件数的平均数是 个．
【答案】6
【分析】本题考查了平均数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据图形确定某车间工人日加工零
件数，再利用平均数的公式求得平均数．
【详解】解：依题意， （个）
∴这些工人日加工零件数的平均数为 个
故答案为：6
5．某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从中抽查了100只灯泡，它们的使用寿命如下表所示：则这批灯
泡的平均使用寿命是 h．
使用寿命
灯泡只数 30 30 40
【答案】124
【分析】本题考查了求平均数，根据平均数的定义计算即可得解，熟练掌握平均数的定义是解此题的关键．
【详解】解：这批灯泡的平均使用寿命是 ，
故答案为：124．
6．学校举行科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，再按照创新设计占 ，现场展示占 计算选手
的综合成绩（百分制）．小华本次比赛的各项成绩分别是：创新设计 分，现场展示 分，则他的综合
成绩是 分．
【答案】86
【分析】本题考查了加权平均数的求法，解题的关键是理解各项成绩所占百分比的含义．利用加权平均数
的求解方法即可求解．【详解】解：综合成绩为90×60％+80×40％=86（分）．
故答案为： ．
题型2 求众数与中位数
众数：出现次数最多的数据（可能多个）。中位数：先排序，奇数个取中间数，偶数个取中间两数的平
均数。注意：中位数不受极端值影响，但需确保数据已完整排序。
7．眼睛是心灵的窗户，为了保护学生视力，某校定期给学生检查视力，下表是该校某班40名学生右眼视
力的检查结果，这组数据的中位数是（ ）
视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 1 3 6 2 4 3 3 2 3 8 5
A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.9
【答案】B
【分析】本题考查了中位数的概念，熟练掌握中位数的概念是解决本题的关键．
根据中位数的概念，即中位数是将数据按大小顺序排列后位于中间位置的数，对于偶数个数据，中位数为
中间两个数的平均值．
【详解】解：该班共有40名学生，中位数为第20和第21个数据的平均数，
根据视力分布：
4.0（1人，累计1），
4.1（3人，累计4），
4.2（6人，累计10），
4.3（2人，累计12），
4.4（4人，累计16），
4.5（3人，累计19），
4.6（3人，累计22），
4.6+4.6
第20和第21个数据均落在视力4.6对应的范围内，因此中位数为 =4.6．
2
故选：B ．
8．教育部新闻办指出：给孩子好的教育，从培养学习习惯开始．为此，学校开展“优化数学学习习惯”
的主题活动，要求学生30分钟内完成当天的数学作业．小敏记录了她所在小组各成员某天完成数学作业的
时长（单位：分）．具体数据如下表：成员 A B C D E F G H
2 2 2 1
完成作业时长（单位：分） 24 17 21 23
3 6 1 8
该小组成员完成数学作业时长的中位数是（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
【答案】C
【分析】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，
计算方法不明确而做错，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，
如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
根据中位数的概念即可求解．
【详解】解：将题目中的完成时间按从小到大排列：17，18，21，21，23，23，24，26，可知共有8个数
据，则中位数为第4个和第5个数的平均值，
∵第4个数为21，第5个数为23，故中位数为 ，
因此，该小组成员完成数学作业时长的中位数是22，
故选：C．
9．某中学举办智力问答比赛，九年级参赛的35名同学的成绩整理后，如统计图所示，这些成绩的众数是
（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【分析】本题考查了众数，解题的关键是根据众数的定义进行解答．
根据一组数据中，出现次数最多的数据叫众数进行解答．
【详解】解：因为10分出现了12次，出现的次数最多，
所以众数为10，
故选：B．
10．为了解八（1）班学生的睡眠状况，小明调查了全班50名学生每天的睡眠时间，绘成如图所示的睡眠时间统计图，则所调查学生睡眠时间的众数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查众数，直接根据众数的定义求解即可．
【详解】解：全部学生中，睡眠时间为 的人数最多，有19人，故众数是 ．
故选：A．
11．人体其实自带一些“尺子”，古人就常用身体的“尺子”测量长度，“拃长”就是其中一种．“一
拃”的长度是手指用力张开后，大拇指指尖到中指指尖之间的距离．了解到这个知识后，帆帆产生了浓厚
的兴趣，于是测量了自己的“拃长” 单位： ，测量 次的结果为： ， ， ，19.7， ，
则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A． ， B．19.7，19.7 C． ，19.7 D． ，
【答案】C
【分析】本题主要考查众数和中位数，众数是这组数据中出现次数最多的数据；中位数是把这组数据按照
从小到大或从大到小的顺序排列，中间的一个数据或两个数据的平均数．
【详解】解：将这组数据重新排列为： ， ，19.7， ， ，
这组数据中 共出现了 次，其余数据只出现了 次，
这组数据的众数为 ，
这组数据中共有 个数据，中间的一个数据是19.7，
这组数据的中位数为19.7，
这组数据的众数是 ，中位数是19.7．
故选：C．
12．为了解居民用水情况，在某小区随机抽查了 户家庭的月用水量，结果如下表：则这 户家庭的月用
水量的众数与中位数分别为（ ）月用水量 吨
户数
A． 、 B． 、 C． 、 D． 、
【答案】C
【分析】根据众数及中位数的定义，即可得出答案．
本题考查了众数和中位数的知识，掌握众数及中位数的定义是关键．
【详解】解：数据 出现的次数最多，
∴5为为众数；
将数据排序后，数据 处在第 位，中间位置，
所以这组数据的中位数是 ．
故选：C．
13．五峰某月连续 天的最低气温（单位： ）分别是： ， ， ， ， ， ， ， ， 这组
数据的众数是 ．
【答案】15
【分析】本题考查众数，一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数，由此可解．
【详解】解：该组数据中，15出现的次数最多，
因此这组数据的众数是15，
故答案为：15．
14．运动不息，健康常在．学校鼓励和督促学生积极参加体育锻炼，小明对自己一周的体育锻炼时长进行
了记录．已知他每天体育锻炼的时长分别为 单位：小时 ：1， ，2， ， ， ， ，则这组数
据的众数是 ．
【答案】 小时
【分析】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
根据众数的定义求解即可．
【详解】解：这组数据中 出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数为 小时．
故答案为： 小时．
题型3 方差的计算方差衡量数据波动性。常用公式： 。步骤：①求平均数；②各数据减
平均数的平方；③求平方和的平均数。简化计算可先求各数据平方的平均数减平均数的平方。
15．某班学生数学成绩的平均分为80分，方差为100，若将每位学生的成绩都加10分，则新成绩的（
）
A．平均分变为90，方差不变 B．平均分不变，方差加10
C．平均分和方差都加10 D．平均分和方差都不变
【答案】A
【分析】本题考查了算术平均数，方差与稳定性．熟练掌握算术平均数，方差与稳定性是解题的关键．
由题意知，每位学生的成绩都加10分，则平均分比原来大10，由数据的波动情况不变，可知方差不变．
【详解】解：由题意知，每位学生的成绩都加10分，则平均分比原来大10，为90，
∵数据的波动情况不变，
∴方差不变，
故选：A．
16．若一组数据 的平均数为18，方差为3，则数据 ，
的平均数和方差分别是（ ）
A．18，3 B．18，5 C．19，5 D．19，3
【答案】D
【分析】本题考查了方差与平均数，用到的知识点：如果一组数据 的平均数为 ，方差为 ，
那么另一组数据 ， 的平均数为 ，方差为 ．
根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．
【详解】解：∵数据 的平均数为 18，
∴数据 的平均数为 ，
∵数据 的方差为3，
∴数据 的方差不变，还是3；故选：D．
17．一组数据的方差计算如下： ，则这组数据的方差
．
【答案】
【分析】本题主要考查平均数和方差，解题的关键是掌握方差及平均数的计算公式．根据题意先得到这组
数据，再计算平均数，再根据方差的定义可得答案．
【详解】解：由 ，
得这组数据为： ，
则 ，
则
，
故答案为： .
18．数据 、 、 、 、 的方差是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了方差的定义：一般地设 个数据， ， ， 的平均数为 ，则方差
，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之
也成立．先求出平均数，再根据方差公式计算即可．
【详解】解：数据 、 、 、 、 的平均数为： ，
故方差为： ．故答案为： ．
19．物理老师想了解比较哪个班的物理优生成绩更稳定，学校组织了一场物理竞赛，九年级一班的六位参
赛选手，其中五位选手的成绩分别是 分、 分、 分、 分、 分，第六位选手的成绩不小心被删除，
只知道没有改变他们的平均分，则一班这六位选手的物理成绩的方差是 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数和方差的定义．先根据“不小心被删除的第 个数
据没有改变他们的平均分”求出第 个数据，再根据方差的定义列式计算即可．
【详解】解： 五位选手的成绩的平均数为 （分），
不小心被删除的成绩为 分，
则一班这六位选手的物理成绩的方差是：
1
[(88-90) 2+(93-90) 2+(90-90) 2+(87-90) 2+(92-90) 2+(90-90) 2]
6
1
= ×(4+9+0+9+4+0)
6
．
故答案为： ．
20．已知a，b，c，d，e五个数的平均数为m，方差为g，求 的平均
数和方差．
【答案】平均数为 ；方差为
【分析】本题主要考查方差和平均数的知识，熟练掌握方差和平均数的计算方法是解答此题的关键．
用m表示出第一组数据的和，用g表示出第一组数据的方差，再根据数据平均数和方差的计算公式解答即
可．
【详解】解：∵a，b，c，d，e五个数的平均数为m，
∴ ，
∵a，b，c，d，e五个数的方差为g，
∴ ，∴新数的平均数为：
，
∴方差为
．
题型4 由未知特征数求其余特征数
当某个数据未知时，利用平均数、方差等公式反推。例如，已知平均数和一个未知数，可列方程求解；
已知方差和大部分数据，可通过方差公式解出未知数。注意方程合理性。
21．一组数据 ， ， ， ， ， ， 有唯一的众数 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了众数的概念，根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数值即为众数，即可得到
答案，熟练掌握众数的概念为解题的关键．
【详解】解：∵这组数据中 ， 出现两次，又有唯一的众数 ，
∴ ，
故选： ．
22．已知一组数据：3，3，4，5， ，6有唯一的众数，则 的值可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A
【分析】本题主要考查了众数的定义，根据众数的定义，逐项进行验证即可确定使数据中出现次数最多的
数唯一存在的x值．
【详解】解：原数据为3，3，4，5，x，6．已知3出现2次，4、5、6各出现1次．
选项A，当 时，数据变为3，3，3，4，5，6．此时3出现3次，其他数各1次，3是唯一众数，符合
条件．
选项B，当 时，数据变为3，3，4，4，5，6．此时3和4均出现2次，出现两个众数，不符合条件．
选项C，当 时，数据变为3，3，4，5，5，6．此时3和5均出现2次，出现两个众数，不符合条件．
选项D，当 时，数据变为3，3，4，5，6，6．此时3和6均出现2次，出现两个众数，不符合条件．
综上，只有 时满足唯一众数的条件，
故选A．
23．如果一组数据： ，4，3， ， 的众数是3，则这组数据的平均数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查众数和平均数，根据众数的定义，求出 的值，再根据平均数的计算公式进行计算即可．
【详解】解：∵ ，4，3， ， 的众数是3，
∴ ，
∴这组数据的平均数是 ；
故选B．
24．若一组数据2、4、x、2、3、3、5的众数为2，则这组数据的平均数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了众数的定义，平均数的定义．
根据众数的定义确定未知数x的值，再计算平均数．
【详解】解：∵一组数据2、4、x、2、3、3、5的众数为2，当前已知2出现2次，3出现2次，
∴x为2，
∴这组数据的平均数为 ，
故选：B．
25．若一组数据6，5，8，7，x，10的平均数为7，则这组数据的众数是（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．8【答案】A
【分析】本题考查了平均数、众数，先根据平均数的定义求出 的值，再根据众数的定义即可得出答案．
【详解】解：∵一组数据是6，5，8，7，x，10共有六个数，其平均数为7，
6+5+8+7+x+10
∴ =7，
6
∴这组数据为6，5，8，7，6，10，
∴众数为6，
故选：A．
26． 的平均数为m， 的平均数为 ，则 的平均数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平均数的变形计算，掌握以上知识是解答本题的关键.
根据平均数的定义，先分别求出前5个数和后 个数的总和，再计算全部 个数的平均数，
【详解】解：前5个数的平均数为 ，总和为 ；第6到第 个数共 个数的平均数为 ，总和为 ，
∴全部 个数的总和为 ，平均数为： ，对应选项D，其他选项中，A和B未考虑数据量
的差异，C的分母错误（总数为 而非 ），故排除，
故选：D.
27．已知一组数据3，4，5，6， 的众数为5，则这组数据的平均数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了众数和平均数，解题的关键是掌握众数和平均数的定义．
利用众数和平均数的定义和公式进行求解即可．
【详解】解：∵一组数据3，4，5，6， 的众数为5，
∴
∴平均数为 ，
故答案为： ．
28．若一组数据的平均数为 ，则数据总和为 ，则这组数据的个数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平均数的概念，熟练掌握数据总和和平均数的关系是解题的关键．根据数据总和和平均数的关系计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意得， ，
这组数据的个数为 ，
故答案为： ．
29．已知一组数据0，1，2，3，x的平均数是2，则这组数据的方差是 ．
【答案】2
【分析】本题考查平均数，方差，熟练掌握平均数和方差的计算方法是解题的关键，根据平均数确定出
后，再根据方差的公式进行计算即可．
【详解】解：由平均数的公式得： ，
解得 ；
则方差 ．
故答案为：2．
30．小强练习投铅球，共投了5次，去掉一个最好成绩和一个最差成绩，则平均成绩为9.37米；去掉一个
最好成绩，则平均成绩为9.51米；去掉一个最差成绩，则平均成绩为9.77米．小强最好成绩与最差成绩相
差 米．
【答案】
【分析】通过去掉不同成绩后的平均成绩，求出相应的总成绩，进而得出最好成绩和最差成绩，最后计算
两者差值．本题主要考查了平均数的应用，熟练掌握平均数与总成绩的换算关系（总成绩 = 平均成绩×次
数）是解题的关键．
【详解】解：设5次成绩分别为 （最差）、 、 、 、 （最好）．
去掉最好和最差，总成绩为 ，即 ．
去掉最好，总成绩为 ，即 ，
所以 ．
去掉最差，总成绩为 ，即 ，
所以 ．
最好成绩与最差成绩相差：
故答案为： ．
31．小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：
，分析算式中的信息， ，．
【答案】 2 6.8
【分析】根据方差公式中数据个数与各项系数的关系确定 ，再通过数据总和除以个数求平均数 ．先
由方差算式中系数和为数据总个数得 ，再列数据计算 ．本题主要考查方差与平均数的概念及计算，
熟练掌握方差公式中数据个数的体现、平均数的计算方法（数据总和除以个数）是解题的关键．
【详解】解：因为 ，
所以一共有10个数据，所以 ，
所以这10个数据分别为7，7，7，8，8，6，6，5，5，9，
所以 ．
故答案为2，6.8．
32．已知一组数据 的平均数是10，方差是2，数据 的方差是 .
【答案】8
【分析】本题考查了方差与算术平均数，用到的知识点：如果一组数据 的平均数为 ，方差
为 ，那么另一组数据 ， ， ， 的平均数为 ，方差为 ．根据方差和平均数
的变化规律可得：数据 ， ，……， 的平均数是 ，方差是方差为 ，再进行
计算即可．
【详解】解：∵数据 的方差是2，
∴数据 的方差是 ．
故答案为：8．
33．已知一组数据的方差 ，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查方差的定义与意义：一般地设 个数据， ， ， 的平均数为 ，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之
也成立．
根据方差的公式可以得到平均数是6，共有5个数据，从而得到 求解即可．
【详解】解：由于这组数据的方差 ，
∴平均数是6，共有5个数据
∴
∴ ．
故答案为：6．
题型5 利用特征数决策
根据问题需求选择合适统计量：比较平均水平用平均数；比较集中趋势用众数或中位数（尤其有极端值
时）；比较稳定性用方差（方差小更稳定）。需结合语境解释统计量的实际意义。
34．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋50双，各种尺码的鞋的销售量如下表所示：
鞋的尺 2
22 23 25
码/cm 4
销售量
2 3 12 17 9 5 2
（双）
若每双鞋的销售利润相同，店主再进一批女鞋时，打算多进尺码为 的鞋，你认为他做这个决定是重
点关注了下列统计量中的（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
【答案】A
【分析】本题主要考查了众数，解题的关键是掌握众数的定义．
利用众数的定义进行求解即可．
【详解】解：根据题意得，销售最多的是尺码为 的鞋，即众数为 ，
故选：A．
35．学校运动会开幕式上，某班级计划在走方阵时从以下四个角色中选择一个作为领队进行扮演，经班级
学生投票后，决定选择哪吒作为领队角色．这样决定依据的统计量是（ ）
角色 孙悟空 哪吒 唐僧 杨戬
投票人数 10 20 12 6
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【答案】C
【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要是众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位
数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，根据题意直接求解即可．
【详解】解：根据表格得，选择哪吒的学生最多，
这样决定依据的统计量是众数．
∴故选C．
36．数学文化的学习有利于激发学生学习数学的兴趣．某校为了解学生对数学文化知识掌握情况，以班级
为单位组织七、八年级学生开展了数学文化知识竞赛活动，其中甲、乙、丙、丁四个班的成绩较为突出，
部分数据如下表：
甲 乙 丙 丁
87 87 82 85
0.12 0.67 0.16 0.85
根据表中数据，成绩较好且较为稳定的班级是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】本题考查了平均数和方差的意义，以及在生活中的实际应用，属于基础题．
可根据平均数和方差的意义来判断成绩较好且较为稳定的班级．
【详解】解：由平均数可知，甲和乙成绩较好，
又因为甲班方差s2 =0.12，乙班方差s2 =0.67，
甲 乙
所以甲的方差小于乙的方差，
所以成绩较好且较为稳定的班级是甲．
故选： ．
37．学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投篮技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然
后再按控球技能占 ，投篮技能占 计算选手的综合成绩（百分制）．选手小林的控球技能得90分，
投篮技能得80分．小林的综合成绩是（ ）
A．170分 B．85分 C．84分 D．83分
【答案】C
【分析】本题考查的是加权平均数的求法，正确进行计算是解题关键．
根据加权平均数的定义列式计算可得．【详解】解： （分），
故选： C．
38．粮食生产是河南的一张王牌，今天的河南，用全国 的耕地，生产了全国 的小麦、 的粮食，每
年调出原粮和制成品600亿斤以上．河南某县随机从甲、乙、丙、丁四个品种的小麦中各称量了10亩，每
亩产量的平均数 （单位：千克）及方差 （单位：千克 ）如下表所示．明年准备从四个品种中选出一
种产量既高又稳定的小麦品种进行种植，应选的品种是（ ）
甲 乙 丙 丁
49
500 470 495
5
1.1 2.8 1.5 1.1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】本题主要考查了平均数和方差，掌握平均数和方差的意义是解题的关键．
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标；
方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，
则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【详解】解：∵从平均数可知：甲 乙 丁 丙，从方差看，甲与丁的方差相等且最小，
∴甲品种产量既高又稳定；
故选A．
39．某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
尺码 39 40 41 42 43
平均每天销售数量/件 10 12 20 12 12
该店主决定本周进货时，增加一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是 ．
【答案】众数
【分析】本题主要考查根据合适的统计量作决策，理解众数的意义，是解题的关键．
根据众数的意义，即可得到答案．
【详解】根据表格数据，可得：41码是众数，
故增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是众数，
故答案为：众数．40．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人射击10次，成绩的平均数 单位：环 和方差
如下表：
甲 乙 丙 丁
环
根据表中数据，你认为应该推荐运动员 去参赛，更有把握赢得比赛．
【答案】乙
【分析】此题考查了平均数和方差，首先比较平均数，选平均数最大的并且方差较小运动员的参赛即可．
【详解】解：由表中数据可知：乙的平均数最高，成绩最好；虽然丙的方差最小，但其平均数过低，而乙
的方差也较小，发挥稳定；综合考虑，应推荐运动员乙去参赛
故答案为：乙．
41．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且
状态稳定的同学参加全国数学竞赛，那么应选 同学．
甲 乙 丙 丁
平均数 80 85 85 80
方差 4.2 4.2 5.4 5.8
【答案】乙
【分析】本题考查平均数和方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据
偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏
离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
此题有两个要求：①平均成绩较高，②状态稳定.于是应选平均数较大、方差较小的同学参赛．
【详解】解：∵乙的平均数较大且方差较小，
∴应选乙同学，
故答案为：乙．
42．如图，农科院将甲、乙两种甜玉米种子在自然条件相同的试验田进行试验，将得到的每公顷产量描成
如图所示的统计图．由统计图观察可知，农科院应该选 种甜玉米种子使得产量更稳定．【答案】乙
【分析】通过观察统计图中两种甜玉米产量数据的离散程度，离散程度小的产量更稳定，从而确定应选的
种子．本题主要考查了数据离散程度（方差意义）在实际问题中的应用，熟练掌握“数据离散程度越小，
产量越稳定”是解题的关键．
【详解】解：观察统计图可知，乙种甜玉米产量的数据点相对更集中，甲种甜玉米产量的数据点相对更分
散．乙种甜玉米产量数据离散程度小，农科院应该选乙种甜玉米种子使得产量更稳定．
故答案为：乙．
43．某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核．甲、乙、
丙各方面得分如下表：
序号项目 甲 乙 丙
笔试成绩/分 82 81 84
面试成绩/分 79 90 80
体能成绩/分 91 72 76
(1)根据三方面得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序；
(2)该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于80分、80分、70分，并按 的比例计入
总分，总分最高者将被录用．根据规定，请你说明谁将被录用．
【答案】(1)三名应聘者的排名顺序为甲、乙、丙
(2)丙将被录用
【分析】本题考查了平均数的计算以及加权平均数的实际应用，解题的关键是明确平均数与加权平均数的
计算公式，并结合题目给定的条件（如分数下限要求）进行准确计算与判断。
（1）根据平均数公式“平均数 所有数据之和 数据个数”，分别计算甲、乙、丙三人三项成绩的总和，
再除以3得到平均分，最后比较平均分大小确定排名；
（2）首先筛选出笔试 分、面试 分、体能 分的应聘者，排除不符合条件的人员；再根据“加
权总分 笔试成绩 面试成绩 体能成绩 ”，分别计算剩余应聘者的总分，比较总分大小确定录用者。
【详解】（1）解：计算甲的平均分： （分）
计算乙的平均分： （分）
计算丙的平均分： （分）
比较大小：
答：三名应聘者的排名顺序为甲、乙、丙。
（2）解：甲：笔试 ，面试 ＜ ，不符合规定，排除；
乙：笔试 ，面试 ，体能 ，符合规定；
丙：笔试 ，面试 ，体能 ，符合规定。
乙的总分：
（分）
丙的总分：
（分）
比较总分：
答：丙将被录用。
44．某市对参加2024年中考的50000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数直
方图的一部分．请根据图表信息回答下列问题：
频数 频
视力
（人） 率20 0.1
40 0.2
70 0.35
a 0.3
10 b
(1)在频数分布表中，a的值为________，b的值为________，并将频数直方图补充完整；
(2)甲同学说“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数”，问甲同学的视力情况应在什么范围内？
【答案】(1)60， ，图见解析
(2)甲同学的视力情况应在 范围内．
【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须
认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，
（1）根据第一组的频数是20，对应的频率是0.1即可求得总人数，然后利用频率的概念求得a、b的值，
再补图；
（2）根据中位数的定义即可作出判断．
【详解】（1）解：抽查的总人数是： （人），
则 ， ．
故答案是：60，0.05；
如图，
；
（2）共有200个数据，其中位数是第100个和第101个数据的平均数，而第100个和第101个数据均落在
，
∴甲同学的视力情况应在 范围内．
45．某校为增强学生身体素质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，并对学生进行专项体能测试．以下是某次八年级男生引体向上测试成绩的抽样与数据分析过程．
【收集数据】随机抽取若干名男生的测试成绩．
【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用x（引体向上个数）表示成绩，分成四组：A组（ ），B
组（ ），C组（ ），D组（ ）．
【描述数据】根据抽取的男生成绩，绘制出如下不完整的统计图：
【分析数据】抽取的八年级男生测试成绩的平均数为8，中位数为8，众数为11．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求A组人数，并补全条形统计图；
(2)估计该校八年级参加测试的800名男生中成绩不低于10个的人数；
(3)从平均数、中位数和众数这三个统计量中任选一个，解释其在本题中的意义．
【答案】(1) ，见解析
(2)360人
(3)见解析
【分析】 根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量，频数之和等于样本容量计算即可．
利用样本估计总体的思想解答即可．
利用统计特征量的意义解答即可．
本题考查的是扇形统计图，条形统计图，样本容量的计算，用样本估计总体，中位数和众数，会计算样本
容量，从题目图表中获取有用信息是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得样本容量为： ，
故A组人数为 （人），
补图如下；（2） （人），
答：成绩不低于10个的男生有360人；
（3）解：答案不唯一，符号题意即可．
例如：从平均数看，估计该校年级男生引体向上测试成绩平均为8个；从中位数看，估计该校年级男生引
体向上测试成绩至少有一半不低于8个；从众数看，估计该校年级男生引体向上测试成绩为11个的最多．
培优综合练
46．如图，小雨将一学期的五次数学成绩制作成了折线统计图，并计算了5次成绩的方差 ．当他得知期
末数学成绩时，计算出六次成绩的方差 ，发现 ，小雨的期末数学成绩可能是（ ）
A．82 B．88 C．90 D．93
【答案】A
1 - -
【分析】本题考查了方差：方差公式s2= [(x -x) 2+(x -x) 2+… ，方差是反映一组数据的波
n 1 2
动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程
度越小，稳定性越好．先计算前5次的平均数，要使六次成绩的方差小于5次成绩的方差，则第6次的成绩要等于或接近平均数，
据此可得答案．
78+85+82+84+81
【详解】解：前5次的平均数为： =82，
5
∵S2>S2
，
1 2
小雨的期末数学成绩可能是82．
故选：A
47．综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每
人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位： ）的数据后，计算每
片叶子的长宽比，并绘制出折线统计图如图所示：
根据以上信息，下列说法错误的是（ ）
A．核桃树叶长宽比为 出现的次数最多
B．枇杷树叶的长宽比最大为
C．小明测量一片枇杷叶的长为 ，小明断定它的宽一定为
D．小亮收集到一片长 、宽 的树叶，判断它是一片核桃树叶
【答案】C
【分析】此题考查用样本估计总体，折线统计图等知识，根据题目给出的数据判断即可．
【详解】解：A. 10片核桃树叶的长宽比中出现次数最多的是2，故选项正确，不符合题意；
B. 根据折线统计图可得，枇杷树叶的长宽比最大为 ，故选项正确，不符合题意；
C. 枇杷树叶的长宽比大约为 ，是个估计值，不是准确值，小明测量一片核桃叶的长为 ，它的宽
不一定为 ，故选项错误，符合题意；
D. ∵ ，∴该树叶有可能是核桃树树叶．故选项正确，不符合题意；
故选：C．
48．一组数据由五个正整数组成，中位数是4，且唯一的众数是7，则这五个正整数的平均数等于（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 或
【答案】D
【分析】本题考查了中位数的定义，众数的定义，求平均数．
根据中位数的定义可知4左边有两个数，4右边有两个数，根据众数的定义可知4左边有两个数不相等，4
右边有两个数均为7，列出所有情况，求中位数即可．
【详解】∵一组数据由五个正整数组成，中位数是4，
∴4左边有两个数，4右边有两个数，
∵唯一的众数是7，
∴4左边有两个数不相等，4右边有两个数均为7
即这五个正整数为1，2，4，7，7或1，3，4，7，7或2，3，4，7，7
， ，
故选：D．
49．长沙市抽样调查了 位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是 元．由于将这个数据
输入错了，所以计算机显示的这 位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了 元，则输入计算机
的那个错误数据是 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平均数， 关键是要理清各数量间的关系， 明白“多输入的数值”就是“
个 ” ．根据平均数的定义可得： 最大的一个数的错误数据与实际数据相差 元， 据此求
出错误数据 ．
【详解】解： 由题意得， 输入错误的数据为： ．
故答案为： ．
50．定义：一组数据 ， ，…， 的平均数为 ，那么称这 个数据与平均数 的差的平方和叫做这
个数据的离差平方和，记作 ．那么 ， ， ， ， 的离差平
方和是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平均数，离差平方和，先求出 ，然后通过离差平方和公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解： ，
∴离差平方和是 ，
故答案为： ．
51．某小组8名学生的数学考试成绩（单位：分）分别为88，98，87，92，92，90，91，96，老师决定将
这些成绩分为两组，以便更好地分析学生的成绩分布．若按照以下分组方式：第一组 ，
第二组 ，则组内离差平方和为 ．
【答案】24
【分析】本题考查了离差平方和的定义（离差平方和是各数据与它们平均数之差的平方和），组内离差平
方和的定义（组内离差平方和是指每组数据的离差平方和），先根据离差平方和的定义分别求出两组数据
的离差平方和，再根据组内离差平方和的定义列式计算即可．
【详解】解：第一组数据的平均数为： ，
第一组数据的离差平方和为： ，
第二组数据的平均数为： ，
第二组数据的离差平方和为： ，
所以组内离差平方和为 ，
故答案为：24．
52．2025年2月，北京市教育委员会发布《关于进一步加强新时代中小学体育工作的若干措施》，明确要
求中小学每天综合体育活动时间不低于2小时．某校从初二年级随机抽取甲、乙、丙三名学生参加为期5
天的专项训练，每日活动时长记录如下（单位：分钟）：
学
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天
生
甲 64 58 60 60 59
乙 60 63 60 60 57
丙 62 60 58 59 p对每一名学生计算5天活动时长的平均数和方差．规定平均数较大的学生排序靠前；若平均数相同，则方
差较小的学生排序靠前．若丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中，则这三名学生中排序最靠前的是
，表中p（p为整数）的值为 ．
【答案】 甲 61
【分析】此题考查了算术平均数和方差．根据算术平均数和方差的计算公式分别求出甲、乙的平均数和方
差，根据题意确定丙的平均数从而求出p的值，再根据丙的方差和排序最终确定p的值．
【详解】解： ，
；
，
；
∵丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或62，
当 时， ，
，
∵ ，
∴丙排在甲前面，不符合题意，
∴ 不符合题意；
当 时， ，，
∵ ，
∴丙排在乙前面，符合题意，
∴ ，
故答案为：甲，61．
53．某校在“推普周”组织了“说普通话，写规范字”测试，项目A“朗读”、B“硬笔书法”、C“即兴演
讲”、D“毛笔字”、E“手抄报”．规定：每名学生测试三项，其中AB为必测项目，第三项从C、D、E随
机抽取一项，每项满分10分（成绩均为整数且不低于0分）．
(1)下表是分别是项目“C”和“D”6名学生的成绩；
学生 众
1 2 3 4 5 6 平均分 中位数
项目 数
C x 6 7 8 8 9 a b c
D 6 8 8 8 9 9 8 d 8
① ______；
②如果 ，且x不是这组中成绩最高的，求x的值：
(2)完成必测项目A、B后，请用列表或树形图的方法分析甲和乙第三项选不同项目的概率．
【答案】(1)①8，② ；
(2)列表见解析，
【分析】（1）①根据众数是一组数据中出现次数最多的数值，找出众数即可知 的值；②分两种情况求解：
当x≤7时，则中位数 ，根据平均数的计算公式求解满足要求的 值即可；当 且为整数时，
中位数 ， ，根据平均数的计算公式求解满足要求的 值即可；
（2）根据要求列表格，求解概率即可．
【详解】（1）解：①观察表格可知众数
故答案为：8．
②当x≤7时，则中位数
∵∴平均值
解得： ；
当 且为整数时，
∵x不是这组中成绩最高的
∴中位数 ，
∵
∴平均值
解得 （舍去）
∴综上所述，x的值为7．
（2）解：列表如下：
C D E
C （C、C） （C、D） （C、E）
D （D、C） （D、D） （D、E）
E （E、C） （E、D） （E、E）
由表格可知，甲和乙选第三项项目共有9种等可能的结果，其中，甲乙选择不同测试项目有6种可能，
∴概率 ．
【点睛】本题考查了众数、算术平均数、中位数，列举法求概率．解题的关键在于熟练掌握众数、算术平
均数、中位数，列举法求概率的方法．
54．暑假来临，小明一家计划去泰山旅游，为了选择一个合适的酒店，小明对甲、乙两个酒店进行了调查
与评估．他依据实际需要，从安全保障、价格、地理位置和住宿条件四项对每个酒店评分（10分制）．两
个酒店的得分如表所示：
安全保障 价格 地理位置 住宿条件
甲 7 8 6 9
乙 8 7 6 8
(1)若通过平均分来确定最终评分，请通过计算回答：小明会选择哪家酒店？
(2)但小明一家认为各项都有不同的“重要程度”．小明爸爸认为应该按 确定最终评分，小明则认
为应该按 确定最终评分．请你从小明爸爸和小明两人中挑选一个方案，推荐更合适的酒店，并通过计算说明．
【答案】(1)小明会选择甲酒店；
(2)按小明爸爸方案，推荐乙酒店；按小明方案，推荐甲酒店．
【分析】（1）分别计算甲、乙酒店四项得分的平均分，比较平均分大小，平均分高的即为会选择的酒店．
（2）根据所选方案（小明爸爸或小明的权重方案），利用加权平均数公式分别计算甲、乙酒店的最终评
分，比较评分高低来推荐合适酒店．
本题主要考查了算术平均数和加权平均数的计算与应用，熟练掌握平均数的计算公式（算术平均数为数据
总和除以个数，加权平均数为各数据乘对应权重之和除以权重总和）是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
，
，
小明会选择甲酒店．
（2）解：小明爸爸方案（权重 ），
甲酒店加权得分： ，
乙酒店加权得分： ，
，
按小明爸爸方案，推荐乙酒店；
小明方案（权重 ），
甲酒店加权得分： ，
乙酒店加权得分： ，
，
按小明方案，推荐甲酒店．
55．为了鼓励学生养成良好的消费习惯，提升理财意识，某校在课后社团活动中开设了《理财小能手》特
色课程．课程结束后，同学们为了解全校 名学生每天使用零花钱的状况．随机抽取部分学生进行调查，
并绘制了如下统计图．根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图，并求出扇形统计图中 的值；
(2)求抽取的该部分学生使用零花钱的众数；
(3)根据以上数据，估计全校学生中每天使用零花钱的金额超过 元的学生人数．
【答案】(1)补全统计图见解析， ；
(2)众数是 元；
(3)估计全校学生中每天使用零花钱的金额超过 元的学生有 人．
【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的关联、众数和平均数、样本关键总体等知识，掌握知识点
的应用是解题的关键．
（ ）先求出调查总人数，再求出每天使用零花钱 元的学生数，即可补全统计图，再求出每天使用零花
钱 元的学生数的百分比即可求出扇形统计图中 的值；
（ ）根据众数定义进行解答即可；
（ ）根据样本估计总体的方法计算即可．
【详解】（1）解：调查的总人数为 （人），
∴每天使用零花钱 元的学生数为 （人）， ，
∴ ，
补全统计图如下：（2）解：学生使用零花钱是 元的有 人，人数最多，
∴众数是 元；
（3）解： （人），
答：估计全校学生中每天使用零花钱的金额超过 元的学生有 人．
56．某校为了解老师“在学校批改作业”这一项工作的时间简称“作业时间”情况，在本校随机调查了40
名老师每天批改作业的时间，并进行统计，绘制了如下统计表：
“作业时间” 组内老师的平均“作业时
组别 频数
/分钟 间”/分钟
A 8 50
B 14 75
C 100
D 8 135
根据上述信息，解答下列问题：
(1) __________；
(2)这40名老师的“作业时间”的中位数落在__________组；
(3)求这40名老师的平均“作业时间”．
【答案】(1)10
(2)B
(3)这40名老师的平均“作业时间”为88.25分钟
【分析】本题考查了中位数，平均数，频数分布表．从频数分布表中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）用调查的总人数减去其他组的人数即可求出m的值；
（2）利用中位数的定义解答即可；
（3）根据平均数的定义解答即可．【详解】（1） ，
故答案为：10；
（2）把40名老师的“作业时间”从小到大排列，排在中间的两个数均在B组，
这40名老师的“作业时间”的中位数落在B组，
故答案为：B；
1
（3）平均“作业时间”= ×(50×8+75×14+100×10+135×8)=88.25（分钟），
40
答：这40名老师的平均“作业时间”为88.25分钟．
57．宁夏葡萄酒品质优良，深受消费者青睐．为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的
试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查．
【调查与收集】
甲、乙两种葡萄树各种植了500株，计划从中各抽取100株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是
___________．
A．依次抽取100株
B．随机抽取100株
C．在长势较好的葡萄树中随机抽取100株
D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取100株
【整理与描述】
同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：kg），将所得数据整理描述如
下：
甲样本的频数分布表
频数 7 45 15 20 13
乙样本的频数分布直方图
注：每组含最小值，不含最大值．根据以上信息，解答问题：
（1）甲样本中 组的频率是_________；
（2）补全乙样本的频数分布直方图．
【分析与应用】
（1）填表：
样 平均数 方
中位数出现的组别
本 （kg） 差
甲 5.73
乙 15.74 4.85
（计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如 的中间值为 ）
（2）估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于 的株数；
（3）结合以上数据为基地的葡萄种植提出一条合理化建议．
【答案】[调查与收集]B；[整理与描述]（1） ；（2）见解析；[调查与收集]（1）见解析；（2）65；
（3）见解析
【分析】[调查与收集]
利用样本具有代表性对抽样调查方式进行判断；
[整理与描述]
（1）根据频率的定义计算甲样本中 组的频率；
（2）先计算出乙样本 组的频数，再补全乙样本的频数分布直方图；
[分析与应用]
（1）先根据平均数的定义求出甲样本平均数，再根据中位数的定义求出乙样本中位数出现的组别，然后
填表即可；
（2）根据两者的方差提出建议即可．
【详解】解：
[调查与收集]
为了样本具有代表性，随机抽取能保证样本的代表性，避免系统性偏差，
所以应该随机抽取100株作为样本；
故选：B；
[整理与描述]（1）甲样本中 组的频率 ，
（2）乙样本总频数为100，已知各组频数为 ，
则 组的频数为： ，
补全乙样本的频数分布直方图：
[分析与应用]
（1）甲样本各组中间值分别为12、14、16、18、20，
甲样本平均数 = ，
乙样本共100个数据，中位数为第50、51个数据的平均值，
前两组频数和为 ，前三组频数和为 ，
第50、51个数据落在 组，
乙样本中位数出现的组别落在 组，
填表如下：
样 平均数 方
中位数出现的组别
本 （kg） 差
甲 15.74 5.73
乙 15.74 4.85
（2）估计甲种葡萄树每株产量不低于 的株数：
甲样本中 组频数为13，频率为 ，
试验田甲种葡萄树共500株，故估计株数为 （株）
（3）合理化建议：乙种葡萄树的方差（4.85）小于甲种（5.73），产量更稳定，建议优先推广乙种葡萄树的种植技术．
【点睛】本题主要考查了抽样调查的合理性，补全频数分布直方图，平均数，中位数及方差的相关知识，
掌握抽样调查以及读懂频数分布直方图是解题的关键．
