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专题 09 数列的通项公式、数列求和及综合应用
目 录
01 等差、等比数列的基本量问题...................................................1
02 证明等差等比数列.............................................................2
03 等差等比数列的交汇问题.......................................................4
04 数列的通项公式...............................................................4
05 数列求和.....................................................................7
06 数列性质的综合问题..........................................................13
07 实际应用中的数列问题........................................................14
08 以数列为载体的情境题........................................................16
09 数列的递推问题..............................................................17
01 等差、等比数列的基本量问题1．（2023·重庆·高三统考阶段练习）已知数列 满足 ， ，记 ，则有
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·云南·怒江傈僳族自治州民族中学校联考一模）已知等比数列 的前 项和为 ， ，
，则 （ ）
A．29 B．31 C．33 D．36
3．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知等差数列 ，其前 项和为 ，若 ，且满足 ， ，
成等比数列，则 等于（ ）
A． 或 B． C． D．2
4．（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）在等比数列 中，已知 ， ，则
（ ）
A． B．42 C． D．
5．（2023·全国·模拟预测）已知数列 为等差数列，其前 项和为 ，且 ， ，则
（ ）
A．63 B．72 C．135 D．144
6．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列 对任意 满足 ，则
（ ）A．3032 B．3035 C．3038 D．3041
02 证明等差等比数列
7．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）已知数列 中， ，
(1)求证：数列 是等差数列，并求出 的通项公式；
8．（2023·上海·高三上海市宜川中学校考期中）已知数列 、 的各项均为正数，且对任意 ，
都有 ， ， 成等差数列， ， ， 成等比数列，且 ， ．
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)求数列 、 的通项公式．
9．（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考阶段练习）设 是数列 的前 项和，已知
(1)求 ，并证明： 是等比数列；
(2)求满足 的所有正整数 .10．（2023·山东日照·高三校联考期末）已知数列 的各项均为非零实数，其前 项和为 ，且
.
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ， ，求证：数列 是等差数列，并求其前 项和.
03 等差等比数列的交汇问题
11．（2023·高二课时练习）已知数列 的前n项和为 ，若 ， ， ， 成等差数列，
则 ．
12．（2023·广西·校联考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ．且 ， 是公差为 的等差
数列，则 ．
13．（2023•甲卷）记 为数列 的前 项和．已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 ， ， 成等比数列，求 的最小值．14．（2023•乙卷）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ， ， 成等差数
列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前 项和．证明： ．
15．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知数列 是公差为 的等差数列，设
，若存在常数 ，使得数列 为等比数列，则 的值为 .
04 数列的通项公式
16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ．求数列 的通项公式．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， 设 ，求数列 的
通项公式.18．（2023·全国·高三专题练习）已知： ， 时， ，求 的通项公式．
19．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 满足 ，求数列 的通项公式．
20．（2023·江西·高一统考期中）设数列 的前n项和为Sn，满足 ，且
成等差数列．
(1)求 的值；
(2)求数列 的通项公式．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足递推关系： ，且 ， ，
求数列 的通项公式.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： 求 .23．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}的前n项和为 ， ， ，求{an}的通
项.
24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，求 的通项公式．
26．（2023·全国·高三专题练习）设 ，数列 满足 ， ，求数列 的通
项公式．27．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式 ，且首项 ，求数列 的通项公
式．
28．（2023·广东江门·高三江门市第一中学校考阶段练习）数列 中， ，且
，则 等于 .
29．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， ，求
05 数列求和
30．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列 满足： （
），数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 .31．（2023·天津河东·高三校考阶段练习）已知数列 为等差数列， 是公比不为0的等比数列，
， ， ， ．
(1)求 ， ；
(2)设 ，求数列{cn}的前n项的和 ；
(3)设 ，求数列 的前n项的和
32．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考一模）已知数列 为等比数列，首项 ，公比 ，
且 是关于 的方程 的根.其中 为常数.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求使 的 的最大值.33．（2023·山西临汾·校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， 是首项为1，公差
为1的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，证明： ．
34．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列满足 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前99项和为 ，求 .
35．（2023·四川自贡·统考一模）已知数列 的前 顶和为 .且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)在数列 中， ，求数列 的前 项和 .36．（2023·全国·模拟预测）已知数列 中， ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前 项和 ．
37．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
38．（2023·黑龙江大庆·高三校考阶段练习） 为数列 的前 项和.已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和为 ，证明 .
39．（2023·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知数列 满足 ， ，设 的前 项积为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 数列 的前 项和为 ，求证： ．
40．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知数列 和 满足： ， ， ，
，其中 ．
(1)求证： ；
(2)求数列 的前 项和 ．
41．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求证：函数 的图象关于点 对称；
(2)求 的值．42．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知数列 满足 .
(1)证明：数列 是等比数列.
(2)求数列 的前 项和 .
43．（2023·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，求使得 的最小正整数 .
44．（2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 ，且满足
，数列 满足 ．
(1)证明：数列 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)已知数列 满足 求数列 的前 项和 ．45．（2023•新高考Ⅱ）已知 为等差数列， ，记 ， 为 ， 的前 项和，
， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时， ．
46．（2023•新高考Ⅰ）记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．
06 数列性质的综合问题
47．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知单调递增的数列 满足 、 、 成等比数列， 、 、
成等差数列，则 的取值范围是 .
48．（2023·四川雅安·高三校联考期中）已知数列 满足 ， ，若对于任意正整数 ，都有 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
49．（2023·辽宁·高三校联考期中）设 是公差为2的等差数列， 为其前n项和，若 为递增数列，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
50．（2023·陕西榆林·高三校考期中）已知数列 满足 ，若 ，则实数k的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
51．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知等差数列 的前n项和为 ，对任意的
，均有 成立，则 的值的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
52．（2023·陕西榆林·高三校考期中）已知数列 中，其前 项和为 ，且满足 ，数列 的
前 项和为 ，若 对 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
53．（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）首项为 的等差数列，从第 项起开始为正数，则公差 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
54．（2023·北京·高三强基计划）设三个实数a，b，c组成等比数列， 且 ，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
55．（2023·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）设数列 的前 项和为 ， ，且
，若存在 ，使得 成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
56．（2023·湖北荆州·高三公安县车胤中学校考阶段练习）已知数列 通项公式为
，若对任意 ，都有 则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
07 实际应用中的数列问题
57．（2023·湖北·高二湖北省鄂州高中校联考期中）某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元
（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日
将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（ ）（单位：万元）
参考数据：
A．2.438 B．19.9 C．22.3 D．24.3
58．（2023·河南南阳·高二统考期中）小李年初向银行贷款 万元用于购房，购房贷款的年利率为 ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分 次等额还清，每年 次，问每年应还（ ）万元.
A． B． C． D．
59．（2023·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）某公司有10名股东，其中任何六名股东所持股份之和
不少于总股份的一半，则下列选项错误的是（ ）
A．公司持股最少的5位股东所持股份之和可以等于总股份的
B．公司持股较多的5位股东所持股份均不少于总股份的
C．公司持股最大的股东所持股份不超过总股份的
D．公司持股较多的2位股东所持股份之和可以超过总股份的
60．（2023·河南·高二校联考期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，
二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢
固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地
生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，
以后每年投入资金是上一年的 倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万
元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（ ）．
A．781万元，60万元 B．525万元，200万元
C．781万元，200万元 D．1122万元，270万元
61．（2023·山东·高二山东师范大学附中校考期末）如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会
徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知
为直角顶点，设这些直角三角形的
周长从小到大组成的数列为 ，令 为数列 的前 项和，则 （ ）A．8 B．9 C．10 D．11
62．（2023·湖南岳阳·统考一模）核电站只需消耗很少的核燃料，就可以产生大量的电能，每千瓦时电能
的成本比火电站要低20%以上.核电无污染，几乎是零排放，对于环境压力较大的中国来说，符合能源产业
的发展方向，2021年10月26日，国务院发布《2030年前碳达峰行动方案》，提出要积极安全有序发展核
电.但核电造福人类时，核电站的核泄漏核污染也时时威胁着人类，如2011年，日本大地震导致福岛第一
核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%.
专家估计，要基本消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时，原有的锶90大约剩（
）（参考数据 ）
A． B． C． D．
08 以数列为载体的情境题
63．（2023·山东淄博·高三统考期中）若项数为n的数列 ，满足： ，我们称其
为n项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的
“对称数列”．设数列 为 项的“对称数列”，其中 ， ， ， 是公差为 的等差数列，数
列 的最小项等于 ，记数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值为 ．
64．（2023·上海·高三上海中学校考期中）给定一张 的数表（如下表），
0 1 2 3 n
统计 ， ， ， 中各数出现次数．若对任意 ，1， ，n，均满足数k恰好出现 次，则称之为阶自指表，举例来说，下表是一张4阶自指表．
0 1 2 3
1 2 1 0
对于如下的一张7阶自指表．记 ，N的所有可能值为
．
0 1 2 3 4 5 6
65．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）对于数列 ，由 作通项得到的数列
，称 为数列 的差分数列，已知数列 为数列 的差分数列，且 是以1为首项以2为
公差的等差数列，则 ．
66．（2023·广东·高三校联考阶段练习） ， 为一个有序实数
组， 表示把A中每个-1都变为 ，0，每个0都变为 ，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实
数组，例如： ，则 ．定义 ， ，若 ，
中有 项为1，则 的前 项和为 ．
67．（2023·山东·高三校联考阶段练习）若项数为 的数列 满足： 我们称其为
项的“对称数列”．例如：数列 为 项的“对称数列”；数列 为 项的“对称数列”．设
数列 为 项的“对称数列”，其中 是公差为 的等差数列，数列 的最大项等于 ，
记数列 的前 项和为 ，若 ，则 ．09 数列的递推问题
68．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按
下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．规则：1．每次只能移动1个金属片；2．较大的金
属片不能放在较小的金属片上面．请你试着推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动
次？
69．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）数学的发展推动着科技的进步， 技术的蓬勃发展得
益于线性代数､群论等数学知识的应用.目前某区域市场中 智能终端产品的制造仅能由 公司和 公司提
供技术支持.据市场调研预测， 商用初期，该区域市场中采用 公司与 公司技术的智能终端产品分别
占比 及 .假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，
上一周期采用 公司技术的产品中有 转而采用 公司技术，采用 公司技术的仅有 转而采用 公
司技术.设第 次技术更新后，该区域市场中采用 公司与 公司技术的智能终端产品占比分别为 及 ，
不考虑其他因素的影响.
(1)用 表示 ，并求实数 ，使 是等比数列.
(2)经过若干次技术更新后该区域市场采用 公司技术的智能终端产品占比能否超过 ？若能，至少需要
经过几次技术更新？若不能，请说明理由.（参考数据： ）
70．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲抛
出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第 （ ）次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为 ，在丙手中的方法数为 .
(1)求证：数列 为等比数列，并求出 的通项；
(2)求证：当n为偶数时， .
71．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）如图，已知曲线 及曲线 ．
从 上的点 作直线平行于 轴，交曲线 于点 ，再从点 作直线平行于 轴，交曲线 于
点 ，点 的横坐标构成数列 ．
(1)试求 与 之间的关系，并证明： ；
(2)若 ，求 的通项公式．
