文档内容
专题 23 导数及其应用大题综合
考点 十年考情（2015-2024） 命题趋势
2024·全国新Ⅱ卷、2024·天津卷、2023·北京卷
2023·全国乙卷、2023·全国乙卷、2023·天津卷
1.能理解导数的几何意义并会
2022·天津卷、2022·全国甲卷、2022·全国乙卷
求切线方程，会求参数
2022·北京卷、2021·天津卷、2021·北京卷
2.理解函数的单调性与导数之
考点1 切线方程 2021·全国乙卷、2020·北京卷、2020·全国卷
间的关系，能利用导数研究函
及其应用 2019·北京卷、2018·北京卷、2018·北京卷
数的单调性，并会求单调区
（10年10考） 2018·全国卷、2018·天津卷、2017·天津卷 间，能够利用导数解决与函数
2017·山东卷、2017·北京卷、2016·北京卷 单调性的综合问题，该内容是
2016·北京卷、2016·全国卷、2015·重庆卷 新高考卷的必考内容，近年来
2015·全国卷、2015·天津卷、2015·山东卷 导数和其他版块知识点关联密
2015·北京卷 集，是新高考备考的重要内
容。
考点2 具体函数
2024·北京卷、2023·全国甲卷、2023·全国甲卷 3.能够利用导数求函数的极大
及含参函数的单
2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷、2020·全国卷 值、极小值以及在给定闭区间
调性
2018·全国卷 上的最大值、最小值，体会导
（10年6考）
数与极大(小)值、最大(小)值的
2024·全国甲卷、2023·北京卷、2023·全国新Ⅰ卷
关系，该内容是新高考卷的必
2022·浙江卷、2022·北京卷、2021·全国新Ⅱ卷
考内容，会结合导数来判断或
2021·浙江卷、2021·全国甲卷、2021·全国乙卷
证明函数的单调性，从而求得
2021·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2020·全国卷
函数的极值或给定区间上的最
考点3 含参函数 2018·天津卷、2018·全国卷、2017·全国卷 值，热点内容，需综合复习
的单调性 2017·天津卷、2017·天津卷、2017·全国卷 4.能进行函数转化证明不等
（10年10考） 2017·全国卷、2016·山东卷、2016·四川卷 式，会函数中的恒成立问题与
2016·全国卷、2016·北京卷、2016·山东卷 有解问题，会求零点及其应
2016·四川卷、2016·全国卷、2015·江苏卷 用，会隐零点、双变量、极偏
2015·重庆卷、2015·天津卷、2015·四川卷 等内容的学习，都可能成为高
考命题方向
2015·四川卷、2015·北京卷
考点4 极值最值 2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国甲卷、2023·北京卷2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙
卷
2022·全国新Ⅰ卷、2021·北京卷、2021·天津卷
2021·全国乙卷、2020·北京卷、2019·全国卷
2019·江苏卷、2018·北京卷、2018·北京卷
及其应用
2018·全国卷、2018·全国卷、2017·山东卷
（10年10考）
2017·江苏卷、2017·全国卷、2017·山东卷
2017·北京卷、2016·山东卷、2016·天津卷
2016·全国卷、2015·重庆卷、2015·重庆卷
2015·山东卷、2015·湖南卷、2015·安徽卷
2015·山东卷、2015·全国卷
2024·全国甲卷、2024·全国新Ⅰ卷、2023·天津卷
2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国乙卷、2019·北京卷
考点5 证明不等
2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷
式
2017·全国卷、2016·浙江卷、2016·全国卷
（10年9考）
2015·全国卷、2015·湖北卷、2015·福建卷
2015·北京卷
2024·天津卷、2024·全国甲卷、2023·全国甲卷
2023·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2022·全国甲
考点6 恒成立与 卷
能成立（有解） 2021·天津卷、2020·山东卷、2020·全国卷
问题 2019·全国卷、2017·天津卷、2017·全国卷
（10年9考） 2016·江苏卷、2016·全国卷、2016·四川卷
2015·四川卷、2015·山东卷、2015·湖南卷
2015·湖南卷、2015·福建卷、2015·北京卷
2022·全国乙卷、2022·全国乙卷、2021·全国新Ⅱ
卷
2020·浙江卷、2020·全国卷、2020·全国卷
考点7 零点问题 2020·全国卷、2019·全国卷、2019·全国卷
（10年8考） 2018·浙江卷、2018·全国卷、2017·全国卷
2016·江苏卷、2016·北京卷、2016·全国卷
2015·江苏卷、2015·全国卷、2015·全国卷
2015·陕西卷、2015·北京卷
考点8 方程的根 2022·浙江卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·浙江卷
（10年4考） 2021·全国甲卷、2019·全国卷、2018·江苏卷
考点09 双变量 2024·天津卷、2022·浙江卷、2022·北京卷问题 2021·浙江卷、2020·天津卷、2018·全国卷
（10年6考） 2015·湖北卷
考点10 隐零点
2023·全国甲卷、2017·全国卷
问题
2016·全国卷、2015·全国卷
（10年4考）
考点11极值点
2022·全国甲卷、2019·天津卷
偏移问题
2016·全国卷、2015·天津卷
（10年4考）
考点12 导数与
其他知识点联动 2024·北京卷、2023·全国新Ⅰ卷
问题 2021·全国新Ⅱ卷、2021·全国乙卷
（10年4考）
考点01 切线方程及其应用
1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
2．（2024·天津·高考真题）设函数 ．
(1)求 图象上点 处的切线方程；
3．（2023·北京·高考真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
(1)求 的值；
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
6．（2023·天津·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线斜率；
7．（2022·天津·高考真题）已知 ，函数(1)求函数 在 处的切线方程；
8．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数 ，曲线 在点 处的切
线也是曲线 的切线．
(1)若 ，求a；
9．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
10．（2022·北京·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
11．（2021·天津·高考真题）已知 ，函数 ．
（I）求曲线 在点 处的切线方程：
12．（2021·北京·高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
13．（2021·全国乙卷·高考真题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标．
14．（2020·北京·高考真题）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 的斜率等于 的切线方程；
15．（2020·全国·高考真题）设函数 ，曲线 在点( ，f( ))处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
16．（2019·北京·高考真题）已知函数 .
（Ⅰ）求曲线 的斜率为1的切线方程；
17．（2018·北京·高考真题）设函数 =[ ] ．
（1）若曲线 在点（1， ）处的切线与 轴平行，求 ；
18．（2018·北京·高考真题）设函数 .
（Ⅰ）若曲线 在点 处的切线斜率为0，求a；
19．（2018·全国·高考真题）已知函数 ．（1）求曲线 在点 处的切线方程；
20．（2018·天津·高考真题）已知函数 ， ，其中a>1.
（I）求函数 的单调区间；
（II）若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，证明：
；
（III）证明：当 时，存在直线l，使l是曲线 的切线，也是曲线 的切线.
21．（2017·天津·高考真题）设 ， .已知函数 ， .
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）已知函数 和 的图象在公共点（x ，y ）处有相同的切线，
0 0
（i）求证： 在 处的导数等于0；
（ii）若关于x的不等式 在区间 上恒成立，求b的取值范围.
22．（2017·山东·高考真题）已知函数 .
(I)当a=2时,求曲线 在点 处的切线方程；
23．（2017·北京·高考真题）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
24．（2016·北京·高考真题）设函数
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
25．（2016·北京·高考真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
，
（1）求 ， 的值；
26．（2016·全国·高考真题）已知函数 .
（I）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
27．（2015·重庆·高考真题）设函数
（1）若 在 处取得极值，确定 的值，并求此时曲线 在点 处的切线方程；
28．（2015·全国·高考真题）已知函数 ， ．
（1）当 为何值时， 轴为曲线 的切线；29．（2015·天津·高考真题）已知函数 ，其中 .
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）设曲线 与 轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为 ,求证：对于任意的正
实数 ，都有 ；
30．（2015·山东·高考真题）设函数 . 已知曲线 在点 处
的切线与直线 平行.
（Ⅰ）求 的值；
31．（2015·北京·高考真题）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
考点02 具体函数的单调性
1．（2024·北京·高考真题）设函数 ，直线 是曲线 在点
处的切线．
(1)当 时，求 的单调区间.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
(1)当 时，讨论 的单调性；
4．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
5．（2021·全国甲卷·高考真题）已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
6．（2020·全国·高考真题）已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
7．（2018·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求 的单调区间；考点03 含参函数的单调性
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
2．（2023·北京·高考真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求 的极值点个数．
3．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
4．（2022·浙江·高考真题）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
5．（2022·北京·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
6．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
7．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且 ，函数
（1）求函数 的单调区间；
8．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
9．（2021·全国乙卷·高考真题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
10．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
11．（2020·全国·高考真题）已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；（2）设a>0时，讨论函数g（x）= 的单调性．
12．（2020·全国·高考真题）已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
13．（2018·天津·高考真题）已知函数 ， ，其中a>1.
（I）求函数 的单调区间；
14．（2018·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
15．（2017·全国·高考真题）已知函数
（1）讨论 的单调性；
16．（2017·天津·高考真题）设 ， .已知函数 ， .
（Ⅰ）求 的单调区间；
17．（2017·天津·高考真题）设 ，已知定义在R上的函数 在区间 内
有一个零点 ， 为 的导函数.
（Ⅰ）求 的单调区间；
18．（2017·全国·高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
19．（2017·全国·高考真题）设函数 .
（I）讨论函数 的单调性；
20．（2016·山东·高考真题）设f(x)=xln x–ax2+(2a–1)x，a R.
（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；
21．（2016·四川·高考真题）设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.
（I）讨论f(x)的单调性；
22．（2016·全国·高考真题）已知函数 .
（Ⅰ）讨论 的单调性；
23．（2016·北京·高考真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
，
（1）求 ， 的值；
（2）求 的单调区间.24．（2016·山东·高考真题）已知 ．
（Ⅰ）讨论 的单调性；
25．（2016·四川·高考真题）设函数f(x)=ax2–a–lnx，g(x)= ，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.
（1）讨论f(x) 的单调性；
26．（2016·全国·高考真题）设函数 ．
（Ⅰ）讨论 的单调性；
27．（2015·江苏·高考真题）已知函数 .
（1）试讨论 的单调性；
28．（2015·重庆·高考真题）设函数
（1）若 在 处取得极值，确定 的值，并求此时曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 上为减函数，求 的取值范围．
29．（2015·天津·高考真题）已知函数 ，其中 .
（Ⅰ）讨论 的单调性；
30．（2015·四川·高考真题）已知函数f（x）＝－2xlnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.
（Ⅰ）设g（x）为f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；
31．（2015·四川·高考真题）已知函数 ，其中 .
（1）设 是 的导函数，讨论 的单调性；
32．（2015·北京·高考真题）设函数 ， ．
（1）求 的单调区间和极值；
考点04 极值最值及其应用
1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， ，求 的取值范围．3．（2023·北京·高考真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求 的极值点个数．
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若 在 存在极值，求a的取值范围.
5．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．
6．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
7．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．
8．（2021·北京·高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．
9．（2021·天津·高考真题）已知 ，函数 ．
（I）求曲线 在点 处的切线方程：
（II）证明 存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．
10．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数 ，已知 是函数 的极值点．
（1）求a；（2）设函数 ．证明: ．
11．（2020·北京·高考真题）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 的斜率等于 的切线方程；
（Ⅱ）设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最小值．
12．（2019·全国·高考真题）已知函数 .证明：
（1） 存在唯一的极值点；
（2） 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
13．（2019·江苏·高考真题）设函数 ， 为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和 的零点均在集合 中，求f（x）的极小值；
（3）若 ，且f（x）的极大值为M，求证:M≤ ．
14．（2018·北京·高考真题）设函数 =[ ] ．
（1）若曲线 在点（1， ）处的切线与 轴平行，求 ；
（2）若 在 处取得极小值，求 的取值范围．
15．（2018·北京·高考真题）设函数 .
（Ⅰ）若曲线 在点 处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若 在 处取得极小值，求a的取值范围.
16．（2018·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ；
（2）若 是 的极大值点，求 ．
17．（2018·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）设 是 的极值点．求 ，并求 的单调区间；
（2）证明：当 时， ．
18．（2017·山东·高考真题）已知函数 .
(I)当a=2时,求曲线 在点 处的切线方程；(II)设函数 ,讨论 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
19．（2017·江苏·高考真题）已知函数 有极值，且导函数 的极值点
是 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：b²>3a;
（3）若 ， 这两个函数的所有极值之和不小于 ，求a的取值范围．
20．（2017·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n， ，求m的最小值．
21．（2017·山东·高考真题）已知函数 ， ，其中
是自然对数的底数.
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）令 ，讨论 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
22．（2017·北京·高考真题）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最大值和最小值．
23．（2016·山东·高考真题）设f(x)=xln x–ax2+(2a–1)x，a R.
（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；
（Ⅱ）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.
24．（2016·天津·高考真题）设函数 x∈R，其中a,b∈R.
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）存在极值点x ，且f（x ）= f（x ），其中x ≠x ，求证：x +2x =3；
0 1 0 1 0 1 0
（Ⅲ）设a＞0,函数g（x）= |f（x）|,求证：g（x）在区间[0,2]上的最大值不小于 .
25．（2016·全国·高考真题）(1)讨论函数 的单调性，并证明当 >0时，
(2)证明：当 时，函数 有最小值.设g（x）的最小值为 ，求函数
的值域.26．（2015·重庆·高考真题）已知函数 在 处取得极值．
确定a的值；
若 ，讨论 的单调性．
27．（2015·重庆·高考真题）设函数
（1）若 在 处取得极值，确定 的值，并求此时曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 上为减函数，求 的取值范围．
28．（2015·山东·高考真题）设函数 ，其中 .
（Ⅰ）讨论函数 极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若 成立，求 的取值范围.
29．（2015·湖南·高考真题）已知 ，函数 ，记 为 的从小到大的第
个极值点，证明：
（1）数列 是等比数列
（2）若 ，则对一切 ， 恒成立.
30．（2015·安徽·高考真题）设函数 .
（Ⅰ）讨论函数 在 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
（Ⅱ）记 ，求函数 在 上的最大值D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取 ，求 满足 时的最大值.
31．（2015·山东·高考真题）设函数 . 已知曲线 在点 处
的切线与直线 平行.
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）是否存在自然数 ，使得方程 在 内存在唯一的根？如果存在，求出 ；如果不存
在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数 （ 表示， 中的较小值），求 的最大值.
32．（2015·全国·高考真题）已知 .(1)讨论 的单调性；
(2)当 有最大值，且最大值大于 时，求 的取值范围.
考点05 证明不等式等证明问题
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)当 时，证明：当 时， 恒成立．
2．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数
(1)若 ，且 ，求 的最小值；
(2)证明：曲线 是中心对称图形；
(3)若 当且仅当 ，求 的取值范围．
3．（2023·天津·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线斜率；
(2)求证：当 时， ；
(3)证明： ．
4．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
5．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数 ，已知 是函数 的极值点．
（1）求a；
（2）设函数 ．证明: ．
6．（2019·北京·高考真题）已知函数 .
（Ⅰ）求曲线 的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当 时，求证： ；（Ⅲ）设 ，记 在区间 上的最大值为M（a），当M（a）最小时，
求a的值．
7．（2018·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ；
（2）若 是 的极大值点，求 ．
8．（2018·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）证明：当 时， ．
9．（2018·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）设 是 的极值点．求 ，并求 的单调区间；
（2）证明：当 时， ．
10．（2017·全国·高考真题）已知函数 且 .
（1）求a；
（2）证明： 存在唯一的极大值点 ，且 .
11．（2016·浙江·高考真题）设函数 = ， ．证明：
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ．
12．（2016·全国·高考真题）设函数 ．
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）证明当 时， ；
（Ⅲ）设 ，证明当 时， .
13．（2015·全国·高考真题）设函数 .
（Ⅰ）讨论 的导函数 的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当 时 .
14．（2015·湖北·高考真题）设函数 ， 的定义域均为 ，且 是奇函数， 是偶函数，，其中e为自然对数的底数．
(1)求 ， 的解析式，并证明：当 时， ， ；
(2)设 ， ，证明：当 时， ．
15．（2015·福建·高考真题）已知函数 ，
（Ⅰ）证明：当 ；
（Ⅱ）证明：当 时，存在 ,使得对
（Ⅲ）确定k的所以可能取值，使得存在 ，对任意的 恒有 ．
16．（2015·北京·高考真题）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当 时， ；
（Ⅲ）设实数 使得 对 恒成立，求 的最大值．
考点06 恒成立与能成立（有解）问题
1．（2024·天津·高考真题）设函数 ．
(1)求 图象上点 处的切线方程；
(2)若 在 时恒成立，求 的值；
(3)若 ，证明 ．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， ，求 的取值范围．
3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．
4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
5．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
6．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数 ．
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
7．（2021·天津·高考真题）已知 ，函数 ．
（I）求曲线 在点 处的切线方程：
（II）证明 存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．
8．（2020·山东·高考真题）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式 恒成立，求a的取值范围．
9．（2020·全国·高考真题）已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
10．（2019·全国·高考真题）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
11．（2017·天津·高考真题）设 ， .已知函数 ， .
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）已知函数 和 的图象在公共点（x ，y ）处有相同的切线，
0 0
（i）求证： 在 处的导数等于0；
（ii）若关于x的不等式 在区间 上恒成立，求b的取值范围.
12．（2017·全国·高考真题）设函数 .（I）讨论函数 的单调性；
（II）当 时， ，求实数 的取值范围.
13．（2016·江苏·高考真题）已知函数 .
（1）设 .
①求方程 =2的根；
②若对任意 ，不等式 恒成立，求实数m的最大值；
（2）若 ，函数 有且只有1个零点，求ab的值.
14．（2016·全国·高考真题）已知函数 .
（I）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（Ⅱ）若当 时， ，求 的取值范围.
15．（2016·四川·高考真题）设函数f(x)=ax2–a–lnx，g(x)= ，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.
（1）讨论f(x) 的单调性；
（2）证明：当x＞1时，g(x)＞0；
（3）如果f(x)＞g(x) 在区间（1，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围.
16．（2015·四川·高考真题）已知函数 ，其中 .
（1）设 是 的导函数，讨论 的单调性；
（2）证明：存在 ，使得 在区间 内恒成立，且 在 内有唯一解.
17．（2015·山东·高考真题）设函数 ，其中 .
（Ⅰ）讨论函数 极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若 成立，求 的取值范围.
18．（2015·湖南·高考真题）函数 ，记 为 的从小到大的第 个
极值点．
（Ⅰ）证明：数列 是等比数列；
（Ⅱ）若对一切 恒成立，求 的取值范围．
19．（2015·湖南·高考真题）已知 ，函数 ，记 为 的从小到大的第
个极值点，证明：
（1）数列 是等比数列（2）若 ，则对一切 ， 恒成立.
20．（2015·福建·高考真题）已知函数 ，
（Ⅰ）证明：当 ；
（Ⅱ）证明：当 时，存在 ,使得对
（Ⅲ）确定k的所以可能取值，使得存在 ，对任意的 恒有 ．
21．（2015·北京·高考真题）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当 时， ；
（Ⅲ）设实数 使得 对 恒成立，求 的最大值．
考点07 零点问题
1．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 各恰有一个零点，求a的取值范围．
3．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 只有一个零点
① ；
② ．
4．（2020·浙江·高考真题）已知 ，函数 ，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数 在 上有唯一零点；（Ⅱ）记x 为函数 在 上的零点，证明：
0
（ⅰ） ；
（ⅱ） ．
5．（2020·全国·高考真题）设函数 ，曲线 在点( ，f( ))处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若 有一个绝对值不大于1的零点，证明： 所有零点的绝对值都不大于1．
6．（2020·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有三个零点，求 的取值范围．
7．（2020·全国·高考真题）已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
8．（2019·全国·高考真题）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
9．（2019·全国·高考真题）已知函数 ， 为 的导数．证明：
（1） 在区间 存在唯一极大值点；
（2） 有且仅有2个零点．
10．（2018·浙江·高考真题）已知函数 ．
（1）若 在 处导数相等，证明： ；
（2）若 ，证明：对于任意 ，直线 与曲线 有唯一公共点．
11．（2018·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）证明： 只有一个零点．
12．（2017·全国·高考真题）已知函数
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
13．（2016·江苏·高考真题）已知函数 .（1）设 .
①求方程 =2的根；
②若对任意 ，不等式 恒成立，求实数m的最大值；
（2）若 ，函数 有且只有1个零点，求ab的值.
14．（2016·北京·高考真题）设函数
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）设 ，若函数 有三个不同零点，求c的取值范围；
（Ⅲ）求证： 是 有三个不同零点的必要而不充分条件.
15．（2016·全国·高考真题）已知函数 .
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）若 有两个零点，求 的取值范围.
16．（2015·江苏·高考真题）已知函数 .
（1）试讨论 的单调性；
（2）若 （实数c是a与无关的常数），当函数 有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是
，求c的值.
17．（2015·全国·高考真题）设函数 .
（Ⅰ）讨论 的导函数 的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当 时 .
18．（2015·全国·高考真题）已知函数 ， ．
（1）当 为何值时， 轴为曲线 的切线；
（2）用 表示 中的最小值，设函数 ，讨论 零点的个数．
19．（2015·陕西·高考真题）设
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）证明： 在 内有且仅有一个零点（记为 ），且 .
20．（2015·北京·高考真题）设函数 ， ．（1）求 的单调区间和极值；
（2）证明：若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点．
考点08 方程的根
1．（2022·浙江·高考真题）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 ．证
明：
（ⅰ）若 ，则 ；
（ⅱ）若 ，则 ．
（注： 是自然对数的底数）
2．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．
3．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且 ，函数
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 .
(注： 是自然对数的底数)
4．（2021·全国甲卷·高考真题）已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．
5．（2019·全国·高考真题）已知函数 .证明：
（1） 存在唯一的极值点；
（2） 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
6．（2018·江苏·高考真题）记 分别为函数 的导函数．若存在 ，满足且 ，则称 为函数 与 的一个“ 点”．
（1）证明：函数 与 不存在“ 点”；
（2）若函数 与 存在“ 点”，求实数 的值；
（3）已知函数 ， ．对任意 ，判断是否存在 ，使函数 与 在区
间 内存在“ 点”，并说明理由．
考点09 双变量问题
1．（2024·天津·高考真题）设函数 ．
(1)求 图象上点 处的切线方程；
(2)若 在 时恒成立，求 的值；
(3)若 ，证明 ．
2．（2022·浙江·高考真题）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 ．证
明：
（ⅰ）若 ，则 ；
（ⅱ）若 ，则 ．
（注： 是自然对数的底数）
3．（2022·北京·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．
4．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且 ，函数
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围；（3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 .
(注： 是自然对数的底数)
5．（2020·天津·高考真题）已知函数 ， 为 的导函数．
（Ⅰ）当 时，
（i）求曲线 在点 处的切线方程；
（ii）求函数 的单调区间和极值；
（Ⅱ）当 时，求证：对任意的 ，且 ，有 ．
6．（2018·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ，证明： ．
7．（2015·湖北·高考真题）设函数 ， 的定义域均为 ，且 是奇函数， 是偶函数，
，其中e为自然对数的底数．
(1)求 ， 的解析式，并证明：当 时， ， ；
(2)设 ， ，证明：当 时， ．
考点10 隐零点问题
1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
2．（2017·全国·高考真题）已知函数 且 .
（1）求a；
（2）证明： 存在唯一的极大值点 ，且 .
3．（2016·全国·高考真题）(1)讨论函数 的单调性，并证明当 >0时，
(2)证明：当 时，函数 有最小值.设g（x）的最小值为 ，求函数
的值域.4．（2015·全国·高考真题）设函数 .
（Ⅰ）讨论 的导函数 的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当 时 .
考点11 极值点偏移问题
1．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数 ．
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
2．（2019·天津·高考真题）设函数 ，其中 .
（Ⅰ）若 ，讨论 的单调性；
（Ⅱ）若 ，
（i）证明 恰有两个零点
（ii）设 为 的极值点， 为 的零点，且 ，证明 .
3．（2016·全国·高考真题）已知函数 有两个零点.
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x ，x 是 的两个零点，证明： .
1 2
4．（2015·天津·高考真题）已知函数
（Ⅰ）求 的单调区间;
（Ⅱ）设曲线 与 轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为 ,求证:对于任意的正实
数 ,都有 ;
（Ⅲ）若方程 有两个正实数根 且 ,求证: .
考点12 导数与其他知识点联动问题
1．（2024·北京·高考真题）设函数 ，直线 是曲线 在点处的切线．
(1)当 时，求 的单调区间.
(2)求证： 不经过点 .
(3)当 时，设点 ， ， ， 为 与 轴的交点， 与 分别表示
与 的面积．是否存在点 使得 成立？若存在，这样的点 有几个？
（参考数据： ， ， ）
2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，
记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ．
3．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为
第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独
立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ．
（1）已知 ，求 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：
的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
4．（2021·全国乙卷·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆
上点的距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
