文档内容
专题 16 导数及其应用小题综合
考点 十年考情（2015-2024） 命题趋势
考点1 导数的基本计算
2020·全国卷、2018·天津卷
及其应用
2016·天津卷、2015·天津卷
（10年4考）
1.掌握基本函数的导数求
2024·全国甲卷、2023·全国甲卷、2022·全国新Ⅱ卷
解，会导数的基本计算，会
2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国甲卷、2021·全国新Ⅱ 求切线方程，会公切线的拓
卷 展，切线内容是新高考的命
2021·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2020·全国卷 题热点，要熟练掌握
考点2 求切线方程及其
2020·全国卷、2019·江苏卷、2019·全国卷
应用
2019·天津卷、2019·全国卷、2019·全国卷 2.会利用导数判断函数的单
（10年10考）
2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷 调性及会求极值最值，会根
2018·全国卷、2017·全国卷、2016·全国卷 据极值点拓展求参数及其他
内容，极值点也是新高考的
2016·全国卷、2015·全国卷、2015·陕西卷
命题热点，要熟练掌握
2015·陕西卷
考点3 公切线问题
2024·全国新Ⅰ卷、2016·全国卷、2015·全国卷 3.会用导数研究函数的零点
（10年3考）
和方程的根，会拓展函数零
2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙
点的应用，会导数与函数性
考点4 利用导数判断函 卷
质的结合，该内容也是新高
数单调性及其应用 2019·北京卷、2017·山东卷、2016·全国卷
考的命题热点，要熟练掌握
（10年6考） 2015·陕西卷、2015·福建卷、2015·全国卷
4. 会构建函数利用导数判
考点5 求极值与最值及 2024·上海卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷
断函数单调性比较函数值大
其应用 2022·全国甲卷、2021·全国新Ⅰ卷、2018·全国卷 小关系，该内容也是新高考
（10年5考） 2018·江苏卷 的命题热点，要熟练掌握
考点6 利用导数研究函
2022·全国新Ⅰ卷、2022·全国乙卷、2021·全国乙
数的极值点及其应用 5. 要会导数及其性质的综
卷、2017·全国卷、2016·四川卷
（10年5考） 合应用，加强复习
考点7 导数与函数的基 2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·全国新
本性质结合问题 Ⅰ卷（10年6考） 2021·全国新Ⅱ卷、2017·山东卷、2015·四川卷
考点8 利用导数研究函
2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷、2021·北京卷、
数的零点及其应用
2018·江苏卷、2017·全国卷、2015·陕西卷
（10年6考）
考点9 利用导数研究方
2024·全国甲卷、2021·北京卷、2015·安徽卷
程的根及其应用
2015·全国卷、2015·安徽卷
（10年3考）
考点10 构建函数利用
导数判断函数单调性比
2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷
较函数值大小关系
（10年3考）
考点01 导数的基本计算及其应用
1．（2020·全国·高考真题）设函数 ．若 ，则a= ．
【答案】1
【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值
【详解】由函数的解析式可得： ，
则： ，据此可得： ，
整理可得： ，解得： .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.
2．（2018·天津·高考真题）已知函数f(x)=exlnx， 为f(x)的导函数，则 的值为 ．
【答案】e
【分析】首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由函数的解析式可得： ，
则 ，
即 的值为e，故答案为 .
点睛：本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．（2016·天津·高考真题）已知函数 为 的导函数，则 的值为 .
【答案】3
【详解】试题分析：
【考点】导数
【名师点睛】求函数的导数的方法：
（1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
（2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导；
（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；
（4）复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导；
（5）不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．
4．（2015·天津·高考真题）已知函数 ，其中 为实数， 为 的导函数，
若 ，则 的值为 ．
【答案】3
【详解】试题分析： ，所以 ．
考点：导数的运算．
【名师点睛】(1)在解答过程中常见的错误有：
①商的求导中，符号判定错误．
②不能正确运用求导公式和求导法则．
(2)求函数的导数应注意：
①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量．
②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．
③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．
考点02 求切线方程及其应用
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数 ，则曲线 在点 处的切线与两坐标轴
所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点 处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得
其面积.【详解】 ，
则 ，
即该切线方程为 ，即 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积 .
故选：A.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方
程即可求解.
【详解】设曲线 在点 处的切线方程为 ，
因为 ，
所以 ，
所以
所以
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
故选：C
3．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为 ，
．
【答案】
【分析】分 和 两种情况，当 时设切点为 ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 ，即可求出切线方程，当 时同理可得；
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分 和 两种情况，当 时设切点为 ，求出函数 导函数，即可求出切线的斜率，从而
表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 ，即可求出切线方程，当 时同理可得；
解： 因为 ，
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
故答案为： ；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
因为 是偶函数，图象为：
所以当 时的切线，只需找到 关于y轴的对称直线 即可.
[方法三]：
因为 ，当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
故答案为： ； .
4．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
．
【答案】
【分析】设出切点横坐标 ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于 的方程，
根据此方程应有两个不同的实数根，求得 的取值范围.
【详解】∵ ，∴ ，
设切点为 ,则 ,切线斜率 ,
切线方程为： ,
∵切线过原点，∴ ,
整理得： ,
∵切线有两条，∴ ,解得 或 ,
∴ 的取值范围是 ,
故答案为：
5．（2021·全国甲卷·高考真题）曲线 在点 处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当 时， ，故点在曲线上．
求导得： ，所以 ．
故切线方程为 ．故答案为： ．
6．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数 ，函数 的图象在点
和点 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合导数的几何意义可得 ，结合直线方程及两点间距离公式可得 ，
，化简即可得解.
【详解】由题意， ，则 ，
所以点 和点 ， ,
所以 ，
所以 ，
所以 ，
同理 ,
所以 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件 ，消去一个变量后，运算即可得解.
7．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定
结果；
解法二：画出曲线 的图象，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
由题意可知，点 在直线 上，可得 ，令 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，
由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，
当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以
作出两条切线.由此可知 .
故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性
进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
8．（2020·全国·高考真题）若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义设出直线 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，
函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
由于直线 与圆 相切，则 ，
两边平方并整理得 ，解得 ， （舍），
则直线 的方程为 ，即 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
9．（2020·全国·高考真题）函数 的图像在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求得函数 的导数 ，计算出 和 的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简
即可.
【详解】 ， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 .
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
10．（2020·全国·高考真题）曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 .
【答案】
【分析】设切线的切点坐标为 ，对函数求导，利用 ，求出 ，代入曲线方程求出 ，得到
切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】设切线的切点坐标为 ，
，所以切点坐标为 ，
所求的切线方程为 ，即 .
故答案为： .【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
11．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系 中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经
过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .
【答案】 .
【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.
【详解】设点 ，则 .又 ，
当 时， ，
点A在曲线 上的切线为 ，
即 ，
代入点 ，得 ，
即 ，
考查函数 ，当 时， ，当 时， ，
且 ，当 时， 单调递增，
注意到 ，故 存在唯一的实数根 ，此时 ，
故点 的坐标为 .
【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，
同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
12．（2019·全国·高考真题）已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得 ，将点的坐标代入直线方程，求得 ．
【详解】详解：
，
将 代入 得 ，故选D．
【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
13．（2019·天津·高考真题） 曲线 在点 处的切线方程为 .【答案】
【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程．
【详解】 ，
当 时其值为 ，
故所求的切线方程为 ，即 ．
【点睛】曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x，f(x))为切点的切线方程的求解步骤：
0 0
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x)；
0
③写出切线方程y－f(x)＝f′(x)(x－x)，并化简．
0 0 0
(2)如果已知点(x，y)不在曲线上，则设出切点(x，y)，解方程组 得切点(x，y)，进而确
1 1 0 0 0 0
定切线方程．
14．（2019·全国·高考真题）曲线 在点 处的切线方程为 ．
【答案】 .
【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线
方程
【详解】详解：
所以，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导
要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
15．（2019·全国·高考真题）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先判定点 是否为切点，再利用导数的几何意义求解.
【详解】当 时， ，即点 在曲线 上．
则 在点 处的切线方程为 ，即
．故选C．
【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，
若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．
16．（2018·全国·高考真题）设函数 ．若 为奇函数，则曲线 在点
处的切线方程为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得 ，进而得到 的解析式，再对 求导得出切线的
斜率 ，进而求得切线方程.
详解：因为函数 是奇函数，所以 ，解得 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
化简可得 ，故选D.
点睛：该题考查的是有关曲线 在某个点 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先
需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而
求得相应的参数值，之后利用求导公式求得 ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得
结果.
17．（2018·全国·高考真题）曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ．
【答案】
【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可．
【详解】解：
则
所以
故答案为-3.
【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题．
18．（2018·全国·高考真题）曲线 在点 处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】求导 ，可得斜率 ，进而得出切线的点斜式方程.
【详解】由 ，得 ，
则曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
则所求切线方程为 ，即 .【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的
点斜式方程；③化简整理.
19．（2018·全国·高考真题）曲线 在点 处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.
【详解】
【点睛】求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不
一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
20．（2017·全国·高考真题）曲线 在点（1，2）处的切线方程为 ．
【答案】
【详解】设 ，则 ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜
率，其求法为：设 是曲线 上的一点，则以 为切点的切线方程是
．若曲线 在点 处的切线平行于 轴（即导数不存在）
时，由切线定义知，切线方程为 ．
21．（2016·全国·高考真题）已知 为偶函数，当 时， ，则曲线 在点
处的切线方程是 .
【答案】
【详解】试题分析：当 时， ，则 ．又因为 为偶函数，所以
，所以 ，则 ，所以切线方程为 ，即 ．
【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义
【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当 时，函数 ，则当 时，求函数的解析式”．有
如下结论：若函数 为偶函数，则当 时，函数的解析式为 ；若 为奇函数，则函数的
解析式为 ．
22．（2016·全国·高考真题）已知 为偶函数，当 时， ，则曲线 在点
处的切线方程是 ．
【答案】
【详解】试题分析：当 时， ，则 ．又因为 为偶函数，所以，所以 ，则切线斜率为 ，所以切线方程为 ，
即 ．
【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义．
【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当 时，函数 ，则当 时，求函数的解析式”．有
如下结论：若函数 为偶函数，则当 时，函数的解析式为 ；若 为奇函数，则函数的
解析式为 ．
23．（2015·全国·高考真题）已知函数 的图像在点 的处的切线过点 ，则
.
【答案】1
【详解】试题分析：
.
考点：1、导数的几何意义；2、直线方程.
【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思
想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先求导可得
.
24．（2015·陕西·高考真题）设曲线 在点（0,1）处的切线与曲线 上点 处的切线垂直，则
的坐标为 ．
【答案】
【详解】设 .
对y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线 上点P处
的切线斜率为－1，由 ，得 ，则 ，所以P的坐标为(1，1)．
考点：导数的几何意义．
25．（2015·陕西·高考真题）函数 在其极值点处的切线方程为 .
【答案】
【详解】 ，令 ，此时函数 在其极值点处的切线方程为
考点：：导数的几何意义.
考点03 公切线问题
1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则
.
【答案】
【分析】先求出曲线 在 的切线方程，再设曲线 的切点为 ，
求出 ，利用公切线斜率相等求出 ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.
【详解】由 得 ， ，
故曲线 在 处的切线方程为 ；
由 得 ，
设切线与曲线 相切的切点为 ，
由两曲线有公切线得 ，解得 ，则切点为 ，
切线方程为 ，
根据两切线重合,所以 ，解得 .
故答案为：
2．（2016·全国·高考真题）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则
．
【答案】
【详解】试题分析：对函数 求导得 ，对 求导得 ，设直线 与
曲线 相切于点 ，与曲线 相切于点 ，则 ，
由点 在切线上得 ，由点 在切线上得 ，
这两条直线表示同一条直线，所以 ，解得
.【考点】导数的几何意义
【名师点睛】函数f （x）在点x 处的导数f ′（x ）的几何意义是曲线y＝f （x）在点P（x ，y ）处的切线
0 0 0 0
的斜率．相应地，切线方程为y−y ＝f ′（x ）（x−x ）．
0 0 0
注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．
3．（2015·全国·高考真题）已知曲线 在点 处的切线与曲线 相切,则a=
．
【答案】8
【详解】试题分析：函数 在 处的导数为 ，所以切线方程为 ；
曲线 的导函数的为 ，因 与该曲线相切，可令
，当 时，曲线为直线，与直线 平行，不符合题意；当
时，代入曲线方程可求得切点 ，代入切线方程即可求得 .
考点：导函数的运用.
【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点
斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于
切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代
入切线（曲线）方程便可求得参数．
考点04 利用导数判断函数单调性及其应用
1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数 ，则（ ）
A． 是 的极小值点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】ACD
【分析】求出函数 的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数 在
上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
【详解】对A，因为函数 的定义域为R，而 ，
易知当 时， ，当 或 时，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故 是函数 的极小
值点，正确；
对B，当 时， ，所以 ，而由上可知，函数 在 上单调递增，所以 ，错误；
对C，当 时， ，而由上可知，函数 在 上单调递减，
所以 ，即 ，正确；
对D，当 时， ，
所以 ，正确；
故选：ACD.
2．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小值为
（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【分析】根据 在 上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知， 在 上恒成立，显然 ，所以 ，
设 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
，故 ，即 ，即a的最小值为 ．
故选：C．
3．（2023·全国乙卷·高考真题）设 ，若函数 在 上单调递增，则a的取值
范围是 .
【答案】
【分析】原问题等价于 恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可
得 ，由右侧函数的单调性可得实数 的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数
的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得 在区间 上恒成立，
则 ，即 在区间 上恒成立，
故 ，而 ，故 ，故 即 ，故 ，
结合题意可得实数 的取值范围是 .
故答案为： .
4．（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a= ；若f
（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 ．
【答案】 -1; .
【分析】首先由奇函数的定义得到关于 的恒等式，据此可得 的值，然后利用导函数的解析式可得a的
取值范围.
【详解】若函数 为奇函数,则 ，
对任意的 恒成立.
若函数 是 上的增函数,则 恒成立, .
即实数 的取值范围是
【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,
转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.
5．（2017·山东·高考真题）若函数 (e=2.71828 ,是自然对数的底数)在 的定义域上单调递增,则
称函数 具有M性质,下列函数中具有M性质的是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于A,令 , ,则 在R上单调递增,故
具有M性质,故选A.
【名师点睛】(1)确定函数单调区间的步骤：① 确定函数f(x)的定义域；②求f′(x)；③解不等式f′(x)>0,解集
在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．
(2)根据函数单调性确定参数范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)
是相应单调区间的子集．②转化为不等式的恒成立问题,即转化为“若函数单调递增,则f′(x)≥0；若函数单调
递减,则f′(x)≤0”来求解．
6．（2016·全国·高考真题）若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析： 对 恒成立，
故 ，即 恒成立，
即 对 恒成立，构造 ，开口向下的二次函数 的最小值的可
能值为端点值，故只需保证 ，解得 ．故选C．
【考点】三角变换及导数的应用
【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不
等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注
意正、余弦函数的有界性.
7．（2015·陕西·高考真题）设 ，则
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数
【答案】B
【详解】试题分析：函数 的定义域为 ，关于原点对称，
，因此函数 是奇函数， 不恒等于0，函数 是增函数，故答案为
B．
考点：函数的奇偶性和单调性．
8．（2015·福建·高考真题）若定义在 上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，
则下列结论中一定错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：令 ，则 ，因此，所以选C.
考点：利用导数研究不等式
【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.
构造辅助函数常根据导数法则进行：如 构造 ， 构造 ，
构造 ， 构造 等
9．（2015·全国·高考真题）设函数 是奇函数 （ ）的导函数， ，当 时，
，则使得 成立的 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】构造新函数 , ，当 时 .
所以在 上 单减，又 ，即 .
所以 可得 ,此时 ，
又 为奇函数，所以 在 上的解集为： .
故选A.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如 ，想到构造
.一般：（1）条件含有 ，就构造 ,（2）若 ，就构造
，（3） ，就构造 ，（4） 就构造 ，等
便于给出导数时联想构造函数.
考点05 求极值与最值及其应用
1．（2024·上海·高考真题）已知函数 的定义域为R，定义集合
，在使得 的所有 中，下列成立的是（ ）
A．存在 是偶函数 B．存在 在 处取最大值
C．存在 是严格增函数 D．存在 在 处取到极小值【答案】B
【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数
即可判断.
【详解】对于A，若存在 是偶函数, 取 ,
则对于任意 , 而 , 矛盾, 故 A 错误；
对于B，可构造函数 满足集合 ，
当 时，则 ，当 时， ，当 时， ，
则该函数 的最大值是 ，则B正确；
对C，假设存在 ，使得 严格递增，则 ，与已知 矛盾，则C错误；
对D，假设存在 ，使得 在 处取极小值，则在 的左侧附近存在 ，使得 ，
这与已知集合 的定义矛盾，故D错误；
故选：B.
2．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）若函数 既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】求出函数 的导数 ，由已知可得 在 上有两个变号零点，转化为一元二次方程
有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数 的定义域为 ，求导得 ，
因为函数 既有极大值也有极小值，则函数 在 上有两个变号零点，而 ，
因此方程 有两个不等的正根 ，
于是 ，即有 ， ， ，显然 ，即 ，A错误，BCD正确.
故选：BCD
3．（2022·全国乙卷·高考真题）函数 在区间 的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数求得 的单调区间，从而判断出 在区间 上的最小值和最大值.
【详解】 ，
所以 在区间 和 上 ，即 单调递增；
在区间 上 ，即 单调递减，
又 ， ， ，
所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
故选：D
4．（2022·全国甲卷·高考真题）当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知 ， 即可解得 ，再根据 即可解出．
【详解】因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ， ，而 ，所以
，即 ，所以 ，因此函数 在 上递增，在 上递减，
时取最大值，满足题意，即有 ．
故选：B.
5．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）函数 的最小值为 .
【答案】1
【分析】由解析式知 定义域为 ，讨论 、 、 ，并结合导数研究的单调性，
即可求 最小值.
【详解】由题设知： 定义域为 ，
∴当 时， ，此时 单调递减；当 时， ，有 ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递增；
又 在各分段的界点处连续，
∴综上有： 时， 单调递减， 时， 单调递增；
∴
故答案为：1.
6．（2018·全国·高考真题）已知函数 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】方法一：由 ，确定出函数的单调区间，减区间，从而确定出函数的
最小值点，代入求得函数的最小值.
【详解】［方法一］： 【通性通法】导数法
．
令 ，得 ，即 在区间 内单调递增；
令 ，得 ，即 在区间 内单调递减．
则 ．
故答案为： .
［方法二］： 三元基本不等式的应用
因为 ，
所以
．
当且仅当 ，即 时，取等号．
根据 可知， 是奇函数，于是 ，此时．
故答案为： .
［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式
，
，
当且仅当 ，即 时， ．
根据 可知， 是奇函数，于是 ．
故答案为： .
［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩
，当且仅当 时等
号成立．
故答案为： .
［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值
设 ，则 可化为 ，
当 时， ；当 时， ，对分母求导后易知，
当 时， 有最小值 ．故答案为： .
［方法六］： 配方法
，
当且仅当 即 时， 取最小值 ．
故答案为： .
［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法
因为 ，所以 ，
即函数 的一个周期为 ，因此 时， 的最小值即为函数的最小值．
当 时， ，
当 时， 因为
，令 ，解得 或 ，由 ， ， ，
所以 的最小值为 ．
故答案为： .
【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性
通法；
方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出；
方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高；
方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高；
方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规；
方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙；
方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题
的最优解．
7．（2018·江苏·高考真题）若函数 在 内有且只有一个零点，则 在
上的最大值与最小值的和为 ．【答案】
【分析】方法一：利用导数判断函数 在 上的单调性，确定零点位置，求出参数 ,再根据函数
在 上的单调性确定函数最值，即可解出.
【详解】［方法一］：【通性通法】单调性法
求导得 ，
当 时，函数 在区间 内单调递增，且 ，所以函数 在 内无零点；
当 时，函数 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增．
当 时， ；当 时， ．
要使函数 在区间 内有且仅有一个零点，只需 ，解得 ．
于是函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
，所以最大值与最小值之和为 ．
故答案为： ．
［方法二］： 等价转化
由条件知 有唯一的正实根，于是 ．令 ，则
，所以 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，且 ，当
时， ；当 时， ．
只需直线 与 的图像有一个交点，故 ，下同方法一．
［方法三］：【最优解】三元基本不等式
同方法二得， ，当且仅当 时取等号，
要满足条件只需 ，下同方法一．
［方法四］：等价转化
由条件知 有唯一的正实根，即方程 有唯一的正实根，整理得 ，
即函数 与直线 在第一象限内有唯一的交点．于是平移直线 与曲线
相切时，满足题意，如图．设切点 ，因为 ，于是 ，解得 ，
下同方法一．
【整体点评】方法一：利用导数得出函数在 上的单调性，确定零点位置，求出参数，进而问题转化
为闭区间上的最值问题，从而解出，是该类型题的通性通法；
方法二：利用等价转化思想，函数在 上有唯一零点转化为两函数图象有唯一交点，从而求出参数，
使问题得解；
方法三：通过三元基本不等式确定取最值条件，从而求出参数，使问题得解，是该题的最优解；
方法四：将函数在 上有唯一零点转化为直线与曲线相切，从而求出参数，使问题得解．
考点06 利用导数研究函数的极值点及其应用
1．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
【答案】AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合 的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的
几何意义判断D.
【详解】由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，所以 是极值点，故A正
确；
因 ， ， ，
所以，函数 在 上有一个零点，当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；
令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D错误.
故选：AC.
2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值
点和极大值点．若 ，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】法一：依题可知，方程 的两个根为 ，即函数 与函数 的图
象有两个不同的交点，构造函数 ，利用指数函数的图象和图象变换得到 的图象，利用
导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为 ，所以方程 的两个根为 ，
即方程 的两个根为 ，
即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
所以当时 ， ，即 图象在 上方
当 时， ，即 图象在 下方
，图象显然不符合题意，所以 ．
令 ，则 ，
设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ，
则切线的斜率为 ，故切线方程为 ，
则有 ，解得 ，则切线的斜率为 ，因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
所以 ，解得 ，又 ，所以 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
设函数 ，则 ，
若 ，则 在 上单调递增，此时若 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，此时若有 和 分别是函数
且 的极小值点和极大值点，则 ，不符合题意；
若 ，则 在 上单调递减，此时若 ，则 在 上单调递增，在 上单调
递减，令 ，则 ，此时若有 和 分别是函数 且 的极
小值点和极大值点，且 ，则需满足 ， ，即
故 ，所以 .
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是
该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于
通性通法．
3．（2021·全国乙卷·高考真题）设 ，若 为函数 的极大值点，则（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对 进行分类讨论，
画出 图象，即可得到 所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .
有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是变号的.依题意，a为函
数 的极大值点， 在 左右附近都是小于零的.
当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
综上所述， 成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
4．（2017·全国·高考真题）若 是函数 的极值点，则 的极小值为．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题可得 ，因为 ，所以 ， ，故 ，
令 ，解得 或 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的极小值为 ，故选A．
【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x 处取得极值的充要条件是f ′(x )＝0，且在x 左侧与右侧f ′(x)的
0 0 0
符号不同；
（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有
极值．
5．（2016·四川·高考真题）已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=
A．–4 B．–2 C．4 D．2
【答案】D
【详解】试题分析： ，令 得 或 ，易得 在
上单调递减，在 上单调递增，故 的极小值点为2，即 ，故选D.
【考点】函数的导数与极值点
【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点 是方程 的解，但 是极大
值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在 附近，如果 时， ，
时 ，则 是极小值点，如果 时， ， 时， ，则 是极大值点.
考点07 导数与函数的基本性质结合问题
1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数 ，则（ ）
A． 是 的极小值点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】ACD
【分析】求出函数 的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数 在
上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
【详解】对A，因为函数 的定义域为R，而 ，
易知当 时， ，当 或 时，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故 是函数 的极小
值点，正确；
对B，当 时， ，所以 ，而由上可知，函数 在 上单调递增，所以 ，错误；
对C，当 时， ，而由上可知，函数 在 上单调递减，
所以 ，即 ，正确；
对D，当 时， ，
所以 ，正确；
故选：ACD.
2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数 的定义域为 ， ，则
（ ）．
A． B．
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例 即可排除选项
D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数 进行判断即可.
【详解】方法一：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值，故 错误.
方法二：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，对于D，当 时，对 两边同时除以 ，得到 ，
故可以设 ，则 ，
当 肘， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
显然，此时 是 的极大值，故D错误.
故选： .
3．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记
，若 ， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项
判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于 ，因为 为偶函数，所以 即 ①，所以
，所以 关于 对称，则 ，故C正确；
对于 ，因为 为偶函数， ， ，所以 关于 对称，由①求
导，和 ，得 ，所以 ，所以 关于 对称，因为其定义域为R，所以 ，结合 关于
对称，从而周期 ，所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知 周期为2，关于 对称，故可设 ，则 ，显然A，D错
误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的
通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
4．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．【答案】 （答案不唯一， 均满足）
【分析】根据幂函数的性质可得所求的 .
【详解】取 ，则 ，满足①，
， 时有 ，满足②，
的定义域为 ，
又 ，故 是奇函数，满足③.
故答案为： （答案不唯一， 均满足）
5．（2017·山东·高考真题）若函数 是自然对数的底数 在 的定义域上单调递
增，则称函数 具有M性质，下列函数中所有具有M性质的函数的序号为
① ② ③ ④
【答案】①④
【详解】① 在 上单调递增，故 具有 性质；
② 在 上单调递减，故 不具有 性质；
③ ，令 ，则 ， 当 时， ，
当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增，故
不具有 性质；
④ ，令 ，则 ，
在 上单调递增，故 具有 性质．
【名师点睛】1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读
理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上
只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．
2.求可导函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．
(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分
类讨论求得单调区间．3.由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，要
注意“＝”是否可以取到．
6．（2015·四川·高考真题）已知函数f（x）＝2x，g（x）＝x2＋ax（其中a∈R）.对于不相等的实数x ，x ，
1 2
设m＝ ，n＝ ，现有如下命题：
①对于任意不相等的实数x ，x ，都有m＞0；
1 2
②对于任意的a及任意不相等的实数x ，x ，都有n＞0；
1 2
③对于任意的a，存在不相等的实数x ，x ，使得m＝n；
1 2
④对于任意的a，存在不相等的实数x ，x ，使得m＝－n.
1 2
其中真命题有 （写出所有真命题的序号）.
【答案】①④
【详解】对于①，因为f '（x）＝2xln2＞0恒成立，故①正确
对于②，取a＝－8，即g'（x）＝2x－8，当x ，x ＜4时n＜0，②错误
1 2
对于③，令f '（x）＝g'（x），即2xln2＝2x＋a
记h（x）＝2xln2－2x，则h'（x）＝2x（ln2）2－2
存在x ∈（0，1），使得h（x ）＝0，可知函数h（x）先减后增，有最小值.
0 0
因此，对任意的a，m＝n不一定成立.③错误
对于④，由f '（x）＝－g'（x），即2xln2＝－2x－a
令h（x）＝2xln2＋2x，则h'（x）＝2x（ln2）2＋2＞0恒成立，
即h（x）是单调递增函数，
当x→＋∞时，h（x）→＋∞
当x→－∞时，h（x）→－∞
因此对任意的a，存在y＝a与函数h（x）有交点.④正确
考点：本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形
结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.
考点08 利用导数研究函数的零点及其应用
1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
【答案】AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为 ，根据零点存在定理和极值的符号判断出 在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在
这样的 ，使得 为 的对称轴，则 为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这
样的 ，使得 为 的对称中心，则 ，据此进行计算判断，亦可利用拐点
结论直接求解.
【详解】A选项， ，由于 ，
故 时 ，故 在 上单调递增，
时， ， 单调递减，
则 在 处取到极大值，在 处取到极小值，
由 ， ，则 ，
根据零点存在定理 在 上有一个零点，
又 ， ，则 ，
则 在 上各有一个零点，于是 时， 有三个零点，A选项正确；
B选项， ， 时， ， 单调递减，
时 ， 单调递增，
此时 在 处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴，
即存在这样的 使得 ，
即 ，
根据二项式定理，等式右边 展开式含有 的项为 ，
于是等式左右两边 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的 ，使得 为 的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的 ，使得 为 的对称中心，
则 ，事实上，
，
于是
即 ，解得 ，即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，， ， ，
由 ，于是该三次函数的对称中心为 ，
由题意 也是对称中心，故 ，
即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1） 的对称轴为 ；（2） 关于 对称
；（3）任何三次函数 都有对称中心，对称中心是三次函数
的拐点，对称中心的横坐标是 的解，即 是三次函数的对称中心
2．（2023·全国乙卷·高考真题）函数 存在3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】写出 ，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.
【详解】 ，则 ，
若 要存在3个零点，则 要存在极大值和极小值，则 ，
令 ，解得 或 ，
且当 时， ，
当 ， ，
故 的极大值为 ，极小值为 ，
若 要存在3个零点，则 ，即 ，解得 ，
故选：B.
3．（2021·北京·高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】由 可得出 ，考查直线 与曲线 的左、右支分别相切的情
形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，
直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，
因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
4．（2018·江苏·高考真题）若函数 在 内有且只有一个零点，则 在
上的最大值与最小值的和为 ．
【答案】
【分析】方法一：利用导数判断函数 在 上的单调性，确定零点位置，求出参数 ,再根据函数
在 上的单调性确定函数最值，即可解出.
【详解】［方法一］：【通性通法】单调性法
求导得 ，
当 时，函数 在区间 内单调递增，且 ，所以函数 在 内无零点；
当 时，函数 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增．
当 时， ；当 时， ．
要使函数 在区间 内有且仅有一个零点，只需 ，解得 ．
于是函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
，所以最大值与最小值之和为 ．
故答案为： ．
［方法二］： 等价转化
由条件知 有唯一的正实根，于是 ．令 ，则
，所以 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，且 ，当
时， ；当 时， ．
只需直线 与 的图像有一个交点，故 ，下同方法一．
［方法三］：【最优解】三元基本不等式
同方法二得， ，当且仅当 时取等号，
要满足条件只需 ，下同方法一．
［方法四］：等价转化由条件知 有唯一的正实根，即方程 有唯一的正实根，整理得 ，
即函数 与直线 在第一象限内有唯一的交点．于是平移直线 与曲线
相切时，满足题意，如图．
设切点 ，因为 ，于是 ，解得 ，
下同方法一．
【整体点评】方法一：利用导数得出函数在 上的单调性，确定零点位置，求出参数，进而问题转化
为闭区间上的最值问题，从而解出，是该类型题的通性通法；
方法二：利用等价转化思想，函数在 上有唯一零点转化为两函数图象有唯一交点，从而求出参数，
使问题得解；
方法三：通过三元基本不等式确定取最值条件，从而求出参数，使问题得解，是该题的最优解；
方法四：将函数在 上有唯一零点转化为直线与曲线相切，从而求出参数，使问题得解．
5．（2017·全国·高考真题）已知函数 有唯一零点，则
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】因为 ，设 ，则
，因为 ，所以函数 为偶函数，若函数 有唯一零点，则
函数 有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当 时， 才满足题意，即 是函数
的唯一零点，所以 ，解得 .故选：C.
【点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：
（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.6．（2015·陕西·高考真题）对二次函数 （ 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，
其中有且仅有一个结
论是错误的，则错误的结论是
A． 是 的零点 B．1是 的极值点
C．3是 的极值 D．点 在曲线 上
【答案】A
【详解】若选项A错误时，选项B、C、D正确， ，因为 是 的极值点， 是 的极
值，所以 ，即 ，解得： ，因为点 在曲线 上，所以
，即 ，解得： ，所以 ， ，所以 ，
因为 ，所以 不是 的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正
确，故选A．
【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．
考点09 利用导数研究方程的根及其应用
1．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线 与 在 上有两个不同的交点，则 的
取值范围为 ．
【答案】
【分析】将函数转化为方程，令 ，分离参数 ，构造新函数 结合
导数求得 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令 ，即 ，令
则 ，令 得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增， ，
因为曲线 与 在 上有两个不同的交点，
所以等价于 与 有两个交点，所以 .故答案为：
2．（2021·北京·高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】由 可得出 ，考查直线 与曲线 的左、右支分别相切的情
形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，
直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，
因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
3．（2015·安徽·高考真题）函数 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
【答案】A
【分析】根据图象，由 确定 ，求导后，确定 有两个不相等的正实数根 ，
结合函数单调性，韦达定理即可求出答案.
【详解】由图象可知 ，
有两个不相等的正实数根 ，且 在 上单调递增，在 上
单调递减，
所以 ，
所以 ，
综上： ， ， ， .
故选：A4．（2015·全国·高考真题）设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ， ，问题转化为存在唯一的整数 使得满足 ，求导
可得出函数 的极值，数形结合可得 且 ，由此可得出实数 的取值
范围.
【详解】设 ， ，
由题意知，函数 在直线 下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当 时， ；当 时， .
所以，函数 的最小值为 .
又 ， .
直线 恒过定点 且斜率为 ，
故 且 ，解得 ，故选D.
【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.
5．（2015·安徽·高考真题）设 ，其中 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个
实根的是 .（写出所有正确条件的编号）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
【答案】1，3，4，5
【详解】令 ，求导得 ，当 时， ，所以 单调递增，且至少
存在一个数使 ，至少存在一个数使 ，所以 必有一个零点，即方程仅有一根，故④⑤正确；当 时，若 ，则 ，易知，
在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
，要使方程仅有一根，则 或者
，解得 或 ，故①③正确.所以使得三次方程仅有一个实 根的是
①③④⑤.
考点：1函数零点与方程的根之间的关系；2.函数的单调性及其极值.
考点10 构建函数利用导数判断函数单调性比较函数值大小关系
1．（2022·全国甲卷·高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 结合三角函数的性质可得 ;构造函数 ,利用导数可
得 ,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故 ，故 ，所以 ；
设 ，
，所以 在 单调递增，
故 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当 ，
取 得： ，故
，其中 ，且
当 时， ，及此时 ，
故 ，故
所以 ，所以 ，故选A
[方法三]：泰勒展开
设 ，则 ， ，
，计算得 ，故选A.
[方法四]：构造函数
因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；设
， ，所以 在 单调递增，则 ,
所以 ，所以 ,所以 ，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；因为当
，取 得 ，故 ，所以 ．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通
法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式 放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
2．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小.
【详解】方法一：构造法设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以故
3．（2021·全国乙卷·高考真题）设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，
将0.01换成x,分别构造函数 , ，利用导数分析其在
0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以 ；
下面比较 与 的大小关系.
记 ，则 ， ，
由于
所以当00时， ，
所以 ，即函数 在[0，+∞)上单调递减，所以 ，即 ，即
b
