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绵阳市高中 2023 级第二次诊断性考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．D 7．B 8．A
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，选对但不
全的得部分分，有选错的得0分．
9．BD 10．ABD 11．ABD
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12．60◦； 13．6； 14．2
四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17
分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）由正弦定理得： ，······························2分
又∵ ，········································································3分
∴ ，························································4分
∴ ，······································5分
∴ ，·········································································6分
又sinB ，
∴ ；······················································································7分
（2）由余弦定理： ，·························9分
∴ ，·······················································································11分
∵△ABC的周长为8，
∴ ，·························································12分
∴c=2，则 ．················································································13分
第 1 页 共 9 页16．解：（1）∵ ，························································2分
∴ ，又 ，··························································4分
∴所求切线方程为： ，·························································6分
（2）∵ ，····························8分
所以由 ，得 的单调递增区间为：(2，3)，(6，+∞)；·················9分
由 得 的单调递减区间为：(3，6)，······································10分
∵ ， ，····················································12分
∵ ，则 ，····································14分
所以 的最小值为 ．·····························································15分
17．解：（1）证明：∵ ， ，
∴两式相减得 ，···········2分
即 ，·······································································4分
又∵ ，
∴数列 是首项为2，公比为2的等比数列；···································6分
（2）由（1）易得， ，··························································7分
， ，
∴两式相加得 ，·······················8分
即 ， ，·································9分
当 时， 满足上式，
第 2 页 共 9 页∴数列 是首项为4，公差为4的等差数列，易得 ，·········11分
∴ ，解得 ，··················································13分
∴ ···········································14分
．········································································15分
18．解：（1）将点代入椭圆方程可得： ， ，··························1分
解得： ， ，········································································2分
∴椭圆方程为： ；·································································3分
（2）方法一：设 ， ， ，
∴ ， ，
由 ，则 ，即 ，··································4分
代入椭圆方程可得： ，
整理得： ，····································5分
又 ， 在椭圆上，则 ， ，
代入上式可得： ，平方可得： ，····6分
∵直线OA的方程为： ，
∴点 到直线OA的距离 ，······································7分
∴△OAB的面积： ，·······8分
第 3 页 共 9 页∴
，·················9分
∴△OAB的面积为定值 ；······························································10分
（2）方法二：设 ， ， ，
∴ ， ，
由 ，则 ，即 ，··································4分
代入椭圆方程可得： ，
整理得： ，····································5分
又 ， 在椭圆上，则 ， ，
代入上式可得： ，
又 ， 在直线 上，
故 ，则 ，
整理得到： ……（*）·····························6分
联立方程： ，整理得到： ，
由 ，
由韦达定理： 代入（*）式，得： ，··············7分
此时：
第 4 页 共 9 页，···························································8分
O(0，0)到直线 的距离： ，·······································9分
所以△OAB的面积： ；·············10分
（3）设 ， ， ， ，
∵直线AB与直线DE平行，则直线AB与直线DE的斜率均为 ，
由平行关系，可设 ，即 ， ，·················11分
由 ，则 ，
∴ ，······································································12分
同理，由 可得： ，
又 ， 在椭圆上，故 ， ，
相减可得： ，·······························13分
∴ ，则 ……③····14分
同理： ，则 ……④·15分
③+④可得： ，················16分
∴ ，又 ，故m=2n．·······················17分
19．解：（1）证明：由题意，可知 ，·································1分
如解图1，取PE中点H，连接HF，HG，
第 5 页 共 9 页则HF⊥PE，GH⊥PE，结合HF，HG 平面HGF，
故PA⊥平面HGF，···············································································2分
又∵FG 平面HGF，故PA⊥FG；
（2）设AC与BD的交点为O，
∵ 平面PAC，平面PAC 平面EBD = EO，
结合PC∥平面EBD，故PC∥EO，····························································4分
∵E为PA的中点，故O为AC的中点，
如解图2所示，建立空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，P(0，0，2)， ，
设 ， ，AC 中点 O(1，0，
0)，
则有 ，∵ ，
故 ，
得 ，同理可得 ，··························································5分
不妨设 ， ，其中 ， ，
∵BD过O(1，0，0)，从而 ，
由 ， ，
得 ，则 ，··················································6分
设平面PAB与平面PAD的法向量分别为 ， ，
从而有 ，即 ，可得 ，
同理可得 ，·····························································7分
故
第 6 页 共 9 页，······························8分
且易知 ，满足θ为钝角，
而 ，当且仅当 ， 时取等，
故 ，
二面角B-AP-D的平面角的余弦值的最大值为 ；··································10分
（3）∵BD//FG，且PA⊥FG，
故PA⊥BD，结合PC⊥平面ABD，则可得PC⊥BD，
因此BD⊥平面PAC，故BD⊥AC，
由（2）知 ， ，
故B，D关于平面PAC对称，
设 ， 则 ， 其 中 且
，
设△ABD的外心为S，显然S应在x轴上，
设 ，∵|SB|=|SA|，
故有 ，整理得 ，······························12分
同时PA在平面PAC中的垂直平分线恰为CE，
因此球心T即为过S且垂直于平面ABD的直线与CE的交点，
故 ，······························13分
令 ，则 且 ，代入 及 表达式，
得 ，
因此 ，令 ，
第 7 页 共 9 页故 ，且 ，·····························14分
且给定该球的半径时，三棱锥P-BCD的体积有3个可能的值，
等价于 有3个不同的解，即 有3个不同的解，
时，关于w的方程 ，
①当
在区间 上有唯一解，
此时关于v的方程 仅在区间(‒2，0)有一解，不满足题意；·············15分
②当 时，关于w的方程 恰有两解 ，
，方程 在区间(‒2，0)有1解， 有唯一解 ．故共
有2组解，不满足题意；···········································································16分
③当 时，关于w的方程 在 ，
分别有一解. 此时关于 v 的方程 在区间(‒2，0)有一解，在
有2解，共3解，符合题意，
因此 ，即 ，
综上所述，该球半径的取值范围是 ；······························17分
思路二：令 ，则 且 ，
代入 的表达式为： ，
则 ，结合 ，后同解法一的讨论．
方法二：（3）∵BD//FG，且PA⊥FG，故PA⊥BD，结合PC⊥平面ABD，则可得
PC⊥BD，
因此BD⊥平面PAC，故BD⊥AC，由（2）知 ， ，
第 8 页 共 9 页故B，D关于平面 PAC对称，设 ，则 ，其中 且
，
设球心 ，则 ，
∴
化 简 整 理 得 ： ， 且 ， 故
，
下同方法一．
第 9 页 共 9 页
